第3章圓（題型突破）題型一圓的有關(guān)概念【例1】下列說法正確的是（

）A．圓的對稱軸是直徑 B．相等的圓心角所對的弧相等C．等弧所對的弦相等 D．相等的弦所對的圓心角相等鞏固訓(xùn)練：1．已知的半徑為2，，則點A在（）A．內(nèi) B．上 C．外 D．無法確定2．在同圓或等圓中，若的長度等于的長度，則下列說法正確的有（）①的度數(shù)的度數(shù)；②所對的圓心角等于所對的圓心角；③和是等?。虎芩鶎Φ南议L等于所對的弦長．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．在矩形中，，以點A為圓心，4為半徑作，點C與的位置關(guān)系是（）A．點C在內(nèi) B．點C在上 C．點C在外 D．無法確定題型二垂徑定理【例2】如圖是一個圓柱形的玻璃水杯，將其橫放，杯內(nèi)水面，水深，則水杯半徑是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在中，是弦的中點，是過點的直徑，則下列結(jié)論中不正確的是（

）

A． B． C． D．2．如圖，半徑為13cm的圓形鐵片上切下一塊高為8cm的弓形鐵片，則弦AB的長為（

）A．10cm B．16cm C．20cm D．24cm題型三圓心角【例3】如圖，在中，，劣弧的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，是的直徑，點E在上，點D，C是的三等分點，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．如圖，、是的直徑，弦，弧為，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．如圖，在中，，D、E分別是半徑與的中點，連接，，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．題型四圓周角【例4】．如圖，點A，B，C在上，，則的大小為（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，是的兩條弦，且，點分別在和上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．如圖，已知四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．如圖，是的直徑，點在上，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．題型五直線與圓的位置關(guān)系【例5】．已知的直徑為10，直線l與相交，則圓心O到直線l的距離可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．8鞏固訓(xùn)練：1．如圖，PA，PB分別與☉O相切于點A，B，連接PO并延長與☉O交于點C，D．若CD=12，PA=8，則sin∠ADB的值為（）A． B． C． D．2．如圖，AB是☉O的切線，B為切點，連接AO交☉O于點C，延長AO交☉O于點D，連接BD．若∠A=∠D，且AC=3，則AB的長度是（

）A．3 B．4 C．3 D．43．如圖，是的直徑，C為上一點，連接、，于點E，是的切線，且，若，，則的長為（

）A． B．5 C． D．4題型六圓內(nèi)接正多邊形【例6】．如圖，正六邊形內(nèi)接于，若的周長是，則正六邊形的邊長是（

）A． B．3 C．6 D．鞏固訓(xùn)練：正三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和正三角形高的比為（

）A． B． C． D．2．如圖所示，A、B、C、D是一個外角為的正多邊形的頂點，若O為正多邊形內(nèi)一點，且到各頂點的距離相等，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．題型七弧長及扇形的面積【例7】．如圖，已知的半徑為6，，是的弦，若，則的長是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在中，，，分別以A、B、C為圓心，2為半徑畫弧，3條弧與所圍成的陰影部分的周長是（

）A． B． C． D．2．如圖，在矩形中，以點A為圓心，以長為半徑畫弧交于點E，將扇形剪下來做成圓錐，若，則該圓錐底面半徑為（

）A． B． C．1 D．2題型八圓綜合解答題【例8】．如圖，是的外接圓，，是直徑，且，連接，求的長．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在中．．(1)用直尺和圓規(guī)作出，使圓心在邊上，并與其他兩邊都相切，與邊相切于點；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)通過作圖，試說明與相切的理由；(3)求的半徑．2．如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點，交于點，連接，作，交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．3．如圖為上的四點，點為延長線上的一點，且，點為弧的中點．(1)若，求的度數(shù)．(2)若，求的長．4．如圖，中，，，交以為直徑的半圓O于點D，E．連接，交于點F．(1)求證：；(2)若點F是中點，，時，求的值．5．已知：內(nèi)接于，半徑，垂足為點H，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，，點G為弧上一點，連接、，弧弧，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點O作，交于點E，交于點F，若，，求弦的長．

