課時作業(yè)24導數(shù)與不等式、零點1．(2024·山東菏澤市·高三一模)已知函數(shù).(1)若有唯一零點，求的取值范圍;(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)或；(2).【解析】(1)由有唯一零點，可得方程，即有唯一實根，令，則由，得由，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，又所以當時，;又當時，由得圖象可知，或.(2)恒成立，且，恒成立，令，則，令，則，在單調(diào)遞減，又，由零點存在性定知，存在唯一零點，使即，兩邊取對數(shù)可得即由函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，可得，所以當時，，，當時，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以即的取值范圍為.2．(2024·浙江高三月考)已知函數(shù).(1)若恒成立，求實數(shù)的值；(2)若關于的方程有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】(I)，，又，故是的極大值點，所以，；另一方面，當時，，，在區(qū)間單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，恒成立(II)當時，，，當時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，又，故在區(qū)間有唯一實根，①若，，當時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，故在區(qū)間至多有一個實根，不符合題意，②若，令，()是方程的兩不同實根，則，則故在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.()，，，，同可證.取，.取，，.故在，，各存在一個零點，實數(shù)的取值范圍是.3．(2024·湖北荊門市·高三月考)已知函數(shù)有兩個不同的零點.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)記的極值點為，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】解：(1)由得，∵函數(shù)有兩個不同的零點，，∴在上不單調(diào)，∴，令得，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極大值為，∴，∴.∵時，時，∴的取值范圍是.(2)由(1)知，∵，∴，∴.令，，則，且，要證，只需證.下面先證明，這只要證明，設，所以只要證明，設，則，所以遞增，則成立.于是得到，因此只要證明，構(gòu)造函數(shù)，則，故在上遞減，在上遞增，則，即成立.4．(2024·遼寧高三其他模擬())已知函數(shù)．(Ⅰ)設函數(shù)，當時，證明：當時，；(Ⅱ)若有兩個不同的零點，求的取值范圍.【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且，當時，.(Ⅱ)設函數(shù)，則，令，當時，當時，，當時，，得，所以當時，，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，此時至多有一個零點，至多一個零點不符合題意舍去.當時，有，此時有兩個零點，設為，且．又因為，，所以.得在，為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以，，又因為，，且圖象連續(xù)不斷，所以存在唯一，使得，存在唯一，使得，又因為，所以，當有兩個不同的零點時，.5．(2024·山西晉中市·高三二模())已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)對，都有成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【解析】(1)，令，①當時，，在上，，所以單調(diào)遞增．②當時，，令，得，且，所以當時，，所以單調(diào)遞增；當時，，所以單調(diào)遞減．③當時，，當時，，在上，，所以單調(diào)遞增．當時，，令，得，且，所以當或時，，所以單調(diào)遞增；當時，，所以單調(diào)遞減．綜上可得：當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)因為，根據(jù)(1)的討論可知，當時，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以成立．當時，在上單調(diào)遞減，時，，所以存在使得，故此時不成立．當時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，而，所以當時，單調(diào)遞減，此時，不合題意．綜上可得：．6．(2024·湖南永州市·高三二模)已知函數(shù)，.(1)討論在上的單調(diào)性；(2)當時，討論在上的零點個數(shù).【答案】(1)答案見解析；(2)有3個零點.【解析】(1)，，當時，恒成立，則在上單調(diào)遞減；當時，令，則，令，則，若，即時，在上單調(diào)遞增；若，即時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；(2)當時，，令，得，令，則，所以為奇函數(shù)，且，所以0是的一個零點，令，則，當，，則在上單調(diào)遞增，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，則，令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，又，，則當時，恒成立，即當時，恒成立，所以當時，恒成立，所以當時，恒成立，當時，，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以在上有且只有一個零點，設該零點為，因為為奇函數(shù)，所以在上的零點為，所以在上有3個零點，分別為，0，，所以在上有3個零點.7．