第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年遼寧省沈陽120中高三（上）第四次質檢數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.集合P={x|x∈R,|x?1|<1}，Q={x|x∈R,|x?a|≤1}，且P∩Q=?，則實數(shù)a取值范圍為(

)A.a≥3 B.a≤?1． C.a≤?1或

a≥3 D.?1≤a≤32.已知命題p：?x∈R，ln(2x+1)>0，命題q：?x>1，sinA.p和q都是真命題 B.￢p和q都是真命題

C.p和￢q都是真命題 D.￢p和￢q都是真命題3.已知a，b為單位向量，若|a?b|=|aA.1±3 B.1+3 C.4.在等比數(shù)列{an}中，記其前n項和為Sn，已知a3=?A.2 B.17 C.2或8 D.2或175.已知直線l1：ax+(a+2)y+2=0與l2：x+ay+1=0平行，則實數(shù)a的值為(

)A.?1或2 B.0或2 C.2 D.?16.設函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)lnx，若f(x)≥0，則a的最小值為A.?2 B.?1 C.2 D.17.如圖，將繪有函數(shù)f(x)=Msin(π3x+φ)(M>0,0<φ<π)部分圖象的紙片沿x軸折成直二面角，夾角為2π3，此時A，B之間的距離為15A.π6 B.π3 C.2π38.已知函數(shù)f(x)=lnx+sinx，g(x)=ax2+sinx，若函數(shù)f(x)圖象上存在點M且g(x)圖象上存在點N，使得點M和點N關于坐標原點對稱，則a的取值范圍是A.[?12e,+∞) B.(?∞,?12e]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下面是關于復數(shù)z=2?1?i2023(i為虛數(shù)單位A.z的虛部為?i

B.z在復平面內對應的點在第二象限

C.z的共軛復數(shù)為?1+i

D.若|z0?z|=1，則10.電子通訊和互聯(lián)網中，信號的傳輸、處理和傅里葉變換有關.傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)(正弦和或余弦函數(shù))的線性組合.例如函數(shù)f(x)=sinx1+sin3xA.f(x)為周期函數(shù)，且最小正周期為π B.f(x)為奇函數(shù)

C.y=f(x)的圖象關于直線x=π2對稱 D.f(x)的導函數(shù)f′(x)11.在四面體ABCD中，AB=CD=1，AC=AD=BC=BD=2，E，F(xiàn)，G分別是棱BC，AC，AD上的動點，且滿足AB，CD均與面EFG平行，則(

)A.直線AB與平面ACD所成的角的余弦值為1515

B.四面體ABCD被平面EFG所截得的截面周長為定值1

C.三角形EFG的面積的最大值為19

D.四面體三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若α∈(?π2,0)，且cos2α=cos(α+π13.已知A(3,1)，B(?1,2)，若∠ACB的平分線方程為y=x+1，則AC所在的直線方程為______．14.已知函數(shù)f(x)=|ax?1|,x≤1(a?3)(x?1),x>1(a>0，且a≠1).若關于x的方程f(x)=a?3恰有三個不相等的實數(shù)根x1，x2，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a2=3b2+c2，且sinC=2sinB．

(1)求角A的大??；

(2)若b+c=6，點D在邊BC上，且16.(本小題15分)

已知函數(shù)F(x)=ex?1+13x，G(x)=?x+msinx(m≠0)．

(1)求函數(shù)F(x)圖象在x=1處的切線方程．

(2)若對于函數(shù)F(x)圖象上任意一點處的切線l1，在函數(shù)G(x)圖象上總存在一點處的切線17.(本小題15分)

已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和Sn=an(an+1)2，n∈N?．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；18.(本小題17分)

等邊三角形ABC的邊長為3，O，P分別是邊AB和AC上的點，且AP=2AO=2，如圖1.將△AOP沿OP折起到△A1OP的位置，連結A1B，A1C.點Q滿足A1Q=2QC，且點Q到平面BCPO的距離為13，如圖2．

(1)求證：PQ/?/平面A1BO；

(2)19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ex?ax?cosx，且f(x)在[0,+∞)上的最小值為0．

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)設函數(shù)y=φ(x)在區(qū)間D上的導函數(shù)為y=φ′(x)，若x?φ′(x)?(x)>1對任意實數(shù)x∈D恒成立，則稱函數(shù)y=φ(x)在區(qū)間D上具有性質S．

