利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值

(8大考點(diǎn)80題)

原老堂先寬

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值

晶方端技巧及考點(diǎn)物【依

考點(diǎn)01:利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

求已知函數(shù)(不含參)的單調(diào)區(qū)間

①求y=/(幻的定義域

②求/'(X)

③令/'(x)>o,解不等式，求單調(diào)增區(qū)間

④令/'(x)<0,解不等式，求單調(diào)減區(qū)間

注：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，令/'(x)>0(或/'(x)<0)不跟等號(hào).

1.己知函數(shù)〃x)=2x-31nx+2022,則/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.[0引B.Joo司C.一司D.日產(chǎn)

【答案】A

【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由/'(“<0可求出其遞減區(qū)間.

a_a

【詳解】〃x)的定義域?yàn)?O,+8),/(x)=2-±=/上，

XX

令廣(x)<0,解得0<x<}

所以〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為恒j,

故選：A.

2.函數(shù)/(x)=x-21nx的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(-℃,2)B.(2,+00)

C.(0,2)D.(一8,0)

【答案】C

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)/'(x)=-，令/'(x)<0,即可得解.

【詳解】由函數(shù)/(x)=x-21nx,可得/(月=1一4=±±(x>0),

XX

令/'(x)<0,可得0<x<2,所以函數(shù)/(x)=x-21nx的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2).

故選：C.

3.函數(shù)〃x)=(x-3)e、的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-8,2]B.[0,3]C.[1,4]D.[2,+oo)

【答案】D

【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并令導(dǎo)函數(shù)大于零，解不等式可得其單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】易知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,可得/'(x)=，+(x-3)/=(x-2)e",

令/'(x)20,解得x22.

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是［2,+8).

故選：D

4.函數(shù)〃x)=x2-lnx單調(diào)遞減區(qū)間是()

【答案】A

【分析】求導(dǎo)后，令分(x)SO,解出即可.

2

【詳解】f'(x)=2x--1=^2x^,-1x>0,

XX

令/'(x)WO,解得0<x4f,

所以單調(diào)遞減區(qū)間為，字］

故選：A.

5.已知函數(shù)/(x)=x+lnx,其導(dǎo)函數(shù)為/(X).

⑴求/(x)在(1,1)處的切線方程；

⑵求g(x)=/(x)+2f'(x)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(l)N=2x-l

⑵單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8)

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；

(2)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)椤?%+血的導(dǎo)數(shù)為/(x)=l+1,

所以在(1,1)處的切線斜率為斤=/”)=2,而/⑴=l+lnl=l

故所求的切線方程為yT=2(x-l),即y=2x-l.

(2)因?yàn)間(x)=〃x)+2r(x)=x+lnx+2(l+￡|,定義域?yàn)?0,+“)

所以g'(x)=l+工一之=^^=(1)產(chǎn)+2),(、>0)

XXXX

解g<x)>0得x>l,解g<x)<0得0<x<l,

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8).

6.已知函數(shù)〃x)=lnx-?+l(其中。為常數(shù)).

(1)當(dāng)a=-l時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求函數(shù)/(%)在%￡口,2］上的最小值.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8)；單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)

(2)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)/''(》)的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間；

(2)分類討論。，根據(jù)/(x)單調(diào)的單調(diào)性確定〃x)的最小值.

【詳解】(1)/(x)=lnx+-(x>0)，r(x)=--=

JCXXX

令廣(X)>0解得X>1,所以〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8)

令/'(x)<0解得O<X<1,所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)

(2)/(x)=lnx--+l(l<x<2),/,(x)=—4--^-=^-^-

①當(dāng)時(shí),/'(x)>0J(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，/(x)m,n=/(l)=l-?;

②當(dāng)—1W"O時(shí),/'(x)>0J(x)在［1,2］上單調(diào)遞增,/?in=/(l)=l-a；

③當(dāng)-2<a<-l時(shí)，令/'(x)>0和/'(x)<0分別解得-a<x和-a>x,

則〃x)在工同上單調(diào)遞減，［-%2］單調(diào)遞增,所以/(x)1nhi=/(-〃)=ln(-a)+2；

④當(dāng)a4-2時(shí),r(x)<0,/(x)在［1,2］上單調(diào)遞減.

綜上所述：當(dāng)a2-1時(shí),/(x)min=l-a:

當(dāng)-2<a<-l時(shí)，=ln(-a)+2；

當(dāng)aW-2時(shí)，/Wmin=ln2+l-j.

7.已知函數(shù)〃x)=J(aeR).

⑴當(dāng)。=0時(shí)，求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)。=1時(shí)，證明：〃x)<gx+l；

⑶若/(x)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴單調(diào)遞增區(qū)間是(e,+?0,函數(shù)〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),(l,e).

