第3講導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)性（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點(diǎn)突破】 7【考點(diǎn)一】導(dǎo)數(shù)的幾何意義與計(jì)算 7【考點(diǎn)二】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 12【考點(diǎn)三】單調(diào)性的簡單應(yīng)用 17【專題精練】 22考情分析：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義和計(jì)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是高考的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式考查，難度較小.2.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的常見題型，以選擇題、填空題的形式考查，或?yàn)閷?dǎo)數(shù)解答題第一問，難度中等偏上，屬綜合性問題．真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，則曲線y=fx在點(diǎn)0,1處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高考真題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．4．（2022·全國·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高考真題）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．1二、填空題6．（2023·全國·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.7．（2022·全國·高考真題）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．8．（2022·全國·高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．參考答案：題號(hào)12345答案ACCDB1．A【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其在點(diǎn)0,1處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得其面積.【詳解】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積.故選：A.2．C【分析】先由切點(diǎn)設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.【詳解】設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)?，所以，所以所以所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選：C3．C【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．4．D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D5．B【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)f'x即可解出．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?,+∞，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在0,1上遞增，在1,+∞上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．故選：B.6．【分析】原問題等價(jià)于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.7．【分析】分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；【詳解】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；解：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，圖象為：所以當(dāng)時(shí)的切線，只需找到關(guān)于y軸的對(duì)稱直線即可.[方法三]：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；.8．【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】導(dǎo)數(shù)的幾何意義與計(jì)算核心梳理：1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率．(2)曲線在某點(diǎn)的切線與曲線過某點(diǎn)的切線不同．(3)切點(diǎn)既在切線上，又在曲線上．2．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x.一、單選題1．（22-23高二上·湖北襄陽·期末）若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，則（

）A．2 B．3 C． D．2．（2024·福建廈門·一模）已知直線與曲線在原點(diǎn)處相切，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東廣州·二模）已知函數(shù)，則（

）A．的定義域?yàn)?B．的圖像在處的切線斜率為C． D．有兩個(gè)零點(diǎn)，且4．（23-24高二下·重慶·期末）已知三次函數(shù)有極小值點(diǎn)，則下列說法中正確的有（

）A．B．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)的對(duì)稱中心為D．過可以作兩條直線與的圖象相切5．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn)B．有一個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心D．直線是曲線的切線6．（21-22高三上·山東菏澤·期末）已知函數(shù)的圖象如圖所示，令，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為C．若函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)分別為，則的最小值為D．函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)處的切線斜率為參考答案：題號(hào)123456答案DCBCDACDBCAC1．D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知，，即可得出答案.【詳解】由已知可得，.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知，，即，所以.故選：D.2．C【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求直線的斜率，進(jìn)而確定傾斜角.【詳解】由，則，即直線的斜率為，根據(jù)傾斜角與斜率關(guān)系及其范圍知：的傾斜角為.故選：C3．BCD【分析】根據(jù)題意直接求出的范圍即可判斷；求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求得即可判斷B；求得即可判斷C；易知的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理及C即可判斷D．【詳解】由題意，，對(duì)于選項(xiàng)A，易知且，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋瑒t，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)可知，易知在0,1和1,+∞上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，使得，又因?yàn)?，則，結(jié)合選項(xiàng)C，得，即也是的零點(diǎn)，則，，故，故選項(xiàng)D正確，故選：BCD.4．ACD【分析】根據(jù)題意可得，即可判斷A；求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，即可判斷B；求出即可判斷C；設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過點(diǎn)求出切點(diǎn)，即可判斷D.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)有極小值點(diǎn)，所以，解得，所以，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又所以函數(shù)僅有個(gè)在區(qū)間上的零點(diǎn)，故A正確，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，設(shè)切點(diǎn)為，則，故切線方程為，又過點(diǎn)，所以，整理得，即，解得或，所以過可以作兩條直線與的圖象相切，故D正確.故選：ACD.5．BC【分析】利用導(dǎo)數(shù)y與零點(diǎn)存在性定理求解三次函數(shù)的極值點(diǎn)，零點(diǎn)，對(duì)稱中心，切線問題.【詳解】選項(xiàng)A：則恒成立，故單調(diào)遞增，故不存在兩個(gè)極值點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.選項(xiàng)B:又單調(diào)遞增，故有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C：故點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D：令，即，令，則令，則當(dāng)則當(dāng)切線斜率為切點(diǎn)為則切線方程為：與不相等，當(dāng)時(shí)同樣切線方程不為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.6．AC【分析】根據(jù)圖象可求出函數(shù)，即可得，計(jì)算可知A正確，整體代入可得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，即B錯(cuò)誤；分別求的兩零點(diǎn)的表達(dá)式可得的最小值為，即C正確；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知D錯(cuò)誤.【詳解】由圖象可知，設(shè)的最小正周期為，又，解得；由圖可得，又，所以，即；因此，所以；即可得，故A正確；令，解得，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，即B錯(cuò)誤；令，即可得，解得；可得，當(dāng)時(shí)，的最小值為，即C正確；易知，而，因此不存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)處的切線斜率為，即D錯(cuò)誤；故選：AC規(guī)律方法：求曲線的切線方程要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn)．【考點(diǎn)二】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性核心梳理：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)的定義域．(2)求f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)．(3)求出f′(x)的零點(diǎn)，劃分單調(diào)區(qū)間．(4)判斷f′(x)在各個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)．一、單選題1．（2024·貴州貴陽·一模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（

