專題19二次函數(shù)的性質與圖象判斷問題知識對接考點一、二次函數(shù)的概念及表達式考點二、二次函數(shù)的性質與圖象拋物線與系數(shù)a,b,c的關系專項訓練一、單選題1．拋物線y＝（x﹣5）2的頂點坐標是（）A．（0，﹣5） B．（﹣5，0） C．（0，5） D．（5，0）2．對于二次函數(shù)y＝2（x＋3）2的圖象，下列說法不正確的是（）A．開口向上 B．對稱軸是直線x＝﹣3C．當x＜﹣3時，y隨x的增大而增大 D．與x軸僅有一個交點3．如圖1，在平行四邊形中，，；動點P以每秒1個單位的速度從點A出發(fā)沿線段運動到點B，同時動點Q以每秒4個單位的速度從點B出發(fā)，沿折線運動到點D．圖2是點P、Q運動時，的面積S隨運動時間t變化關系的圖象，則a的值是（）A． B． C． D．4．已知二次函數(shù)（h為常數(shù)），當自變量x的值滿足1≤x≤3時，其對應的函數(shù)值y的最小值為1，則h的值為（）A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或35．二次函數(shù)圖象的頂點坐標是（）A． B． C． D．6．下列事件中，屬于不可能事件的是（）A．拋物線y＝ax2的開口向上B．拋物線y＝（x﹣2）2+1中y有最小值2C．相似三角形的面積比等于相似比的平方D．三邊對應成比例的兩個三角形全等7．下列函數(shù)中，隨的增大而增大的函數(shù)有（）A． B． C． D．8．拋物線y=(x-2)2+1的對稱軸是（）A．x=2 B．x=-2 C．x=1 D．x=-19．關于二次函數(shù)圖象，下列敘述正確的有（）①它的圖象是拋物線；②它的圖象有最低點；③它的圖象經過；④它的圖象開口向上．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個10．如圖，拋物線G：（常數(shù)a為正數(shù)）．下列關于G的四個命題：①G的最低點坐標為；②b是任意實數(shù)，x=2+b時的函數(shù)值大于x=2－b時的函數(shù)值；③當a=1時，G經過點（1，－1）；④當G經過原點時，G與x軸圍成的封閉區(qū)域（邊界除外）內的整點（橫、縱坐標都是整數(shù)）的個數(shù)為1．其中正確的是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④二、填空題11．已知點A（﹣2，y1），B（5，y2）為函數(shù)y＝x2＋a圖象上的兩點，比較：y1_____y2．12．二次函數(shù)的最小值是__．13．當a＞0時，拋物線的開口______，對稱軸是______，頂點坐標是______，當x＝0時，y有最____值為k，當x＜0時，y隨x的增大而___；當x＞0時，y隨x的增大而______．當a＜0時，拋物線的開口______，對稱軸是______，頂點坐標是______，當x＝0時，y有最____值為k，當x＜0時，y隨x的增大而_____；當x＞0時，y隨x的增大而_____．14．已知二次函數(shù)（m為常數(shù)），如果當自變量x分別取，，1時，所對應的y值只有一個小于0，那么m的取值范圍是________．15．如圖1，E是等邊的邊BC上一點（不與點B，C重合），連接AE，以AE為邊向右作等邊，連接已知的面積（S）與BE的長（x）之間的函數(shù)關系如圖2所示（為拋物線的頂點）．（1）當?shù)拿娣e最大時，的大小為______．（2）等邊的邊長為______．三、解答題16．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣bx+3（a≠0）的圖象過點A(2，3)，交y軸于點B．（1）求點B的坐標及二次函數(shù)圖象的對稱軸；（2）若拋物線最高點的縱坐標為4，求二次函數(shù)的表達式；（3）已知點(m，y1)，(n，y2)在函數(shù)圖象上且0＜m＜n＜1，試比較y1和y2的大小．17．二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，最小值為，且函數(shù)的圖象與拋物線的形狀相同、方向相反．