第3章圓（題型突破）題型一圓的有關(guān)概念【例1】下列說法正確的是（

）A．圓的對稱軸是直徑 B．相等的圓心角所對的弧相等C．等弧所對的弦相等 D．相等的弦所對的圓心角相等【答案】C【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等對各選項進行判斷．【解析】解：A、圓的對稱軸是直徑所在的直線，原說法錯誤，本選項不符合題意；B、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，原說法錯誤，本選項不符合題意；C、等弧所對的弦相等，本選項符合題意；D、在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，原說法錯誤，本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．鞏固訓(xùn)練：已知的半徑為2，，則點A在（）A．內(nèi) B．上 C．外 D．無法確定【答案】B【分析】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握判斷點與圓的位置關(guān)系，就是比較點與圓心的距離和半徑的大小關(guān)系．根據(jù)點在圓上，則；點在圓外，；點在圓內(nèi)，（d即點到圓心的距離，即圓的半徑）判斷即可．【解析】解：的半徑為2，，∴點A在上．故選：B．2．在同圓或等圓中，若的長度等于的長度，則下列說法正確的有（）①的度數(shù)的度數(shù)；②所對的圓心角等于所對的圓心角；③和是等??；④所對的弦長等于所對的弦長．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)弧、弦、角的關(guān)系即可判斷．【解析】解：①∵的長度等于的長度，且在同圓或等圓中，∴的度數(shù)的度數(shù)．①正確；②在同圓或等圓中，等弧所對的圓心角相等．②正確；③∵的長度等于的長度，且在同圓或等圓中，∴和是等弧．③正確；④在同圓或等圓中，等弧所對的弦相等．④正確；故選：D【點睛】本題考查弧、弦、角的關(guān)系．熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．3．在矩形中，，以點A為圓心，4為半徑作，點C與的位置關(guān)系是（）A．點C在內(nèi) B．點C在上 C．點C在外 D．無法確定【答案】C【分析】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出的長，再根據(jù)點與圓的位置關(guān)系，即可求解．【解析】解：在矩形中，，∴，∴，∵的半徑為4，∴，∴點C與外邊，故選：C．題型二垂徑定理【例2】如圖是一個圓柱形的玻璃水杯，將其橫放，杯內(nèi)水面，水深，則水杯半徑是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，連接，，根據(jù)垂徑定理求出，再用勾股定理解即可．【解析】解：如圖，連接，，則，，，設(shè)水杯半徑，則，在中，，，解得，故選C．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在中，是弦的中點，是過點的直徑，則下列結(jié)論中不正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了垂徑定理的推論，弧、弦、圓心角的關(guān)系等知識，理解并掌握垂徑定理及其推論是解題關(guān)鍵．平分弦的直徑垂直于這條弦，且平分這條弦所對的兩條弧；同弧或等弧所對的弦相等，所對的圓心角也相等，據(jù)此即可獲得答案．【解析】解：∵是弦的中點，是過點的直徑，∴，，，故選項A正確，不符合題意；∵，∴，，故選項B，C正確，不符合題意；已知條件無法確定，故選項D不正確，符合題意．故選：D．2．如圖，半徑為13cm的圓形鐵片上切下一塊高為8cm的弓形鐵片，則弦AB的長為（

）A．10cm B．16cm C．20cm D．24cm【答案】D【分析】此題主要考查了垂徑定理以及勾股定理．首先構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理得出的長，進而根據(jù)垂徑定理得出答案．【解析】解：如圖，過O作于C，交于D，∴，∵，∴，又∵，∴中，，∴．故選`：D．題型三圓心角【例3】如圖，在中，，劣弧的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了弧所對的度數(shù)求解，只需求出弧所對的圓心角度數(shù)即可．連接，根據(jù)結(jié)合即可求出．【解析】解：連接，如圖所示：