）A． B．C． D．2．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知，則的大小為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·廣東深圳·一模）設(shè)，且，則下列關(guān)系式可能成立的是（

）A． B． C． D．4．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若為上的單調(diào)函數(shù)，則B．若時(shí)，在上有最小值，無最大值C．若為奇函數(shù)，則D．當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為三、填空題5．（2023·貴州銅仁·模擬預(yù)測）已知，若有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則t的取值范圍是．6．（23-24高二下·上海·期中）函數(shù)的嚴(yán)格遞減區(qū)間是.參考答案：題號(hào)1234答案DDACBCD1．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，由得，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷各選項(xiàng)不等式.【詳解】依題意令，則，因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ栽谏虾愠闪?，故在上單調(diào)遞減，所以，，故A不正確；所以，即，即，故B不正確；又，即，即，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，即，故D正確；故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可比較函數(shù)值的大小.2．D【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而可得最大，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)比較的大小即可.【詳解】解：因?yàn)?，，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，，又因?yàn)?，所?故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于較復(fù)雜的對(duì)數(shù)、指數(shù)式的大小比較，通常構(gòu)造函數(shù)，利用所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性即可解答問題.3．AC【分析】首先求出，再分別構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性一一分析即可.【詳解】由于，知，及其，則，解得，對(duì)AB，，設(shè)函數(shù)，，故在上單調(diào)遞減，則1，即，故A對(duì)B錯(cuò)；對(duì)C，由于，設(shè)，，故在上單調(diào)遞減，，故，若，故C對(duì)；對(duì)D，，設(shè)，，令，則，則，，則，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC.4．BCD【分析】A選項(xiàng)利用導(dǎo)數(shù)恒正或恒負(fù)可解得；B選項(xiàng)求導(dǎo)，判斷單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性得出極值；C選項(xiàng)利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出；D選項(xiàng)利用導(dǎo)數(shù)的意義結(jié)合點(diǎn)斜式求出.【詳解】A：若為上的單調(diào)函數(shù)，則，，則，故A錯(cuò)；B：當(dāng)時(shí)，，令，得，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取最小值，無最大值，故B對(duì)；C：由于，則為奇函數(shù)時(shí)，，故C對(duì)；D：當(dāng)時(shí)，，，則，切點(diǎn)為，切線方程為，故D對(duì)；故選：BCD．5．【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)，分析的單調(diào)性后畫出函數(shù)圖象，有四個(gè)不同的零點(diǎn)，即有四個(gè)不同的解，令，轉(zhuǎn)換為有兩個(gè)不同解，結(jié)合圖象判斷即可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則對(duì)恒成立，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則．令；令，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，由題意有四個(gè)不同的解，令，則有兩個(gè)不同解，顯然，如下圖，不妨設(shè)，故，∴，故．

