第03講解直角三角形（7類(lèi)題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.解直角三角形的應(yīng)用；1.掌握解直角三角形；2.掌握解直角三角形的應(yīng)用——仰俯角問(wèn)題；3、掌握解直角三角形的應(yīng)用——方位角問(wèn)題；4、掌握解直角三角形的應(yīng)用——坡度、坡角問(wèn)題；5、掌握解直角三角形的綜合應(yīng)用；知識(shí)點(diǎn)1：解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A的對(duì)邊斜邊=ac，cosA（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊）【即學(xué)即練1】1．（2023上·山東濟(jì)寧·九年級(jí)濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查的是銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)定義解題即可．【詳解】解：如圖：∵∴故選：C．知識(shí)點(diǎn)2：解直角三角形的應(yīng)用——仰角、俯角問(wèn)題（1）概念：仰角是向上看的視線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角；俯角是向下看的視線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角．（2）解決此類(lèi)問(wèn)題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問(wèn)題以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問(wèn)題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決．在視線(xiàn)與水平線(xiàn)所成的角中，視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方的角叫仰角；視線(xiàn)在水平線(xiàn)下方的角叫俯角；【即學(xué)即練2】2（2023上·湖南邵陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在地面上的點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂B的仰角為α度，若米，則樹(shù)高為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵；過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，在中根據(jù)，求出的高度．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，在中，．故選B．知識(shí)點(diǎn)3：解直角三角形的應(yīng)用——方位角問(wèn)題（1）在辨別方向角問(wèn)題中：一般是以第一個(gè)方向?yàn)槭歼呄蛄硪粋€(gè)方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．（2）在解決有關(guān)方向角的問(wèn)題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角．【即學(xué)即練3】3．（2023上·山東泰安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，某貨船以24海里/時(shí)的速度從A處向正東方向的D處航行，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60°的方向．該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得該島在北偏東30°的方向上．則貨船在航行中離小島C的最短距離是（）

A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作，利用，結(jié)合銳角三角函數(shù)，列式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，

由題意，得：，在中，，在中，，∴，∴；故選B【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形．知識(shí)點(diǎn)4：解直角三角形的應(yīng)用—:坡度、坡角問(wèn)題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫(xiě)成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問(wèn)題中，一般通過(guò)作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問(wèn)題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測(cè)量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．【即學(xué)即練4】4．（2023上·山西臨汾·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）汾河水庫(kù)位于山西省太原市西北婁煩縣境內(nèi)下靜游村至下石家莊之間．如圖，水庫(kù)某段橫截面迎水坡的坡度（坡度），若坡高，則坡面的長(zhǎng)度約為（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用：坡度坡角問(wèn)題，熟記坡度的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)坡度的概念求出，再根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵迎水坡的坡度，由勾股定理得：，故選：C．知識(shí)點(diǎn)5:解直角三角形的綜合應(yīng)用（1）通過(guò)解直角三角形能解決實(shí)際問(wèn)題中的很多有關(guān)測(cè)量問(wèn)．如：測(cè)不易直接測(cè)量的物體的高度、測(cè)河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過(guò)測(cè)量角的度數(shù)和測(cè)量邊的長(zhǎng)度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長(zhǎng)度．（2）解直角三角形的一般過(guò)程是：①將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫(huà)出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題）．②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問(wèn)題的答案．【即學(xué)即練5】5．（2023上·山西臨汾·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）為慶祝國(guó)慶，某校要在如圖所示的五角星中（圖中所有線(xiàn)段的長(zhǎng)度均相等，且），從頂點(diǎn)A開(kāi)始，沿邊每隔40厘米裝一盞閃光燈，如果F，J兩點(diǎn)間的距離為米，那么需要安裝閃光燈的盞數(shù)是（參考數(shù)據(jù)：）A．30 B．40 C．50 D．60【答案】C【分析】此題考查了等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)，解直角三角形，連接，過(guò)點(diǎn)A作，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)得到，，然后利用代數(shù)求出，然后求出總長(zhǎng)度，進(jìn)而求解即可．解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線(xiàn)．【詳解】如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)A作，根據(jù)題意可得，，∴是等腰三角形，∵，，∴，，∴，即，解得米，∴米，∴米，∵20米厘米，∴．∴需要安裝閃光燈的盞數(shù)是50．故選：C．題型01解直角三角形的相關(guān)計(jì)算1．（22·23下·深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊中，點(diǎn)E在邊上自A向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在邊上自C向B運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)速度相同，連接交于點(diǎn)P，連接，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)A作于A(yíng)，作于，連接，交于，證明，得，再證明，可得，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的弧，再由弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于A(yíng)，作于，連接，交于，是等邊三角形，，，，，，，是的垂直平分線(xiàn)，，在中，，，，，，，，，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的弧，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形的面積，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡等知識(shí)，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解本題的關(guān)鍵．2．（21·22下·蕪湖·自主招生）如圖所示，已知，且與的距離為2，與的距離為1，正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在，，上，則．

