第10頁(yè)共10頁(yè)2020年北京市普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.本試卷共7頁(yè)，分為兩個(gè)部分，第一部分為選擇題，27個(gè)小題（共81分）；第二部分為解答題，個(gè)小題（共19分）。3．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答，作圖時(shí)必須使用鉛筆。4．考試結(jié)束后，考生應(yīng)將試卷、答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。參考公式：錐體的體積公式，其中為錐體的底面積，為錐體的高.第一部分選擇題（每小題3分，共81分）在每個(gè)小題給出的四個(gè)備選答案中，只有一個(gè)是符合題目要求的1．若集合，，則()A．B．C．D．2．已知向量，，則等于()A．B．C.D.3．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，a)，(－2,0)的直線與直線x－2y＋3＝0垂直，則a的值為()A.eq\f(5,2)B.eq\f(2,5)C.10D．－104．下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是()A．y＝x－2B．y＝|3－x|C．y＝x2＋2，x∈(－3,3]D．5．的定義域是()A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞)C．[1，＋∞) D．(0,1)∪(1，＋∞)6．一個(gè)年級(jí)有10個(gè)班，每個(gè)班有50名同學(xué)，隨機(jī)編為01至50號(hào)，為了了解他們的學(xué)習(xí)情況，要求每個(gè)班的30號(hào)同學(xué)留下來(lái)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，這里運(yùn)用的抽樣方法是()A．放回抽樣法 B．抽簽法C．隨機(jī)數(shù)表法 D．系統(tǒng)抽樣法7.直線l經(jīng)過(guò)(－2,2)且與直線y＝x＋6在y軸上的截距相等，則直線l的方程為()A．x＋2y＋6＝0 B．x－2y－6＝0C．2x－y＋6＝0 D．2x－y－6＝08.在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝()A.eq\o(AB,\s\up15(→))B.eq\o(BC,\s\up15(→))C.eq\o(CD,\s\up15(→))D.eq\o(BA,\s\up15(→))9.21－eq\s\up8(eq\f(1,2))log23的值等于()A.eq\f(2,3) B．2eq\r(3)C.eq\f(2\r(3),3) D．210.函數(shù)y＝x－2在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的最大值為()A.eq\f(1,4) B．－1C．4 D．－411.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為40%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙兩人下成和棋的概率為()A．60% B．30%C．10% D．50%12.已知向量a，b的夾角為60°，且|a|＝2，|b|＝3，則a2＋a·b＝()A．10 B.eq\r(10)C．7 D.4913.已知三角形的邊長(zhǎng)分別為4,5，eq\r(61)，則它的最大內(nèi)角的度數(shù)為()A．150°B．120°C．135° D．90°14.若圓x2＋y2－2x－4y＝0的圓心到直線x－y＋a＝0的距離為eq\f(\r(2),2)，則a的值為()A．－2或2 B.eq\f(1,2)或eq\f(3,2)C．2或0 D．－2或015.面積為Q的正方形，繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的側(cè)面積為()A．πQ B．2πQC．3πQ D．4πQ16.若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.165f(1.40625)＝－0.052那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個(gè)近似根(精確到0.1)為()A．1.2 B．1.3C．1.4 D．1.517.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(14π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(20π,3)))的值為()A.eq\f(－\r(3)＋1,2) B.eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\f(\r(3)＋1,2) D.eq\f(－\r(3)－1,2)18.已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值是4，最小值是0，最小正周期是eq\f(π,2)，直線x＝eq\f(π,3)是其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，則下面各式中符合條件的解析式是()A．y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))) B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋2C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))＋2 D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))＋219.函數(shù)的最大值為()A．3 B．4C．5 D．620.設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是()A．若l⊥α，α⊥β，則l?βB．若l∥α，α∥β，則l?βC．若l⊥α，α∥β，則l⊥βD．若l∥α，α⊥β，則l⊥β21.甲、乙兩人各寫(xiě)一張賀年卡隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)22.已知cosα＝eq\f(12,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))的值為()A.eq\f(5\r(2),13) B.eq\f(7\r(2),13)C.eq\f(17\r(2),26) D.eq\f(7\r(2),26)23．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，如果acosB＝bcosA，那么△ABC一定是()A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形24.如圖所示的是某種植物蔓延的面積y(m2)與時(shí)間x(月)的關(guān)系：y＝ax，有以下敘述：①這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2；②第5個(gè)月植物蔓延的面積就會(huì)超過(guò)30m2；③植物蔓延從4m2到12m2需要經(jīng)過(guò)1.5個(gè)月；④植物蔓延每個(gè)月增加的面積都相等；⑤若植物蔓延到2m2，3m2，6m2所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別為x1，x2，x3，則x1＋x2＝xA．①② B．①②⑤C．①②③④ D．②③④⑤25.