高中數學（人教A2019）選擇性必修第一冊1.2空間向量的基本定理一、教學內容1.了解空間向量基本定理及其意義；2.用空間向量的基本定理解決立體幾何中的有關問題。二、教學目標1、了解空間向量基本定理及其意義.2、會用基底表示空間向量3、掌握空間向量的正交分解．4、掌握用基向量解決立體幾何中簡單問題的通法三、教學重點與難點教學重點：掌握空間向量基本定理教學難點：用空間向量基本定理解決有關問題.四、教學過程設計（一）知識回顧apb我們知道，平面內的任意一個向量p都可以用兩個不共線的向量apbp=p=xa+yb其中，（x,y）為唯一的實數對，{a,b}為平面內的一個基底（二）新課講授kOPkOP圖1.2-1Qpji類似的，任意一個空間向量能否用任意三個不共面的向量a,b,c來表示呢？我們先從空間中三個不共面的向量兩兩垂直這一特殊情況開始討論。如圖1.2-1，設i，j，k是空間中三個兩兩垂直的向量，且表示它們的有向線段有公共起點O。對于任意一個空間向量p=OP,設OQ為OPOP=OQ+QP，又向量QP，k共線，因此存在唯一的實數z,使得QP=z定理如果三個向量a,b,c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組（x,y,z）,使得p而在i,j所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序數對（x,y）使得OQ=xi+從而OP=OQ思考：ADCBA1B1ADCBA1B1C1D1abcpabcα能得出類似的結論嗎？提示：能。如圖，平移向量a,b,c，p使它們共起點，在向量a,b,c方向上作平行六面體，以p為體對角線，通過空間向量的線性運算可得p探究基底、基向量、正交基底概念探究2你能證明有序數組(x,y,z)的唯一性嗎？提示：假設除(x,y,z)外，還存在另一組實數（x′,使得p=x′x′不妨設x≠x′，得a=由平面向量基本定理知，向量a,b,c共面，這與已知矛盾，故（x,y,z）是唯一的．間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組（x,y,z）,使得p（1）如果三個向量a,b,c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是{pp=xa+yb+zc，x,y,z∈R}.這個集合可看作由向量a,b,c生成的，我們把{a,b,c}叫做空間的一個基底(base)，a特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i,探究3空間中怎樣的向量能構成基底？提示：空間任意三個“不共面”的向量都可以作為空間向量的一個基底．探究4基底與基向量的概念有什么不同？提示：基底是指一個向量組，基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關聯(lián)的不同概念．探究5零向量可作為基向量嗎？提示：不可以，因為零向量與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以零探究6空間的基底唯一嗎？提示：不唯一，只要是三個向量不共面，這三個向量就可以組成空間的一個基底，因此空間探究7類比平面向量基本定理，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直,那么這個基底叫什么？提示：叫做正交基底.探究8如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫什么？提示：叫做單位正交基底，常用{i,j,k}表示．且由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可分解為三個向量x向量基本定理的應用PACBONM圖1.2-2例1如圖1.2-2，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且PACBONM圖1.2-2分析：OA，OB，OC是三個不共面的向量，它們構成空間的一個基底{OA，OB解：OP本題小結：結合向量的線性運算法則，空間中任意向量可以被同一個基底所表示！小結1.由空間向量基本定理可知，如果把三個不共面的向量作為空間的一個基底，那么所有空間向量都可以用三個向量表示出來。進一步地，所有空間向量的運算都可以轉化為基向量間的運算。2.由空間向量基本定理可知，如果把三個不共面的向量作為空間的一個基底，那么所有空間向量都可以用三個向量表示出來。進一步地，所有空間向量的運算都可以轉化為基向量間的運算。例2如圖1.2-3，在平行六面體ABCD?A1B∠DAB=60°，∠BAA1=60°，∠DAA1=60°，ABCDABCDMNB1A1C1D1圖1.2-3分析：要證MN⊥AC1，一個基底，把MN和AC1分別用基底表示，然后計算證明：設AB=a，AD=b，AA1=c,這三個向量不共面，{a,b,c}構成空間的一個基底，我們用它們表示MNA所以MN?AC1==1=1?所以MN⊥AC題小結：用基向量解決立體幾何垂直問題：1.定基底2.用基底表示所給的向量3.用a·b＝0?a⊥bCABDEFG圖1.2-4例3CABDEFG圖1.2-4（1）求證：EF//AC;(2)求CE與AG所成角的余弦值。分析：（1）要證EF//AC，只需證EF與AC共線。設DA=i，DC=j，DD′=k,則{i，j，k}空間的一個單位正交基底，把EF和（1）證明：設DA=i，DC=j，DD′EF=D′F?D′E=1所以EFCA所以EF//AC小結：用基向量解決立體幾何平行問題：1.定基底2.用基底表示所給的向量3.用a＝λb?a//b，（2）解：因為CE=CC′+C′E=?12j所以所以CE與AG所成角的余弦值為2本題小結：用基向量解決立體幾何夾角問題1.定基底2.用基底表示所給的向量3.用向量夾角公式求值（角度）（四）課堂小結：（通過思維導圖歸納小結）1.用平面向量基本定理類比空間向量基本定理（基底、正交基底、正交分解）1.用平面向量基本定理類比空間向量基本定理（基底、正交基底、正交分解）2.用基向量解決立體幾何中的線線平行，垂直，角的簡單問題的通法2.用基向量解決立體幾何中的線線平行，垂直，角的簡單問題的通法立體幾何立體幾何定相同的基底向量向量的解立體幾何的解用|a|＝a?用a＝λb?a//用a·b＝0?a⊥b，用cosθ=五、課后作業(yè)1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若{a，b，c(2)若三個非零向量a，b，c不能構成空間的一個基底，則(3)若a，b是兩個不共線的向量，且c＝λ答案(1)√(2)√(3)×解(1)√{a，b，c}為空間一個基底，則(2)√由共面定理知(2)正確．(3)×由c＝2.已知四面體ABCD，＝，＝，＝，點M在棱DA上，＝3，N為BC中點，則＝（）A． B．C． D．解：連接DN，如圖所示，四面體ABCD中，＝，＝，＝，點M在棱DA上，且＝3，∴，又N為BC中點，∴；∴．故選C.3.如圖，在長方體中，是線段上一點，且，若，則（）A． B． C． D．1【答案】A【解析】，，，.故選A.4.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，，，，分別為，上的點，且，，（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】∵，，∴，