【答案】【分析】作于．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，過(guò)作的垂線(xiàn)．顯然有為等邊三角形，，都是有一個(gè)角為30°的直角三角形，所以．勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖所示作于則，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，過(guò)作的垂線(xiàn)，交分別于點(diǎn)，

∴為等邊三角形，則∴∵，∴∴，∴，∵，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·廣東深圳·八年級(jí)深圳市南山區(qū)荔香學(xué)校校考期中）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角正對(duì)（），如圖①，在中，，頂角A的正對(duì)記作，這時(shí)．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：

(1)________．(2)對(duì)于，的正對(duì)值的取值范圍是________．(3)如圖②，已知，其中為銳角，試求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如圖，,，所以.（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)A向靠近時(shí)，增大，逐漸接近，腰長(zhǎng)接近，相應(yīng)的；當(dāng)點(diǎn)A遠(yuǎn)離時(shí)，減小，逐漸接近，腰長(zhǎng)逐漸增大，相應(yīng)的；于是．（3）如圖，在上截取，過(guò)H作于D，設(shè)，則,．解，，．【詳解】（1）解：如圖，,,∵,∴.

（2）解：如圖，點(diǎn)A在的中垂線(xiàn)上，當(dāng)點(diǎn)A向靠近時(shí)，增大，逐漸接近，腰長(zhǎng)接近，相應(yīng)的；當(dāng)點(diǎn)A遠(yuǎn)離時(shí)，減小，逐漸接近，腰長(zhǎng)逐漸增大，相應(yīng)的逐漸接近0，；∴

（3）解：如圖，在上截取，過(guò)H作于D，，設(shè)，則，,∴．中，，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查新定義，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性質(zhì)；添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵．題型02解非直角三角形1．（2020·哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在處測(cè)得點(diǎn)在北偏東方向上，在處測(cè)得點(diǎn)在北偏東方向上，若千米，則點(diǎn)兩點(diǎn)的距離為（）千米．A．4 B． C．2 D．6【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，，千米，則根據(jù)三角函數(shù)可求、，再根據(jù)，利用三角函數(shù)可求BC，則．【詳解】解：由題意可知，，，∵，∴，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義，正確標(biāo)注方向角是解題的關(guān)鍵．2．（2019上·成都·期末）如圖，在等腰中，于點(diǎn)，則的值（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先由，易得，由可得，進(jìn)而用勾股定理分別將BD、BC長(zhǎng)用AB表示出來(lái)，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，又∵，∴，在中，，∴，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性質(zhì)和勾股定理以及三角函數(shù)的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）在中，若，，，則．【答案】1或13【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分高在三角形內(nèi)部和三角形外部?jī)煞N情況進(jìn)行討論求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分兩種情況討論：①當(dāng)在的外部時(shí)，如圖：

