一元一次方程

1、概念理解錯(cuò)誤導(dǎo)致出錯(cuò).

定義用等號(hào)來表示相等關(guān)系的式子，叫做等式.一

學(xué)習(xí)誤區(qū)

性質(zhì)運(yùn)用錯(cuò)誤導(dǎo)致出錯(cuò).

(1)等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一

)定義不同.個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式.

a=bQo±c=b±c

1.區(qū)別

代數(shù)式、等等式性質(zhì)

式與方程的

方程是特殊的等式，但等式不一定是方程.知能提升

(3)區(qū)別與聯(lián)系(2)等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)不為0的數(shù),

知識(shí)所得結(jié)果仍是等式.

>,^a=/>,C5'￡0=ac=bc^i4-c=b+c一

升華梳理1>

(1)等式和方程的左、右兩邊都由代數(shù)式構(gòu)%2.聯(lián)系

含有未知數(shù)的等式叫做方程.

(2)方程是含有未知數(shù)的等:

如，x+3=5?rt尸1盧2x-3=0,…

定義

只要是用“=”連接的式子,方醺N

不管它是否成立.基礎(chǔ)知識(shí)’方程使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)

方程的解的值叫做方程的解，只有一個(gè)未知

---------^方程的解，也叫做方程的根.

等式的概念

是等式.學(xué)法

指導(dǎo)

常求方程的解的過程叫做解方程.

含有未知數(shù).方程的概念解方程

見

概念問題的

幾

它(或它們)是方程中未知數(shù)的值.種若兩個(gè)方程的解相同，則這兩個(gè)

方程的解方I同解方程式方程叫做同解方程.一

將它(們)分別代入方程的左邊和右程

邊，左邊等于右邊.

一元一次方程形如av+/>=0("0)

基本性質(zhì)1.杉如圖:黑1

二元一次方程組

性質(zhì)

基本性質(zhì)

2無理——元二次方程形jgav34-/>.v+f=0(</#0)_

方程/\

基本性質(zhì):,分式方程

即分母含有未知數(shù)的方程.

1、移項(xiàng)忘記變符號(hào).

2、違反去括號(hào)法則.只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,系數(shù)

不等于0的整式方程叫做一元一次方程，它的一般形式

>

3、去分母時(shí)，漏給不含分母的項(xiàng)乘公分母.L'^^ar+b=O(a,6為常數(shù)，a^O)._______________

4、忽視分?jǐn)?shù)線的“括號(hào)”作用.學(xué)習(xí)誤區(qū)

5、忽視“0”的特性：任何數(shù)與。相乘都得0.

6、小數(shù)化為整數(shù)時(shí)，把小數(shù)以外的數(shù)也跟著擴(kuò)大.去分母.....邊扁一毒冬用附.小小他曲

定義

7、小數(shù)化為整數(shù)時(shí)，同一分?jǐn)?shù)中的分子，分母擴(kuò)大的倍數(shù)不同.

知能提升:去括號(hào)括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括昱

Z落而把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，

用一元一次方程解決實(shí)際問題的基本思路總結(jié)知識(shí)

升華—、其他項(xiàng)移到方程的右邊，移項(xiàng)要變號(hào).

實(shí)際問題抽；》數(shù)學(xué)問題------———?己知■,未知■,等■關(guān)系梳理

解方IZ---------------------一

程步驟〃4、合并同類列化為最簡(jiǎn)方程aubgwO)的形心

TI列

1］出

解釋<4----L=解的合理性，空方程的解「巴方程5、系數(shù)化為1x吟

若有分母先去掉，化為整式很重要；

去分母1.弄清題意和題目中的已知數(shù)、未知數(shù),

各項(xiàng)都乘公分母，分子項(xiàng)多加括號(hào).

正括號(hào)來不變號(hào)，負(fù)括號(hào)來全變號(hào);

去括號(hào)

各項(xiàng)都要乘系數(shù)，系數(shù)分配要公道.

指導(dǎo)

未知在左常數(shù)右，移項(xiàng)切記要變號(hào):移項(xiàng)

解方程

同類合并要謹(jǐn)慎，一邊一項(xiàng)處理好.合并同類項(xiàng)注意問題

系數(shù)化一有講究，分?jǐn)?shù)乘倒整數(shù)除.系數(shù)化為一

列方程

應(yīng)注意問題

找出已知與未知，相等關(guān)系列方程.

應(yīng)用解字

系

類型母

的

解出負(fù)數(shù)要斟酌，未知范圍莫忽略.數(shù)

元

一

可化為奴=人的形式

次

一

程

和差倍分問題、等積變形問題、數(shù)字問題、行程(1)CT#0.X=-.方

a

問題(相遇、追及、航行)、勞力調(diào)配問題、工(2)a=0,b關(guān)(V無解.