（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）如果函數(shù)圖象與x軸交于A，B（A在B的左邊）兩點，交y軸于C點，你能求出的面積嗎？（3）利用二次函數(shù)的圖象，寫出x為何值時，．18．已知二次函數(shù)，其中．（1）當時，求二次函數(shù)頂點坐標；（2）當時，記二次函數(shù)的最小值為，求證：；（3）當時，且滿足時，函數(shù)有最大值為3，求的值．19．已知二次函數(shù)的頂點坐標為，且經過點．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）判斷點是否在該函數(shù)圖象上，并說明理由．20．如圖，拋物線L：yx2x﹣3與x軸正半軸交于點A，與y軸交于點B．（1）求直線AB的解析式及拋物線頂點坐標；（2）如圖1，點P為第四象限且在對稱軸右側拋物線上一動點，過點P作PC⊥x軸，垂足為C，PC交AB于點D，求PD的最大值，并求出此時點P的坐標；21．定義：關于x軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對稱拋物線”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同軸對稱拋物線”為y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）請寫出拋物線y1＝（x﹣1）2﹣2的頂點坐標；及其“同軸對稱拋物線”y2＝﹣（x﹣1）2+2的頂點坐標；（2）求拋物線y＝﹣2x2+4x+3的“同軸對稱拋物線”的解析式．（3）如圖，在平面直角坐標系中，點B是拋物線L：y＝ax2﹣4ax+1上一點，點B的橫坐標為1，過點B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對稱拋物線”于點C，分別作點B、C關于拋物線對稱軸對稱的點、，連接BC、、、．①當四邊形為正方形時，求a的值．②當拋物線L與其“同軸對稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內（不包括邊界）共有11個橫、縱坐標均為整數(shù)的點時，直接寫出a的取值范圍．22．正在建設的北京環(huán)球影城主題樂園是世界第五個環(huán)球影城樂園中既有功夫熊貓、小黃人樂園等小朋友喜歡的景區(qū)，又有過山車等深受年輕游客喜愛的游樂設施．過山車雖然驚悚恐怖，但是安全保障措施非常到位．如圖所示，為過山車的一部分軌道，它可以看成一段拋物線．其中米，米（軌道厚度忽略不計）．（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）在軌道距離地面5米處有兩個位置和，當過山車運動到處時，平行于地面向前運動了米至點，又進入下坡段（接口處軌道忽略不計）．已知軌道拋物線的形狀與拋物線完全相同，在到的運動過程中，當過山車距地面4米時，它離出發(fā)點的水平距離最遠有多遠？（3）現(xiàn)需要在軌道下坡段進行一種安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架，且要求．已知這種材料的價格是8000元/米，如何設計支架，會使造價最低？最低造價為多少元？23．問題提出更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher（1）如圖1，在中，，，，E是的中點，點F在上且求四邊形的面積．（結果保留根號）問題解決（2）某市進行河灘治理，優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境．如圖2所示，現(xiàn)規(guī)劃在河畔的一處灘地上建一個五邊形河畔公園按設計要求，要在五邊形河畔公園內挖一個四邊形人工湖，使點O、P、M、N分別在邊、、、上，且滿足，．已知五邊形中，，，，，．滿足人工湖周邊各功能場所及綠化用地需要，想讓人工湖面積盡可能?。垎?，是否存在符合設計要求的面積最小的四邊形人工湖？若存在，求四邊形面積的最小值及這時點到點的距離；若不存在，請說明理由．