故答案為：.6．.【分析】求導(dǎo)并結(jié)合函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令f'x<0，則且，即的嚴(yán)格遞減區(qū)間為.故答案為：.規(guī)律方法：(1)討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行的，千萬不要忽視了定義域的限制；(2)在能夠通過因式分解求出不等式對(duì)應(yīng)方程的根時(shí)，根據(jù)根的大小進(jìn)行分類討論；(3)在不能通過因式分解求出根的情況時(shí)，根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類討論．【考點(diǎn)三】單調(diào)性的簡單應(yīng)用核心梳理：1．函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(或遞減)，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立．2．函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間，可轉(zhuǎn)化為f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解．一、單選題1．（24-25高三上·江西撫州·階段練習(xí)）函數(shù)在R上單調(diào)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2018·吉林·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高三下·江蘇南通·開學(xué)考試）已知非零函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，與均為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．4．（21-22高二下·浙江金華·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．f(x)是奇函數(shù) B．若f(x)為增函數(shù)，則C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)恰有1個(gè)極值點(diǎn)三、填空題5．（2024·江西上饒·一模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為．6．（22-23高二下·浙江·期中）已知函數(shù)，若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.參考答案：題號(hào)1234答案CDBDAB1．C【分析】利用導(dǎo)數(shù)分別求解和時(shí)的單調(diào)性，再結(jié)合在上遞增，可得，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，依題需使恒成立，則；當(dāng)時(shí)，由在上遞增，需使在上恒成立，則，即；又由在上遞增，可得，解得.綜上可得，的取值范圍是.故選：C.2．D【分析】根據(jù)不等式，構(gòu)造函數(shù)并明確其單調(diào)性，進(jìn)而可得導(dǎo)數(shù)的不等式，利用參數(shù)分離整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，整理可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，.故選：D.3．BD【分析】由題意結(jié)合賦值法可得函數(shù)與的對(duì)稱性及周期性，結(jié)合性質(zhì)逐項(xiàng)分析計(jì)算即可得.【詳解】由與均為偶函數(shù)，故，，即有，，故關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，又，故，即，故關(guān)于對(duì)稱，由，可得，即有，為常數(shù)，即關(guān)于對(duì)稱，故，故A錯(cuò)誤；即對(duì)有、，則，即，故，即，即，故B正確；對(duì)有，，關(guān)于對(duì)稱且關(guān)于對(duì)稱，，有，即，故，即，故為周期為的周期函數(shù)，有，即，故關(guān)于對(duì)稱，不能得到，故C錯(cuò)誤；由關(guān)于對(duì)稱，故，，由為周期為的周期函數(shù)，且關(guān)于對(duì)稱，故關(guān)于對(duì)稱，故，由關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，故關(guān)于對(duì)稱，故，，故，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：（1）關(guān)于對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對(duì)稱，則，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，反之也成立；（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.4．AB【分析】A利用奇偶性定義判斷；B利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立求a的范圍；C結(jié)合B結(jié)論即可判斷；D利用零點(diǎn)存在性定理判斷異號(hào)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可判斷.【詳解】且定義域?yàn)?，即為奇函?shù)，A正確；若為增函數(shù)，恒成立，令，則，即遞增；又，故上，上，即在上遞減，在上遞增，所以恒成立，可得，B正確；由B知：時(shí)f(x)為增函數(shù)，不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；時(shí)，由B分析知：，，，故在、上各有一個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，則f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)，D錯(cuò)誤；故選：AB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造中間函數(shù)研究恒成立求參數(shù)范圍，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理及單調(diào)性判斷f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).5．【分析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即時(shí)，恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以，故答案為：.6．【分析】將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，并探討其性質(zhì)，再利用導(dǎo)數(shù)分類討論的值域即可求解作答.【詳解】，令，則，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí),，且等號(hào)不同時(shí)成立，則恒成立，當(dāng)時(shí)，，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，因此存在，使得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在,上單調(diào)遞增,又，作出函數(shù)的圖像如下：

函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的取值集合為，而取值集合為，因此函數(shù)在上的值域包含，當(dāng)時(shí)，的取值集合為，而取值集合為，因此函數(shù)在上無最小值，從而函數(shù)的值域?yàn)镽，即，，不合題意，②當(dāng)時(shí)，由得，由得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，的取值集合為，而取值集合為，因此函數(shù)在上的值域包含，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?，即，?dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可知，，不合題意，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，結(jié)合已知，利用換元法構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，借助數(shù)形結(jié)合的思想推理求解.規(guī)律方法：利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的策略利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式，常常要構(gòu)造新函數(shù)，把比較大小或解不等式的問題，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式．專題精練專題精練一、單選題1．（23-24高三下·江西撫州·階段練習(xí)）如圖1，現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為10cm，高為25cm的圓錐容器，以的速度向該容器內(nèi)注入溶液，隨著時(shí)間（單位：）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當(dāng)時(shí)，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為（

）

A． B． C． D．2．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）若曲線在處的切線也是曲線的切線，則（

）A．-2 B．1 C． D．3．（2024·河南開封·二模）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．4．（2024·貴州六盤水·三模）已知曲線的一條切線方程為，則實(shí)數(shù)（）A．-2 B． C．1 D．25．（2024·廣東·一模）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．6．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知直線與曲線相切，則的方程不可能是（

）A． B．C． D．7．（2024·湖南永州·三模）已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知命題為假命題，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，與x軸的交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為，則（

）A．B．C．D．10．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（

）A． B．函數(shù)為周期函數(shù)C．函數(shù)為上的偶函數(shù) D．11．（2024·福建南平·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A．“”是“為奇函數(shù)”的充要條件B．“”是“為增函數(shù)”的充要條件C．若不等式的解集為且，則的極小值為D．若是方程的兩個(gè)不同的根，且，則或三、填空題12．（2023·福建廈門·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為．13．（2024·山東濱州·二模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是．14．（2024·北京石景山·一模）設(shè)函數(shù)，①若有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值可以是；②若是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題15．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)對(duì)，恒成立，求a的取值范圍.16．（23-24高二上·安徽·期末）已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)試討論函數(shù)的單調(diào)性．參考答案：題號(hào)12345678910答案AADDBDCDBCAB題號(hào)11答案ACD1．A【分析】由圖設(shè)溶液高度和液面半徑，用表示液體體積得到方程，求出，依題，對(duì)其求導(dǎo)，賦值即得時(shí)液體高度的瞬時(shí)變化率.【詳解】