(2)證明見解析(3)0<a<1

【分析】(1)先求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)后由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間;

(2)不等式轉(zhuǎn)化為m(x+i)<]X+l，構(gòu)造函數(shù)〃(x)=ln(x+l)-黑，利用導(dǎo)數(shù)求出其單

調(diào)區(qū)間，利用其單調(diào)性可證得結(jié)論；

(3)設(shè)公尤+a,令g(/)=p,則轉(zhuǎn)化為g⑺既有極大值又有極小值，貝U

In/

t-a

，lf}_—一丁,令S⑺=lm-3=1皿+3-1，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，分。40，。=1,

g⑺一1島't

a>\,0<。<1四種情況討論即可得答案.

【詳解】⑴當(dāng)。二°時(shí),函數(shù)小)的定義域?yàn)?。叫。,+8),

lnx-1

/'(x)=

ln2x

令/(x)>0,解得X>e；令,(x)<0,解得0<x<l或l<x<e,

故函數(shù)〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(e,+s),函數(shù)〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),

(2)當(dāng)。=1時(shí),/(x)=in(x+l),函數(shù)A、)的定義域?yàn)?T，。)"。。00)，

/、1X1

不等式/(%)<子》+1就是不等式正巧<5》+i(*),

當(dāng)-l<x<0時(shí)，(*)式等價(jià)于ln(x+l)〈圈；

0y

當(dāng)%>0時(shí)，(*)式等價(jià)于ln(x+l)>=

014x2

設(shè)/z(x)=ln(x+l)---—,/(%)=-----------^-=---------->0,

I，I'x+2x+1(x+2)~(x+l)(x+2)-

故〃(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

故當(dāng)一l<x<0時(shí)，A(x)<*(0)=0,即h(x+l)〈皂，

0Y

當(dāng)％>0時(shí),/z(x)>/z(o)=o,gpln(x+l)>—

所以原式成立.

f—77

(3)^t=x+a,令81)=-i—,

mt

/(X)既有極大值又有極小值等價(jià)于g⑺既有極大值又有極小值.

,t-Q,

In,-----、-(/.\1t—aQ1

g,(,)_t?記s(/)=ln/-----1=InZ+y—1.

ln2Z

①當(dāng)aWO時(shí)，有s'。)"，則s(f)在(O,l)U(l,+s)上單調(diào)遞增,

故函數(shù)s(r)在(O,l)U(l,+?0上至多有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

②當(dāng)a=l時(shí)，s⑺在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+叫上單調(diào)遞增，且s(l)=0,

故s(。在(O,l)U(l,+叫上沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意;

③當(dāng)a>l時(shí)，s⑺在(0,l)U(l,a)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

又s⑴=a-l>0,s(a)=lna>0,故函數(shù)s(f)在(O,l)U(l,+8)土沒(méi)有零點(diǎn),不合題意;

④當(dāng)0<°<1時(shí)，S(。在(O,a)上單調(diào)遞減，在［a,l)U(l,+oo)上單調(diào)遞增,

且有s(e)=lne+q-l=3>0,s(l)=a-l<0,s(a)=lna<0,

，2、2-

「二i2

sea=aea——>a

<)a

r2

(這里用不等式：當(dāng)工之0時(shí)，e%>l+x+—)

2

c“414\2a八

=2d—F+I——=—>0.

aja2

r2r2

下面證明當(dāng)％之0時(shí)，ex>I+x+—>=ex-l-x-—(x>0),

xx

貝!J"(x)=e"—1一x,令/(x)=(p\x)=e-1-xf貝!Jt\x)=e-1>0(x>0),

所以/(x)=d(x)=e"-1-x在［0,+8)上單調(diào)遞增,

所以d(x)>"(0)=0,所以9(%)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以9(X)N°(0),所以當(dāng)xNO時(shí)，e、21+x+土，

2

所以s(e).s⑴<0,s⑷.sea<0,

又因?yàn)楹瘮?shù)S⑺的圖象分別在區(qū)間(0,1),(1,+8)上連續(xù)，

所以函數(shù)S⑺在［eij,(l,e)內(nèi)各有1個(gè)零點(diǎn)，分別記為％和明

故4、%分別為函數(shù)g⑺的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn).即/(x)既有極大值又有極小值.

綜上，當(dāng)0<。<1時(shí)，/(X)既有極大值又有極小值.

8.設(shè)函數(shù)/卜)=/一(a+2)x+“l(fā)nx(aeR).

