2020年中考數(shù)學(xué)《幾何綜合》培優(yōu)拔高專項(xiàng)復(fù)習(xí)講義及解析

1.如圖，△ABC是等邊三角形，D,E分別是AC,BC邊上的點(diǎn)，且AO=CE,連接80,AE相交于點(diǎn)E

(1)入BEE的度數(shù)是；

(2)如果他=上，那么空■=；

AC2BF

(3)如果膽=工時(shí)，請(qǐng)用含“的式子表示AHBE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

ACn

A-------E~~C

2.如圖，ZBAZ)=90°,AB=AD,CB=CD,一個(gè)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與A4,ZM交于

點(diǎn)M,N,與A4,ZM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,F,連接AC.

(1)在NPCE旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)NBCAn/ECA時(shí)，如圖1,求證：AE^AF；

(2)在/FCE旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)NFCAW/ECA時(shí)，如圖2,如果/B=30°,CB=2,用等式表示線段AE,

AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(1)以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作弧，交。C于點(diǎn)E,且AE=A8,聯(lián)結(jié)AE,BE,請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并判斷/AE8

與NCEB的數(shù)量關(guān)系;

(2)在(1)的條件下，設(shè)。=庭，6=理，試用等式表示a與6間的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

BEAB

4.已知：和△C8D關(guān)于直線8。對(duì)稱(點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C),點(diǎn)E,E分別是線段BC和線段8。上的點(diǎn),

且點(diǎn)尸在線段EC的垂直平分線上，連接AF,AE,AE交BD于點(diǎn)G.

(1)如圖1,求證：ZEAF=ZABD；

(2)如圖2,當(dāng)AB=A。時(shí)，M是線段AG上一點(diǎn)，連接ED,MF,ME的延長(zhǎng)線交互>于點(diǎn)N,NMBF

=LZBAF,AF=2A。，試探究NW和印之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

5.以48為直徑作半圓0,42=10,點(diǎn)C是該半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC,并延長(zhǎng)2C至點(diǎn)。，使。C=BC,過(guò)

點(diǎn)。作。ELAB于點(diǎn)￡、交AC于點(diǎn)R連接。足

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，求N2AC的度數(shù)；

(2)如圖②，當(dāng)。E=8時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)；

(3)在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若點(diǎn)E始終在線段上，是否存在以點(diǎn)E、。、尸為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段OE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.如圖①，尸為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接E4、PB、PC,在△B48、APBC和4c中，如果存在一個(gè)三角形與aABC

相似，那么就稱P為△A8C的自相似點(diǎn).

(1)如圖②，己知RtaABC中，ZACB=90°,ZABC>ZA,CD是AB上的中線，過(guò)點(diǎn)8作垂

足為E.試說(shuō)明E是△ABC的自相似點(diǎn)；

(2)在△ABC中，ZA<ZB<ZC.

①如圖③，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)P(寫出作法并保留作圖痕跡)；

②若△ABC的內(nèi)心產(chǎn)是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

7.在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,CO_LAB于點(diǎn)。，點(diǎn)E為AC邊上一點(diǎn)，連接BE交CD于點(diǎn)孔過(guò)

點(diǎn)E作EGLBE交AB于點(diǎn)G,

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系是

（2）如圖2,當(dāng)出探究線段跖與EG的數(shù)量關(guān)系并且證明；

AE2

8.如圖，已知點(diǎn)尸是邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，且PB=3,BFLBP,垂足是艮請(qǐng)?jiān)谏渚€上找一點(diǎn)

使以點(diǎn)8、M、C為頂點(diǎn)的三角形與相似.（請(qǐng)注意：全等圖形是相似圖形的特例）

參考答案與試題解析

1.如圖，△ABC是等邊三角形，D,E分別是AC,BC邊上的點(diǎn)，且AO=CE,連接BD,AE相交于點(diǎn)?

(1)N3FE的度數(shù)是60°；

(2)如果膽=!，那么空=1；

AC2BF

(3)如果地=工時(shí)，請(qǐng)用含”的式子表示AR8尸的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)易證△ABQgAACE,可得根據(jù)外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和即可解題.

(2)如圖1中，當(dāng)改=工時(shí)，由題意可知：AD=CD,BE=CE.利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

AC2

(3)設(shè)4尸=尤，BF=y,A8=BC=AC=".AD=CE=1,由△AB。絲△CAE,推出BZ)=AE,設(shè)8￡>=AE=相,

利用相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)系式即可解決問(wèn)題；

【解答】解：(1);△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC,/BAD=NC=60°,

在△A3。和△ACE中，

fAB=AC

-ZBAD=ZC>

AD=CE

AAABD^AACE(SAS)

AZDAF^ZABD,

：.NBFE=ZABD+ZBAF^ZDAF+ZBAF^N8AD=60°,

故答案為：60°.

