PAGE1-3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算[目標(biāo)]1.駕馭空間向量夾角的概念及表示方法，駕馭兩個(gè)向量的數(shù)量積概念、性質(zhì)和計(jì)算方法及運(yùn)算規(guī)律.2.駕馭兩個(gè)向量的數(shù)量積的主要用途，會(huì)用它解決立體幾何中一些簡(jiǎn)潔的問(wèn)題．[重點(diǎn)]空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．[難點(diǎn)]利用空間向量解決夾角、距離等問(wèn)題．學(xué)問(wèn)點(diǎn)一空間向量的夾角[填一填]1．定義：(1)條件：a，b是空間的兩個(gè)非零向量．(2)作法：在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b.(3)結(jié)論：∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作a，b．2．范圍：a，b∈[0，π]，其中，(1)當(dāng)a，b＝0時(shí)，a與b的方向相同．(2)當(dāng)a，b＝π時(shí)，a與b的方向相反．(3)當(dāng)a，b＝eq\f(π,2)時(shí)，a與b相互垂直，記作a⊥b.[答一答]1．若a，b是空間的兩個(gè)非零向量，則－a，b＝a，－b＝a，b，對(duì)嗎？提示：不對(duì)．∵－a與a，－b與b分別是互為相反向量，∴－a，b＝a，－b＝π－a，b．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積[填一填]1．空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cosa，b叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cosa，b．(2)運(yùn)算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③安排律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)[答一答]2．類比平面對(duì)量，你能說(shuō)出a·b的幾何意義嗎？提示：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|·cosθ的乘積．3．對(duì)于向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c嗎？提示：不能，若a，b，c是非零向量，則a·b＝a·c得到a·(b－c)＝0，即可能有a⊥(b－c)成立．4．對(duì)于向量a，b，若a·b＝k，能不能寫(xiě)成a＝eq\f(k,b)？提示：不能，向量沒(méi)有除法，eq\f(k,b)無(wú)意義．5．為什么(a·b)c＝a(b·c)不肯定成立？提示：由定義得(a·b)c＝(|a||b|cosa，b)c，即(a·b)c＝λ1c；a(b·c)＝a(|b||c|cosb，c)，即a(b·c)＝λ2a，因此，(a·b)c表示一個(gè)與c共線的向量，而a(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而a與c不肯定共線，所以(a·b)c＝a(b·c)不肯定成立．1.求兩向量的數(shù)量積時(shí)，關(guān)鍵是搞清晰兩個(gè)向量間的夾角，在求兩個(gè)向量間的夾角時(shí)，可用平移向量的方法，把一個(gè)向量平移到另一個(gè)向量的起點(diǎn)．2.利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問(wèn)題，其基本思路是將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|＝eq\r(a·a)求解即可．3.利用空間向量的數(shù)量積解決幾何中的夾角垂直關(guān)系，其思路是將直線的方向向量用已知向量表示，然后進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算．類型一空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【例1】如下圖所示，已知正三棱錐A-BCD的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)都是a，點(diǎn)E、F、G分別是AB、AD、DC的中點(diǎn)．求下列向量的數(shù)量積．(1)eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))；(2)eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))；(3)eq\o(GF,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))；(4)eq\o(EF,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→)).【解】(1)由題知|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝a，且〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝60°，∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝a·a·cos60°＝eq\f(1,2)a2.(2)|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝a，|eq\o(BD,\s\up16(→))|＝a，且〈eq\o(AD,\s\up16(→))，eq\o(BD,\s\up16(→))〉＝60°.∴eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝a·a·cos60°＝eq\f(1,2)a2.(3)|eq\o(GF,\s\up16(→))|＝eq\f(1,2)a，|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝a，又eq\o(GF,\s\up16(→))∥eq\o(AC,\s\up16(→))，∴〈eq\o(GF,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝180°.∴eq\o(GF,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a·a·cos180°＝－eq\f(1,2)a2.(4)|eq\o(EF,\s\up16(→))|＝eq\f(1,2)a，|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝a，又eq\o(EF,\s\up16(→))∥eq\o(BD,\s\up16(→))，∴〈eq\o(EF,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))〉＝〈eq\o(BD,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))〉＝60°.∴eq\o(EF,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a·a·cos60°＝eq\f(1,4)a2.在幾何體中求空間向量的數(shù)量積，首先要充分利用向量所在的圖形，將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；其次利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積綻開(kāi)，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積；最終利用數(shù)量積的定義求解即可.留意挖掘幾何體中的垂直關(guān)系或者特別角.已知正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1.求：(1)eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))；(2)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)))·(eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→)))．