第07講利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題(精講+精練）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：分離雙參，構(gòu)造函數(shù)高頻考點(diǎn)二：糅合雙參（比值糅合）高頻考點(diǎn)三：糅合雙參（差值糅合）高頻考點(diǎn)四：變更主元法高頻考點(diǎn)五：指定主元法高頻考點(diǎn)六：利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)單變量高頻考點(diǎn)七：利用對(duì)數(shù)平均不等式解決雙變量問題第四部分：高考真題感悟第五部分：第07講利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題（精練）第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶1、導(dǎo)數(shù)中求解雙變量問題的一般步驟：（1）先根據(jù)已知條件確定出變量SKIPIF1<0滿足的條件；（2）將待求的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)問題，同時(shí)注意將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，具體有兩種可行的方法：①通過(guò)將所有涉及SKIPIF1<0的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于SKIPIF1<0的式子，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量SKIPIF1<0（SKIPIF1<0亦可）的函數(shù)問題；②通過(guò)SKIPIF1<0的乘積關(guān)系，用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0（用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0亦可），將雙變量問題替換為SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的單變量問題；（3）構(gòu)造關(guān)于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的新函數(shù)，同時(shí)根據(jù)已知條件確定出SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的范圍即為新函數(shù)定義域，借助新函數(shù)的單調(diào)性和值域完成問題的分析求解.2、破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．（2022·重慶市第七中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，且對(duì)SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)閷?duì)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)都有SKIPIF1<0恒成立，等價(jià)于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：A.2．（2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由題意SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是減函數(shù)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是減函數(shù)，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是增函數(shù)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0得2x+a（y﹣2ex）lnSKIPIF1<00，即2+a（SKIPIF1<02e）lnSKIPIF1<00，即設(shè)tSKIPIF1<0，則t＞0，則條件等價(jià)為2+a（t﹣2e）lnt＝0，即（t﹣2e）lntSKIPIF1<0有解，設(shè)g（t）＝（t﹣2e）lnt，g′（t）＝lnt+1SKIPIF1<0為增函數(shù)，∵g′（e）＝lne+1SKIPIF1<01+1﹣2＝0，∴當(dāng)t＞e時(shí)，g′（t）＞0，當(dāng)0＜t＜e時(shí)，g′（t）＜0，即當(dāng)t＝e時(shí)，函數(shù)g（t）取得極小值，為g（e）＝（e﹣2e）lne＝﹣e，即g（t）≥g（e）＝﹣e，若（t﹣2e）lntSKIPIF1<0有解，則SKIPIF1<0e，即SKIPIF1<0e，則a＜0或aSKIPIF1<0，故選：C．4．（2022·全國(guó)·高二）若函數(shù)SKIPIF1<0存在兩個(gè)極值點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D根據(jù)題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0有兩解，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：D.第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：分離雙參，構(gòu)造函數(shù)1．（2022·全國(guó)·高二）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若對(duì)任何SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍______.【答案】14,+∞##k|k≥14因?yàn)閷?duì)任何SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以對(duì)任何SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù).SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】恒（能）成立問題求參數(shù)的取值范圍：①參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的最值問題；②不能參變分離，直接對(duì)參數(shù)討論，研究SKIPIF1<0的單調(diào)性及最值；③特別地，個(gè)別情況下SKIPIF1<0恒成立，可轉(zhuǎn)換為SKIPIF1<0（二者在同一處取得最值）.2．（2021·重慶巴蜀中學(xué)高三開學(xué)考試）SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0的取值范圍為___________.【答案】SKIPIF1<0不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0對(duì)于SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0對(duì)于SKIPIF1<0恒成立，可得SKIPIF1<0對(duì)于SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<03．（2021·湖南省邵東市第一中學(xué)高二期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為區(qū)間SKIPIF1<0上的任意實(shí)數(shù)，且對(duì)任意SKIPIF1<0，總有SKIPIF1<0成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的最小值為______________．【答案】3由題得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，原不等式即為SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，依題意，應(yīng)滿足SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立．即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（i）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故此時(shí)SKIPIF1<0（ii）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；故此時(shí)SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，故對(duì)于任意SKIPIF1<0，滿足題設(shè)條件的SKIPIF1<0最小值為3．故答案為：34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線與SKIPIF1<0軸平行，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值；(2)討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；(3)證明：若SKIPIF1<0，則對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案不唯一，具體見解析(3)證明見解析(1)函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)數(shù)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線斜率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增．SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0及SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0單調(diào)遞增．SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0單調(diào)遞增．(3)欲證SKIPIF1<0成立，即證明SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)增加，從而當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0成立．5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(1)若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個(gè)極值點(diǎn)，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)證明：若SKIPIF1<0，則對(duì)于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)證明見解析(1)由題意知，SKIPIF1<0，因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以SKIPIF1<0有兩個(gè)不等的正根，即SKIPIF1<0有兩個(gè)不等的正根，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(2)構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，從而當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，同理可證SKIPIF1<0．綜上，對(duì)于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<06．（2021·山東·高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線與直線SKIPIF1<0平行，求SKIPIF1<0的極小值；（2）若對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（1）極小值為SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線與直線SKIPIF1<0平行，此切線的斜率為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得極小值SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的極小值為SKIPIF1<0；（2）對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立等價(jià)于：對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，設(shè)SKIPIF1<0，則對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，SKIPIF1<0，故實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.高頻考點(diǎn)二：糅合雙參（比值糅合）1．（2022·貴州·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求a的取值范圍.(2)記兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1，x2，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)證明見解析.(1)∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，不合題意，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一個(gè)零點(diǎn)，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一個(gè)零點(diǎn).綜上，函數(shù)SKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn)，SKIPIF1<0.(2)由（1）知SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；（3）利用導(dǎo)數(shù)硏究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)硏究.2．（2022·陜西·二模（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)SKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【答案】(1)單調(diào)遞增(2)證明見解析(1)由題意，函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在（0，1）上單調(diào)遞增．