(2)如圖1中，當(dāng)毀=工時(shí)，由題意可知：AD=CD,BE=CE.

AC2

圖1

「△ABC是等邊三角形，BE=EC,AD=CD,

ZBAE=1ZBAC=1.X600=30°,ZABD=^ZABC=30°,

222

：.ZFAB=ZFBA,

：.FA=FB,

?AF=i

BF

故答案為L(zhǎng)

(3)設(shè)AF=x,BF=y,AB=BC=AC=n.AD=CE=1,

?/AABD^ACAE,

：.BD=AE,ZDAF=ZABD,設(shè)8O=AE=/，

?；/ADF=/BDA,

：.AADFs^BDA,

?AF=AD

,,而麗，

』工①，

nm

■:NFBE=NCBD,/BFE=/C=60°,

:.△BFEsXBCD,

?BF=BE

"BCBD'

.?.工=坦②，

nm

①?、诘玫剑篈=_X_,

yn-1

??.AF—=1?

BFn-1

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)的等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

2.如圖，ZBAD^90°,AB=AD,CB=CD,一個(gè)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與BA,ZM交于

點(diǎn)M,N,與24,D4的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,F,連接AC.

(1)在NBCE旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)/PC4=NECA時(shí)，如圖1,求證：AE^AF；

(2)在NBCE旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)/尸CAWNEC4時(shí)，如圖2,如果NB=30°,CB=2,用等式表示線段AE,

A尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)首先證明(SSS),推出NA4c=NZMC=45°,推出NR1C=NEAC=135°,再證

明△ACP0ZXACE(ASA)即可解決問(wèn)題；

(2)由△ACf's2\AEC,推出空■=空，可得AC2=A￡.AR求出AC即可解決問(wèn)題；

AEAC

【解答】(1)證明：'：AB=AD,CB=CD,AC=AC,

：.AABC^AADCCSSS),

：.ZBAC=ZDAC=45°,

：.ZFAC=ZEAC=135°,

,：ZFCA=ZECA,

：.AACF^AACE(ASA),

C.AE^AF.

(2)證明：作CG_LAB于G.

,:BC=2,NB=30°,

.?.CG=LBC=I,

2

VAG=AC=1,

；.AC=?,

VZMC=ZEAC=135°,

AZACF+ZF^45°,

VZACF+ZAC￡=45°,

/F=ZACE,

：.AACF^AA￡C,

?AC=AF；

"AEAC，

：.AC2=AE'AF,

：.AE-AF=2.

E

【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角

形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

3.已知：如圖，矩形ABC。中，AB>AD.

(1)以點(diǎn)A為圓心，A3為半徑作弧，交。C于點(diǎn)E,且AE=AB,聯(lián)結(jié)AE,BE,請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并判斷/AE8

與/CE8的數(shù)量關(guān)系；

(2)在(1)的條件下，設(shè)。=匹，6=些，試用等式表示a與6間的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

BEAB

【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)作過(guò)點(diǎn)4作AF_LB￡于點(diǎn)R根據(jù)A8=AE可知由/4尸8=/C=90°,ZABE=ZCEB,得

2

出AABFs△BEC,再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論.

【解答】解：⑴如圖1,

'：AE=AB,

：.NAEB=NCEB.

(2)a——b.

2

證明：如圖2,作過(guò)點(diǎn)A作AFLBE于點(diǎn)R

'：AB=AE,

C.BF=LBE,

2

VZAFB=ZC=90°,/ABE=NCEB,

：.AABFsABEC

?EC=BF

"BEAB，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)求解是解答此題的

關(guān)鍵.

4.已知：AABD和關(guān)于直線BD對(duì)稱(點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C),點(diǎn)E,E分別是線段和線段8。上的點(diǎn),

且點(diǎn)P在線段EC的垂直平分線上，連接ARAE,AE交BD于點(diǎn)G.

(1)如圖1,求證：/EAF=NABD；

(2)如圖2,當(dāng)時(shí)，M是線段AG上一點(diǎn)，連接ED,MF,的延長(zhǎng)線交ED于點(diǎn)N,ZMBF

=^ZBAF,AF=2LAD,試探究和-V之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

23

【分析】(1)如圖1,連接FE、FC,構(gòu)建全等三角形AAB尸gZkCBF(SAS),則易證/8AF=/2,FA=FC；根

據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等量代換可知在=曲，Z1=ZBAF,則/5=N6.然后由四邊形內(nèi)角和是360°、三角

形內(nèi)角和定理求得/5+/6=/3+/4,則/5=/4,即NEAF=NAB。；

(2)FM=I~FN.理由如下：由△Af'GsABRl,易得NAGF=NBAF,所以結(jié)合已知條件和圖形得到NM2G=

2

ZBMG.易證△AGBS^OGA,則對(duì)應(yīng)邊成比例：&1=地=空.即旦_=姆=2.