解：如圖所示，(1)eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝|eq\o(OA,\s\up16(→))||eq\o(OB,\s\up16(→))|cos∠AOB＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)；(2)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)))·(eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→)))＝(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)))·(eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→)))＝(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)))·(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))－2eq\o(OC,\s\up16(→)))＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.類型二利用數(shù)量積求夾角【例2】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(2)，求異面直線BA1與AC所成角的余弦值．【分析】求異面直線BA1與AC所成的角，可轉(zhuǎn)化為求向量eq\o(BA1,\s\up16(→))與eq\o(AC,\s\up16(→))所成的角，因此可先求eq\o(BA1,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))，再求|eq\o(BA1,\s\up16(→))|，|eq\o(AC,\s\up16(→))|，最終套用夾角公式求得，但要留意兩直線夾角與兩向量夾角的區(qū)分．【解】因?yàn)閑q\o(BA1,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(AA1,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(BB1,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(BA,\s\up16(→))，且eq\o(BA,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(BB1,\s\up16(→))·eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\o(BB1,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0，所以eq\o(BA1,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝(eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(BB1,\s\up16(→)))·(eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(BA,\s\up16(→)))＝eq\o(BA,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\a\vs4\al(\o(BA,\s\up16(→)))2＋eq\o(BB1,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(BB1,\s\up16(→))·eq\o(BA,\s\up16(→))＝－1.又|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(BA1,\s\up16(→))|＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3).所以cos〈eq\o(BA1,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up16(→))·\o(AC,\s\up16(→)),|\o(BA1,\s\up16(→))||\o(AC,\s\up16(→))|)＝eq\f(－1,\r(6))＝－eq\f(\r(6),6).則異面直線BA1與AC所成角的余弦值為eq\f(\r(6),6).如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求異面直線A1B與AC所成的角．解：不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，設(shè)eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up16(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，eq\o(A1B,\s\up16(→))＝a－c，eq\o(AC,\s\up16(→))＝a＋b.∴eq\o(A1B,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1.而|eq\o(A1B,\s\up16(→))|＝|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝eq\r(2)，∴cos〈eq\o(A1B,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，∴〈eq\o(A1B,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝60°.∴異面直線A1B與AC所成的角為60°.類型三利用數(shù)量積求距離【例3】在正四面體ABCD中，棱長(zhǎng)為a.M，N分別是棱AB，CD上的點(diǎn)，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝eq\f(1,2)|ND|，求|MN|.【分析】轉(zhuǎn)化為求向量eq\o(MN,\s\up16(→))的模，然后將向量eq\o(MN,\s\up16(→))分解，再依據(jù)數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解．【解】因?yàn)閑q\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CN,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up16(→))，所以eq\o(MN,\s\up16(→))·eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(AD,\s\up16(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up16(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(AD,\s\up16(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up16(→))))＝eq\f(1,9)eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up16(→)))2－eq\f(2,9)eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(4,9)eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,9)eq\a\vs4\al(\o(AD,\s\up16(→)))2＋eq\f(4,9)eq\a\vs4\al(\o(AC,\s\up16(→)))2＝eq\f(1,9)a2－eq\f(1,9)a2－eq\f(2,9)a2＋eq\f(2,9)a2＋eq\f(1,9)a2＋eq\f(4,9)a2＝eq\f(5,9)a2.所以|MN|＝eq\f(\r(5),3)a.求兩點(diǎn)間的距離或某條線段的長(zhǎng)度的方法：先將此線段用向量表示，然后用其他已知夾角和模的向量表示此向量，最終利用|a|2＝a·a，通過(guò)向量運(yùn)算去求|a|，即得所求距離.如下圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對(duì)角線AC折起，使直線AB與CD成60°角，求B，D間的距離．解：∵∠ACD＝90°，∴eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＝0，同理eq\o(BA,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝0.∵AB與CD成60°角，∴〈eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))〉＝60°或120°.