專題19二次函數(shù)的性質與圖象判斷問題知識對接考點一、二次函數(shù)的概念及表達式考點二、二次函數(shù)的性質與圖象拋物線與系數(shù)a,b,c的關系更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher專項訓練一、單選題1．拋物線y＝（x﹣5）2的頂點坐標是（）A．（0，﹣5） B．（﹣5，0） C．（0，5） D．（5，0）【答案】D【分析】根據(jù)頂點式解析式寫出頂點坐標即可得解．【詳解】解：拋物線y=（x-5）2的頂點坐標是（5，0）．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，主要利用頂點式解析式求頂點坐標，是基礎題，需熟記．2．對于二次函數(shù)y＝2（x＋3）2的圖象，下列說法不正確的是（）A．開口向上 B．對稱軸是直線x＝﹣3C．當x＜﹣3時，y隨x的增大而增大 D．與x軸僅有一個交點【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的性質由a＝2得到圖象開口向上，根據(jù)頂點式得到頂點坐標為（﹣3，0），對稱軸為直線x＝更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher﹣3，當x＜﹣3時，y隨x的增大而增減?。驹斀狻拷猓憾魏瘮?shù)y＝2（x＋3）2的圖象開口向上，頂點坐標為（﹣3，0），與x軸僅有一個交點，對稱軸為直線x＝﹣3，當x＜﹣3時，y隨x的增大而減小，故A、B、D說法正確，C說法不正確，故選：C．【點睛】本題主要考查拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵，即在y＝a（x?h）2＋k中，其頂點坐標為（h，k），對稱軸為x＝h．當a＞0時，拋物線開口向上，當a＜0時，拋物線開口向下．3．如圖1，在平行四邊形中，，；動點P以每秒1個單位的速度從點A出發(fā)沿線段運動到點B，同時動點Q以每秒4個單位的速度從點B出發(fā)，沿折線運動到點D．圖2是點P、Q運動時，的面積S隨運動時間t變化關系的圖象，則a的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意計算得；再結合題意，得當動點Q在上時，的面積S隨運動時間t變化呈現(xiàn)二次函數(shù)關系；當動點Q在上時，的面積S隨運動時間t變化呈現(xiàn)一次函數(shù)關系，從而得a對應動點Q和點C重合；通過計算，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，得時到達點B∵動點P以每秒1個單位的速度從點A出發(fā)沿線段運動到點B∴更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴結合題意，當動點Q在上時，的面積S隨運動時間t變化呈現(xiàn)二次函數(shù)關系當動點Q在上時，的面積S隨運動時間t變化呈現(xiàn)一次函數(shù)關系∴a對應動點Q和點C重合，如下圖：∵動點Q以每秒4個單位的速度從點B出發(fā)∴∴∴∴如圖，過點A作，交于點M∵，∴,∴∴，即故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形、二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)的知識；解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)的性質，從而完成求解．4．已知二次函數(shù)（h為常數(shù)），當自變量x的值滿足1≤x≤3時，其對應的函數(shù)值y的最小值為更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher1，則h的值為（）A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱軸為：x=h和的位置關系，分三種情況討論即可求解．【詳解】解：函數(shù)的對稱軸為：x=h，①當時，x=3時，函數(shù)取得最小值1，即，解得h=4或h=2（舍去）；②當時，x=1時，函數(shù)取得最小值1，即，解得h=0或h=2（舍去）；③當時，x=h時，函數(shù)取得最小值1，不成立，綜上，h=4或h=0，故選：B．【點睛】此題考查函數(shù)的最值，函數(shù)的對稱軸，分情況討論解決問題是解此題的關鍵．5．二次函數(shù)圖象的頂點坐標是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式即可得出頂點坐標．【詳解】解：∵二次函數(shù)的解析為，∴二次函數(shù)圖像頂點坐標為（1，3）.故選B．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵，即在y=a（x-h）2+k中，對稱軸為x=h，頂點坐標為（h，k）．更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher6．下列事件中，屬于不可能事件的是（）A．拋物線y＝ax2的開口向上B．拋物線y＝（x﹣2）2+1中y有最小值2C．相似三角形的面積比等于相似比的平方D．三邊對應成比例的兩個三角形全等【答案】B【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型即可．【詳解】解：A、拋物線y＝ax2的開口向上是隨機事件；B、拋物線y＝（x﹣2）2+1中y有最小值2是不可能事件；C、相似三角形的面積比等于相似比的平方是必然事件；D、三邊對應成比例的兩個三角形全等是隨機事件．故選：B．【點睛】此題考查事件的可能性，涉及二次函數(shù)，相似三角形等知識點，難度一般，重在對知識的理解．7．下列函數(shù)中，隨的增大而增大的函數(shù)有（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)，正比例函數(shù)的性質逐項分析即可．【詳解】A.，，隨的增大而減小，故A選項不符合題意；B.，，，的圖像位于第二象限，隨的增大而增大，故B選項符合題意；C.，，對稱軸為軸，在對稱軸的左邊，隨的增大而減小，在對稱軸的右邊，隨的增大而增大，故C選項不符合題意；D.，，隨的增大而減小，故D選項不符合題意．故選B．更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher【點睛】本題考查了一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)，正比例函數(shù)的性質，掌握以上性質是解題的關鍵．