(2024·全國高三開學考試())已知函數(shù).(1)證明：當時，函數(shù)有唯一的極大值；(2)當恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：，因為，所以，當時，，令，在區(qū)間上單調(diào)遞減；，存在，使得，所以函數(shù)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.所以函數(shù)存在唯一的極大值.(2)由，即令，在區(qū)間上單調(diào)減函數(shù)，，只要即可，即.8．(2024·全國高三開學考試())已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)對任意，求證：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)由題意得，的定義域為，，當時，恒成立，∴在上單調(diào)遞增.當時，令，解得；令，解得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)要證，即證.令，則.令，則，易得在上單調(diào)遞增，且，，∴存在唯一的實數(shù)，使得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∵，，∴當時，；當時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴.綜上，，即.9．(2024·湖北武漢市·高三月考)已知函數(shù).(Ⅰ)當時，求的最小值；(Ⅱ)證明：當時，恒成立.【答案】(Ⅰ)0；(Ⅱ)證明見解析.【解析】(Ⅰ)時，，定義域為，求導，設，，在單調(diào)遞增.又，故當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.故在處取得最小值.(Ⅱ)設，求導.設，，，∴時，單調(diào)遞減，.，令，得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，，故，時，.即，在上單調(diào)遞減，則時，.由(Ⅰ)知，，故時，.即恒成立.10．(2024·全國高三其他模擬)已知函數(shù).(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若關于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2)【解析】(1)，，，當時，令，解得：或，當，即，則當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當，即，則，等號不恒成立，在上單調(diào)遞增；當，即，則當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)，即，即，即①，當時，①式恒成立，；當時，，，當時，，，故當時，①式恒成立,；以下求當時，不等式恒成立時正數(shù)的取值范圍，令，則，，則，令，則，當時，，，，等號不恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故，，時，，即當時，①式恒成立；當時，，，，故的兩個零點，即的兩個零點和，在區(qū)間上，，，是減函數(shù)，又，，即當時，①式不能恒成立.綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.11(2024·江西上饒市·高三一模())已知.(1)若，討論的單調(diào)性；(2)，，求實數(shù)的最小值.【答案】(1)答案見解析；(2).【解析】(1)時，，定義域為，令，則，當，；當，；∴在遞增，在上遞減，∴，∴，∴在上遞增．(2)，由，，∴可得，令，則在上遞增，由，且當時，，∴，∴使得，且當時，即；當時，即，∴在遞增，在遞減，∴，由，∴，由得即，由得，∴，設，則，可知在上遞增∴，即∴實數(shù)的最小值為．12．(2024·四川成都市·石室中學高三月考())已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)存在兩個極值點，，且，證明：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)函數(shù)定義域為，且，，令，判別式，當，即時，恒成立，所以，∴在上單調(diào)遞減；當，時，由，解得，，若，則，∴時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減；若，則，∴時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；綜上所述：時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；時，的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)因為函數(shù)定義域為，且，∵函數(shù)存在兩個極值點，∴在上有兩個不等實根，，記，則，∴，從而由且，可得，，構(gòu)造函數(shù)，，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，即證.13．(2024·江蘇連云港市·高三開學考試)已知函數(shù)，，.(1)若，證明：當時，；(2)討論在上零點的個數(shù).【答案】(1)證明見解析；(2)當時，在上有1個零點；當時，在上有2個零點.【解析】(1)令，所以當時，，，所以.所以在上單調(diào)遞增.當，有，∴在上恒成立.(2).所以，設，，①當時，因為，所以，而，所以，即恒成立，所以零點個數(shù)為1個.②當時，，所以在上遞增，而，所以，所以在上遞增，因為，所以是唯一零點，此時零點個數(shù)為1個.③當時，，所以在上遞增，而，，所以存在，有，所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，而，，又因為圖象是連續(xù)不間斷的，由零點存在性定知，在上有唯一零點，又因為也是零點，所以在上有2個零點.綜上：當時，在上有1個零點；當時，在上有2個零點.14．(2024·貴州高三開學考試())已知函數(shù)(1)求