設(shè)注入溶液的時(shí)間為（單位：）時(shí)，溶液的高為，液面半徑為，如圖可得，,則，即，則由，解得.由，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為.故選：A.2．A【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率為1，可得切線方程，再設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，解方程可得的值，進(jìn)而得到的值.【詳解】由曲線，得，在處的切線斜率為，當(dāng)時(shí)，，曲線在處的，即，曲線，導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，切點(diǎn)在切線上，即有，得.故選：A.3．D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為，即.故選：D4．D【分析】根據(jù)切線的斜率的幾何意義可知，求出切點(diǎn)，代入切線即可求出.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為因?yàn)榍芯€，所以，解得（舍去）代入曲線得，所以切點(diǎn)為代入切線方程可得，解得.故選：D.5．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】令，得，代入曲線，所以的最小值即為點(diǎn)到直線的距離.故選：B.6．D【分析】求出根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，分別解以及，得出切點(diǎn)坐標(biāo)，代入點(diǎn)斜式方程求解，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.對(duì)于A、B項(xiàng)，由可得，，解得.當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，此時(shí)切線方程為，整理可得，切線方程為，故B項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，此時(shí)切線方程為，整理可得，切線方程為，故A項(xiàng)正確；對(duì)于C、D項(xiàng)，由可得，，解得，切點(diǎn)為，此時(shí)切線方程為，整理可得，切線方程為，故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.7．C【分析】求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式可得在上單調(diào)遞增，令g，從而可得在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，從而可化為，求解即可.【詳解】，在上單調(diào)遞增.令，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，則化為所以，解得，.故選：C8．D【分析】由命題為假命題，得到為真命題.方法一：參數(shù)分離，并構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性求解；方法二：將轉(zhuǎn)化為直線與曲線沒有交點(diǎn)，通過導(dǎo)數(shù)求切斜方程即可.【詳解】法一：由題可得為真命題，易知滿足，符合題意，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，可變形為，令，則，當(dāng)時(shí)，f'x<0；當(dāng)x∈1,+當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且；當(dāng)x∈0,1時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如圖①所示，由題可知直線與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得.法二：由題可得為真命題，即直線與曲線沒有交點(diǎn).設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，由，得，則，所以，所以直線與曲線相切，若直線與曲線沒有交點(diǎn)，如圖②所示，則.故選：D.9．BC【分析】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷A,結(jié)合數(shù)列的基礎(chǔ)運(yùn)算判斷B,C,D．【詳解】由于，所以，切線方程為，從而，．，A錯(cuò)誤；，B正確；，C正確；，，D錯(cuò)誤．故選：BC.10．AB【分析】首先利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，結(jié)合關(guān)系式的變換得到函數(shù)周期判斷B，利用特殊值代入判斷A，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性結(jié)合關(guān)系式和偶函數(shù)定義判斷C，根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式和單調(diào)性判斷D.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，故函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，f2x+1為奇函數(shù)，1），函數(shù)圖象關(guān)于1,0對(duì)稱，對(duì)于B，，故2是函數(shù)的周期，函數(shù)為周期函數(shù)，故B正確；對(duì)于A，，令，故f1=0，又，故A正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，f'x>0，即函數(shù)在上遞增，函數(shù)圖象關(guān)于1,0對(duì)稱，故函數(shù)在上遞減，故函數(shù)在上遞增，所以，故函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，故選：AB.【點(diǎn)睛】抽象函數(shù)的判斷一般會(huì)從函數(shù)奇偶性、周期性和對(duì)稱性的定義推得相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)；11．ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和充分、必要條件的判定方法，可判定A正確；結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，結(jié)合充分、必要條件的判定方法，可判定B錯(cuò)誤；利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得的極小值，可判定C正確；結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合，列出不等式，可判定D正確．【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則滿足，所以為奇函數(shù)，所以充分性成立；若為奇函數(shù)，則，則恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，，可得，所以為增函數(shù)；由，當(dāng)為增函數(shù)時(shí)，，所以“”是“為增函數(shù)”的充分不必要條件，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，若不等式的解集為且，則在上先增后減再增，則，解得，故，可得，令，解得或，當(dāng)內(nèi)，，單調(diào)遞增；當(dāng)內(nèi)，，單調(diào)遞減；當(dāng)內(nèi)，，單調(diào)遞增，所以的極