近世代數(shù)課件從“群”談起本課件將從最基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)“群”開(kāi)始，帶你逐步探索近世代數(shù)的奇妙世界。引言：為什么從"群"談起基礎(chǔ)性"群"是近世代數(shù)最基本的概念之一，是研究其他代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ).抽象性"群"的抽象概念可以推廣到其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域，例如拓?fù)鋵W(xué)和幾何學(xué).應(yīng)用廣泛"群"的理論在物理學(xué)、化學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用."群"的概念及定義群的定義在數(shù)學(xué)中，群是代數(shù)結(jié)構(gòu)的一種，它由一個(gè)集合和一個(gè)二元運(yùn)算構(gòu)成，滿(mǎn)足以下性質(zhì)：封閉性結(jié)合律單位元逆元群的例子常見(jiàn)的群例子包括：整數(shù)集關(guān)于加法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群非零實(shí)數(shù)集關(guān)于乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群所有n次置換關(guān)于置換的復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群"群"的基本性質(zhì)封閉性群中的任何兩個(gè)元素的運(yùn)算結(jié)果仍然在該群中。結(jié)合律群中的運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律，即(a*b)*c=a*(b*c)。單位元群中存在一個(gè)元素e，使得對(duì)任何元素a，都有a*e=e*a=a。逆元對(duì)于群中的任何元素a，存在一個(gè)元素a-1，使得a*a-1=a-1*a=e。"群"的運(yùn)算1封閉性群中任何兩個(gè)元素的運(yùn)算結(jié)果仍然是群中的元素。2結(jié)合律群中運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律，即(a*b)*c=a*(b*c)。3單位元群中存在一個(gè)單位元e，使得任何元素a運(yùn)算e的結(jié)果都等于a本身。4逆元群中每個(gè)元素a都存在唯一的逆元a^-1，使得a*a^-1=e。群的同態(tài)與同構(gòu)同態(tài)同態(tài)是指兩個(gè)群之間的一種結(jié)構(gòu)保持映射，它保持群運(yùn)算。同構(gòu)同構(gòu)是同態(tài)的一種特殊情況，它是一個(gè)雙射同態(tài)。重要性同態(tài)和同構(gòu)允許我們比較不同群的結(jié)構(gòu)，并研究它們之間的關(guān)系。子群子群的定義一個(gè)群G的子集H稱(chēng)為G的子群，如果H在G的運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群。子群的判定如果H是G的非空子集，并且滿(mǎn)足封閉性、結(jié)合律、單位元存在性和逆元存在性，則H是G的子群。子群的例子例如，整數(shù)集在加法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群，而偶數(shù)集是整數(shù)集的一個(gè)子群。陪集與拉格朗日定理1左陪集對(duì)于群G的子群H，左陪集aH由所有形式為ah的元素組成，其中a屬于G，h屬于H。2右陪集右陪集Ha由所有形式為ha的元素組成，其中a屬于G，h屬于H。3拉格朗日定理對(duì)于有限群G的子群H，H的階是G的階的因子。正規(guī)子群定義如果一個(gè)子群H在群G中滿(mǎn)足gHg-1=H對(duì)于所有g(shù)∈G成立，那么稱(chēng)H是G的正規(guī)子群。性質(zhì)正規(guī)子群是群論中重要的概念，它允許我們定義商群，并研究群的結(jié)構(gòu)。例子例如，在整數(shù)加法群Z中，偶數(shù)集合2Z是一個(gè)正規(guī)子群。商群1正規(guī)子群商群的定義建立在正規(guī)子群的基礎(chǔ)上，它將群中的元素按照正規(guī)子群的陪集進(jìn)行劃分。2商群結(jié)構(gòu)商群的運(yùn)算定義在陪集上，它繼承了原群的運(yùn)算性質(zhì)，形成了一個(gè)新的群。3重要概念商群的概念在抽象代數(shù)中扮演著重要角色，它將群結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，并提供了更深入的理解。群的循環(huán)結(jié)構(gòu)定義群的循環(huán)結(jié)構(gòu)是指群中元素的排列方式，它由一個(gè)元素生成的所有元素構(gòu)成。循環(huán)群由一個(gè)元素生成的群稱(chēng)為循環(huán)群。循環(huán)群是群論中最簡(jiǎn)單的一類(lèi)群，但它在群論中有著重要的地位。生成元生成一個(gè)循環(huán)群的元素稱(chēng)為該循環(huán)群的生成元。一個(gè)循環(huán)群可能有多個(gè)生成元。置換群定義置換群是將集合元素進(jìn)行重新排列的群。性質(zhì)置換群的性質(zhì)與一般群類(lèi)似，但其元素是置換。應(yīng)用置換群在密碼學(xué)、編碼理論等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。群的Cayley表示Cayley表示將群中的每個(gè)元素映射到一個(gè)置換，從而將群表示為置換群。Cayley表示揭示了群的本質(zhì)，它將群的抽象結(jié)構(gòu)與置換群的具體結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來(lái)。