(2)根據(jù)題意，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的兩個(gè)零點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．兩式相減，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)雙變量的處理，通過(guò)對(duì)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0作差，化簡(jiǎn)得到SKIPIF1<0，分別得到SKIPIF1<0后，換元令SKIPIF1<0，這樣就轉(zhuǎn)換為1個(gè)變量，再求導(dǎo)確定單調(diào)性即可求解．3．（2022·寧夏·銀川二中一模（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間(2)證明見解析(1)解：依題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.(2)證明：要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0.依題意，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，不妨令SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，兩式相加可得SKIPIF1<0，兩式相減可得SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，故只需證明SKIPIF1<0，即證明SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，從而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.故原不等式得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）轉(zhuǎn)化為證明SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)SKIPIF1<0；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).4．（2022·黑龍江·鶴崗一中高三期末（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.(1)函數(shù)SKIPIF1<0定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0，綜上可知：①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0(2)依題意，SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所證不等式即SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，從而所證不等式成立.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是換元SKIPIF1<0，結(jié)合已知條件可將雙變量轉(zhuǎn)換為單變量問題求解.5．（2022·山西長(zhǎng)治·高二階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(2)若SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)詳見解析(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即SKIPIF1<0又2個(gè)不同實(shí)數(shù)根SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，要證明SKIPIF1<0，只需證明SKIPIF1<0，即證明SKIPIF1<0，即證明SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令函數(shù)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，以及證明不等式，屬于難題，導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題，往往采用分析法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與不等式的關(guān)系，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可證明.高頻考點(diǎn)三：糅合雙參（差值糅合）1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值屬于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0單增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單減；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單增；又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單減，即SKIPIF1<0故選：C2．（2021·內(nèi)蒙古·赤峰二中高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．其中SKIPIF1<0為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）若SKIPIF1<0，討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）已知SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【答案】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增；（2）證明見解析．解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（i）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減；（ii）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞減，在SKIPIF1<0遞增；綜上，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增；（2）證明：SKIPIF1<0，依題意，不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，兩邊同除以SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．3．（2022·天津?yàn)I海新·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，若函數(shù)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，若函數(shù)SKIPIF1<0恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案見解析；(3)證明見解析.(1)解：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)解：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，該函數(shù)的定義域?yàn)镾KIPIF1<0.SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（i）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0的增區(qū)間為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，減區(qū)間為SKIPIF1<0；（ii）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，對(duì)任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不恒為零，此時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；（iii）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0的增區(qū)間為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，減區(qū)間為SKIPIF1<0.綜上所述當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0的增區(qū)間為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，減區(qū)間為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0的增區(qū)間為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，減區(qū)間為SKIPIF1<0.(3)證明：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.下面證明不等式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0對(duì)任意的SKIPIF1<0恒成立，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0對(duì)任意的SKIPIF1<0恒成立，故函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，兩式作差可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故原不等式得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）轉(zhuǎn)化為證明SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)SKIPIF1<0；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).高頻考點(diǎn)四：變更主元法在處理導(dǎo)數(shù)試題的過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到涉及兩個(gè)變量的不等式問題，比如一個(gè)變量為SKIPIF1<0，另個(gè)一變量（也可以是參數(shù)）為SKIPIF1<0.在這種情況下，我們潛意識(shí)里總會(huì)把函數(shù)看作是關(guān)于變量SKIPIF1<0的函數(shù)，希望通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究SKIPIF1<0的性質(zhì)，從而得出結(jié)論.如果說(shuō)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0具有一定的關(guān)聯(lián)，這種思維定勢(shì)會(huì)為我們的解決問題帶來(lái)方便.但在絕大多數(shù)情況下，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是沒有關(guān)聯(lián)的，這個(gè)時(shí)候這種思維定勢(shì)就會(huì)給我們的解題帶來(lái)障礙.此時(shí)，我們不妨轉(zhuǎn)換一下視角，將字母SKIPIF1<0作為主要未知數(shù)，然后來(lái)解決問題.這種選擇主要未知數(shù)（簡(jiǎn)稱主元）的方法，我們稱之為變更主元法.1．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】SKIPIF1<0．解：由題意不等式SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，可設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的一次函數(shù)，要使題意成立只需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以原不等式的解集為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的解析式：（2）若對(duì)任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.（1）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)楫?dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<03．（2022·廣東·高州市長(zhǎng)坡中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的極值；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0恰有三個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(3)已知不等式SKIPIF1<0對(duì)任意SKIPIF1<0都成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0的極大值為SKIPIF1<0，極小值為SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镽，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極大值，在SKIPIF1<0處取得極小值，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的極大值為SKIPIF1<0，極小值為SKIPIF1<0；(2)因?yàn)楫?dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，由（1）可知，要想函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0恰有三個(gè)交點(diǎn)，則要滿足SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0(3)即SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0對(duì)任意SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由基本不等式得：SKIPIF1<0，當(dāng)且