AGGDADAGGD3

設(shè)GF=2aQ>0),AG=3a,則GZ)=2a,FD=^-a；利用平行線(BE/7AD)截線段成比例易得弛=段，則

22GDAG

段=超=2.設(shè).EG=2k(k>0),所以3G=MG=34.如圖2,過(guò)點(diǎn)尸作PQ〃瓦)交AE于點(diǎn)Q.則毀=1

BGGD3QEFD

=*=馬，又由尸?！‥D,易證得配=螞=工，所以&11=工球.

至5FNQE22

2

【解答】(1)證明：如圖1,連接五￡、FC.

?.?點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上，

：.FE=FC,

.?.Z1=Z2.

,/AABD和△C2D關(guān)于直線BD對(duì)稱(點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C),

：.AB=CB,Z4=Z3,

:在AAB尸與△C2F中，

'AB=CB

<N4=N3，

BF=BF

AABF^ACBF(SAS),

:./BAF=N2,FA^FC,

：.FE=FA,Z1=ZBAF,

.\Z5=Z6.

VZ1+ZBEF=18O°,

：.ZBAF+ZBEF^18O°

VZBAF+ZBEF+ZAFE+ZABE=360a,

ZAF￡+ZABE=180°.

X,?ZAFE+Z5+Z6=1800,

.\Z5+Z6=Z3+Z4,

：.Z5=Z4,即NEA尸

(2)FM=1~FN.理由如下：

2

如圖2,由(1)知，ZEAF=ZABD.

又?:ZAFB^ZGFA,

：.AAFG^ABM,

ZAGF^ZBAF.

又,:NMBF=LNBAF,

2

ZMBF=1-ZAGF.

2

?/ZAGF=ZMBG+ZBMG,

：.NMBG=NBMG,

：.BG=MG.

'：AB=AD,

：.ZADB=ZABD=ZEAF.

又：NBGA=/AGD

AAGF^AZJGA,

?GF=AG=AF

"AGGDAD"

,：AF^2LAD,

3

.GF=AG=2

"AGGD3"

設(shè)GF=2aQ>0),AG=3a,

，G￡)=2Z,

2

：.FD=^-a

2

ZCBD=ZABD,NABD=ZADB,

：.ZCBD=ZADB,

.".BE//AD,

.BG=EG

.而而’

.EG=AG=2^

"BGGD3"

設(shè)EG=2k(QO),

:.BG=MG=3k.

如圖2,過(guò)點(diǎn)尸作/Q〃E￡>交AE于點(diǎn)。.則醫(yī)=空=籌=9

''QEFD5a5

2

:.GQ=1QE,

：.GQ=&EG=^k,MQ=3k+生k=^k.

9999

'：FQ//ED,

???MF=MQ=7,

FNQE2

:.FM=±FN.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，三角形內(nèi)角和定理以及四邊形內(nèi)角和

是360度等知識(shí)點(diǎn).難度較大，綜合性較強(qiáng).

5.以A8為直徑作半圓O,AB=10,點(diǎn)C是該半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC,并延長(zhǎng)8C至點(diǎn)。，使。C=BC,過(guò)

點(diǎn)。作QELAB于點(diǎn)E、交AC于點(diǎn)R連接OE

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，求/BAC的度數(shù)；

（2）如圖②，當(dāng)。￡=8時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)；

（3）在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若點(diǎn)E始終在線段48上，是否存在以點(diǎn)E、O、尸為頂點(diǎn)的三角形與△A8C相似?

若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段0E的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）連接OC.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)可得△08C是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)

和直角三角形兩銳角互余即可得到NA4C的度數(shù)；

（2）連接ZM.根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AB=AZ）=10,根據(jù)勾股定理和線段的和差關(guān)系可得AE和BE的長(zhǎng),

通過(guò)A4證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到EF的長(zhǎng)；

（3）分兩種情況：①當(dāng)交點(diǎn)E在。、A之間時(shí)；②當(dāng)交點(diǎn)E在。、8之間時(shí)；討論即可求得線段OE的長(zhǎng).

【解答】解：（1）連接。C.

：C為DB中點(diǎn)，

：.OC=BC=OB,

:.△OBC是等邊三角形，

：.ZB=6Q°,

'：AB為直徑，

AZACB=90°,

.?.ZBAC=30°；

(2)連接ZM.

:AC垂直平分BD

：.AB=AD=10,

E=8,DELAB,

：.AE=6,

；.BE=4,

"：ZFAE+ZAFE=90°,ZCFD+ZCDF=90°,

:.NCDF=NEAF,

VZAEF=ZDEB=90°,

，LAEFsADEB,

?EF=AE；

"EBDE'

:.EF=3；

(3)①當(dāng)交點(diǎn)E在。、A之間時(shí)，

若NE0P=N2AC,此時(shí)

AC-BC

■.AE_EF

'而荻’

???OE一AE,,

AC-AC

OE=AE,

則OE="；

2

若/EOF=NABC,此時(shí)H/L

BC-AC

-AE_EF

"EF=OE，

則。石=旦

3

②當(dāng)交點(diǎn)E在。、8之間時(shí)，?！?-15+5所.