∵，∴設(shè)，則：，∴，∴，∴，∴；②當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，如圖：

同法可得：，∴；綜上：1或13；故答案為：1或13．【點(diǎn)睛】本題考查解非直角三角形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想，進(jìn)行求解．題型03構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積1．（22·23下·益陽(yáng)·期末）如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積為（

）

A．48 B．50 C．52 D．54【答案】A【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求出結(jié)果．【詳解】解：連接，如圖所示

，，，四邊形的面積為48故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形面積，解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)巧妙添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．2．（22·23下·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為，的面積為．【答案】【分析】過(guò)作，如圖所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面積公式代值求解即可得到．【詳解】解：過(guò)作，如圖所示：在中，，，，在中，，，即，，由勾股定理得；，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查解非直角三角形問(wèn)題以及求三角形面積，涉及三角函數(shù)定義、勾股定理及三角形面積公式，熟練掌握解非直角三角形的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（22·23上·西安·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，連接、，，，，則的值為．【答案】【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)直角三角形邊角關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，，是等腰直角三角形，設(shè)，則，，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形．正確的添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，熟記直角三角形的邊角關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．題型04仰角俯角問(wèn)題1．（22·23下·日照·階段練習(xí)）如圖，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)，沿坡度（坡度坡面鉛直高度與水平寬度的比）斜坡走到點(diǎn)，再繼續(xù)沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，在處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為，已知建筑物底端與水平面的距離為米，則建筑物的高度約是參考數(shù)據(jù)：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，作于，首先根據(jù)坡度求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，作于，

由題意得：米，米，米，在中，：，米，在中，，米，，米，米；即建筑物的高度約為米．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角、坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．2．（22·23·一模）安裝了軟件“”的智能手機(jī)可以測(cè)量物高．其數(shù)學(xué)原理是：該軟件通過(guò)測(cè)量手機(jī)離地面的高度，物體底端的俯角和頂端的仰角即可得出物體高度．如圖，小明測(cè)得大樹(shù)底端點(diǎn)俯角，頂端點(diǎn)的仰角，點(diǎn)離地面的高度米，則大樹(shù)的為（

）

A．米 B．米C．米 D．米【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，，從而可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，最后利用線(xiàn)段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

，由題意得：，，，在中，，，在中，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在襄陽(yáng)市諸葛亮廣場(chǎng)上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點(diǎn)處，探測(cè)器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離為，從熱氣球看銅像頂部的俯角為，看銅像底部的俯角為．已知底座的高度為，求銅像的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】銅像的高度是；【分析】根據(jù)題意可得，從而求出，即可求解．【詳解】解：由題意得：，，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴銅像的高度是；【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出．題型05方位角問(wèn)題1．（23·24上·石家莊·階段練習(xí)）如圖，島位于島的正西方，兩島間的距離為海里，由島分別測(cè)得船位于南偏東和南偏西方向上，則船到島的距離為（）

A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【分析】要求的長(zhǎng)，需要構(gòu)造直角三角形，作輔助線(xiàn)，然后根據(jù)題目中的條件利用特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)，

海里,，，，，，，，解得：海里，海里，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線(xiàn)，利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行解答．2．（22·23下·清遠(yuǎn)·三模）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔的處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的北偏東方向上的B處，這時(shí)，B處與燈塔P的距離為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，先在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

在中，海里，，（海里），在中，，（海里），處與燈塔的距離為海里，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十八中學(xué)?？计谀┤鐖D，某漁船向正東方向以10海里/時(shí)的速度航行，在A(yíng)處測(cè)得島C在北偏東方向上，1小時(shí)后漁船航行到B處，測(cè)得島C在北偏東方向上，已知該島周?chē)?海里內(nèi)有暗礁．