程問題、儲(chǔ)蓄問題、商品利潤問題……

02知名梳理

知識(shí)點(diǎn)01：解一元一次方程

【高頻考點(diǎn)精講】

1.解一元一次方程的一般步驟

(1)一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1。

(2)所有步驟目的：使方程逐漸向x=a形式轉(zhuǎn)化。

2.解一元一次方程時(shí)，應(yīng)該先觀察方程的形式和特點(diǎn)，如果有分母一般先去分母；如果既有分母又有括號(hào)，

且括號(hào)外的項(xiàng)乘以括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)后能消去分母，就先去括號(hào)。

3.求解“a/bx=c”類型方程時(shí)，將方程左邊按照合并同類項(xiàng)的方法并為一項(xiàng)，即(界6)x=c,使方程

逐漸轉(zhuǎn)化為"=6的最簡(jiǎn)形式，體現(xiàn)化歸思想。將ax=6系數(shù)化為1時(shí)，首先弄清楚求x時(shí)，方程兩邊除

以的是a還是6,尤其a為分?jǐn)?shù)時(shí)；其次要準(zhǔn)確判斷符號(hào)，a、6同號(hào)x為正，a、6異號(hào)x為負(fù)。

知識(shí)點(diǎn)02：由實(shí)際問題抽象出一元一次方程

【高頻考點(diǎn)精講】

1.“總量=各部分量的和”是列方程解應(yīng)用題中一個(gè)基本的關(guān)系式，在此類問題中，首先表示出各部分的

量和總量，然后利用它們之間的等量關(guān)系列方程；

2.“表示同一個(gè)量的不同式子相等”是列方程解應(yīng)用題中另一個(gè)基本關(guān)系式，也是列方程的一種基本方法。

通過對(duì)同一個(gè)量從不同角度用不同的式子表示，進(jìn)而列出方程。

知識(shí)點(diǎn)03：一元一次方程的應(yīng)用

【高頻考點(diǎn)精講】

1.銷售問題：利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤率=理膽X100%；

迸價(jià)

2.工程問題：

（1）工作量=人均效率X人數(shù)X時(shí)間；

（2）如果一件工作分幾個(gè)階段完成，那么各階段工作量的和=工作總量；

3.行程問題：路程=速度X時(shí)間；

4.水流航行問題：

（1）順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；

（2）逆水速度=靜水速度-水流速度。

?新題速遞

檢測(cè)時(shí)間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.66

選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

1.（2分）（2023?永州）關(guān)于x的一元一次方程2x+〃=5的解為x=l,則〃的值為（）

A.3B.-3C.7D.-7

2.（2分）（2023?光澤縣模擬）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“多人共車”問題：今有三人共車,

二車空；二人共車，九人步.問人與車各幾何？其大意是：每車坐3人，兩車空出來；每車坐2人，多

出9人無車坐.問人數(shù)和車數(shù)各多少？設(shè)車x輛，根據(jù)題意，可列出的方程是（）

A.3x-2=2x+9B.3（x-2）=2x+9

C.-^-+9=^-9D.3（x-2）=2（x+9）

32

3.（2分）（2023?連云港）元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，

弩馬日行一百五十里，弩馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行240里，慢馬

每天行150里，慢馬先行12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，由題意得（）

Ax一x+12B.=-12

,240—"15CT240150

C.240(x-12)=150xD.240x=150(x+12)

4.（2分）（2023?貴州）《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，大意為：今有100頭鹿，每戶分一頭鹿后，還有

剩余，將剩下的鹿按每3戶共分一頭，恰好分完，問：有多少戶人家？若設(shè)有x戶人家，則下列方程正

確的是（）

A7B

-x4-=100-3x+l=100C,x-4-x=100D,等=100

ooo

5.（2分）（2023?日照）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞，

人出九，盈十一；人出六，不足十六.問人數(shù)雞價(jià)各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出9錢，會(huì)多

出11錢；每人出6錢，又差16錢.問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？設(shè)人數(shù)為x,可列方程為（）

A.9x+ll=6x+16B.9x-ll=6x-16

C.9x+ll=6x-16D.9x-11=6^+16

6.（2分）（2023?臺(tái)灣）有一東西向的直線吊橋橫跨溪谷，小維、阿良分別從西橋頭、東橋頭同時(shí)開始往

吊橋的另一頭筆直地走過去，如圖所示，已知小維從西橋頭走了84步，阿良從東橋頭走了60步時(shí)，兩

人在吊橋上的某點(diǎn)交會(huì)，且交會(huì)之后阿良再走70步恰好走到西橋頭，若小維每步的距離相等，阿良每步

的距離相等，則交會(huì)之后小維再走多少步會(huì)恰好走到東橋頭（）

A.46B.50C.60D.72

7.（2分）（2023?新昌縣模擬）《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題：今有甲發(fā)長(zhǎng)安，五日至齊；乙

發(fā)齊，七日至長(zhǎng)安.今乙發(fā)已先二日，甲仍發(fā)長(zhǎng)安.問幾何日相逢？譯文：甲從長(zhǎng)安出發(fā)，5日到齊國；

乙從齊國出發(fā)，7日到長(zhǎng)安.現(xiàn)乙先出發(fā)2日，甲才從長(zhǎng)安出發(fā).問多久后甲乙相逢？設(shè)乙出發(fā)x日，

甲乙相逢，則可列方程（）

8.（2分）（2023?南充）《孫子算經(jīng)》記載：“今有木，不知長(zhǎng)短.引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，

不足一尺.木長(zhǎng)幾何？"（尺、寸是長(zhǎng)度單位，1尺=10寸）.意思是，現(xiàn)有一根長(zhǎng)木，不知道其長(zhǎng)短.用

一根繩子去度量長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再度量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺.問長(zhǎng)木長(zhǎng)多少？

設(shè)長(zhǎng)木長(zhǎng)為x尺，則可列方程為()

A.—(x+4.5)=x-1B.-1(x+4.5)=x+l

22

C.—(x-4.5)=x+lD.—(x-4.5)—x-1

22

9.（2分）（2023?宿遷）古代名著《孫子算經(jīng)》中有一題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步.問

人與車各幾何？設(shè)有車x輛，則根據(jù)題意，可列出方程是（）

A.3(x+2)=2x-9B.3(x+2)=2x+9

C.3（x-2）=2x-9D.3（x-2）=2x+9

10.（2分）（2023?棗莊）《算學(xué)啟蒙》是我國較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問題：“良馬日行二

百四十里，弩馬日行一百五十里，弩馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240

里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則

下列方程正確的是（）

A.240x+150x=150X12B.240x-150^=240X12

C.240^+150^=240X12D.240x-150^=150X12

二.填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

11.（2分）（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）定義運(yùn)算法則：a十6=d+加，例如3十2=3,3X2=15.若2十x=

10,則x的值為.

12.（2分）（2023?德陽）在初中數(shù)學(xué)文化節(jié)游園活動(dòng)中，被稱為“數(shù)學(xué)小王子”的王小明參加了“智取

九宮格”游戲比賽，活動(dòng)規(guī)則是：在九宮格中，除了已經(jīng)填寫的三個(gè)數(shù)之外的每一個(gè)方格中，填入一個(gè)

數(shù)，使每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和分別相等，且均為m王小明抽取到的題目

如圖所示，他運(yùn)用初中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，很快就完成了這個(gè)游戲，則勿=.

圖II

13.（2分）（2023?伊通縣四模）“用繩子測(cè)水井深度，如果將繩子折成三等份，井外余繩4尺：如果將

繩子折成四等份，井外余繩1尺.問繩長(zhǎng)、井深各是多少尺？”設(shè)井深為x尺，可列一元一次方程

為.

14.（2分）（2023?余江區(qū)二模）我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來

到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”詩中后面兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么

有7人無房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房.設(shè)有x間客房，可列方程

為：?

15.（2分）（2023?慈溪市一模）方程術(shù)是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中最高的代數(shù)成就.《九章算

術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善

行者追之，問幾何步及之？”譯文：”相同時(shí)間內(nèi)，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，若走

路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步為長(zhǎng)度單位）”，根據(jù)題意可求得走

路快的人要走步才能追上走路慢的人.

16.（2分）（2023?柯橋區(qū)一模）甲、乙兩個(gè)足球隊(duì)連續(xù)進(jìn)打?qū)官?，?guī)定勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，

負(fù)一場(chǎng)得。分，共賽10場(chǎng)，甲隊(duì)保持不敗，得22分，甲隊(duì)勝場(chǎng).

17.（2分）（2023?吉林）《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題，其譯文為：有人合伙買羊，每人出5錢，

還缺45錢；每人出7錢，還缺3錢，問合伙人數(shù)是多少？為解決此問題，設(shè)合伙人數(shù)為x人，可列方程

為.

18.（2分）（2023?未央?yún)^(qū)校級(jí)三模）請(qǐng)閱讀下面的詩句：“棲樹一群鴉，鴉樹不知數(shù)，四只棲一樹，五

只沒處去，五只棲一樹，閑了一棵樹，請(qǐng)你仔細(xì)數(shù)，鴉樹各幾何？”詩中談到的鴉為只，樹為

棵.

19.（2分）（2023?大連）我國古代著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問題：“今有共買雞，人出九，

盈十一；人出六，不足十六.問人數(shù)、雞價(jià)各幾何.”其大意是：今有人合伙買雞，每人出9錢，會(huì)多

出11錢；每人出6錢，又差16錢.問人數(shù)、雞價(jià)各是多少.”設(shè)共有x人合伙買雞，根據(jù)題意，可列

方程為.

20.（2分）（2023?麗水）古代中國的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三

斤十二兩.今有干絲一十二斤，問生絲幾何？”意思是：“今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩（古

代中國1斤等于16兩）.今有干絲12斤，問原有生絲多少？”則原有生絲為斤.

三.解答題（共8小題，滿分60分）

21.（6分）（2023?浙江模擬）以下是欣欣解方程：生2aL=］的解答過程：

32

解：去分母，得2（x+2）-3（2x-l）=1；................①

去括號(hào)：2e2-6科3=1；..........................②

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：-4x=-4；.........................③

解得：x=l...........................................④

（1）欣欣的解答過程在第幾步開始出錯(cuò)？（請(qǐng)寫序號(hào)即可）

（2）請(qǐng)你完成正確的解答過程.

22.（6分）（2023?衢州）小紅在解方程互生L+1時(shí)，第一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤:

36

解：2X7x=(4x-1)+1,

（1）