學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析各個(gè)擊破一、求線性回歸方程【例1】研究某灌溉渠道水的流速y與水深x之間的關(guān)系,測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下:水深x（m）1.401.501。601。701。801。902.002。10流速y（m/s)1.701。791。881.952.032.102.162。21（1)求y對(duì)x的回歸直線方程；（2）預(yù)測(cè)水深為1.95m時(shí)水的流速是多少？解：（1）散點(diǎn)圖如下圖所示.列表計(jì)算與回歸系數(shù)。序號(hào)xiyixi2yi2xiyi11.401。701.962.8902。38021.501。792。253.20412.68531.601。882.563。53443。00841。701.952。893。80253。31551。802.033。244.12093.65461.902.103.614.41003.99072。002。164.004。66564.32082.102。214.414。88414.641∑14.0015。8224.9231。511627。993于是，,∑xi2=24.92，∑yi2=31。5116,∑xiyi=27.993，∴≈0.733，=1.9775-0.733×1。75=0。6948,∴y對(duì)x的回歸直線方程為=0.6948+0。733x.（2)在本題中回歸系數(shù)=0。733的意思是：在此灌溉渠道中,水深每增加0。1m水的流速平均增加0.733m/s,=0。6948,可以解釋為水的流速中不受水深影響的部分，把x=1.95代入得到=0.6948+0.733×1.95≈2.12m/s，計(jì)算結(jié)果表明:當(dāng)水深為1。95m可以預(yù)報(bào)渠水的流速約為2。12m/s.類題演練1關(guān)于人體的脂肪含量(百分比）和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組數(shù)據(jù)：年齡x23273941454950脂肪y9.517。621.225.927。526.328。2年齡x53545657586061脂肪y29。630。231。430.833.535.234。6（1)作散點(diǎn)圖；（2）求y與x之間的回歸線方程;（3)給出37歲人的脂肪含量的預(yù)測(cè)值。解：（1）略（2）設(shè)方程為=bx+a，則由計(jì)算器算得a=-0。448,b=0。577，所以=0。577x—0.448。(3）當(dāng)x=37時(shí)，=0。577×37-0。448=20.90。變式提升從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生,其身高和體重的數(shù)據(jù)如下表所示:編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172c解：作散點(diǎn)圖，由于問題是根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此要求身高與體重的回歸直線方程，取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖如右圖所示?！?.849,=—85.712.∴回歸直線方程為=0.849x-85.712.所以對(duì)于身高172cm女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)體重為=0。849×172—85。712=60.316（kg).∴預(yù)測(cè)身高為172cm的女大學(xué)生的體重約為60。316kg。二、非線性回歸問題【例2】某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表:身高x/cm60708090100110體重y/kg6.137.909。9912。1515.0217.5身高x/cm120130140150160170體重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555。05(1）試建立y與x之間的回歸方程；（2）若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖,低于0。8倍為偏瘦,那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm體重為解:根據(jù)上表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖如下圖（1）由圖看出，樣本點(diǎn)分布在某條指數(shù)函數(shù)曲線y=c1ec2x的周圍,于是令z=lny.x60708090100110z1.812。072。302.502。712.86x120130140150160170z3。043。293。443。663.864。01作出散點(diǎn)圖如下圖所示由表中數(shù)據(jù)可得z與x之間的回歸直線方程：=0.693+0。020x,則有=e0.693+0。020x。（2)當(dāng)x=175時(shí)，預(yù)測(cè)平均體重=e0.693+0.020×175≈66.22，由于66。22×1。2≈79.47＜82,所以這個(gè)男生偏胖.類題演練2電容器充電后，電壓達(dá)到100V，然后開始放電.由經(jīng)驗(yàn)知道，此后電壓U隨時(shí)間t變化的規(guī)律用公u=Aebt（b＜0）表示?，F(xiàn)測(cè)得時(shí)間t（s）時(shí)的電壓U（V）如下所示:t:012345678910U:100755540302015101055試求電壓U對(duì)時(shí)間t的回歸方程。（提示:對(duì)公兩邊取自然對(duì)數(shù),把問題化為線性回歸分析問題）.解析：根據(jù)提示公式，兩邊取對(duì)數(shù)得lnu=lnA+bt令y=lnu，a=lnA，則y=a+bt。由前兩組數(shù)據(jù)得a=ln100，b=ln.∴y=ln100+ln·t。根據(jù)上述公式樣本點(diǎn)可轉(zhuǎn)換為t012345678910y4。64。34.03。93。42。92.72。32.31。61。6其散點(diǎn)圖為由散點(diǎn)圖可知y與t線性相關(guān),可用表示,利用科學(xué)計(jì)算器，可得=-0。3,=4。6，∴=—0。3t+4。6，即ln=—0。3t+4。6，∴=100e—0。3t。三、回歸分析【例3】某農(nóng)場(chǎng)對(duì)單位面積化肥用量x(kg）和水稻相應(yīng)產(chǎn)量y(kg）的關(guān)系作了統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)如下：x:15202530354045y:330345365405445450455如果x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程,并預(yù)測(cè)當(dāng)單位面積化肥用量為32kg時(shí)水稻的產(chǎn)量大約是多少（精確到0。01kg）。解：用列表的方法計(jì)算a與回歸系數(shù)b.序號(hào)xyx2xy11533022549502203454006900325365625912543040590012150535445122515575640450160018000745455202520475∑2102795700087175,≈399。3,≈4。746，=399。3—4.746×30=256.92，y對(duì)x的回歸直線方程為：=256。92+4.746x，當(dāng)x=32時(shí),=256。92+4.746×32≈408。79答:回歸直線方程為=256。92+4.747x，當(dāng)單位面積化肥用量為32kg時(shí)，水稻的產(chǎn)量大約為408。79kg。類題演練3為了了解某地母親身高X與女兒身高Y的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取了10對(duì)母女測(cè)得相應(yīng)的身高如下表所示：母親身高xcm159160160163159女兒身高ycm158159160161161母親身高xcm154159158159157女兒身高ycm155162157162156（1)畫出散點(diǎn)圖；（2)對(duì)X與Y進(jìn)行回