(1)B處離島C有多遠(yuǎn)？(2)如果漁船繼續(xù)向東航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？(3)如果漁船在B處改為向東偏南方向航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)（參考數(shù)據(jù)：、、）【答案】(1)10海里(2)有危險(xiǎn)(3)沒(méi)有危險(xiǎn)【分析】（1）過(guò)C作垂直，通過(guò)證明，即可求出的長(zhǎng)；（2）求出點(diǎn)C到的距離是否大于9，如果大于9則無(wú)觸礁危險(xiǎn)，反之則有；（3）過(guò)點(diǎn)C作，首先求出，然后根據(jù)三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，進(jìn)而比較求解即可．【詳解】（1）過(guò)C作垂直，

為漁船向東航行到C道最短距離∵在A(yíng)處測(cè)得島C在北偏東的∴又∵B處測(cè)得島C在北偏東，∴，，∴，∴（海里）；（2）∵，∴∴（海里）∴（海里）∵∴如果漁船繼續(xù)向東航行，有觸礁危險(xiǎn)；（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作，

根據(jù)題意可得，∴，即解得（海里）∵∴沒(méi)有危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角度得到，再通過(guò)三角函數(shù)計(jì)算出相關(guān)距離．題型06坡度坡比問(wèn)題1．（22·23下·廣州·一模）如圖是一個(gè)山坡，已知從處沿山坡前進(jìn)160米到達(dá)處，垂直高度同時(shí)升高80米，那么山坡的坡度為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用勾股定理得出的長(zhǎng)，進(jìn)而利用坡度的定義得出答案．【詳解】解：由題意可得：（米），則山坡的坡度為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握坡度的定義是解題的關(guān)鍵．2．（22·23下·太原·一模）我校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)要測(cè)量建筑物的高度，如圖，建筑物前有一段坡度為的斜坡，用測(cè)角儀測(cè)得建筑物屋頂?shù)难鼋菫椋又∶饔窒蛳伦吡嗣?，剛好到達(dá)坡底處，這時(shí)測(cè)到建筑物屋頂?shù)难鼋菫椋谕黄矫鎯?nèi)，若測(cè)角儀的高度米，則建筑物的高度約為（）米．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）

A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米【答案】D【分析】設(shè)米，延長(zhǎng)交于，作于，于，求出米，米，由矩形的性質(zhì)得出米，在中，求出米，米，米，在中，由，得出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)米，延長(zhǎng)交于，作于，于，

，在中，米，，米，米，四邊形是矩形，四邊形是矩形，米，在中，，米，米，米，在中，，，，米，米，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用的輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．3．（21·22下·江門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在距某居民樓樓底B點(diǎn)左側(cè)水平距離60m的C點(diǎn)處有一個(gè)山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底C點(diǎn)到坡頂D點(diǎn)的距離m，在坡頂D點(diǎn)處測(cè)得居民樓樓頂A點(diǎn)的仰角為28°，居民樓與山坡的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓的高度約為（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】82.1m【分析】構(gòu)造直角三角形，利用坡比的意義和直角三角形的邊角關(guān)系，分別計(jì)算出、，進(jìn)而求出．【詳解】如圖，由題意得，，在中，∵山坡的坡度，

∴，設(shè)則，由勾股定理可得，又，即，∴，∴，∴，在中，，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、坡比；添加輔助線(xiàn)構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．題型07解直角三角形的其他應(yīng)用1．（2022春·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我國(guó)明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉，良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”詞寫(xiě)得很優(yōu)美，其大意是：當(dāng)秋千靜止在地面上時(shí)，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步(每一步為五尺)，秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的身高為五尺，當(dāng)然這時(shí)秋千的繩索是呈直線(xiàn)狀態(tài)，問(wèn)這個(gè)秋千的繩索有多長(zhǎng)？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．無(wú)法計(jì)算【答案】B【分析】設(shè)這個(gè)秋千的繩索，得到，求出的值即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)秋千的繩索，則，，，，，，這個(gè)秋千的繩索有尺．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)東營(yíng)市勝利第一初級(jí)中學(xué)校考期中）為完成“綜合與實(shí)踐”作業(yè)任務(wù)，小明和小華利用周末一起去郊外放風(fēng)箏，小明負(fù)責(zé)放風(fēng)箏，小華負(fù)責(zé)測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如圖，當(dāng)小明把風(fēng)箏放飛到空中到點(diǎn)P處時(shí)，小華分別在地面測(cè)得，，米，則風(fēng)箏的高度的長(zhǎng)為（