Cayley表示在群論研究中具有重要意義，它為群的結(jié)構(gòu)分析和應(yīng)用提供了強(qiáng)大的工具。群的同構(gòu)定理同構(gòu)定理的重要性同構(gòu)定理在群論中扮演著重要角色，它揭示了不同群之間的關(guān)系，允許我們從一個(gè)群的結(jié)構(gòu)推斷另一個(gè)群的結(jié)構(gòu)。同構(gòu)定理的應(yīng)用通過(guò)同構(gòu)定理，我們可以將復(fù)雜的群轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的群進(jìn)行研究，簡(jiǎn)化了分析和理解。同構(gòu)定理的意義同構(gòu)定理提供了對(duì)群結(jié)構(gòu)的深刻理解，幫助我們更好地理解抽象代數(shù)的概念和應(yīng)用。群的生成元和生成集生成元一個(gè)群的生成元是指，可以通過(guò)對(duì)該生成元進(jìn)行有限次運(yùn)算（包括乘法和取逆），得到群中所有元素的元素。生成集一個(gè)群的生成集是指，可以通過(guò)對(duì)生成集中元素進(jìn)行有限次運(yùn)算，得到群中所有元素的元素集合。阿貝爾群交換律阿貝爾群中的運(yùn)算滿(mǎn)足交換律，即a*b=b*a。例子整數(shù)集在加法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)阿貝爾群，因?yàn)榧臃M(mǎn)足交換律。重要性阿貝爾群在抽象代數(shù)、數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用。循環(huán)群的性質(zhì)有限循環(huán)群有限循環(huán)群是抽象代數(shù)中重要的例子,它具有簡(jiǎn)潔的結(jié)構(gòu)和豐富的性質(zhì).無(wú)限循環(huán)群無(wú)限循環(huán)群是由一個(gè)元素生成的無(wú)限群,它與整數(shù)加法群同構(gòu).同構(gòu)所有同構(gòu)的循環(huán)群具有相同的結(jié)構(gòu),它們本質(zhì)上是相同的.群的中心與模中心中心是指群中與所有元素可交換的元素集合，用Z(G)表示。模模是指群G中關(guān)于某個(gè)元素a的模，用G/a表示，它是所有與a共軛的元素集合。同構(gòu)定理的應(yīng)用結(jié)構(gòu)分析同構(gòu)定理可以用于分析群的結(jié)構(gòu)，將復(fù)雜的群分解成更簡(jiǎn)單的子群和商群，從而更容易理解群的性質(zhì)。證明定理同構(gòu)定理是許多其他代數(shù)定理的基礎(chǔ)，可以用來(lái)證明其他定理，例如Sylow定理和Jordan-H?lder定理。抽象代數(shù)同構(gòu)定理在抽象代數(shù)中扮演著重要的角色，幫助我們理解不同代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。群的幺元與逆元幺元群中存在一個(gè)特殊的元素，稱(chēng)為幺元，它與任何元素運(yùn)算后，結(jié)果仍為該元素本身。逆元每個(gè)元素在群中都存在唯一的逆元，與該元素運(yùn)算后，結(jié)果為幺元。群的對(duì)稱(chēng)性幾何對(duì)稱(chēng)性群可以用來(lái)描述幾何圖形的對(duì)稱(chēng)性，例如旋轉(zhuǎn)、反射等。物理對(duì)稱(chēng)性群也存在于物理系統(tǒng)中，例如晶體的對(duì)稱(chēng)性、粒子物理中的對(duì)稱(chēng)性等。代數(shù)對(duì)稱(chēng)性群的結(jié)構(gòu)本身也具有對(duì)稱(chēng)性，例如群的同構(gòu)等。群的分類(lèi)有限群群的元素個(gè)數(shù)有限無(wú)限群群的元素個(gè)數(shù)無(wú)限循環(huán)群由一個(gè)元素生成的群阿貝爾群群的運(yùn)算滿(mǎn)足交換律群的表示理論線性代數(shù)與矩陣群的表示理論將群元素映射到線性變換，通過(guò)矩陣來(lái)研究群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。對(duì)稱(chēng)性與分子結(jié)構(gòu)群的表示理論在物理學(xué)和化學(xué)中應(yīng)用廣泛，例如，在研究分子結(jié)構(gòu)和對(duì)稱(chēng)性方面。群與矩陣矩陣表示矩陣可以用來(lái)表示群元素，群運(yùn)算可以用矩陣乘法來(lái)表示。線性變換矩陣可以表示線性變換，群可以用來(lái)研究線性變換的性質(zhì)。矩陣群由矩陣組成的群稱(chēng)為矩陣群，它們?cè)跀?shù)學(xué)和物理中都有重要的應(yīng)用。群的應(yīng)用密碼學(xué)群論在密碼學(xué)中扮演著關(guān)鍵角色，例如用于設(shè)計(jì)和分析加密算法。物理學(xué)對(duì)稱(chēng)性在物理學(xué)中至關(guān)重要，群論用于描述和理解對(duì)稱(chēng)性?；瘜W(xué)群論用于研究分子的對(duì)稱(chēng)性，解釋其結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。群論的發(fā)展歷程1現(xiàn)代群論抽象代數(shù)的重要組成部分219世紀(jì)伽羅瓦理論、非交換群318世紀(jì)置換群、對(duì)稱(chēng)群417世紀(jì)數(shù)論、代數(shù)方程群的未解決的問(wèn)題Burnside問(wèn)題Burnside問(wèn)題是一個(gè)關(guān)于有限群的未解決問(wèn)題，它詢(xún)問(wèn)一個(gè)有限群，如果其每個(gè)元素的階數(shù)都為有限，那么它是否一定有有限個(gè)生成元有限簡(jiǎn)單群的分類(lèi)有限簡(jiǎn)單群的分類(lèi)是指對(duì)所有有限簡(jiǎn)單群進(jìn)行分類(lèi)，這是一個(gè)巨大的工程，目前已經(jīng)完成大部分