則∵，∴∴故劣弧的度數(shù)是故選：D鞏固訓(xùn)練：1．如圖，是的直徑，點E在上，點D，C是的三等分點，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到，然后利用平角的定義計算的度數(shù)．【解析】解：∵點D、C是的三等分點，即，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．2．如圖，、是的直徑，弦，弧為，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，利用等邊對等角，弦，圓心角，弧的關(guān)系，平行線的性質(zhì)計算即可.【解析】連接，解：∵弧為，∴，∵，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了等邊對等角，弦，圓心角，弧的關(guān)系，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3．如圖，在中，，D、E分別是半徑與的中點，連接，，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在中，根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系可判斷A選項，證明可判斷B、C選項，根據(jù)已知條件，不能證明，可判斷D選項．【解析】解：在中，，，故A選項不符合題意；在與中，，，，，故C選項不符合題意；D、E分別是半徑的中點,，在與中，，，，，故B選項不符合題意；和不一定相等，和不一定垂直，故D選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查弧、弦、圓心角的關(guān)系以及全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)知識點是解決本題的關(guān)鍵．題型四圓周角【例4】．如圖，點A，B，C在上，，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)題意列出算式，計算即可．本題考查的是圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．【解析】解：由圓周角定理得，∵∴，解得，，故選：A．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，是的兩條弦，且，點分別在和上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角或弧的度數(shù)的一半．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補求得的度數(shù)，即可求得的度數(shù)，進而求得的度數(shù)，的度數(shù)，則的度數(shù)即可求解．【解析】解：在圓內(nèi)接四邊形中，，則的度數(shù)是，又∵，∴的度數(shù)=的度數(shù)，∴的度數(shù)是，∴．故選：A．2．如圖，已知四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形互補及圓周角定理：一條弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半，熟記相關(guān)結(jié)論即可求解．【解析】解：∵，∴，∴故選：D3．如圖，是的直徑，點在上，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角等于90度，圓的內(nèi)接四邊形，連接，，得出，，進而可得出答案．【解析】解：連接，，

∵同弧所對的圓周角相等，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，故選：C．題型五直線與圓的位置關(guān)系【例5】．已知的直徑為10，直線l與相交，則圓心O到直線l的距離可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】A【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是記?、僦本€和相交②直線和相切③直線和相離．根據(jù)直線和相交，即可判斷．【解析】解：的直徑為10，的半徑為5，直線與相交，圓心O到直線的距離的取值范圍是，只有選項A符合題意，故選：A．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，PA，PB分別與☉O相切于點A，B，連接PO并延長與☉O交于點C，D．若CD=12，PA=8，則sin∠ADB的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，連接AO，BO，∵PA，PB分別與☉O相切于點A，B，∴∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB=8.∵DC=12，∴AO=6，∴OP=10，在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），∴∠AOP=∠BOP，∴，∴∠ADC=∠BDC.∵∠AOC=2∠ADC，∴∠ADB=∠AOC，∴sin∠ADB=sin∠AOC=.2．如圖，AB是☉O的切線，B為切點，連接AO交☉O于點C，延長AO交☉O于點D，連接BD．若∠A=∠D，且AC=3，則AB的長度是（

）A．3 B．4 C．3 D．4【答案】C【解析】如圖，連接OB，∵AB是☉O的切線，B為切點，∴OB⊥AB，∴AB2=OA2-OB2．∵OB和OD是半徑，∴∠D=∠OBD．∵∠A=∠D，∴∠A=∠D=∠OBD，∴△OBD∽△BAD，AB=BD，∴OD∶BD=BD∶AD，∴BD2=OD·AD，即OA2-OB2=OD·AD．設(shè)OD=x，∵AC=3，∴AD=2x+3，OB=x，OA=x+3，∴(x+3)2-x2=x(2x+3)．解得x=3或x=-3(負(fù)值舍去)，∴OA=6，OB=3，∴AB2=OA2-OB2=27，∴AB=3．3．如圖，是的直徑，C為上一點，連接、，于點E，是的切線，且，若，，則的長為（

）A． B．5 C． D．4【答案】C【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，連接，通過證明，得出，則，求出，則，根據(jù)切線的定義，求出，最后根據(jù)，即可解答．【解析】解：連接，如圖，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，故選：C．題型六圓內(nèi)接正多邊形【例6】．如圖，正六邊形內(nèi)接于，若的周長是，則正六邊形的邊長是（

）A． B．3 C．6 D．【答案】B【分析】連接、，由正六邊形內(nèi)接于，可知是等邊三角形，由的周長是，可得，即可得出結(jié)果．本題主要考查了圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，正確運用圓與正六邊形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【解析】解：如圖，連接、，