）米（點(diǎn)C在點(diǎn)P的正下方，A、B、C在地面的同一條直線(xiàn)上）（結(jié)果保留根號(hào)）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)的長(zhǎng)為x米，根據(jù)，，，得出，，最后根據(jù)米，列出求解即可．【詳解】解：設(shè)的長(zhǎng)為x米，∵，，，∴，，∵米，∴，解得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角度的三角函數(shù)值，以及解直角三角形的方法和步驟．3．（2022春·黑龍江綏化·九年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）松花江斜拉橋是哈爾濱繞城高速公路西段（瓦盆窯——秦家）項(xiàng)目的重要組成部分，是我省修建的第一座公路斜拉橋，也是哈爾濱市乃至黑龍江省的標(biāo)志性工程．主橋采用雙塔雙索面鋼—混凝土結(jié)合梁斜拉橋，塔墩固結(jié)一體、塔與主梁縱向活動(dòng)支承，屬塔墩固結(jié)、塔梁支承式半懸浮體系．大橋索塔為門(mén)式塔，橋面以上設(shè)一道上橫梁．全長(zhǎng)．圖2是從圖1引申出的平面圖．假設(shè)你站在橋上測(cè)得拉索與水平橋面的夾角是，拉索與水平橋面的夾角是，兩拉索頂端的距離為2米，兩拉索底端距離為128米，請(qǐng)求出索塔高的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1米，）

【答案】109.8米【分析】設(shè)的長(zhǎng)為x米，運(yùn)用三角函數(shù)表示出的長(zhǎng)，列出等式算出，即可解答；【詳解】解：設(shè)的長(zhǎng)為x米，在中，，（米），米，在中，米，米，，，解得：，米，（米），答：索塔BH的長(zhǎng)約為109.8米．【點(diǎn)睛】該題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答該題的關(guān)鍵是能夠熟練地運(yùn)用三角函數(shù)列出等量關(guān)系式．A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2022上·黑龍江大慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是旗桿的一根拉線(xiàn)，測(cè)得米，，則的長(zhǎng)為（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【分析】利用余弦函數(shù)作答即可．【詳解】根據(jù)題意可知：，即在中，米，，有：（米），故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解三角函數(shù)的定義，是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西西安·西安市慶安初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是河堤的橫斷面示意圖，已知，堤高，則坡面的長(zhǎng)度是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，利用求出，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：在中，，，∵，∴，∴，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出是解題的關(guān)鍵．3．（2022上·湖南株洲·九年級(jí)校考期中）某堤的橫斷面如圖，堤高是5米，斜坡的坡度是，那么斜坡的長(zhǎng)為米．

【答案】10【分析】根據(jù)坡度等于鉛直高度與水平距離的比，求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理，求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：由題意，得：，∴，∴．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握坡度等于鉛直高度與水平距離的比，是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，漁船向東航行，8點(diǎn)到達(dá)O處，看到燈塔A在其北偏東方向，距離12海里，10點(diǎn)到達(dá)B處，看到該燈塔在其正北方向，則漁船每小時(shí)航行海里．

【答案】【分析】利用銳角三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，利用路程除以時(shí)間求出速度即可．【詳解】解：由題意，得：海里，∴海里；∴漁船每小時(shí)航行海里；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．5．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）數(shù)學(xué)興趣小組為了實(shí)地測(cè)量?jī)砂痘ハ嗥叫械囊欢魏拥膶挾?，在河的南岸點(diǎn)處測(cè)得河的北岸點(diǎn)在其北偏東方向，然后向西走80米到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向，求河寬．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，，，，）