4

綜上所述，OE=$或?或一15+5萬(wàn).

234

D

【點(diǎn)評(píng)】考查了圓的綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有直角三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂直平

分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.

6.如圖①，尸為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接E4、PB、PC,在△力3、△P8C和4c中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC

相似，那么就稱P為△A3C的自相似點(diǎn).

(1)如圖②，己知Rt/VIBC中，ZACB=90°,ZABOZA,8是AB上的中線，過(guò)點(diǎn)2作BE_LCZ),垂

足為E.試說(shuō)明E是△ABC的自相似點(diǎn)；

(2)在△ABC中，ZA<ZB<ZC.

①如圖③，利用尺規(guī)作出AABC的自相似點(diǎn)P(寫出作法并保留作圖痕跡);

②若aABC的內(nèi)心產(chǎn)是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)已知條件得出/BEC=/ACB,以及/BCE=/ABC,得出△BCES^ABC,即可得出結(jié)論;

(2)①根據(jù)作一角等于已知角即可得出△ABC的自相似點(diǎn)；

②根據(jù)/PBC=NA,ZBCP=ZABC=Z2ZPBC=2ZA,ZACB=2ZBCP=4ZA,即可得出各內(nèi)角的度數(shù).

【解答】解：(1)在RtZXABC中，ZACB=90°,C￡)是AB上的中線，

：.CD=kAB,

2

：.CD=BD,

；.NBCE=ZABC,

:BELCD,：.ZBEC=90°,

:./BEC=/ACB,

.?.△BCESMABC,

是△ABC的自相似點(diǎn)；

(2)①如圖所示，

作法：①在/ABC內(nèi)，作/C8￡)=/A,

②在NACB內(nèi)，作/BCE=NABC,BD交CE于點(diǎn)P,

則P為△48C的自相似點(diǎn)；

②?.?尸是△A8C的內(nèi)心，.\ZPBC=1-ZABC,ZPCB=kZACB,

22

「△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，

：.ZPBC^ZA,/BCP=/ABC=2/PBC=2/A,ZACB=2ZBCP^4ZA,

：.ZA+2ZA+4ZA=180°,

7

...該三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)為：I8',36。］,720°.

777

A

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定以及三角形的內(nèi)心作法和作一角等于已知角，此題綜合性較強(qiáng)，注意

從已知分析獲取正確的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

7.在Rt^ABC中，ZACB=90°，AC=BC,于點(diǎn)。，點(diǎn)E為AC邊上一點(diǎn)，連接BE交CD于點(diǎn)孔過(guò)

點(diǎn)E作EG上BE交AB于點(diǎn)G,

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系是EF=EG；

(2)如圖2,當(dāng)出探究線段跖與EG的數(shù)量關(guān)系并且證明;

AE2

(3)量關(guān)系是

EF1

而

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的證明方法利用ASA得出即可得出EP=EG；

(2)根據(jù)已知首先求出/ENG=NFEM,再得出/ENG=NEMF,即可得出△EFA/S2\EGN,再利用相似三角

形的性質(zhì)得出答案即可.

【解答】解：(1)證明：如圖1,過(guò)E作于M,ENLCD于■N,

VZACB=90°,AC^BC,

：.ZA=ZABC=45°,

:.AD=CD,

:點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，CD±AB,EN±DC,

:.EN=LAD,

2

:.EM=LCD,

2

：.EN=EM,

\'ZGEB=90°,/MEN=90°,

：.ZNEF=ZGEM,

2NEF=NGEM

???<EN=EM，

ZENF=ZEMG

；AEGM咨AEFN,(ASA)

：.EG=EF

⑵里」

EG-2

證明如圖(2)：過(guò)點(diǎn)E作EALLCD于點(diǎn)M,作EALLA8于點(diǎn)N,

:.NENA=NCME=NEMF=90°.

：CZ)_LAB于點(diǎn)。，

AZCDA=90°.

：.EM//AD.ZA=ZCEM.

:AEMCSAANE..?.叟

AE-AN

'：EM//AD,；./NEM=90.即Nl+/2=90°.

?:EG上BE,.,.Z3+Z2=90°,

NMEF=ZGEN.

:.叢EFMs叢EGN.

EG-EN

VZACB=90°,AC=BC,：.ZA=45°,：.AN=EN.

?EFEM

"EG^AN，

.CE_EF

"AE^EG

.,.-C-E-,1

AE2

.EF^J_

"EG^2"

⑶.,屈小