人教B版

數(shù)學(xué)

必修第三冊(cè)第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.2.3倍角公式課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解二倍角公式的推導(dǎo)過程,知道倍角公式與和角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并能運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換.3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)倍角公式1.用α的三角函數(shù)如何表示sin2α,cos2α,tan2α?提示:將2α看作α+α,利用兩角和的三角公式展開整理即可.如cos

2α=cos(α+α)=cos

αcos

α-sin

αsin

α=cos2α-sin2α.2.(1)倍角公式:記法公式S2αsin2α=2sinαcosαC2αcos2α=cos2α-sin2αT2αtan2α=(2)公式變形:①3.(1)sin15°cos15°=

;

(2)1-2sin215°=

;

【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角.(

)(2)存在角α,使得sin2α=2sinα成立.(

)(3)不存在角α,使cos2α=2cosα.(

)×√×合作探究釋疑解惑探究一給角求值【例1】

求下列各式的值.分析:(1)逆用二倍角的正切公式求解.(2)先將sin

10°·sin

30°sin

50°sin

70°變換為

,再將分子、分母都乘cos

10°,反復(fù)逆用二倍角的正弦公式即可得解.(3)先切化弦,再綜合應(yīng)用和角、差角公式及二倍角公式求解.化簡(jiǎn):cosαcos2αcos4α·…·cos2n-1α.所給角為非特殊角時(shí),要仔細(xì)觀察這些角之間的關(guān)系,特別注意角的和、差、倍關(guān)系.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式與誘導(dǎo)公式進(jìn)行函數(shù)間的轉(zhuǎn)化是常用方法.【變式訓(xùn)練1】

化簡(jiǎn)求值.探究二給值求值給值求值問題,注意尋找已知式與未知式的關(guān)系,一般有以下兩種解題方向:(1)將已知式或未知式化簡(jiǎn),使關(guān)系明朗化.(2)尋找角之間的關(guān)系,看是否符合相關(guān)公式的使用,注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系.探究三化簡(jiǎn)問題分析:(1)通分后逆用公式化簡(jiǎn);(2)先切化弦,注意角的關(guān)系.1.化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的常用方法:(1)切化弦;(2)異名化同名;(3)異角化同角;(4)高次降低次.2.化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的常用技巧:(1)特殊角的三角函數(shù)與特殊值的互化;(2)對(duì)于分式形式,應(yīng)分別對(duì)分子、分母進(jìn)行變形處理,有公因式的提取公因式后進(jìn)行約分;(3)對(duì)于二次根式,注意倍角公式的逆用;(4)利用角與角之間的隱含關(guān)系,如互余、互補(bǔ)等;(5)利用“1”的恒等變形,如tan

45°=1,sin2α+cos2α=1等.【變式訓(xùn)練3】

化簡(jiǎn)下列各式:答案:(1)sinα-cosα

(2)0規(guī)范解答三角函數(shù)綜合問題的求解審題策略:先化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式,再根據(jù)x的范圍求最值及單調(diào)遞減區(qū)間.答題模板:第1步,化簡(jiǎn)f(x)的解析式為f(x)=Asin(ωx+φ)+B型.第2步,求ωx+φ的范圍.第3步,根據(jù)y=sinx的性質(zhì)求f(x)的最值及單調(diào)區(qū)間.第4步,得到結(jié)論.1.化簡(jiǎn)f(x)錯(cuò)誤,導(dǎo)致整個(gè)解題過程錯(cuò)誤.2.忽視x的范圍對(duì)f(x)最值及單調(diào)區(qū)間的制約.3.計(jì)算錯(cuò)誤.4.未用區(qū)間表示單調(diào)遞減區(qū)間.【變式訓(xùn)練】

求函數(shù)y=sin4x+2sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值