【答案】米【分析】過(guò)作于，設(shè)米，則在中得到，在中，得到，則，解得分，即可得到答案．【詳解】解：過(guò)作于，設(shè)米，

在中，即，，在中，，即，，解得分，（米）．答：河寬大約為72.6米．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握方向角、準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·天津·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）某校數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)完“三角函數(shù)的應(yīng)用”后，在校園內(nèi)利用三角尺測(cè)量教學(xué)樓的高度，如圖，小明同學(xué)站在點(diǎn)處，將含45°角三角尺的一條直角邊水平放置，此時(shí)三角尺的斜邊剛好落在視線(xiàn)上．沿教學(xué)樓向前走7.7米到達(dá)點(diǎn)處，將含30°角三角尺的短直角邊水平放置，此時(shí)三角尺的斜邊也剛好落在視線(xiàn)上．已知小明眼睛到地面的距離為1.6米，求教學(xué)樓的高度．（點(diǎn)，，在同一水平線(xiàn)上．結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】19.8米【分析】先得出是等腰直角三角形，設(shè)米，得，，由得，進(jìn)而得出方程求解即可進(jìn)一步得出結(jié)論．解：如圖，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，設(shè)米．由題意可知，四邊形，四邊形是矩形，∴，，．∴．在中，，∴．∴．∴．在中，，，∴．∴．解得，．∴（米）答：教學(xué)樓的高約為19.8米．【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形的應(yīng)用---仰角俯角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．B能力提升1．（2023上·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料：余弦定理是這樣描述的：在中，、、所對(duì)的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】考查學(xué)生類(lèi)比遷移思想，直接畫(huà)出題目中描述的三角形，按照題干中的方程代入已知量解方程即可．【詳解】由題可知，需要畫(huà)出滿(mǎn)足條件的，如下圖所示；∵，；∴，；∴在中；；∵；∴；整理得：；，（舍）；∴；故選．

2．（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)?？计谥校樨瀼芈鋵?shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市大力開(kāi)展植樹(shù)造林活動(dòng)．如圖，在坡度的山坡上植樹(shù)，要求相鄰兩樹(shù)間的水平距離為，則斜坡上相鄰兩樹(shù)間的坡面距離為（

）A． B．2m C．4m D．【答案】C【分析】本題考查了坡度，根據(jù)坡度“鉛直距離與水平距離的比”及已知水平距離，可求得鉛直距離，由勾股定理即可求坡面距離．【詳解】解：由題意得：，即，由勾股定理得：，故選：C．3．（2023上·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一山坡的坡度為，小辰從山腳出發(fā)，沿山坡向上走了200米到達(dá)點(diǎn)，則坡角為，小辰上升了米．

【答案】#30度100【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)坡比的定義得到，得到，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．掌握坡度的概念是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得，∴，∵沿山坡向上走了200米到達(dá)點(diǎn)，∴（米）．故答案為：，．4．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，小紅同學(xué)用儀器測(cè)量一棵大樹(shù)的高度，在C處知，在E處測(cè)得，，儀器高度，這棵樹(shù)的高度為．

【答案】米【分析】根據(jù)直角三角形的邊角間關(guān)系，可用含的代數(shù)式表示出、，由于，得到關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】解：由題意，四邊形、四邊形、四邊形均為矩形，、均為直角三角形，所以米，米．在中，，即，在中，，即，又，，即，，（米），故答案為：米．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形．掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023上·江蘇泰州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的中線(xiàn)，

求：(1)的長(zhǎng)；(2)的正弦值．【答案】(1)6(2)【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）作于．在中，求出，在中，求出即可解決問(wèn)題；（2）在中，求出，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：如圖，作于．