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，那么三棱錐的體積為（）A．B．C．D．26．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a-b)·b＝0，則<a,b>為()A．30° B．60°C．120° D．150°27.A、B、C三家銷(xiāo)售同一型號(hào)的定價(jià)為a萬(wàn)元的汽車(chē)。年底進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，A連續(xù)兩次降價(jià)20%，B一次性降價(jià)40%，C第一次降價(jià)30%，第二次降價(jià)10%，這種汽車(chē)最便宜的是（）．A．甲 B．乙C．丙 D．乙或丙第二部分解答題（共19分）28．（本小題滿分5分）已知函數(shù)．（I）求的值和函數(shù)的最小正周期；（II）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．該同學(xué)解答過(guò)程如下：解：（I）=－１；所以最小正周期（II）由得所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是下表列出了某些數(shù)學(xué)知識(shí)：任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定義弧度制的概念的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式弧度與角度的互化函數(shù)的圖象三角函數(shù)的周期性正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式正切函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)兩角差的余弦公式函數(shù)的實(shí)際意義兩角差的正弦、正切公式參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響兩角和的正弦、余弦、正切公式半角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式積化和差、和差化積公式請(qǐng)寫(xiě)出該同學(xué)在解答過(guò)程中用到了此表中的哪些數(shù)學(xué)知識(shí).29．（本小題滿分5分）閱讀下面題目及其證明過(guò)程，在處填寫(xiě)適當(dāng)?shù)膬?nèi)容.如圖，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，側(cè)棱BB1⊥底面ABCD，E是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：AC⊥平面BDD1B1；(Ⅱ)求證：AC∥平面B1DE.解答：(Ⅰ)因?yàn)锳BCD為菱形，所以①.因?yàn)锽B1⊥底面ABCD，又因?yàn)槠矫鍭BCD，所以②因?yàn)锽B1∩BD＝B，所以AC⊥平面BDD1B1.(Ⅱ)設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，取B1D的中點(diǎn)F，連接OF，EF，所以③，且OF＝eq\f(1,2)BB1.又E是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，所以EC＝eq\f(1,2)CC1.又因?yàn)锽B1∥CC1，BB1＝CC1，所以O(shè)F∥CC1，且OF＝eq\f(1,2)CC1.所以四邊形OCEF為平行四邊形，所以④又AC?平面B1DE，EF?平面B1DE，所以AC∥平面B1DE.上述證明過(guò)程中，第（Ⅰ）問(wèn)的證明思路是先證“線線垂直”，再證“線面垂直”；第（Ⅱ）問(wèn)的證明思路是先證⑤，再證“線面平行”.30．（本小題滿分5分）某同學(xué)解答一道解析幾何題：“已知直線l過(guò)原點(diǎn)，圓C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9.直線l與圓C交于點(diǎn)E、F，|EF|＝.求直線l的方程．”該同學(xué)解答過(guò)程如下：解答：設(shè)直線因?yàn)閳AC：(x－2)2＋(y＋3)2＝9.所以圓C的圓心C(2，－3)，r＝3.因?yàn)橹本€l與圓C交于點(diǎn)E、F，|EF|＝.設(shè)圓心C到直線距離為d所以所以解得所以直線l的方程為.請(qǐng)指出上述解答過(guò)程中的錯(cuò)誤之處，并寫(xiě)出正確的解答過(guò)程.31．（本小題滿分4分）某電影院共有1000個(gè)座位，票價(jià)不分等次，根據(jù)影院的經(jīng)營(yíng)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)每張票價(jià)不超過(guò)10元時(shí)，票可全部售出；當(dāng)每張票價(jià)高于10元時(shí)，每提高1元，將有30張票不能售出．為了獲得更好的收益，需確定一個(gè)合適的票價(jià)，票價(jià)需符合的基本條件是：①為了方便找零和算賬，票價(jià)定為1元的整數(shù)倍；②電影院放映一場(chǎng)電影的成本支出為5750元，票房的收入必須高于成本支出．用x(元)表示每張票價(jià)，用y(元)表示該影院放映一場(chǎng)電影的凈收入(除去成本費(fèi)用支出后的收入)．在符合基本條件的前提下，票價(jià)最少定為多少元時(shí)，才能使放映一場(chǎng)的凈收入大于等于8250元．2020年北京市普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬試卷答案題號(hào)12345678910答案ABDDADCCCC題號(hào)11121314151617181920答案DCBCBCDDBC題號(hào)21222324252627答案ADDBCBB28.的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式；三角函數(shù)的周期性；正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)；兩角差的正弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式……5分29.①AC⊥BD.②BB1⊥AC.③OF∥BB1④OC∥EF.⑤線線平行（每空1分，共5分）30.解答：設(shè)直線不對(duì)…………..1分設(shè)直線因?yàn)閳AC：(x－2)2＋(y＋3)2＝9.所以圓C的圓心C(2，－3)，r＝3.因?yàn)橹本€l與圓C交于點(diǎn)E、F，|EF|＝.設(shè)圓心C到直線距離為d所以所以解得所以直線l的方程為或.…………..5分31.解：∵電影院共有1000個(gè)座位，放映一場(chǎng)電影的成本支出為5750元，票房的收入必須高于成本支出，∴1000x>5750，即x＞5.75，又x∈N*，∴票價(jià)最低為6元．當(dāng)票價(jià)不超過(guò)10元時(shí)，y＝1000x－5750(6≤x≤10，x∈N*)．當(dāng)票價(jià)高于10元時(shí)，y＝x[1000－30(x－10)]－5750＝－30x2＋1300x－5750，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1000－30（x－10）>0，,－30x2＋1300x－5750>0，))解得5＜x＜38eq\f(1,3)，∴y＝－30x2＋1300x－5750(10＜x≤38，x∈N*)．∴y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co