∵正六邊形內(nèi)接于，∵，是等邊三角形，∵的周長是，，即正六邊形的邊長是，故選：B鞏固訓(xùn)練：1．正三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和正三角形高的比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查正多邊形和圓；根據(jù)題意畫圖如下，作出輔助線、，證明為直角三角形且為，即可求出、的比，進而求出內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比．【解析】解：如圖，連接、；

∵、切圓與，∴，，又∵，，∴，故；又為等邊三角形，，，，，∴，∴內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比是．故選：．2．如圖所示，A、B、C、D是一個外角為的正多邊形的頂點，若O為正多邊形內(nèi)一點，且到各頂點的距離相等，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)多邊形外角和定理求出這個正多邊形的邊數(shù)，再由題意可得O為正多邊形的外接圓圓心，據(jù)此求出，再由等邊對等角，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得到．【解析】解：由題意得，這個正多邊形的邊數(shù)為，∵O為正多邊形內(nèi)一點，且到各頂點的距離相等，∴O為正多邊形的外接圓圓心，∴，∵，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了正多邊形與圓，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，求出該正多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵．題型七弧長及扇形的面積【例7】．如圖，已知的半徑為6，，是的弦，若，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的圓周角定理的應(yīng)用，弧長的計算；先求解，再利用弧長公式進行計算即可．【解析】解：連接，∵，∴，∴弧的長，故選：B．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在中，，，分別以A、B、C為圓心，2為半徑畫弧，3條弧與所圍成的陰影部分的周長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理，求弧長．先求出，則，再根據(jù)得出，即可解答．【解析】解：根據(jù)勾股定理可得：，∴，∵，∴，∴陰影部分的周長，故選：D．2．如圖，在矩形中，以點A為圓心，以長為半徑畫弧交于點E，將扇形剪下來做成圓錐，若，則該圓錐底面半徑為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】此題考查圓錐的計算，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的弧長公式．首先由正方形的性質(zhì)得到是等腰直角三角形，進而得到，然后由勾股定理求出，然后根據(jù)扇形的弧長等于圍成的圓錐的底面圓的周長列方程求解即可．【解析】解：在矩形中，，∵，是等腰直角三角形，，，，扇形的弧長等于圍成的圓錐的底面圓的周長，圓錐的底面圓的半徑為，，解得．故選：A．題型八圓綜合解答題【例8】．26．如圖，是的外接圓，，是直徑，且，連接，求的長．【答案】【分析】先根據(jù)圓周角定理可求出，，由銳角三角函數(shù)的定義即可求出的長．此題考查了圓周角定理、解直角三角形等知識，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【解析】解：在中，∵，∴.∵是直徑，，∴，∴.鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在中．．(1)用直尺和圓規(guī)作出，使圓心在邊上，并與其他兩邊都相切，與邊相切于點；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)通過作圖，試說明與相切的理由；(3)求的半徑．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)3．【分析】（1）作的角平分線交于點，以點為圓心，的長為半徑作圓即可；（2）過點作，垂足為點．由題可知，是的角平分線，利用圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切即可證明；（3）由勾股定理得，根據(jù)切線長定理得，進而得，在中，利用勾股定理構(gòu)造方程即可求解．【解析】（1）解：如圖所示，（2）證明：過點作，垂足為點．由題可知，是的角平分線∵，是的角平分線又∵，是的半徑，與相切；（3）解：在中，．與相切設(shè)半徑為，則，根據(jù)勾股定理得，解得半徑為．【點睛】本題主要考查了切線得判定、切線長定理、勾股定理、尺規(guī)作角的角平分線以及角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握切線判定、切線長定理、勾股定理、尺規(guī)作角的角平分線是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點，交于點，連接，作，交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為．【分析】（1）連接，根據(jù)平分，，，證明即可；（2）設(shè)的半徑為，則有，在中，，根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可求解．【解析】（1）解：連接，∵是的直徑，∴，即，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：設(shè)的半徑為，則有，在中，，∴，解得．∴的半徑為．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，垂線定義，角平分線的定義，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．如圖為上的四點，點為延長線上的一點，且，點為弧的中點．(1)若，求的度數(shù)．(2)若，求的長．【答案】(1)(2)8【分析】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可以得到然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)角的和差解題即可；（2）利用勾股定理先求出長，然后再求出的長即可．【解析】（1），，，又四