①求證：函數(shù)f(x)在(0,+∞)上具有性質S；

②記ni=1p(i)=p(1)p(2)…p(n)，其中參考答案1.C

2.C

3.C

4.D

5.D

6.B

7.C

8.A

9.CD

10.BCD

11.AD

12.?π13.x?2y?1=0

14.(3,4)

(?∞,2)

15.解：(1)由正弦定理及sinC=2sinB，得c=2b，

因為a2=3b2+c2，所以a2=3b2+(2b)2=7b2，即a=7b，

由余弦定理得，cosA=b2+c2?a22bc=b2+4b2?7b22b×2b=?12，

因為A∈(0,π)，

所以A=2π3．16.解：(1)F(1)=1+13=43，F(xiàn)′(x)=ex?1+13，F(xiàn)′(1)=1+13=43，

所以函數(shù)F(x)圖象在x=1處的切線方程為y?43=43(x?1)，即y=43x；

(2)由(1)可得，F(xiàn)′(x)=ex?1+13>13，

若對于函數(shù)F(x)圖象上任意一點處的切線l1，在函數(shù)G(x)圖象上總存在一點處的切線l2，使得l1⊥l2，

即對任意的kl1=F′(x)>13，總存在kl2=G′(x0)使得17.解：(1)由Sn=an(an+1)2知，

當n=1時，a1=S1，S1=a1(a1+1)2，即a1(a1?1)=0，

數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以a1=1；

當n≥2時，an=Sn?Sn?1=an(an+1)2?an?1(an?1+1)2，

整理得(an+an?1)(an?an?1?1)=0，

因為an18.解：(1)證明：∵A1Q=2QC，點Q到平面BCPO的距離為13，

∴點A1到平面BCPO的距離為1，

∵AP=2AO=2，∠A=60°，

∴AO=A1O=1，∠AOP=90°，

則A1O⊥平面BCPO，OP⊥AB，以O為原點建立如圖所示的空間直角坐標系O?xyz，

則A1(0,0,1)，B(2,0,0)，P(0,3,0)，C(12,332,0)，Q(13,3,13)，所以PQ=(13,0,13)，

又平面A1BO的法向量n=(0,1,0)，所以PQ?n=0，

因為直線PQ?平面A1BO，

所以PQ/?/平面A1BO．

(2)平面A1OP的一個法向量為n1=(1,0,0)，設平面19.解：(1)f(x)=ex?ax?cosx，x≥0，

則f(0)=e0?a×0?cos0=0，f′(x)=ex?a+sinx，f′(0)=e0?a+sin0=1?a，

所以f″(x)=ex+cosx≥1+cosx≥0，等號不同時取，

所以當x≥0時，f″(x)>0，f′(x)在[0,+∞)上單調遞增，f′(x)≥f′(0)=1?a，

(i)若1?a≥0，即a≤1，f′(x)>1?a≥0，f(x)在[0,+∞)上單調遞增，

所以f(x)在[0,+∞)上的最小值為f(0)=0，符合題意；

(ii)若1?a<0，即a>1，此時f′(0)=1?a<0，f′[ln(a+2)]=2+sin[ln(a+2)]>2?1>0，

又函數(shù)f′(x)在[0,+∞)的圖象不間斷，

據(jù)零點存在性定理可知，存在x0∈(0,ln(a+2))，使得f′(x)=0，

且當x∈(0,x0)時，f′(x)<0，f(x)在(0,x0)上單調遞減，

所以f(x0)<f(0)=0，與題意矛盾，舍去，

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(?∞,1]；

(2)證明：①由(1)可知，當x>0時，f(x)>0，

要證：函數(shù)f(x)在(0,+∞)上具有性質S，即證：當x>0時，x?f′(x)f(x)>1，

即證：當x>0時，x?f′(x)?f(x)>0，

令g(x)=x?f′(x)?f(x)，x>0，

則g(x)=x?(ex?a+sinx)?(ex?ax?cosx)，即g(x)=(x?1)ex+xsinx+cosx，x>0，

則g′(x)=x(ex+cosx)>0，

所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增，g(x)>g(0)=0，

即當x>0時，x?f′(x)?f(x)>0，得證；

②由①得，當x>0時