8．拋物線y=(x-2)2+1的對稱軸是（）A．x=2 B．x=-2 C．x=1 D．x=-1【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的頂點式即可解題．【詳解】解：∵是頂點式,∴對稱軸為直線，故選A．【點睛】本題考查了拋物線的性質,屬于簡單題,熟悉拋物線頂點式是解題關鍵．9．關于二次函數(shù)圖象，下列敘述正確的有（）①它的圖象是拋物線；②它的圖象有最低點；③它的圖象經過；④它的圖象開口向上．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質逐個判斷即可．【詳解】解：二次函數(shù)圖象是拋物線；①正確；函數(shù)的圖像有最低點；②正確；函數(shù)的圖像經過點（0，0）；③正確；函數(shù)的圖像開口向上；④正確；∴正確的選項有4個；故選：A．更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的最值等知識點，能熟記二次函數(shù)的性質是解此題的關鍵．10．如圖，拋物線G：（常數(shù)a為正數(shù)）．下列關于G的四個命題：①G的最低點坐標為；②b是任意實數(shù)，x=2+b時的函數(shù)值大于x=2－b時的函數(shù)值；③當a=1時，G經過點（1，－1）；④當G經過原點時，G與x軸圍成的封閉區(qū)域（邊界除外）內的整點（橫、縱坐標都是整數(shù)）的個數(shù)為1．其中正確的是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的開口方向和頂點坐標可判斷①；根據(jù)拋物線的對稱軸可判斷②；將a=1和x=1代入拋物線的解析式中，求出y值即可判斷③；將點（0，0）代入拋物線解析式中求得a值，進而求得與x軸的交點坐標，結合圖象可判斷④．【詳解】解：①根據(jù)圖象，拋物線G開口向上，且頂點坐標為，∴G的最低點坐標為，故①正確；②∵拋物線G的對稱軸為直線x=2，∴x=2+b時的函數(shù)值等于x=2－b時的函數(shù)值，故②錯誤；③當a=1時，，當x=1時，y=1﹣=≠﹣1，∴當a=1時，G不經過點（1，－1），故③錯誤；更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher④當G經過原點時，則，解得：，∴拋物線G：，令y=0，由得：，，當x=1時，y=﹣1，當x=2時，y=，當x=3時，y=﹣1，∴滿足條件的整點坐標為（2，﹣1），只有一個，故④正確，綜上，正確的為①④，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質、解一元二次方程、解一元一次方程，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解答的關鍵．二、填空題11．已知點A（﹣2，y1），B（5，y2）為函數(shù)y＝x2＋a圖象上的兩點，比較：y1_____y2．【答案】＜【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式確定出對稱軸為y軸，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)y＝x2＋a，∴圖象開口向上，對稱軸為y軸，∴A（﹣2，y1）與（2，y1）關于y軸對稱∵當x＞0時，y隨x的增大而增大，且5＞2∴y1＜y2．故答案為＜．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象上點的坐標特征，利用二次函數(shù)的對稱性和增減性解決問題是本題的關鍵．12．二次函數(shù)的最小值是__．【答案】-5更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質進行解答即可得．【詳解】解：二次函數(shù)的圖像開口向上，有最小值，當x=1時，最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是熟記二次函數(shù)的性質．13．當a＞0時，拋物線的開口______，對稱軸是______，頂點坐標是______，當x＝0時，y有最____值為k，當x＜0時，y隨x的增大而___；當x＞0時，y隨x的增大而______．當a＜0時，拋物線的開口______，對稱軸是______，頂點坐標是______，當x＝0時，y有最____值為k，當x＜0時，y隨x的增大而_____；當x＞0時，y隨x的增大而_____．【答案】向上y軸（0，k）小減小增大向下y軸（0，k）大增大減小【詳解】略14．已知二次函數(shù)（m為常數(shù)），如果當自變量x分別取，，1時，所對應的y值只有一個小于0，那么m的取值范圍是________．【答案】且【分析】題目中給定三個x的取值，-3，-1，1，對應的y值只有一個小于0，由二次函數(shù)可得其對稱軸為，開口向上，需對對稱軸進行分類討論，①時，時取最小值，對應的，，；②時，取最小值，對應的，，；③時，取最小值，對應的，，，綜合①②③，同時根據(jù)樹形結合思想，得m的解集，即可得出答案．【詳解】二次函數(shù)對稱軸為．更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher①時，時取最小值，∴，解得；②時，時取最小值，∴，解得；③時，時取最小值，∴，解得．當時，有兩個對應值為：，，當x=1時，y>0與題意矛盾，∴；當時，有兩個對應值為：，，當x=-3時，y>0與題意矛盾，∴．綜上可得：m的取值范圍為：且．故答案為：且．【點睛】題目主要考察分類討論、樹形結合思想及二次函數(shù)基本性質、解不等式組等，根據(jù)題意，對m進行分類討論、考慮臨界值是否滿足題意是解題關鍵．15．如圖1，E是等邊的邊BC上一點（不與點B，C重合），連接AE，以AE為邊向右作等邊，連接已知的面積（S）與BE的長（x）之間的函數(shù)關系如圖2所示（為拋物線的頂點）．（1）當?shù)拿娣e最大時，的大小為______．更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher（2）等邊的邊長為______．【答案】【分析】（1）過點F作FD⊥BC于點D，由已知先證≌，得，，進可得∠FCD的度數(shù)，所以可求得FD，設等邊△ABC的邊長為a，則可把△ECF的面積表示出來，并求出面積的最大值，此時便可求得∠FEC的度數(shù)；（2）由圖知△ECF的最大值，由（1）中計算知道它的面積的最大值，則兩者相等，可求得等邊△ABC的邊長．【詳解】過F作，交BC的延長線于D，如圖：