⑴若x=3是/(x)的極值點(diǎn)，求a的值，并求，(幻的單調(diào)區(qū)間；

⑵討論，(x)的單調(diào)性；

⑶若〃x)21,求。的取值范圍.

【答案】⑴6,單調(diào)遞增區(qū)間(0,1),(3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間(1,3)

(2)答案見解析(3)(-8-2]

【分析】(1)先求導(dǎo)，令八3)=0,檢驗(yàn)即得解；代入。=6,分別令/'(x)>0,Hx)<0

得到單增區(qū)間和單減區(qū)間；

(2)根據(jù)二次函數(shù)及二次不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)定義域，分類討論即可求解；

(3)轉(zhuǎn)化〃x)21為/原篇21,分。40,a>0兩種情況討論即可.

【詳解】(1)尸(x)=2x-(a+2)+三=3-幻口-D(X>0),

XX

r(3)=4-y=0,解得a=6,

此時(shí)/'(X)=2(X3)(X1),

X

令/'(x)>0,有0cx<1或x>3,令/'(x)<0,有l(wèi)<x<3,

所以x=3是/(x)的極值點(diǎn)，a=6滿足題意，

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),(3,+0，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3).

(2)由(1)知2'(x)=(2xa)(xT)(x>0),

X

當(dāng)￡=1即。=2時(shí)，/，(X)=2(XT)-20恒成立,

所以/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)巴〉1即a>2時(shí)，由f\x)>0得0<%<1或

由/‘(x)<o得

2

故/⑴的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和[去+②],單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)0<@<1即0<〃<2時(shí)，由/'(、)>0得0<%<5或%>1，

22

由/，(x)<0得

故/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為1o,|J和(1,+s),單調(diào)遞減區(qū)間為;

當(dāng)I^O即“WO時(shí)，由/'(x)>o得x>l,八x)<0得O<X<1,

故/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

綜上，a=2時(shí)，/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，無(wú)遞減區(qū)間，

a>2時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和+sj,單調(diào)遞減區(qū)間為

0<a<2時(shí)，Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間為[o,])和(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為[券,1

a40時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為。,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

(3)由題意/(x)Wlo"x)一上1

當(dāng)a<0時(shí)，令/'(x)>0,有x>l,令/'(x)<0,有

所以/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以/㈤叱=/(l)=-a-l

:.—a—121,艮[JQW—2

當(dāng)a〉0時(shí)，/(I)=-?-1<0不成立.

綜上，a<-2.

9.已知函數(shù)/(x)=1+工+。山工(。>0)

⑴求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

⑵函數(shù)/(%)有唯一零點(diǎn)為，函數(shù)g(x)=x-sinx-0在R上的零點(diǎn)為*2.證明：玉<%2.

e

【答案】(I)單調(diào)遞減區(qū)間為10。)單調(diào)遞增區(qū)間為

(2)證明見解析

【分析】(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)

區(qū)間；

(2)法一：由已知導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，

JCi=-,/f-|=-alna+a+l=0,構(gòu)造函數(shù)°(x)=-xlnx+x+1,結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)性質(zhì)可得。

ayaJ

的范圍，再令〃(x)=；+siru-x,結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析〃(x)的單調(diào)性，利用不等式放縮即可求解.

法二：/(xJ=0=>lnX]+X]+l=0,設(shè)新函數(shù)//*)=1!1工+工+1,利用零點(diǎn)存在性定理得

14，再證明g(x)單調(diào)性即可.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=l+,+Qlnx(Q>0)的定義域?yàn)?0,+8),

X

且/'(')=—3+巴="

XXX

所以當(dāng)0<》<工時(shí)/'(x)<0,當(dāng)x>工時(shí)/'(x)>0,

aa

所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為，j,單調(diào)遞增區(qū)間為

(2)法一：由(1)可知若函數(shù)/(x)有唯一零點(diǎn)X1，則花=工，即

a

-a\na+Q+1=0,

cp(x)=-x\wc+x+1,貝Uo'(x)=—Inx,

當(dāng)尤>1時(shí)，9'(x)<o,e(x)單調(diào)遞減，當(dāng)o<x<i時(shí)，d(x)>o,°(x)單調(diào)遞增,

因?yàn)閑">2.7"=53.1441>27,e5<35=243<256,

所以0(3)=-31n3+4=4-ln27=lne4-ln27>0,

0(4)=-4In4+5=5-ln256=Ine5-In256<0,

當(dāng)0<x<l時(shí)無(wú))=x(l_lnx)+l>0,當(dāng)xf+00時(shí)°(x)->-oo,

所以°(x)在(3,4)上存在唯一零點(diǎn)，所以3<。<3,即?<,<?，

4a3

Q~2Q~2

令=——+sinx-x,貝!J=---^-+cosx-l<0,

所以〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

岳/I、3.113.11.1

—l>/zl—1=-+sin—-—>—+sin---=sin—>0n,

所以ae~2>--sin—,

aa

又g(%)=9—situ?-ae~2=0,

所以—Sim2=ae~2>--sin—=-sinx1,

aa

令尸(x)=x-sinx,則產(chǎn)'(%)=1-cos%>0,

所以廠(%)在(0,+。)上單調(diào)遞增,

又產(chǎn)(%2)>/(再)，

所以%>玉.