在中，，，，，在中，，，．（2），，，，在中，．的正弦值為．6．（2023上·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）黃河是中華文明最主要的發(fā)源地，中國(guó)人稱(chēng)其為“母親河”，1855年8月，黃河改道山東大清河入渤海，自此與泉城濟(jì)南結(jié)下了不解之緣．黃河在濟(jì)南流經(jīng)7個(gè)區(qū)縣，綿延300余里，哺育了濟(jì)南兒女，潤(rùn)澤了泉城大地，為落實(shí)黃河文化的傳承弘揚(yáng)，某校組織學(xué)生到黃河某段流域進(jìn)行研學(xué)旅行．某興趣小組在只有米尺和測(cè)角儀的情況下，想要求出黃河某處的寬度（不能到達(dá)對(duì)岸）如圖，已知該段河對(duì)岸岸邊有一點(diǎn)A，興趣小組以A為參照點(diǎn)在河這邊沿河邊任取兩點(diǎn)B、C，測(cè)得，量得的長(zhǎng)為300m．求河的寬度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)）

【答案】河的寬度約為204m．【分析】此題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)角的正切值求出，由得，得到，即可求出河的寬度，正切掌握角的三角函數(shù)計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，

由圖可知，，設(shè)，在中，∵，∴，在中，∵，∴，∵，∴，∴，答：河的寬度約為204m．C綜合素養(yǎng)1．（2023上·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)D，E在邊上，若，，則的長(zhǎng)度是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由于是等邊三角形，還給出，所有考慮直接把轉(zhuǎn)移到一個(gè)直角三角形中求解，那么這個(gè)角度如何利用，恰好想到過(guò)點(diǎn)A作的垂線(xiàn)直接得到了，可求，再利用正切，可求,最后在求．【詳解】∵是等邊三角形；∴；過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為；∴；∴；∵；∴；∵；；∴；在中，；在中；；∴；∴；∴；∴；∵；∴；故選．

2．（2023上·浙江杭州·九年級(jí)杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，，對(duì)折矩形使得與重合，得到折痕，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，折痕是，連接，若，則點(diǎn)的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由矩形性質(zhì)和折疊性質(zhì)可得，，，，可得，從而可得，可得，從而可得的長(zhǎng)，，即可求解，進(jìn)而求出的長(zhǎng)．【詳解】解：四邊形是矩形，，由折疊性質(zhì)可得：，，，，在中，，，，，，，，，，，在中，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)，長(zhǎng)方形的性質(zhì)，角的直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用邊之間的關(guān)系推出．3．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校每日都在學(xué)生進(jìn)校前進(jìn)行體溫檢測(cè)．某學(xué)校大門(mén)高米，學(xué)生身高米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)處測(cè)得攝像頭的仰角為，當(dāng)學(xué)生剛好離開(kāi)體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域段時(shí)，在點(diǎn)處測(cè)得攝像頭的仰角為，則體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域段的長(zhǎng)為．【答案】米【分析】由題意得米，分別在和中，利用三角函數(shù)求出、，可以得到段的長(zhǎng)．【詳解】解：由題意得，米，米，在中，，米，在中，，米，米．故答案為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用仰角構(gòu)建直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．在構(gòu)建的兩個(gè)直角三角形中，分別利用兩個(gè)仰角的正切三角函數(shù)值，求得相應(yīng)直角邊的長(zhǎng)．這里需要熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值．4．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一飛機(jī)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，測(cè)得觀(guān)禮臺(tái)C在飛機(jī)前下方，俯角為，此時(shí)飛行路線(xiàn)改為沿仰角為方向的直線(xiàn)飛行，飛機(jī)飛行了6千米到B處時(shí)，居民區(qū)D恰好在飛機(jī)的正下方，現(xiàn)在的飛行高度為5千米，則觀(guān)禮臺(tái)C和居民區(qū)D的距離是千米．（，，，，結(jié)果精確到0.1）【答案】【分析】過(guò)A作于點(diǎn)E，過(guò)C作于點(diǎn)F，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出千米，千米，再證四邊形為矩形，得出千米，，在中，千米，則千米．【詳解】過(guò)A作于點(diǎn)E，過(guò)C作于點(diǎn)F，∵，∴為直角三角形，，∵，，∴（千米），（