為等邊三角形，為等邊三角形，

，，，

，

≌，

，，

，

，，

，

設等邊邊長是a，則，

，

當時，有最大值為，

更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher(1)當?shù)拿娣e最大時，，即E是BC的中點，

，，

，

，

故答案為：；（2）當時，有最大值為，

由圖可知最大值是，

，解得或邊長，舍去，

等邊的邊長為，

故答案為：．【點睛】本題考查等邊三角形及二次函數(shù)知識，解題關鍵是證明由≌，用x的代數(shù)式表示的面積．三、解答題16．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣bx+3（a≠0）的圖象過點A(2，3)，交y軸于點B．（1）求點B的坐標及二次函數(shù)圖象的對稱軸；（2）若拋物線最高點的縱坐標為4，求二次函數(shù)的表達式；（3）已知點(m，y1)，(n，y2)在函數(shù)圖象上且0＜m＜n＜1，試比較y1和y2的大小．【答案】（1）；（2）；（3）當時，，當時，．【分析】（1）將將代入解析式即可求得點的坐標，將點的坐標代入，即可求得對稱軸；（2）根據(jù)（1）的結論可得頂點坐標，設頂點式，將點的坐標代入，求得即可求得解析式；（3）分類討論，根據(jù)開口方向及二次函數(shù)圖像與性質即可比較y1和y2的大小．【詳解】（1）交y軸于點B，將代入，解得，，更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher過，，即，；（2）對稱軸為，若拋物線最高點的縱坐標為4，則頂點坐標為：，設二次函數(shù)的表達式為，將代入，解得，，即；（3）分情況討論，當時，拋物線的開口朝上，在對稱軸的左側是隨的增加而減小，點(m，y1)，(n，y2)在函數(shù)圖象上，且，，當時，拋物線的開口朝下，在對稱軸的左側是隨的增加而增大，點(m，y1)，(n，y2)在函數(shù)圖象上，且，，綜上所述，當時，，當時，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與性質，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)圖像與性質是解題的關鍵．17．二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，最小值為，且函數(shù)的圖象與拋物線的形狀相同、方向相反．（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）如果函數(shù)圖象與x軸交于A，B（A在B的左邊）兩點，交y軸于C點，你能求出的面積嗎？（3）利用二次函數(shù)的圖象，寫出x為何值時，．更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher【答案】（1）（2）5；（3）或【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質求出a，h，k的值即可得到答案；（2）分別求出點A，B，C的坐標，再根據(jù)三角形面積公式求解即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，最小值為，∴，又∵二次函數(shù)的圖象與拋物線的形狀相同、方向相反∴∴二次函數(shù)的表達式為（2）對于當時，，解得，當時，∴∴∴（3）二次函數(shù)的圖象如圖，更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher

根據(jù)函數(shù)圖象可得，當或時，．【點睛】本題考查了拋物線與x軸交點的問題，掌握二次函數(shù)的性質，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的根據(jù)．18．已知二次函數(shù)，其中．（1）當時，求二次函數(shù)頂點坐標；（2）當時，記二次函數(shù)的最小值為，求證：；（3）當時，且滿足時，函數(shù)有最大值為3，求的值．【答案】（1）（0，1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）將代入解析式，然后將二次函數(shù)解析式化為頂點式求解；（2）將二次函數(shù)化為一般式，然后分析其頂點縱坐標的非正性；（3）結合二次函數(shù)的增減性及頂點坐標求解．【詳解】解：（1）當時，，二次函數(shù)的頂點坐標為；（2），更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher，二次函數(shù)有最小值，（3）由（2）可知，當時，拋物線開口向上且的最小值，又對稱軸為直線，當對稱軸位于軸左側時，當時，函數(shù)有最大值為3，當對稱軸位于軸右側時，當時，函數(shù)有最大值為3，即或，解得：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的圖像性質，利用數(shù)形結合思想解題是關鍵．19．已知二次函數(shù)的頂點坐標為，且經過點．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）判斷點是否在該函數(shù)圖象上，并說明理由．【答案】（1）；（2）點C在函數(shù)圖像上，見解析【分析】（1）根據(jù)點A的坐標設出二次函數(shù)的頂點式，再代入B的值即可得出答案；（2）將C的值代入函數(shù)解析式即可得出答案．【詳解】解：（1）設二次函數(shù)的解析式是，∵二次函數(shù)的頂點坐標為，∴，又經過點，∴代入得：，解得：，∴函數(shù)解析式為：；更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher（2）將x=2代入解析式得，∴點在該函數(shù)圖象．【點睛】本題考查的是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題關鍵是根據(jù)頂點坐標設出頂點式．20．如圖，拋物線L：yx2x﹣3與x軸正半軸交于點A，與y軸交于點B．（1）求直線AB的解析式及拋物線頂點坐標；（2）如圖1，點P為第四象限且在對稱軸右側拋物線上一動點，過點P作PC⊥x軸，垂足為C，PC交AB于點D，求PD的最大值，并求出此時點P的坐標；【答案】（1），；（2）最大為，【分析】（1）將，代入求得兩點坐標，再用待定系數(shù)法求解直線解析式即可，求得拋物線的對稱軸，再將對稱軸代入即可求解；（2）設，可求得點坐標，用表示出線段的長度，再用配方法求解最值即可．【詳解】解：（1）將代入得，即將代入得，化簡得即，解得（舍），即設直線為，將，代入得，解得，即直線為更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher拋物線的對稱軸為將代入得拋物線的頂點坐標為（2）設點，則，線段∴當時，最大為，即當點時，最大為【點睛】此題考查了二次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求直線解析式，二次函數(shù)頂點，配方法求二次函數(shù)的最大值，熟練掌握相關基本性質是解題的關鍵．21．定義：關于x軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對稱拋物線”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同軸對稱拋物線”為y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）請寫出拋物線y1＝（x﹣1）2﹣2的頂點坐標；及其“同軸對稱拋物線”y2＝﹣（x﹣1）2+2的頂點坐標；（2）求拋物線y＝﹣2x2+4x+3的“同軸對稱拋物線”的解析式．（3）如圖，在平面直角坐標系中，點B是拋物線L：y＝ax2﹣4ax+1上一點，點B的橫坐標為1，過點B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對稱拋物線”于點C，分別作點B、C關于拋物線對稱軸對稱的點、，連接BC、、、．①當四邊形為正方形時，求a的值．②當拋物線L與其“同軸對稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內（不包括邊界）共有11個橫、縱坐標均為整數(shù)的點時，直接寫出a的取值范圍．更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher【答案】（1）(1，﹣2)，(1，2)；（2）y＝2（x﹣1）2﹣5；（3）①a＝；②≤a≤1或﹣≤a＜﹣【分析】（1）根據(jù)頂點式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k的頂點坐標為（h，k）；