法二：因?yàn)閍>0,由(1)可知若函數(shù)/(x)有唯一零點(diǎn)X],則%=!，

a

即/(再)=〃1口再+—+l='(lnXi+Xi+l)=OnlnXi+Xi+l=O,

設(shè)/z(x)=lnx+x+l,〃U〉0,〃色)<0,而〃(x)在(0,+司上單調(diào)遞增，

所以再g'(x)=l-cosx20,所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

又g(。)=—<0,1.再>0,

e

令°(x)=x-sinx--,^(x)=l-cosx+^-y>0,所以9(x)在(。,+司上單調(diào)遞增，

exex

所以.二,(再)<-]=-sin-<0,而g(/)=%—sin/i=xi~s^nxiT=0，

yeyee再e

g(再)=%—sinX]-<g)二工2-sinx2T西〈/，

「，xyexxe.

10.已知函數(shù)/(x)=x+ln(ax)+!xe”.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J(1))處切線的斜率;

⑵當(dāng)a=-l時(shí)，討論〃X)的單調(diào)性.

【答案】⑴2+2e

(2)在(-叫-1)上單調(diào)遞增，在(-1,0)上單調(diào)遞減.

【分析】(1)求導(dǎo)并將°=1代入，即可求出曲線產(chǎn)/(x)在點(diǎn)(1,〃功處切線的斜率;

(2)求導(dǎo)并將。=-1帶入，利用導(dǎo)數(shù)即可得出單調(diào)性.

【詳解】(1)由題意，

在f(無(wú))=x+ln(ax)+—xe%中，/'(無(wú))=1+—+—(l+x)eT,

/⑴=l+lna+￡中，/,(1)=2+—

當(dāng)4=1時(shí)，

/(x)=x+lnx+xex,/r(x)=l+—+(l+x)ex,

/⑴=l+e中，/⑴=2+2e,

二曲線y=〃x)在點(diǎn)(1，〃1))處切線的斜率為/⑴=2+2e

(2)由題意及(1)得，

在/(x)=x+In(tzx)+—xex中，/z(x)=1+—+—(l+x)e%,

當(dāng)。=一1時(shí)，

f(x)=x+ln(-x)-xeY,/'(x)=1+—-(l+x)eA=(1+x)^—-eA

-x>0Bpx<0,止匕時(shí)L一e"<0,

x

當(dāng)x<-l時(shí)，/'(x)=(l+x)［：-ej>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)-l<x<0時(shí)，/'(x)=(l+x)R-e［<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

???函數(shù)在(-叱-1)上單調(diào)遞增，在(-1,0)上單調(diào)遞減.

考點(diǎn)02:求已知函數(shù)的極值與最值

1.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值：

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值五。)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，，(。)=0;而

且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)，(x)<0,右側(cè)，(x)>0.則。叫做函數(shù)y=/(x)的極小值點(diǎn)，黃a)叫做

函數(shù)>=/(x)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值：

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值義6)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，/'(6)=0；而

且在點(diǎn)x=6附近的左側(cè)(x)>0,右側(cè)/(x)<0.則6叫做函數(shù)y=/(x)的極大值點(diǎn)，丸6)叫做

函數(shù)y=/(x)的極大值.

(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.

2.函數(shù)的最大(小)值

(1)函數(shù)｛x)在區(qū)間［a,回上有最值的條件：

如果在區(qū)間［a,6］上函數(shù)y=/(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y=八對(duì)在區(qū)間［a,切上的最大(小)值的步驟：

①求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,6)上的極值；

②將函數(shù)了=")的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值八0),人6)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最

小的一個(gè)是最小值.

11.函數(shù)/(x)=gx3+x2-3X+1,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.〃x)在區(qū)間(0,2)上不單調(diào)B.7(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.，(x)有兩個(gè)零點(diǎn)D./(x)在(-8,0)上有最大值

【答案】C

【分析】對(duì)/■")=：/+/一3工+1求導(dǎo)，討論單調(diào)性，得出極值和最值，畫出草圖即可.

【詳解】定義域?yàn)?一口,+◎,求導(dǎo)即/'(X)=X2+2X-3=(X+3)(X-1),

令r(x)=0,解得再=-3,尤2=1.

顯然在(-8,-3)和(1,+8)上(@)>0,故〃x)在(-8,-3)和(1,+8)上單調(diào)遞增;

在(一3,1)上/(x)<0,故〃X)在上單調(diào)遞減.

所以》=-3為的極大值點(diǎn)，x=l為〃x)的極小值點(diǎn)，且/(x)極大值=1。>0,

2

“X)極小值=一§<°，草圖如F

所以ABD正確，C錯(cuò)誤.

故選：C.

12.函數(shù)〃x）=31nx+g/-4x的極大值為（）

,57

A.—2B.—C.—3D.

22

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極大值.

【詳解】函數(shù)/(X)=3InX+：/-4x的定義域?yàn)?0,+8),

又f'(x)="TX+3=,

XX

令/，(x)=0,則x=l或x=3,所以當(dāng)0<x<l或x>3時(shí)/'(x)>0,當(dāng)l<x<3時(shí)/'(x)<0,

所以〃x)在(0,1),(3,+8)上單調(diào)遞增,在(1,3)上單調(diào)遞減，

17

所以/⑺的極大值為/⑴=0+^-4=-5.

故選：D.

13.函數(shù)〃無(wú))=lnx-\的極大值為()

A.—7B.0C.eD.1

e

【答案】D

【分析】求導(dǎo)，令/'(x)>0,/'(x)<0,可求得極大值.

【詳解】因?yàn)?'(x)=，-±,令/'(x)>0,得0一一時(shí)；令/'(x)<0,得工*,

xe

2

所以當(dāng)X=/時(shí)，函數(shù)"X)取得極大值/卜2)=1+q=1.

故選：D.

14.若函數(shù)/(無(wú))=g/+/_1在(氏°+5)上存在最小值，則實(shí)數(shù)0的取值范圍是.

【答案】-3,0)

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，得到函數(shù)的極大極小值，結(jié)合函數(shù)的簡(jiǎn)圖，由

題意即可判斷參數(shù)的范圍.

【詳解】由題意，r(^=x2+2x=x(x+2),

由/'(x)>0可得x<-2或x>0,由/'(x)<0可得-2<x<0,

從而在(-。,-2)上遞增，在(-2,0)上遞減，在(0,+8)上遞增，

注意到/(-3)=-1=/(0),由圖可知，要使函數(shù)/'(x)在(a,a+5)上存在最小值，應(yīng)有

—3Ka<0.

故答案為：［-3,0).

15.已知函數(shù)〃X)="2XT),若方程〃X)-左=0有2個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)左的取值范

x-1

圍是.

3

【答案】0〈左<1或7>4”

【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)〃x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，再數(shù)形結(jié)合求出

k的范圍.

【詳解】函數(shù)〃x)=e'(2xT)的定義域?yàn)镾,1)口(1,+8),求導(dǎo)得r(x)=.,(2：；3),

x-1(x-1)

33

當(dāng)xvO或x>—時(shí)，/'(x)〉0,當(dāng)0<xvl或l<x<—時(shí)，/'(1)<0,

22

33

因此函數(shù)"X)在(-8,0),(于+8)上單調(diào)遞增，在(0,1),(1,］)上單調(diào)遞減，

當(dāng)X=O時(shí)，/(X)取得極大值〃0)=1,當(dāng)x=T時(shí)，“X)取得極小值〃|)=41，

函數(shù)”X)在(-*0)上恒有/(x)>0,而/(1)=0,

3ee3

當(dāng)1<X<4時(shí)，〃x)>2e+—而函數(shù)y=2e+—；在(1萬(wàn))上遞減，值域?yàn)?4e,+8),

2x-1x-12

333

因此函數(shù)/(X)在(1,5)上無(wú)最大值，當(dāng)X>］時(shí)，/。)>2靖，顯然“X)在(于+8)上無(wú)最大值,

函數(shù)/(尤)="2D的大致圖象如圖，

3

觀察圖象知，當(dāng)o<左<1或左>4”時(shí)，直線k后與函數(shù)y=/(x)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),

3

因此方程"X)-左=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，0〈左<1或左>4”，

3

所以實(shí)數(shù)上的取值范圍是0(左<1或后>4/

故答案為：?！醋?lt;1或左>43

16.已知函數(shù)/(x)=e-aln(x+l)的圖象在點(diǎn)(0,〃0))處的切線過(guò)點(diǎn)(2,1).

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

(2)求“X)的單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】(1)。=1

(2)答案見解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將點(diǎn)(2,1)代入求解。；

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值.

【詳解】(1)由已知得/'(x)=e'-*,

則/'(O)=e°-a=l-a,又"0)=1,

所以/(x)圖象在點(diǎn)(0,〃0))處的切線方程為了=(1-。八+1,

將點(diǎn)(2,1)代入得1=2(1-q)+l,解得a=l.

(2)所以/(x)=e-ln(x+l),定義域?yàn)?-1,+口),

所以/，(x)=e*----彳=(x+l)e'-l

x+1

令g(x)=(x+l)eI-l,(x>-l),貝I]g(x)=(x+2)e\

易得g'(x)>0在(-1,+8)上恒成立，所以g(x)在(-1,+網(wǎng)上單調(diào)遞增，

又g(0)=0,所以當(dāng)T<x<0時(shí)，g(x)<0,即/'(x)<0,/(X)在(-1,0)上單調(diào)遞減,

當(dāng)工>0時(shí),g(x)>0,即/'(x)>0,〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以“X)在X=0處取得極小值，極小值為了⑼=1.

17.已知函數(shù)/(x)=x2+alnx.

⑴當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)(e/(e))處的切線方程

(2)當(dāng)。=一2時(shí),求函數(shù)/(力的極值

⑶若g(x)=/(%)+：在口,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2

【答案】(1)歹=?三e-一2x-e?(2)極小值為1,無(wú)極大值(3)〃20

e

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)/(x)的圖象在點(diǎn)(e/(e))處的切線的斜率為

(⑥=至二，又/七)=，-2,由直線的點(diǎn)斜式可得切線方程；

e

(2)利用了'(X)的正負(fù)討論/(x)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)/(x)的極值；

(3)由g(x)在1,+8)上是單調(diào)增函數(shù),所以g'(x)20在工+s)上恒成立，則。亍23在

口,+動(dòng)上恒成立，又力(月=t-2工2在口,+功上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以"1)=0,可得a".

【詳解】(1)當(dāng)a=-2時(shí)，f(x)=x2-2\nx,定義域?yàn)?0,+W,

/'(x)=2x-2=空匚，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)(e/(e))處的切線的斜率為

XX

7p2_0

仆)=^^,又〃e)=e?一2,

e

所以函數(shù)“X)的圖象在點(diǎn)(e〃e))處的切線方程為了_甘一2)=至二(x-e),

e

2e2—22

即Bny=------x-e.

e

(2)/，(x)=2x—4=W,令r(x)=o,解得x=l,

XX

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，f'(x)<0,當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，f'(x)>0,

所以/(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,+s)上是增函數(shù)，

所以/(x)在x=1處取得極小值/(1)=12-21nl=1,無(wú)極大值.

(3)因?yàn)間(x)=/(x)+1=x°+-+“l(fā)n無(wú)在口,+。)上是單調(diào)增函數(shù)，

所以gf(x)=2x-4+-=24廣-22o在口,+。)上恒成立，

XXX

2

即2%2在口,+動(dòng)上恒成立，

X

因?yàn)?—在［1,+功上為單調(diào)遞減函數(shù)，

所以當(dāng)X=1時(shí)，*月=指-2/取得最大值，即Mx)max=〃⑴=0,

所以aNO.

18.已知函數(shù)/(x)=x+ln(ax)+,xe"(a<0).

⑴求函數(shù)的極值;

⑵若集合｛%|/(X)2-1｝有且只有一個(gè)元素，求。的值.

【答案】⑴極大值是/(-1)=-1+ln(-4)-工,無(wú)極小值；

ae

e

【分析】(1)利用求導(dǎo)，通過(guò)參數(shù)”0,可分析出了'(X)為正負(fù)的區(qū)間，從而可以判斷了(X)

的極值；

(2)利用不等式有唯一解，則正好是最大值取到等號(hào)，再去分析取等號(hào)的含參方程有解的

條件，所以重新構(gòu)造新的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)來(lái)研究函數(shù)的零點(diǎn)和方程的解.

1e1

【詳解】(1)由廣(x)=(l+x)—+——

xa)

因?yàn)榧印?所以/(X)的定義域?yàn)?一嗎。),則雪巨<0,

xa

因?yàn)?時(shí),/r(x)>0；時(shí),/r(x)<0.

所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-力=1)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),

所以x=-l是“X)的極大值點(diǎn)，“X)的極大值是/(-l)=T+ln(F)-：,無(wú)極小值.

⑵由⑴可得〃xL*=/(-1)=-1+皿“)-：，

要使得集合｛x|/(x)>-1｝有且只有一個(gè)元素，則只需要-l+ln(-a)--^-=-1

設(shè)g(x)=T+ln(r).g,則g，(x)=：+!=^^,

因?yàn)閤e1-時(shí)，g'(x)<0；時(shí)，g'(x)>0,

所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-；單調(diào)遞增區(qū)間為,o]

所以g(x)1nhi=g[-1]=一1,所以關(guān)于。的方程-l+ln(-a)-，=一1有解時(shí)，

只能是。=」，

e

所以集合｛X|〃X)NT｝有且只有一個(gè)元素時(shí)a=-'.

19.已知函數(shù)/'(x)=lnx-x.

2

⑴求函數(shù)g(x)=/(x)+2x-4Inx——的單調(diào)區(qū)間和極值;

⑵若不等式/(x)W(a-l)x+l在(0,+句上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴增區(qū)間為(0,1)和(2,+8),減區(qū)間為(1,2),極大值為-1,極小值為l-31n2

⑵

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性，可求得函數(shù)的增區(qū)間、減區(qū)間以及極大值、

極小值；

(2)結(jié)合參變量分離法可得。2處匕，令〃5)=31,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/z(x)的最大

值，即可得出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

22

【詳解1(1)g(x)=/(x)+2x-41nx——=x-3Inx——,

該函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8)，

貝I]g'(x)=1-2+馬="2-3：+2=(xT)*-2),列表如下：

XXXX

X(0.1)1(1,2)2(2,+功

g'(x)+0-0+

g(x)增極大值減極小值增

所以,函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(0,1)和(2,+8),減區(qū)間為(1,2),

函數(shù)g(x)的極大值為g⑴=l-31nl-2=T,極小值為g(2)=2-31n2-l=l-31n2.

(2)當(dāng)x>0時(shí)，由/(x)=lnx-xW(a-l)x+l可得更二」，

X

令以幻=也二1,其中x>0,則〃(Q_：x0nxl)_2ln無(wú)，

由“(X)>0可得0VUVe2,由h\x)<0可得%>e?,

所以，函數(shù)做X)的增區(qū)間為(032),減區(qū)間為卜2,+8),

2lne_1

所以,=A(e)=2=4-

所以，?>/!?ax=4-故實(shí)數(shù)。的取值范圍是

20.已知=

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其極值；

⑵畫出函數(shù)“X)的大致圖象；

(3)討論函數(shù)g(x)=〃x)-。+1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(T，+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-2),(-2,-1)；極小值為無(wú)

極大值

(2)作圖見解析

(3)答案見解析

【分析】(1)求出/''(》)，由/''(》)的正負(fù)判斷出/(x)的單調(diào)性可得極值;

(2)根據(jù)的單調(diào)性極值可得答案;

(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)/'(X)的圖象與直線了=。-1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合

圖象可得答案.

(x+l)e%

【詳解】⑴定義域?yàn)閧幻"-2}/'(X)

(x+2)2

令廣(x)=0得，x=-l,

列表如下；

X(-8,-2)(-2,一1)-1(T+8)

/1?--0+

e-17

由上表知，單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,+8),

/■(X)單調(diào)遞減區(qū)間為(一叫-2),(-2,-1)；

當(dāng)x=-l時(shí)，/(x)取極小值為「，無(wú)極大值；

(2)令/'(功>0得,x>-l；令/'(x)<0得，x<T,

當(dāng)xf-8時(shí)，x+2f-oo,e*fO+,故/(x)f(T；

當(dāng)x-?+8時(shí)，X+2f+8,e*f+oo,故〃x)f+8;

據(jù)此信息及(1)可得/(x)的圖象，如圖所示;

(3)令g(x)=/(x)-a+l=O得/(x)=a-l,

則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)〃x)的圖象與直線尸。-1的交點(diǎn)個(gè)數(shù),

結(jié)合圖象及(2)可知，當(dāng)。-1<0或叱1=「，即a<1或a=l+e一時(shí)，

函數(shù)g(x)有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)即°>1+「時(shí)，函數(shù)g(x)有2個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)OVa-lvel即IVacl+J時(shí)，函數(shù)g(x)有0個(gè)零點(diǎn).

考點(diǎn)03:已知函數(shù)在區(qū)間上遞增(遞減)求參數(shù)

已知函數(shù)/(X)在區(qū)間。上單調(diào)

①已知/(X)在區(qū)間。上單調(diào)遞增oVxeD,/'(x)?o恒成立.

②已知/(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞減oVxeD,/'(x)<0恒成立.

注：I.在區(qū)間內(nèi)/'(x)>0(/'(x)<0)是函數(shù)/(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條

件；

2.可導(dǎo)函數(shù)“X)在區(qū)間(。/)是增(減)函數(shù)的充要條件是：Vxe(a㈤都有

/。)巳0(/。戶0),且/'(x)在(a,6)的任意一個(gè)子區(qū)間內(nèi)都不恒為0；

3.由函數(shù)在區(qū)間(a,6)是增(減)函數(shù)，求參數(shù)范圍問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為/。戶0(/。戶0卜恒

成立問(wèn)題求解.

21.若函數(shù)〃x)=alnx-x的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2),貝()

A.-2B.--C.vD.2

22

【答案】D

【分析】求導(dǎo)可得/(幻=@一1，由/'(》)>0,可得0<x<。，可求J

X

【詳解】/v)=--i=—(^>o),

XX

若aWO,則可得/(x)在R上單調(diào)遞減，

若a>0,令/'(x)>0,可得0<x<a,

所以〃x)在(0,。)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2),所以a=2.

故選：D.

22.已知函數(shù)/(x)==x3-x2-2j在(1,+對(duì)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是()

3x-1

A.B.1c°，；C.[-1,+?)D.

【答案】D

【分析】將“X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，化為了'(x)20對(duì)任意xe(L+s)成立，再轉(zhuǎn)化為

m>-x4+4x3-5x2+2x對(duì)任意xe(l,+oo)成立，求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)==x3-/一在(1,+8)上單調(diào)遞增，

3x-1

m

所以/''(X)=X2-2X+-°對(duì)任意Xe(1,+00)成立,

UPm>—x4+4x3-5x2+2x對(duì)任意xe(1,+co)成立,

令g(x)=-x4+4x3-5x2+2x,

則夕(；(；)=-4/+12工2-10；<：+2=-2(2/-6/+51)=-2(r-1)(2/-4;t;+1),

因?yàn)閤e(l,+oo),所以x-l>0,

令g'(x)=0,即2x?-4x+l=0,解得x=]+[^或尤=]_1^

因?yàn)閤e(l,+co),所以x=l+42,

2

（V2）

所以g（x）在1,1上單調(diào)遞增，在1+已-，+8上單調(diào)遞減，

7

所以g（x）在x=l+暫時(shí)取得最大值為g

4

所以旭當(dāng)

故選：D.

23.已知函數(shù)〃x）=lnx-Q/+X在區(qū)間1I,幻上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)Q的最大值是（）

A.1B.-C.—D.g

84123

【答案】B

【分析】將函數(shù)求導(dǎo)，從而將函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)不等式在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題,

繼而通過(guò)參變分離法求出函數(shù)的最值，即可得到參數(shù)的范圍.

【詳解】由函數(shù)/（X）在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，可得/（耳=：-2"+120在［1,2］上恒成立，

即2?！丁狧—,

XX

1111「1-

設(shè)￡=—,則，f0）=t9+3=（￡+彳）9--?tG—,1,

x224_

故當(dāng)t時(shí)，即x=2時(shí)，/wmin=/（|）=|,

33

故得2〃〈;，即a的最大值為（

故選：B.

24.已知函數(shù)/（x）=d-辦?+x—5在R上單調(diào)遞增，則。的最大值為（）

A.3B.-3C.V3D.-V3

【答案】C

【分析】由題意可得了'（X）20恒成立，進(jìn)而可得出答案.

【詳解】/f（x）=3x2-2ax+l,

因?yàn)楹瘮?shù)=/-ax?+x-5在R上單調(diào)遞增,

所以/'（x）=3/一2辦+1N0恒成立，

則A=4〃—12V0，解得一

所以。的最大值為

故選：C.

25.已知函數(shù)/(x)=xlnx-加X?為定義域上的減函數(shù)，則用的取值范圍是()

A.；，+00)B.(0,1]C.[1,+<?)D.[e,+>?)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2機(jī)2生戶在xe(0,+o))恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求得函

數(shù)最值，即可得到結(jié)果.

【詳解】/r(x)=Inx+1-2mx,x>0,

由函數(shù)/(x)=xlnx-機(jī)/為定義域上的減函數(shù)，

可得/'(x)W0在xe(0,+8)恒成立，

即In尤+1-2mxW0在xe(0,+co)恒成立,

即2m>生子在xe(0,+勸恒成立，

令g(x)=W：+l,x〉0,HP2m>g(x)max,

則g<x)=”，令g'(x)=0可得x=l,

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g,(x)>0,則函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(l,+co)時(shí)，g,(x)<0,則函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

所以x=l時(shí)，g(x)有極大值，即最大值為g⑴=1,

所以2機(jī)21,即mN?,所以加的取值范圍是

故選：A

/、x.InX.-X.Inx.?

26.若對(duì)任意的演、x2e(0,7〃),且再>z,----------------->3'則的最大值是-

【答案】3/1

e

In+3Inx+3