∵eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))，∴eq\a\vs4\al(\o(BD,\s\up16(→)))2＝eq\a\vs4\al(\o(BA,\s\up16(→)))2＋eq\a\vs4\al(\o(AC,\s\up16(→)))2＋eq\a\vs4\al(\o(CD,\s\up16(→)))2＋2eq\o(BA,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＋2eq\o(BA,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＋2eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\a\vs4\al(\o(BA,\s\up16(→)))2＋eq\a\vs4\al(\o(AC,\s\up16(→)))2＋eq\a\vs4\al(\o(CD,\s\up16(→)))2＋2eq\o(BA,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＝3＋2·1·1·cos〈eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))〉＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4〈\o(BA,\s\up16(→))，\o(CD,\s\up16(→))〉＝60°，,2〈\o(BA,\s\up16(→))，\o(CD,\s\up16(→))〉＝120°.))∴|eq\o(BD,\s\up16(→))|＝2或eq\r(2)，即B，D間的距離為2或eq\r(2).類型四利用數(shù)量積證明垂直問(wèn)題【例4】如下圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為DD1的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心．求證：B1O⊥平面PAC.【分析】本題考查利用a⊥b?a·b＝0求證線面垂直，關(guān)鍵是在平面PAC中找出兩相交向量與向量eq\o(B1O,\s\up16(→))垂直．【證明】不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up16(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝a·c＝0.由題圖得：eq\o(PA,\s\up16(→))＝eq\o(PD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))＝－b－eq\f(1,2)c，eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\o(PD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝a－eq\f(1,2)c，eq\o(B1O,\s\up16(→))＝eq\o(B1B,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＝－c＋eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c.∵eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(B1O,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－b－\f(1,2)c))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋\f(1,2)b－c))＝eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)b2＋b·c＋eq\f(1,4)a·c－eq\f(1,4)b·c＋eq\f(1,2)c2，eq\o(PC,\s\up16(→))·eq\o(B1O,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)c))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋\f(1,2)b－c))＝－eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a·b－a·c＋eq\f(1,4)a·c－eq\f(1,4)b·c＋eq\f(1,2)c2，又∵|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝a·c＝b·c＝0，∴eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(B1O,\s\up16(→))＝0，eq\o(PC,\s\up16(→))·eq\o(B1O,\s\up16(→))＝0.∴eq\o(PA,\s\up16(→))⊥eq\o(B1O,\s\up16(→))，eq\o(PC,\s\up16(→))⊥eq\o(B1O,\s\up16(→)).∴PA⊥B1O，PC⊥B1O.又∵PA∩PC＝P，∴B1O⊥平面PAC.用向量法證明線面垂直，離不開(kāi)線面垂直的判定定理，需將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直，然后利用向量法證明線線垂直即可.已知空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求證：AD⊥BC.證明：如圖．方法一：∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＝0，eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝0.eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→)))·(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up16(→)))2－eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up16(→)))2－eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(BD,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＝0.∴eq\o(AD,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，從而AD⊥BC.方法二：設(shè)eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，eq\o(AD,\s\up16(→))＝c，∵AB⊥CD，∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＝0，即eq\o(AB,\s\up16(→))·(eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→)))＝0，a·(c－b)＝0，即a·c＝b·a.∵AC⊥BD，∴eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝0，即eq\o(AC,\s\up16(→))·(eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝0，b·(c－a)＝0，即b·c＝b·a.∴a·c＝b·c，c·(b－a)＝0，即eq\o(AD,\s\up16(→))·(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝0，eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0.∴eq\o(AD,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，從而AD⊥BC.1．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，對(duì)角線AC1和BD1相交于點(diǎn)O，則有(C)A.eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(A1C1,\s\up16(→))＝2a2B.eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC1,\s\up16(→))＝eq\r(2)a2C.eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a2D.eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(DA1,\s\up16(→))＝a2解析：∵eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\f(1,2)eq\o(AC1,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))·(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA1,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)(eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up16(→)))2＋eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\u