（2）先化成頂點式，再求“同軸對稱拋物線”的解析式；

（3）①寫出點B的坐標，再由對稱軸求出點B'，然后結合正方形的性質列出方程求a；

②先由對稱性分析得到封閉區(qū)域內在x軸上整點的個數(shù)，然后針對拋物線L開口的不同進行分類討論．【詳解】解：（1）由y1＝（x﹣1）2﹣2知頂點坐標為（1，﹣2），

由y2＝﹣（x﹣1）2+2知頂點坐標為（1，2），故答案為：（1，﹣2），（1，2）．（2）∵y＝﹣2x2+4x+3y＝﹣2（x﹣1）2+5，∴“同軸對稱拋物線”的解析式為：y＝2（x﹣1）2﹣5．（3）①當x＝1時，y＝1﹣3a，∴B（1，1﹣3a），∴C（1，3a﹣1），∴BC＝|1﹣3a﹣（3a﹣1）|＝|2﹣6a|，∵拋物線L的對稱軸為直線x＝＝2，∴點B'（3，1﹣3a），∴BB'＝3﹣1＝2，∵四邊形BB'C'C是正方形，∴BC＝BB'，即|2﹣6a|＝2，解得：a＝0（舍）或a＝．②拋物線L的對稱軸為直線x＝2，頂點坐標為（2，1﹣4a），更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∵L與“同軸對稱拋物線”關于x軸對稱，∴整點數(shù)也是關于x軸對稱出現(xiàn)的，∴封閉區(qū)域內在x軸上的整點可以是3個或5個，L與x軸圍成的區(qū)域內整點個數(shù)為4個或3個，（i）當a＞0時，∵L開口向上，與y軸交于點（0，1），∴封閉區(qū)域內在x軸上只可能有3個整點，兩個區(qū)域內各有4個整點，∴當x＝1時，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，當x＝2時，﹣3≤1﹣4a＜﹣2，解得：≤a≤1；（ii）當a＜0時，∵L開口向下，與y軸交于點（0，1），∴封閉區(qū)域內在x軸上只可能有5個整點，兩個區(qū)域內各有3個整點，∴當x＝2時，1＜1﹣4a≤2，當x＝﹣1時，5a+1＜0，解得：，綜上所述：≤a≤1或﹣≤a＜﹣．【點睛】此題借助二次函數(shù)考查正方形的性質，根據(jù)二次函數(shù)頂點式找頂點坐標，及新定義“同軸對稱拋物線”．22．正在建設的北京環(huán)球影城主題樂園是世界第五個環(huán)球影城樂園中既有功夫熊貓、小黃人樂園等小朋友喜歡的景區(qū)，又有過山車等深受年輕游客喜愛的游樂設施．過山車雖然驚悚恐怖，但是安全保障措施非常到位．如圖所示，為過山車的一部分軌道，它可以看成一段拋物線．其中米，米（軌道厚度忽略不計）．（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）在軌道距離地面5米處有兩個位置和，當過山車運動到處時，平行于地面向前運動了米至點，又進入下坡段（接口處軌道忽略不計）．已知軌道拋物線的形狀與拋物線完全相同，在到的運動過程中，當過山車距地面4米時，它離出發(fā)點的水平距離最遠有多遠？（3）現(xiàn)需要在軌道下坡段進行一種安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架，且要求．已知這種材料的價格是8000元/米，如何設計支架，會使造價最低？最低造價為多少元？更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarm