第7章離散控制系統(tǒng)的分析與校正7.1離散系統(tǒng)概述

7.2信號(hào)的采樣與保持

7.3

變換

7.4脈沖傳遞函數(shù)7.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析7.6離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析7.7離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析7.8離散系統(tǒng)的數(shù)字校正本章要點(diǎn)：⑴離散系統(tǒng)概述。⑵信號(hào)的采樣與保持。⑶

變換和

反變換。⑷脈沖傳遞函數(shù)。⑸離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差及動(dòng)態(tài)性能分析。⑹離散系統(tǒng)的數(shù)字校正。學(xué)習(xí)目標(biāo)：⑴理解離散系統(tǒng)的概念，了解離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)的區(qū)別與聯(lián)系。⑵理解信號(hào)采樣及保持的數(shù)學(xué)描述，掌握采樣定理的內(nèi)容及零階保持器的特性。⑶掌握

變換的定義、性質(zhì)及

變換的求取方法；掌握利用長(zhǎng)除法、部分分式法及留數(shù)法求

反變換的方法；掌握用

變換法求解差分方程的步驟和方法。⑷掌握脈沖傳遞函數(shù)的概念及性質(zhì)；掌握離散系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的求解方法。⑸理解

域到

域的映射關(guān)系；掌握離散系統(tǒng)的穩(wěn)定條件及穩(wěn)定性的判別方法；理解采樣周期對(duì)離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。⑹理解離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的概念，明確終值定理的應(yīng)用條件；掌握系統(tǒng)的型別和靜態(tài)誤差系數(shù)的概念；掌握離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法。⑺掌握離散系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系以及系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的分析計(jì)算方法。⑻理解離散化設(shè)計(jì)方法的設(shè)計(jì)步驟；掌握數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)的求?。徽莆兆钌倥南到y(tǒng)的定義及最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法。學(xué)習(xí)目標(biāo)：本章重點(diǎn)：⑴信號(hào)的采樣和保持。⑵

變換和

反變換。⑶脈沖傳遞函數(shù)。⑷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差和動(dòng)態(tài)特性分析。⑸最小拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。第7章離散控制系統(tǒng)的分析與校正

離散系統(tǒng)是在連續(xù)系統(tǒng)基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。與連續(xù)系統(tǒng)相比，離散系統(tǒng)既有本質(zhì)的不同，又有分析方法的相似性，這類方法是以

變換為數(shù)學(xué)工具，將連續(xù)系統(tǒng)中的一些概念和理論推廣應(yīng)用于離散系統(tǒng)。本章主要介紹信號(hào)的采樣、采樣定理、信號(hào)的保持、

變換、脈沖傳遞函數(shù)、離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差和動(dòng)態(tài)特性的分析以及數(shù)字控制系統(tǒng)的校正等內(nèi)容。7.1離散系統(tǒng)概述

控制系統(tǒng)中的所有信號(hào)都是時(shí)間變量的連續(xù)函數(shù)，這樣的系統(tǒng)稱為連續(xù)系統(tǒng)?？刂葡到y(tǒng)中有一處或幾處信號(hào)是一串脈沖或數(shù)碼，這樣的系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)。通常，把離散信號(hào)是脈沖序列形式的離散系統(tǒng)，稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)，而把數(shù)字序列形式的離散系統(tǒng)，稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。在理想采樣及忽略量化誤差情況下，數(shù)字控制系統(tǒng)近似于采樣控制系統(tǒng)，將它們統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)，這使得采樣控制系統(tǒng)與數(shù)字控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)在理論上統(tǒng)一了起來(lái)。

近年來(lái)，隨著數(shù)字計(jì)算機(jī)特別是微處理器的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，數(shù)字控制器在許多場(chǎng)合已經(jīng)逐步取代了模擬控制器。圖7-1-1為某工廠電阻爐溫度計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)示意圖，該系統(tǒng)的爐溫期望值事先存入計(jì)算機(jī)內(nèi)存，爐溫實(shí)際值由熱電偶檢測(cè)，并轉(zhuǎn)換成電壓信號(hào)，經(jīng)放大、濾波后，由A/D轉(zhuǎn)換器將模擬量變換為數(shù)字量送入計(jì)算機(jī)，在計(jì)算機(jī)中與所設(shè)置的溫度期望值比較后產(chǎn)生偏差信號(hào)，計(jì)算機(jī)根據(jù)預(yù)先規(guī)定的控制規(guī)律計(jì)算出相應(yīng)的控制量，再經(jīng)D/A轉(zhuǎn)換器變換成電流信號(hào)，通過(guò)觸發(fā)器控制晶閘管導(dǎo)通角，從而改變電阻絲中電流大小，達(dá)到控制爐溫的目的。

在電阻爐溫度計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，計(jì)算機(jī)作為系統(tǒng)的數(shù)字控制器，只能接收和處理時(shí)間上和幅值上都離散的數(shù)字信號(hào)，而被控對(duì)象、測(cè)量元件和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸入和輸出信號(hào)，則是時(shí)間上和幅值上都連續(xù)變化的連續(xù)信號(hào)（又稱模擬信號(hào)），為了使兩種信號(hào)在系統(tǒng)中能相互傳遞，在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，必須包含A/D轉(zhuǎn)換器和D/A轉(zhuǎn)換器，以實(shí)現(xiàn)兩種信號(hào)的轉(zhuǎn)換。

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的典型原理圖如圖7-1-2所示。圖中r(t)為系統(tǒng)的輸入信號(hào)，c(t)為輸出信號(hào)，e(t)為偏差信號(hào)，由A/D轉(zhuǎn)換器將連續(xù)的偏差信號(hào)轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號(hào)e*(t)送入計(jì)算機(jī)，計(jì)算機(jī)根據(jù)預(yù)先規(guī)定的控制規(guī)律對(duì)e*(t)進(jìn)行運(yùn)算或處理，得到控制信號(hào)，再通過(guò)D/A轉(zhuǎn)換器將轉(zhuǎn)化為模擬控制信號(hào)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)被控對(duì)象的控制。

A/D轉(zhuǎn)換器是把連續(xù)的模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散數(shù)字信號(hào)的裝置，包括采樣和量化兩個(gè)過(guò)程。采樣是將連續(xù)模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為時(shí)間上離散而幅值上連續(xù)的離散模擬信號(hào)。量化則是采用一組數(shù)碼逼近離散模擬信號(hào)的幅值，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字信號(hào)。當(dāng)A/D轉(zhuǎn)換器字長(zhǎng)足夠長(zhǎng)，轉(zhuǎn)換精度足夠高時(shí)，可忽略量化誤差的影響，此時(shí)，A/D轉(zhuǎn)換器就可以近似用一個(gè)采樣開關(guān)S來(lái)表示。

由此可見，A/D轉(zhuǎn)換器和D/A轉(zhuǎn)換器是計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中的兩個(gè)特殊環(huán)節(jié)。

D/A轉(zhuǎn)換器是把離散的數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)模擬信號(hào)的裝置，包括解碼和保持兩個(gè)過(guò)程。解碼是把離散數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散的模擬信號(hào)，保持則是經(jīng)過(guò)保持器將離散模擬信號(hào)復(fù)現(xiàn)為連續(xù)的模擬信號(hào)。為了便于對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行理論分析，通常D/A轉(zhuǎn)換器近似用保持器代替，其傳遞函數(shù)為

。

此外將計(jì)算機(jī)的控制規(guī)律近似用傳遞函數(shù)

加一個(gè)采樣開關(guān)等效描述，被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為

，測(cè)量元件的傳遞函數(shù)為

，這樣計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)就可簡(jiǎn)化為圖7-1-3所示結(jié)構(gòu)，從而可以用后面介紹的方法對(duì)離散系統(tǒng)進(jìn)行分析和校正。

隨著計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)的迅猛發(fā)展，自動(dòng)控制系統(tǒng)普遍采用計(jì)算機(jī)作為控制器。采用數(shù)字計(jì)算機(jī)或微處理器的控制系統(tǒng)有很多優(yōu)點(diǎn)，如數(shù)字信號(hào)的傳遞可以有效地抑制噪聲，提高系統(tǒng)的抗干擾能力；可用一臺(tái)計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)被控對(duì)象的分時(shí)控制，提高了設(shè)備的利用率；由于控制規(guī)律是由軟件實(shí)現(xiàn)的，可以根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)行情況調(diào)整控制規(guī)律，具有更大的靈活性；利用計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算能力和邏輯判斷能力，可以實(shí)現(xiàn)模擬裝置難以實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜控制規(guī)律等。7.2信號(hào)的采樣與保持

采樣器與保持器是離散系統(tǒng)的兩個(gè)基本環(huán)節(jié)，為了定量研究離散系統(tǒng)，需要對(duì)信號(hào)的采樣和保持過(guò)程用數(shù)學(xué)的方法加以描述。7.2.1信號(hào)的采樣1.采樣過(guò)程

將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換成脈沖序列的過(guò)程，稱為采樣過(guò)程，完成采樣操作的裝置稱為采樣器或稱采樣開關(guān)。

采樣過(guò)程如圖7-2-

1所示，采樣開關(guān)S每隔一個(gè)周期T

閉合一次，閉合持續(xù)時(shí)間為τ,

之后每隔一個(gè)周期重復(fù)一次。采樣開關(guān)的輸入信號(hào)

f(t)

為連續(xù)信號(hào)，輸出信號(hào)

fτ*(t)為寬度為τ的脈沖序列，如圖7-2-

1(c)所示。在實(shí)際應(yīng)用中，采樣開關(guān)多為電子開關(guān)，閉合時(shí)間τ極短，通常為毫秒到微秒級(jí)，一般遠(yuǎn)小于采樣周期T和系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時(shí)間常數(shù)，為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)的分析，可以認(rèn)為τ=0。這樣，采樣開關(guān)的輸出近似看成一串理想脈沖，脈沖強(qiáng)度等于相應(yīng)采樣時(shí)刻

f(t)的值，如圖7-2-

1(d)所示。實(shí)際上，理想采樣過(guò)程可以看成是一個(gè)幅值調(diào)制過(guò)程，如圖7-2-2所示。理想單位脈沖序列為采樣信號(hào)為由于在實(shí)際系統(tǒng)中，時(shí)間函數(shù)

f(t)

在

t<0時(shí)都為零，而且

f(t)

僅在脈沖發(fā)生時(shí)刻在采樣開關(guān)輸出端有效，記為

f(kT)，所以采樣信號(hào)f*(t)又可以寫成2.采樣定理式中：

S為采樣角頻率,Ck為傅里葉系數(shù)假設(shè)連續(xù)信號(hào)

的傅里葉變換為,采樣信號(hào)

的傅里葉變換用

表示。理想單位脈沖序列

是一個(gè)周期函數(shù)，展開成傅里葉級(jí)數(shù)形式，即則兩邊取拉普拉斯變換，由拉普拉斯變換的復(fù)數(shù)位移定理，得令

代入，得到

的傅里葉變換式為上式建立了連續(xù)信號(hào)頻譜和相應(yīng)采樣信號(hào)頻譜之間的關(guān)系，表明采樣信號(hào)的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的周期性重復(fù)，只是幅值為連續(xù)信號(hào)頻的

。采樣信號(hào)為假定連續(xù)信號(hào)

具有有限頻譜，最高角頻率為

，其頻譜如圖7-2-3(a)所示。根據(jù)式(7-2-6)可得采樣信號(hào)頻譜如圖7-2-3(b)~(d)所示，由圖可知，當(dāng)

，相鄰分頻譜互不重疊，采樣信號(hào)頻譜包含了連續(xù)信號(hào)頻譜的全部頻率成分，可通過(guò)一個(gè)理想低通濾波器濾去所有的高頻頻譜，保留主頻譜，即可獲得連續(xù)信號(hào)的頻譜；當(dāng)時(shí)

，相鄰分頻譜出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，采樣信號(hào)的頻譜與連續(xù)信號(hào)的頻譜有很大的差別，以致無(wú)法從采樣信號(hào)中獲得連續(xù)信號(hào)的頻譜。圖7-2-3信號(hào)的頻譜圖綜上所述，若連續(xù)信號(hào)具有有限帶寬，其最高角頻率為

，當(dāng)采樣角頻率

時(shí)，原連續(xù)信號(hào)完全可以用其采樣信號(hào)來(lái)表征，即采樣信號(hào)可以不失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)，這就是著名的香農(nóng)(Shannon)采樣定理。在離散系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，香農(nóng)采樣定理是必須要遵守的一條準(zhǔn)則，它給出了選擇采樣頻率的理論依據(jù)。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于具有連續(xù)被控對(duì)象的離散系統(tǒng)，不易確定連續(xù)信號(hào)的最高角頻率

，但從物理意義上可以理解為采樣頻率越高，采樣信號(hào)中包含被采樣信號(hào)的信息就越多，因此，在實(shí)際應(yīng)用中采樣角頻率

往往選擇的比

大很多。7.2.2信號(hào)的保持

在離散控制系統(tǒng)中，數(shù)字控制器輸出的離散信號(hào)，一般必須要轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號(hào)，才能夠用于被控對(duì)象的控制。把離散信號(hào)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)的過(guò)程，稱為信號(hào)的保持。工程實(shí)踐中常用的保持器是零階保持器。

零階保持器的作用是在信號(hào)傳遞過(guò)程中，把

時(shí)刻的采樣值一直保持到

時(shí)刻，從而把采樣信號(hào)

變成連續(xù)的階梯信號(hào)

。因?yàn)樵诿恳粋€(gè)采樣間隔內(nèi)的值均為常值，即其一階導(dǎo)數(shù)為零，故稱為零階保持器(Zero-Order-Holder)，可用ZOH來(lái)表示。如果把階梯信號(hào)

的中點(diǎn)連起來(lái)，可以得到與連續(xù)信號(hào)

形狀一致而時(shí)間上滯后半個(gè)采樣周期的響應(yīng)曲線

，這表明引入零階保持器相當(dāng)于給系統(tǒng)增加了一個(gè)延遲時(shí)間為

的延遲環(huán)節(jié)。一般來(lái)說(shuō)，引入零階保持器對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利。在零階保持器輸入端輸入一個(gè)理想單位脈沖信號(hào)

，則其單位脈沖響應(yīng)函數(shù)

是幅值為1，持續(xù)時(shí)間為

的矩形脈沖，如圖7-2-6所示，它可分解為兩個(gè)單位階躍函數(shù)之和，即對(duì)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)

取拉普拉斯變換，可得零階保持的傳遞函數(shù)為令

，則零階保持器的頻率特性為零階保持器的幅頻特性和相頻特性,如圖7-2-7所示。若以采樣角頻率

來(lái)表示，則上式可表示為圖7-2-7零階保持器的頻率特性由圖可見，零階保持器具有如下特性。(1)低通特性：由于幅頻特性的幅值隨頻率值的增大而迅速衰減，說(shuō)明零階保持器基本上是一個(gè)低通濾波器，但與理想低通濾波器特性相比，在

時(shí)，其幅值只有初值的

。零階保持器除允許主要頻譜分量通過(guò)外，還允許部分高頻頻譜分量通過(guò)，從而造成數(shù)字控制系統(tǒng)的輸出存在紋波。(2)相角滯后特性：由相頻特性可見，零階保持器要產(chǎn)生相角滯后，且隨

的增大而加大，在

處，相角滯后可達(dá)

，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。實(shí)際應(yīng)用中，零階保持器可以近似用無(wú)源網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)。如果將零階保持器傳遞函數(shù)中的項(xiàng)展開成冪級(jí)數(shù)，即

，并取前兩項(xiàng)，則有顯然，這是慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，可通過(guò)如圖7-2-8所示無(wú)源

網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)。7.3

z

變換

在線性連續(xù)系統(tǒng)中，以拉普拉斯變換作為數(shù)學(xué)工具，將系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，建立了以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型，使得分析問題得以簡(jiǎn)化。與此類似，在線性離散系統(tǒng)中，采用

z變換作為數(shù)學(xué)工具，將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，可以建立以脈沖傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。由此可見，z變換是分析離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具，它是從拉普拉斯變換直接引申出來(lái)的一種變換方法，與拉普拉斯變換有很多相似之處。7.3.1

z

變換定義

連續(xù)信號(hào)

f(t)

通過(guò)采樣周期為T的理想采樣后可得到采樣信號(hào)

f*(t)，其表達(dá)式為對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換，得令,代入上式可得

將上式展開，得由此看出，采樣信號(hào)的z變換是復(fù)變量

z

的冪級(jí)數(shù)。其一般項(xiàng)

有明確的物理意義

f(kT)表征采樣脈沖的幅值；z

的冪次表征采樣脈沖出現(xiàn)的時(shí)刻。7.3.2z

變換方法求離散時(shí)間函數(shù)的

z變換有多種方法，下面只介紹常用的兩種方法。

1.級(jí)數(shù)求和法

級(jí)數(shù)求和法是根據(jù)

z變換的定義式求函數(shù)

f

*(t)

的

z變換。只有當(dāng)

F(z)表達(dá)式的無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂時(shí)，才可表示為封閉形式。下面通過(guò)求解典型信號(hào)的

z變換來(lái)說(shuō)明如何應(yīng)用級(jí)數(shù)求和法計(jì)算z變換。解：例7-1

試求單位階躍函數(shù)

f(t)=1(t)的

z變換

F(z)

。

由

z變換定義可得這是一個(gè)公比為

的等比級(jí)數(shù)，當(dāng)

，即

時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，則可寫成閉合形式為解：由

z變換定義可得例7-2試求理想單位脈沖序列

的

z變換

F(z)

。

比較例7-

1和例7-2可以看出，不同的

f(t)

可以得到相同的

F(z)。這是由于單位階躍信號(hào)采樣后與理想單位脈沖序列是一樣的，所以z變換只是對(duì)采樣點(diǎn)上的信息有效，只要采樣信號(hào)

f*(t)相同，

F(z)就相同，但采樣前的f(t)

可以是不同的。這是利用

z

變換法分析離散系統(tǒng)時(shí)特別要注意的一個(gè)問題。解：由

z變換定義可得單位斜坡信號(hào)的

z變換為例7-3求單位斜坡信號(hào)

f(t)=t

的

z變換

F(z)

。

由例7-1可知兩邊對(duì)

z求導(dǎo)，得兩邊同乘-Tz

，便得單位斜坡信號(hào)的

z變換解：例7-4試求指數(shù)函數(shù)

的

z變換F(z)

變換。由

z變換定義可得這是一個(gè)公比為

的等比級(jí)數(shù)，當(dāng)

，即

時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，則可寫成閉合形式為解：由

z變換定義可得例7-5試求指數(shù)序列

的

z變換F(z)

變換。值得注意的是，由于大多數(shù)工程問題中的

z變換都存在，因此今后對(duì)

z

變換的收斂區(qū)間不再特別指出。教材表7-3-1列出了常用時(shí)間函數(shù)的

z變換，以供查詢。解：先對(duì)

F(s)

進(jìn)行部分分式分解2.部分分式法已知時(shí)間函數(shù)

f(t)的拉普拉斯變換

F(s)，將其分解成部分分式之和，通過(guò)查

z變換表可求出F(z)

。例7-6已知

，試求

z變換F(z)

。查

z變換表得7.3.3

z

變換基本定理z變換與拉普拉斯變換類似，在z變換中有一些基本定理，它們可以使z變換應(yīng)用變得簡(jiǎn)單和方便。

1.線性定理如果

，,a和b是常數(shù)，則2.實(shí)數(shù)位移定理如果函數(shù)

f(t)

是可拉普拉斯變換的，其

z變換為F(z)，則有

(1)滯后定理(2)超前定理3.復(fù)數(shù)位移定理如果函數(shù)

f(t)

是可拉普拉斯變換的，其

z變換為F(z)，則有

4.初值定理如果

，且

存在，則5.終值定理如果

，且

存在，則7.3.4

z

反變換所謂

z反變換，是已知z變換表達(dá)式

F

(z)，求相應(yīng)離散序列

f(kT)的過(guò)程。記為

由于

F

(z)只含有連續(xù)信號(hào)

f(t)

在采樣時(shí)刻的信息，因而通過(guò)

z反變只能求得連續(xù)信號(hào)

f(t)

在采樣時(shí)刻的數(shù)值

f*(t)或離散序列

f(kT)。求

z反變換一般有三種方法，分別為長(zhǎng)除法、部分分式法和留數(shù)法。1.長(zhǎng)除法通常

F

(z)是

z

的有理分式，將F

(z)的分子和分母分別表示為按

z-1

升冪排列的多項(xiàng)式，即將上式分母除分子，得到冪級(jí)數(shù)的展開式

由

z變換定義可知，式中系數(shù)

ck

恰為采樣信號(hào)

f*(t)的脈沖強(qiáng)度

f

(kT)。因此，利用長(zhǎng)除法即可獲得與

F(z)

對(duì)應(yīng)的離散序列

f(kT)或采樣信號(hào)

f*(t)。

此法在實(shí)際中應(yīng)用較為方便，但通常只能計(jì)算有限

n項(xiàng)，要得到

f(kT)的一般表達(dá)式較為困難。解：例7-7已知

，試用長(zhǎng)除法求

F(z)

的

z反變換。將

F(z)的分子和分母表示為

的升冪形式

應(yīng)用長(zhǎng)除法，即F(z)可寫成

可得離散序列可得采樣信號(hào)2.部分分式法假設(shè)

F(z)僅含有單實(shí)極點(diǎn)

p1

,p2,…,

pn

，則

可展成其中求

z反變換，得解：因?yàn)閷⑵湔归_為部分分式例7-8已知

，試用部分分式法求

F(z)

的

z反變換。其中：由此得兩邊分別求

z反變換，得兩邊同乘以z，得

3.留數(shù)法

在實(shí)際問題中遇到的

z變換函數(shù)

F(z)，除了有理分式外，也可能是超越函數(shù)，無(wú)法應(yīng)用部分分式法或長(zhǎng)除法來(lái)求z反變換，此時(shí)采用留數(shù)法較為方便。

由

z變換定義有

根據(jù)柯西留數(shù)定理有式中

n是

的極點(diǎn)個(gè)數(shù)；

表示函數(shù)

在極點(diǎn)pj

處的留數(shù)。

當(dāng)

pj

為單極點(diǎn)時(shí)，留數(shù)為當(dāng)

pj

為

m

單極點(diǎn)時(shí)，留數(shù)為解：因?yàn)闃O點(diǎn)處的留數(shù)為故

例7-9已知

，試用留數(shù)法求

F(z)

的

z反變換。解：因?yàn)槔?-10已知

，試用留數(shù)法求

F(z)

的

z反變換。在

處為單極點(diǎn)，其留數(shù)為在

處為二重極點(diǎn)，其留數(shù)為故

7.3.5差分方程

微分方程是描述連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型，而差分方程則是描述離散系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型。如同用拉普拉斯變換法求解微分方程一樣，在離散系統(tǒng)中常用

z

變換法求解差分方程。1.差分的定義

假設(shè)連續(xù)函數(shù)為

f(t)，其采樣后的離散序列為

f(kT)，通常為書寫方便，常將T略去，即f(kT)簡(jiǎn)寫為f(k)，則一階后向差分定義為n階后向差分定義為二階后向差分定義為同理，一階前向差分定義為n階前向差分定義為二階前向差分定義為2.線性定常離散系統(tǒng)差分方程的一般形式

對(duì)于一般的線性定常離散系統(tǒng)，假設(shè)

c(k)

表示當(dāng)前時(shí)刻的輸出，r

(k)表示當(dāng)前時(shí)刻的輸入，系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系可用n階后向差分方程表示為線性定常離散系統(tǒng)還可以用

n階前向差分方程來(lái)描述，其表達(dá)式為

實(shí)際上，后向差分方程和前向差分方程并無(wú)本質(zhì)區(qū)別，前向差分方程多用于描述非零初始值的離散系統(tǒng)，后向差分方程多用于描述全零初始值的離散系統(tǒng)。若不考慮初始值，就系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系而言，兩者完全等價(jià)。3.差分方程的求解

差分方程的求解通常采用迭代法和z變換法。（1）迭代法

若已知差分方程，并且給定輸入序列以及輸出序列的初始值，就可以利用遞推關(guān)系，逐步迭代計(jì)算出輸出序列。例7-11已知某離散系統(tǒng)的差分方程為輸入序列

，初始條件

，用迭代法求輸出序列

。解：根據(jù)遞推關(guān)系以及初始條件，可得（2）z

變換法

用

z變換法求解差分方程與連續(xù)系統(tǒng)用拉普拉斯變換法求解微分方程類似。在給定初始條件下，對(duì)差分方程兩邊取

z變換，利用實(shí)數(shù)位移定理，將差分方程轉(zhuǎn)換為以

z

為變量的代數(shù)方程，再通過(guò)

z反變換，便可求出輸出序列c(k)

。

解：差分方程兩邊取

z變換，有例7-12已知某離散系統(tǒng)的差分方程為輸入序列

，初始條件

，用迭代法求輸出序列

。將初始條件代入上式，整理可得因故輸出序列為

7.3.6MATLAB實(shí)現(xiàn)在MATLAB中，提供了求解變換的函數(shù)ztrans()，其調(diào)用格式如下1.求z

變換F=ztrans(f)%實(shí)現(xiàn)函數(shù)f(n)的z變換，默認(rèn)返回函數(shù)F是關(guān)于z的函數(shù)F=ztrans(f,w)%實(shí)現(xiàn)函數(shù)f(n)的z變換，返回函數(shù)F是關(guān)于w的函數(shù)F=ztrans(f,k,w)%實(shí)現(xiàn)函數(shù)f(k)的z變換，返回函數(shù)F是關(guān)于w的函數(shù)解：MATLAB程序如下。clc;clearsymsakTf1=a^k;F1=ztrans(f1)f2=10*exp(-5*k*T)-10*exp(-10*k*T);F2=ztrans(f2)例7-13

求和的

z變換。執(zhí)行該程序，運(yùn)行結(jié)果為即F1=-z/(a-z)F2=(10*z)/(z-exp(-5*T))-(10*z)/(z-exp(-10*T))在MATLAB中，提供了求解反變換的函數(shù)iztrans()，其調(diào)用格式如下。2.求

z

反變換f=iztrans(F)%實(shí)現(xiàn)函數(shù)F(z)的z反變換，默認(rèn)返回函數(shù)f是關(guān)于n的函數(shù)f=iztrans(F,k)%實(shí)現(xiàn)函數(shù)F(z)的z反變換，返回函數(shù)f是關(guān)于k的函數(shù)f=iztrans(F,w,k)%實(shí)現(xiàn)函數(shù)F(w)的z反變換，返回函數(shù)f是關(guān)于k的函數(shù)解：MATLAB程序如下。clc;clearsymskzFz=(2*z^2)/(z+1)/(z+2);f=iztrans(Fz,k)例7-14

求的

z

反變換。執(zhí)行該程序，運(yùn)行結(jié)果為f=4*(-2)^k-2*(-1)^k即解：MATLAB程序如下。clc;clearsymskzFz=(z+2)/(2*z^2-7*z+3);f=iztrans(Fz,k)執(zhí)行該程序，運(yùn)行結(jié)果為f=3^k/3-(1/2)^k+(2*kroneckerDelta(k,0))/3例7-15

求的

z

反變換。同例7-8所得結(jié)果一致。輸出結(jié)果中kroneckerDelta為克羅內(nèi)克函數(shù)，又稱克羅內(nèi)克

函數(shù)，其自變量一般為兩個(gè)整數(shù)，如果兩者相等，則輸出為1

，否則輸出為0

，得到

z反變換為7.4脈沖傳遞函數(shù)

與連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相對(duì)應(yīng)，脈沖傳遞函數(shù)是描述離散系統(tǒng)最重要的數(shù)學(xué)模型，它是分析與設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)的基礎(chǔ)。7.4.1脈沖傳遞函數(shù)的定義

設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-4-1所示，線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣信號(hào)z變換與輸入采樣信號(hào)

z變換之比，即如果已知

R(z)和G(z),則在零初始條件下,線性定常離散系統(tǒng)的輸出采樣信號(hào)為

脈沖傳遞函數(shù)是線性離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的一種數(shù)學(xué)描述形式，它表征了離散系統(tǒng)的固有特性，與外作用的大小和形式無(wú)關(guān)。此外，脈沖傳遞函數(shù)只適用于線性定常離散系統(tǒng)。

脈沖傳遞函數(shù)反映的是系統(tǒng)輸入采樣信號(hào)與輸出采樣信號(hào)之間的傳遞關(guān)系，但是對(duì)于大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)，其輸入為采樣信號(hào)，輸出一般仍為連續(xù)信號(hào)，為了引入脈沖傳遞函數(shù)的概念，常在系統(tǒng)輸出端虛設(shè)一個(gè)理想采樣開關(guān)，如圖7-4-2虛線所示，對(duì)輸出的連續(xù)時(shí)間信號(hào)做假想采樣，以獲得輸出信號(hào)的采樣信號(hào)。必須指出，虛設(shè)的采樣開關(guān)是不存在的，它只表明了脈沖傳遞函數(shù)所能描述的是輸出連續(xù)信號(hào)

c(t)

在各采樣時(shí)刻的離散值

c*(t)。7.4.2脈沖傳遞函數(shù)的求取

這一過(guò)程比較復(fù)雜，可根據(jù)z變換表，直接從G(s)

得到

G(z)

，而不必逐步推導(dǎo)。通常把上述過(guò)程表示為

G(z)=

Z[G(s)]，并稱之為

G(s)的

z變換。這一表示應(yīng)理解為根據(jù)上述過(guò)程求出

G(s)

所對(duì)應(yīng)的

G(z)

，而不能理解為

G(z)是對(duì)

G(s)

直接進(jìn)行

z=

esT

代換的結(jié)果。

如果某一控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)

，那么該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)可依據(jù)下列步驟求出：（1）先求

G(s)的拉普拉斯反變換，得到單位脈沖響應(yīng)g

(t)

；（2）再將

g

(t)

按采樣周期T離散化，得到單位脈沖響應(yīng)序列

g

(kT)；（3）最后將g

(kT)進(jìn)行

z變換，得出G(z)。解：例7-16某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

，求

所對(duì)應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)

。查

z變換表可得

脈沖傳遞函數(shù)是離散系統(tǒng)在

z域的數(shù)學(xué)描述形式，而差分方程則是離散系統(tǒng)在時(shí)域的數(shù)學(xué)描述形式，在系統(tǒng)初始條件為零的情況下，兩者之間是可以互相轉(zhuǎn)換的。7.4.3脈沖傳遞函數(shù)與差分方程的相互轉(zhuǎn)換例7-17設(shè)某線性定常離散系統(tǒng)的差分方程為試求其脈沖傳遞函數(shù)

G(z)

。解：在零初始條件下，對(duì)差分方程兩邊取

z變換，由z變換超前定理得系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為例7-18設(shè)某線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為試求該系統(tǒng)的差分方程。解：上式等號(hào)兩邊分子、分母交叉相乘，得利用

z變換滯后定理得差分方程為

當(dāng)開環(huán)離散系統(tǒng)由幾個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時(shí),由于采樣開關(guān)位置不同,求出的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)截然不同。7.4.4開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

為了便于求出開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，需要了解采樣函數(shù)的拉普拉斯變換G*(s)的相關(guān)性質(zhì)。可以證明，若采樣函數(shù)的拉普拉斯變換

G1*(s)與連續(xù)函數(shù)的拉普拉斯變換G2(s)

相乘后再離散化，則

G1*(s)可以從離散符號(hào)中提出來(lái)，即1.串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開關(guān)時(shí)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-4-3所示,兩個(gè)串聯(lián)連續(xù)環(huán)節(jié)

G1(s)和

G2(s)

之間沒有被采樣開關(guān)隔開。此時(shí)系統(tǒng)輸出為對(duì)上式離散化，得取

z

變換得其中，

G1G2(z)為

G1(s)和

G2(s)

乘積的

z變換。開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有被采樣開關(guān)開，系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為這兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積后的

z變換。這一結(jié)論可以推廣到

n個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)時(shí)的情形。2.串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時(shí)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-4-4所示,在兩個(gè)串聯(lián)連續(xù)環(huán)節(jié)G1(s)和

G2(s)

之間有采樣開關(guān)隔開。根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義有開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為其中，

G1(z)

和

G2(z)分別是

G1(s)和G2(s)的脈沖傳遞函數(shù)，于是

上式表明,兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時(shí)，系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為這兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的乘積。這一結(jié)論可以推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)時(shí)的情形。特別值得注意的是，一般情況下，

3.有零階保持器時(shí)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)設(shè)有零階保持器的開環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-4-5所示,其中零階保持器的傳遞函數(shù)為

，連續(xù)部分的傳遞函數(shù)為

，中間沒有被采樣開關(guān)隔開。開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為根據(jù)實(shí)數(shù)位移定理可得解：例7-19

某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

，求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

。上述結(jié)果與例7-16所得結(jié)果相比較,可以看出,零階保持器的引入既不改變開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的階數(shù),也不影響開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn),只影響開環(huán)零點(diǎn)。

由于采樣開關(guān)位置不同，閉環(huán)離散系統(tǒng)有多種結(jié)構(gòu)形式，因此求取閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)情況比較復(fù)雜，只能根據(jù)不同情況具體分析。7.4.5閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)圖7-4-6是一種比較常見的典型閉環(huán)離散系統(tǒng)。由圖7-4-6可知因此有對(duì)

E(s)離散化，得整理得輸出信號(hào)的采樣拉普拉斯變換兩邊取

z變換可得兩邊取

z變換可得誤差脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

其中

為閉環(huán)離散系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。解：例7-20某閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-4-7所示，試求系統(tǒng)輸出信號(hào)

變換及閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

。由圖可知

對(duì)

E(s)

及M

(s)離散化，得整理得

輸出信號(hào)

z變換閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為解：例7-21某閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-4-8所示，試求系統(tǒng)輸出信號(hào)

z變換C(z)

。由圖可知

因此有

對(duì)

C(s)離散化，得由此得

z變換，則有

由此題可以看出，由于誤差信號(hào)

e(t)處沒有采樣開關(guān)，輸入的

z變換

R(z)不能分離出來(lái)，因而求不出閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，只能求出輸出信號(hào)的

z變換

C(z)，進(jìn)而可以確定閉環(huán)系統(tǒng)的采樣輸出信號(hào)

c*(t)。

對(duì)于采樣開關(guān)在閉環(huán)系統(tǒng)中不同配置的閉環(huán)離散系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖及其輸出采樣信號(hào)的z變換函數(shù)C(z)，可參見本教材表7-4-1所示。7.4.6MATLAB實(shí)現(xiàn)在MATLAB中，使用c2d()函數(shù)可將連續(xù)系統(tǒng)模型離散化，其調(diào)用格式如下sysd=c2d(sys,T,Method)%其中sysd為離散系統(tǒng)模型；sys為連續(xù)系統(tǒng)模型；T為采樣周期；Method用來(lái)選擇離散化方法。Method的類型分別為：

'zoh'——零階保持器；

'foh'——一階保持器；

'tustin'——雙線性變換法；

'matched'——零極點(diǎn)匹配法；

'imp'——脈沖響應(yīng)不變法（實(shí)為直接求變換，利用該方法，將求得結(jié)果除以采樣周期，即得傳遞函數(shù)的變換）。解：MATLAB程序如下。例7-22

已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，采樣周期

T=1s

，求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)

。clc;clearGs1=tf([2],[1,2]);%定義傳遞函數(shù)Gz1=c2d(Gs1,1,'imp');%對(duì)傳遞函數(shù)直接求變換得Gs2=tf([5],[1,5]);%定義傳遞函數(shù)Gz2=c2d(Gs2,1,'imp');%對(duì)傳遞函數(shù)直接求變換得Gz=Gz1*Gz2%開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)執(zhí)行該程序，運(yùn)行結(jié)果為即開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為Gz=0.1998z+0.0735-----------------------z^2-0.3034z+0.1233Sampletime:1secondsDiscrete-timetransferfunction.解：MATLAB程序如下。clc;clearGs=tf([1],[1,3,2]);%定義連續(xù)被控對(duì)象傳遞函數(shù)Gd=c2d(Gs,1,'zoh');%將連續(xù)被控對(duì)象通過(guò)零階保持器進(jìn)行離散化Gz=feedback(Gd,1)%單位負(fù)反饋系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)例7-23

已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，采樣周期

，求離散系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

。7.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

與連續(xù)系統(tǒng)相同，離散系統(tǒng)必須穩(wěn)定，才有可能正常工作，因此穩(wěn)定性分析是離散系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。對(duì)于線性連續(xù)系統(tǒng)，通常在s域研究系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，而離散系統(tǒng)則在

域研究系統(tǒng)穩(wěn)定性。因?yàn)?/p>

變換是從拉普拉斯變換推廣而來(lái)，所以首先應(yīng)從s域和

域的映射關(guān)系開始研究。7.5.1

s平面到z平面的映射若令根據(jù)

變換的定義，復(fù)變量

和

的關(guān)系為則于是，

平面與

平面之間的映射關(guān)系為當(dāng)

時(shí)，,表示s平面的虛軸映射到z平面上是以原點(diǎn)為圓心的單位圓；當(dāng)

時(shí)，,表示s平面的虛軸映射到z平面上是以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)部區(qū)域；當(dāng)

時(shí)，,表示s平面的虛軸映射到z平面上是以原點(diǎn)為圓心的單位圓外部區(qū)域。

線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定與否取決于系統(tǒng)的特征根在

s平面上的位置，若特征根全部位于s左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。根據(jù)s平面和

z平面的映射關(guān)系，線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:特征方程的根（即脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）均位于

z平面單位圓內(nèi)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。只要有一個(gè)特征根在單位圓外，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。若特征根位于單位圓上，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，在工程上屬于不穩(wěn)定范疇。7.5.2離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程的根（即脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）均位于

z平面單位圓內(nèi)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。只要有一個(gè)特征根在單位圓外，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。若特征根位于單位圓上，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，在工程上屬于不穩(wěn)定范疇。設(shè)典型閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-4-6所示，其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為

將

z平面的單位圓內(nèi)的區(qū)域映射到

w

平面的左半平面。這種變換稱為雙線性變換，又稱

w變換。7.5.3線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)1.w變換與w域中的勞斯判據(jù)如果令則有z和

w

均為復(fù)變量，令則有當(dāng)

時(shí)，

，

平面的單位圓映射于

平面的虛軸。當(dāng)

時(shí)，

，

平面的單位圓映內(nèi)射于

平面的左半平面。當(dāng)

時(shí)，

，

平面的單位圓映外射于

平面的右半平面。

通過(guò)雙線性變換，可將離散系統(tǒng)以

z為變量的特征方程D(z)變換為以

w

為變量的特征方程

D(w)，然后在

w

域內(nèi)利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，將這種方法稱為

w

域中的勞斯穩(wěn)定判據(jù)。解：例7-24

已知離散系統(tǒng)的特征方程

D(z)=

3z3

+

2z2

+

z+1

=

0，試判斷該離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。利用雙線性變換

，得整理得列勞斯表由于勞斯表第一列系數(shù)全為正，即所有根均在

z平面單位圓內(nèi)，故該離散系統(tǒng)穩(wěn)定。

勞斯穩(wěn)定判據(jù)是確定連續(xù)系統(tǒng)是否穩(wěn)定的簡(jiǎn)單有效方法，只有通過(guò)雙線性變換才可以用于離散系統(tǒng)，而不能直接應(yīng)用于

z域。朱利穩(wěn)定判據(jù)是可以直接在

z域判斷離散系統(tǒng)特征方程的根是否在單位圓內(nèi)的判據(jù)。2.朱利穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為朱利表其中

離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是共(n-1)個(gè)約束條件所有條件均滿足時(shí),離散系統(tǒng)穩(wěn)定,否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。解：根據(jù)閉環(huán)特征方程列朱利表可得例7-25

已知線性離散系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

D(z)=3z4

+

z3

-z

2

-

2z+1

=0試用朱利穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因?yàn)闈M足滿足不滿足由于不滿足朱利穩(wěn)定準(zhǔn)則，故該離散系統(tǒng)不穩(wěn)定。解：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為例7-26

設(shè)帶有零階保持器的線性離散系統(tǒng)如圖7-5-4所示，當(dāng)采樣周期T分別取1s和0.

1s

時(shí)，試求離散系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的K

值范圍。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為當(dāng)T=1s時(shí)，閉環(huán)特征方程為滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為解得T=1s離散系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍為

0<

K<

2.39。若T=0.

1s時(shí)，通過(guò)計(jì)算可得離散系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍為

0<K<20.3。

通過(guò)例7-26可見，采樣周期

T

和開環(huán)增益

K都對(duì)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性有影響。當(dāng)采樣周期一定時(shí)，加大開環(huán)增益會(huì)使離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，甚至使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定；當(dāng)開環(huán)增益一定時(shí)，采樣周期越長(zhǎng)，丟失的信息越多，對(duì)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)性能均不利。判斷線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最直接的方法是求出系統(tǒng)的所有特征根，根據(jù)特征根是否位于平面的單位圓內(nèi)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。利用MATLAB中的函數(shù)roots()可求特征根，函數(shù)abs()可求特征根的模值，函數(shù)zplane()可繪制離散系統(tǒng)帶單位圓的零極點(diǎn)圖，其中極點(diǎn)用“×”表示，零點(diǎn)用“o”表示。7.5.4MATLAB實(shí)現(xiàn)解：MATLAB程序如下。例7-27

已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-5-5所示，采樣周期T=1s

，試判斷該離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。clc;clearnum=[3];den=[1,2,0,0];[num1,den1]=c2dm(num,den,1,'imp');[numd,dend]=feedback(num1,den1,1,1);r=roots(dend)abs(r)zplane(numd,dend)執(zhí)行該程序，運(yùn)行結(jié)果為圖7-5-6離散系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖r=0.6000+1.1205i0.6000-1.1205i0.0838+0.0000ians=1.27111.27110.0838由運(yùn)行結(jié)果及零極點(diǎn)分布圖7-5-6可以看出，系統(tǒng)有兩個(gè)特征根的模值大于1，即有一對(duì)共軛極點(diǎn)在單位圓外，因此該系統(tǒng)不穩(wěn)定。7.6離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

類似于連續(xù)系統(tǒng)的分析，可通過(guò)計(jì)算離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，來(lái)研究離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。連續(xù)系統(tǒng)中穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法，在一定的條件下可以推廣到離散系統(tǒng)中。與連續(xù)系統(tǒng)不同的是，離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差只對(duì)采樣點(diǎn)而言。7.6.1離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)單位反饋離散系統(tǒng)如圖7-6-1所示系統(tǒng)誤差脈沖傳遞函數(shù)為由此可得采樣誤差信號(hào)的

變換為若

的極點(diǎn)全部位于

平面上的單位圓內(nèi)，即若離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則可利用

變換的終值定理求出采樣瞬時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差由上式表明，線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，不但與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與輸入序列的形式及幅值有關(guān)，除此之外，

由于

G(z)和

R(z)一般與采樣周期T有關(guān)，

因此離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期的選取也有關(guān)。

與連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析類似，引出離散系統(tǒng)型別的概念。在連續(xù)系統(tǒng)中，將開環(huán)傳遞函數(shù)

G(s)

在

s=0的極點(diǎn)個(gè)數(shù)

v定義為系統(tǒng)的型別。根據(jù)

z=esT

關(guān)系式可知，對(duì)應(yīng)于離散系統(tǒng)，將開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

G(z)在

z=1

處極點(diǎn)的個(gè)數(shù)

v定義為系統(tǒng)的型別，稱v=0,

1,

2，…

的系統(tǒng)分別為

0型、I型、II型等離散系統(tǒng)。7.6.2離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù)1.單位階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差下面討論離散系統(tǒng)在三種典型輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，并建立離散系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)的概念。當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位階躍信號(hào)

r(t)=1(t)時(shí),其

z變換為

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為其中

稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。對(duì)于0型系統(tǒng)，為一常值，；對(duì)于I型及I型以上系統(tǒng)，，。2.單位斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位斜坡信號(hào)

r(t)=t時(shí),其

z變換為

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為其中

稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。對(duì)于0型系統(tǒng)，，；對(duì)于I型系統(tǒng)，為一常值，；

對(duì)于Ⅱ型以上系統(tǒng)，，

。3.單位加速度輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位加速度信號(hào)

時(shí)

,

其

z變換為

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為其中

稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。對(duì)于0型系統(tǒng)，，；對(duì)于I型系統(tǒng)，，；

對(duì)于Ⅱ型以上系統(tǒng)，為常值，

。歸納上述討論結(jié)果,可以得出典型輸入信號(hào)作用下不同型別離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算規(guī)律，見表7-6-1所示。系統(tǒng)型別0Ⅰ0Ⅱ00Ⅲ000值得注意的是，如果希望求出其他結(jié)構(gòu)形式離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，或者希望求出離散系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)定誤差，只要求出系統(tǒng)誤差的

變換函數(shù)

或

，在離散系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，可以應(yīng)用

變換的終值定理算出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。如果不能寫出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，則輸入信號(hào)不能從系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性分離出來(lái)，從而上述靜態(tài)誤差系數(shù)不能被定義。解：系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為例7-28已知線性離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-6-2所示，其中輸入

，采樣周期

，試求離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。離散系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為離散系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為因?yàn)楦鶕?jù)朱利穩(wěn)定判據(jù)可知，該離散系統(tǒng)穩(wěn)定。由開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

可知，該系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)，根據(jù)表7-6-1可得，在單位階躍和單位斜坡函數(shù)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零，而靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為因此，在輸入信號(hào)為

時(shí),解：MATLAB程序如下。例7-29利用MATLAB分析例7-28離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。clc;clearT=0.2;t=0:0.2:5;sys=tf([0,0.24,-0.16],[1,-1.76,0.84],T);u=1+t+1/2.*t.^2;lsim(sys,u,t,0);grid;xlabel('t');ylabel('c*(t)');7.6.3MATLAB實(shí)現(xiàn)執(zhí)行該程序，運(yùn)行結(jié)果如圖7-6-3所示，由離散系統(tǒng)的響應(yīng)曲線可見，系統(tǒng)輸出在采樣瞬時(shí)不能完全跟蹤輸入，存在穩(wěn)態(tài)誤差。圖7-6-3離散系統(tǒng)的響應(yīng)曲線7.7離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析

由線性連續(xù)系統(tǒng)理論可知，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在

平面的分布對(duì)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)具有重要的影響。與此類似，離散系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)與閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在

平面的分布也有密切的關(guān)系。本節(jié)主要介紹離散系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系，以及動(dòng)態(tài)性能的分析計(jì)算方法。7.7.1離散系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系設(shè)離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為其中，

為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，

為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。為討論方便，同時(shí)不失一般性，假設(shè)

沒有重極點(diǎn)。若輸入為單位階躍信號(hào)，則將

展開成部分分式形式，可得其中：

為函數(shù)

在極點(diǎn)

處的留數(shù)。則對(duì)上式求

反變換，可得第一項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)分量，第二項(xiàng)為瞬態(tài)分量。顯然，瞬態(tài)分量的變化規(guī)律取決于閉環(huán)極點(diǎn)在

平面的位置。下面分二種情況進(jìn)行討論。1.閉環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的實(shí)數(shù)極點(diǎn)

位于

平面的實(shí)軸上，對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量為則極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)具有以下影響。(1)若

，極點(diǎn)位于單位圓外的正實(shí)軸上，對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)為單調(diào)發(fā)散序列。(2)若

，極點(diǎn)位于單位圓與正實(shí)軸的交點(diǎn)處，對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)為等幅序列。(3)若

，極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)的正實(shí)軸上，對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)為單調(diào)衰減序列，極點(diǎn)越接近原點(diǎn)，衰減越快。(4)若

，極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)的負(fù)實(shí)軸上，對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)是以為周期正負(fù)交替的衰減振蕩序列。(5)若

，極點(diǎn)位于單位圓與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)處，對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)是以為周期正負(fù)交替的等幅振蕩序列。(6)若

，極點(diǎn)位于單位圓外的負(fù)實(shí)軸上，對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)是以

為周期正負(fù)交替的發(fā)散振蕩序列。2.閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)極點(diǎn)

以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)，即它們所對(duì)應(yīng)的系數(shù)

也必定是共軛的,即

對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)分量為共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)分布與相應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系如圖7-7-2所示。(1)若

，共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于單位圓外，對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)是發(fā)散振蕩序列。(2)若

，共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于單位圓上，對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)是等幅振蕩序列。(3)若

，共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)是衰減振蕩序列，并且共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)越接近

平面的原點(diǎn)，衰減得越快。綜上所述，當(dāng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)分布在平面的單位圓上或單位圓外時(shí)，對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)是等幅或發(fā)散序列，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)極點(diǎn)分布在平面的單位圓內(nèi)時(shí)，對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)是衰減序列，而且極點(diǎn)越接近平面的原點(diǎn)，衰減越快。當(dāng)極點(diǎn)分布在平面左半單位圓內(nèi)時(shí)，雖然瞬態(tài)響應(yīng)是衰減的，但是由于振蕩頻率較大，動(dòng)態(tài)特性并不好。因此在設(shè)計(jì)線性離散系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)該盡量選擇閉環(huán)極點(diǎn)在平面右半單位圓內(nèi)，而且盡量靠近原點(diǎn)，這樣系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。這一結(jié)論為配置合適的閉環(huán)極點(diǎn)提供了理論依據(jù)。設(shè)離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為7.7.2離散系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)通過(guò)

反變換，可以求出單位階躍響應(yīng)序列

，從而可以確定離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的

變換為解：系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為例7-30已知線性離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-7-3所示，其中輸入

，采樣周期

，試分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為因?yàn)槔瞄L(zhǎng)除法，將

展成無(wú)窮冪級(jí)數(shù)可得系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的輸出序列

為根據(jù)上述

數(shù)值，可以繪出離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

，如圖7-7-4所示。由此可以求得該離散系統(tǒng)的近似性能指標(biāo)：上升時(shí)間

，峰值時(shí)間

，調(diào)節(jié)時(shí)間

，超調(diào)量

。需要指出的是，盡管離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的定義與連續(xù)系統(tǒng)相同，但在域分析時(shí)，只能針對(duì)采樣時(shí)刻的值，而在采樣間隔內(nèi)，系統(tǒng)的狀態(tài)并不能被表示出來(lái)，因此不能精確描述和表達(dá)離散系統(tǒng)的真實(shí)特性，在采樣周期較大時(shí)，尤其如此。對(duì)離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的分析可以調(diào)用相應(yīng)的MATLAB函數(shù)來(lái)完成，這些函數(shù)是在相應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的函數(shù)名前加字母d來(lái)命名的，例如利用函數(shù)dstep()、dimpulse()和dlsim()可分別求出離散系統(tǒng)的階躍響應(yīng)、脈沖響應(yīng)和任意輸入響應(yīng)。7.7.3MATLAB實(shí)現(xiàn)解：MATLAB程序如下。例7-31利用MATLAB繪制例7-30相應(yīng)有零階保持器和無(wú)零階保持器的離散系統(tǒng)以及連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線并分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。clc;clearnum=[1];den=[110];T=1;Gs=tf(num,den);Gz=c2d(Gs,T,'zoh');g=feedback(Gz,1,-1);[numz,denz]=tfdata(g,'v');y=dstep(numz,denz,25);t=0:length(y)-1;plot(t,y,'*');holdon;Gz=c2d(Gs,T,'imp');g=feedback(Gz,1,-1);[numz,denz]=tfdata(g,'v');y=dstep(numz,denz,25);t=0:length(y)-1;plot(t,y,'+');holdon;t=0:0.001:25;g=feedback(Gs,1,-1);y=step(g,t);plot(t,y,'k-');xlabel('t');ylabel('c(t)');gridon;legend('有零階保持器','無(wú)零階保持器','連續(xù)系統(tǒng)');執(zhí)行該程序，運(yùn)行結(jié)果如圖7-7-5所示，由圖可以看出，在相同條件下，由于采樣造成了信息損失，與連續(xù)系統(tǒng)相比，離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能有所降低。由于零階保持器的相角滯后特性，相對(duì)于無(wú)零階保持器的離散系統(tǒng)，穩(wěn)定程度和動(dòng)態(tài)性能變差。圖7-7-5系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)解：MATLAB程序如下。例7-32已知線性離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-7-3所示，輸入

r(t)=1(t)，采樣周期T分別取0s、0.2s

、0.4s

、0.6s

、0.8s和1s時(shí)，利用MATLAB繪制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，并分析采樣周期對(duì)離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響。clc;clear%T=0num=[1];den=[110];G=tf(num,den);sys=feedback(G,1,-1);subplot(3,2,1);step(sys,12);%繪制T=0時(shí)連續(xù)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線grid;%T=0.2T1=0.2;Gz1=c2d(G,T1,'zoh');sys1=feedback(Gz1,1,-1);subplot(3,2,2);step(sys1,12);%繪制T=0.2時(shí)離散系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線grid;%T=0.4T2=0.4;Gz2=c2d(G,T2,'zoh');sys2=feedback(Gz2,1,-1);subplot(3,2,3);step(sys2,12);%繪制T=0.4時(shí)離散系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線grid;%T=0.6T3=0.6;Gz3=c2d(G,T3,'zoh');sys3=feedback(Gz3,1,-1);subplot(3,2,4);step(sys3,12);%繪制T=0.6時(shí)離散系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線grid; %T=0.8T4=0.8;Gz4=c2d(G,T4,'zoh');sys4=feedback(Gz4,1,-1);subplot(3,2,5);step(sys4,12);%繪制T=0.8時(shí)離散系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線grid;%T=1T5=1;Gz5=c2d(G,T5,'zoh');sys5=feedback(Gz5,1,-1);subplot(3,2,6);step(sys5,12);%繪制T=1時(shí)離散系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線grid;表7-7-1不同采樣周期值下系統(tǒng)性能指標(biāo)執(zhí)行該程序，運(yùn)行結(jié)果如圖7-7-6所示，同時(shí)記錄不同采樣周期值下相應(yīng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間，記錄結(jié)果如表7-7-1所示。由表7-7-1可見，采樣周期越大，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能下降越厲害。圖7-7-6不同采樣周期時(shí)的離散系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線7.8離散系統(tǒng)的數(shù)字校正

類似于連續(xù)系統(tǒng)，線性離散系統(tǒng)的設(shè)計(jì)是指在系統(tǒng)的被控對(duì)象、執(zhí)行元件和測(cè)量元件等已經(jīng)確定的前提下，設(shè)計(jì)數(shù)字校正裝置（數(shù)字控制器），以使系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)的要求。線性離散系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法主要有模擬化設(shè)計(jì)和離散化設(shè)計(jì)兩種。由于離散化設(shè)計(jì)方法比較簡(jiǎn)便，可以實(shí)現(xiàn)比較復(fù)雜的控制規(guī)律，因此更具有一般性。本節(jié)主要介紹離散化設(shè)計(jì)方法，研究數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)及最少拍控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)等問題。7.8.1數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)定義廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)為

設(shè)離散系統(tǒng)如圖7-8-

1所示，圖中D(z)

為數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)，Gh(s)為零階保持器的傳遞函數(shù)，G0(s)為被控對(duì)象的傳遞函數(shù)。定義廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)為誤差脈沖傳遞函數(shù)為數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為顯然或由此可得離散化設(shè)計(jì)方法的具體設(shè)計(jì)步驟如下。(1)根據(jù)已知的被控對(duì)象，針對(duì)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求及其他約束條件，確定理想的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

或誤差脈沖傳遞函數(shù)

；(2)確定數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)

；(3)根據(jù)D(z)編制控制算法程序。

所謂最少拍系統(tǒng)，是指在典型輸入信號(hào)作用下，能以最少采樣周期即最少拍結(jié)束響應(yīng)過(guò)程，且在采樣點(diǎn)上無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差的離散系統(tǒng)。最少拍系統(tǒng)實(shí)質(zhì)上是時(shí)間最優(yōu)控制系統(tǒng)，系統(tǒng)的性能指標(biāo)就是調(diào)節(jié)時(shí)間最短或盡可能短。7.8.2最少拍控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)原則是，若廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)

G(z)在

z平面單位圓上及單位圓外沒有零點(diǎn)和極點(diǎn)(除(1,

j0)點(diǎn)外)，且不含有延遲環(huán)節(jié)，要求選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

，使系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，經(jīng)最少拍后能使輸出序列在各采樣點(diǎn)上的穩(wěn)態(tài)誤差為零，達(dá)到完全跟蹤的目的，從而確定所需要的數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)D(z)

。單位斜坡信號(hào)單位階躍信號(hào)單位加速度信號(hào)最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，通常是針對(duì)典型輸入作用進(jìn)行的，常見的典型輸入信號(hào)有通常，典型輸入信號(hào)可以寫成一般形式式中，

B(z)是不含

(1

-

z-1

)因子的

z-1

多項(xiàng)式。

q取1

、2

、3分別對(duì)應(yīng)單位階躍信號(hào)、單位斜坡信號(hào)和單位加速度信號(hào)。根據(jù)最少拍設(shè)計(jì)要求，要使系統(tǒng)在采樣點(diǎn)上無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)滿足由上式表明，使

ess*

為零的條件是

中應(yīng)包含

(1

-

z-1

)m

因子，即其中

F

(z)是不含

(1

-

z-1

)因子的

z-1

多項(xiàng)式。為使穩(wěn)態(tài)誤差最快衰減到零，即為最少拍系統(tǒng)，就應(yīng)使

最簡(jiǎn)單，取

m=q,

F

(z)=1，此時(shí)所得

既滿足準(zhǔn)確性要求又滿足快速性要求。此時(shí)

下面分別討論最少拍系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)的確定方法。1.單位階躍輸入當(dāng)輸入信號(hào)為

，即

，此時(shí)取

，則

可得數(shù)