函數與圖象復習函數與圖象是高中數學的重要內容。通過函數的概念，我們可以描述現實世界中的各種關系。函數的圖象可以直觀地展示函數的性質，例如單調性、奇偶性、周期性等。什么是函數？函數是將一個集合中的元素對應到另一個集合中的元素的規(guī)則。函數接收輸入，根據規(guī)則進行處理，并輸出結果。對于每一個輸入，函數只能對應一個輸出。函數可以表示為映射關系。將輸入映射到唯一的輸出。函數的性質定義域函數定義域是所有自變量的集合，是函數能夠接受的值的范圍。函數的定義域決定了函數圖像的橫軸范圍。值域函數值域是所有因變量的集合，是函數輸出的值的范圍。函數的值域決定了函數圖像的縱軸范圍。單調性函數的單調性描述了函數值隨自變量變化的趨勢。單調遞增的函數圖像向上傾斜，單調遞減的函數圖像向下傾斜。奇偶性奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱。奇函數的圖像和偶函數的圖像具有不同的對稱性。函數的表示1解析式使用數學表達式來表示函數，例如y=2x+1或f(x)=x2。2圖像在坐標系中，將函數的對應點連接起來形成的曲線。3表格列出函數的自變量和因變量的值，可以直觀地展示函數的對應關系。4文字描述使用語言文字來描述函數的規(guī)律，例如“y是x的兩倍加1”。函數的運算1函數的加減法兩個函數相加減得到新的函數，其定義域為兩個函數定義域的交集。2函數的乘法兩個函數相乘得到新的函數，其定義域為兩個函數定義域的交集。3函數的除法兩個函數相除得到新的函數，其定義域為兩個函數定義域的交集，并且分母函數不能為零。4函數的復合將一個函數作為另一個函數的自變量，得到新的函數，其定義域需要滿足復合條件。函數的分類按定義域分類函數可以根據定義域的類型進行分類，例如實數函數、復數函數、向量函數等。例如，定義在實數集上的函數稱為實數函數。按值域分類函數也可以根據值域的類型進行分類，例如實值函數、復值函數、向量值函數等。例如，值域為實數集的函數稱為實值函數。按表達式分類根據函數表達式中包含的運算類型，可以將函數分為代數函數、超越函數、分段函數等。按性質分類函數還可以根據其性質進行分類，例如單調函數、奇偶函數、周期函數、有界函數等。基本初等函數指數函數指數函數定義域為全體實數，值域為正實數。圖像過點(0,1)，且隨著自變量的增大，函數值單調遞增。對數函數對數函數定義域為正實數，值域為全體實數。圖像過點(1,0)，且隨著自變量的增大，函數值單調遞增。三角函數三角函數定義域為實數，值域為[-1,1]。圖像具有周期性和對稱性。多項式函數多項式函數定義域為全體實數，圖像通常為連續(xù)曲線。指數函數和對數函數指數函數指數函數的基本形式為y=a^x(a>0且a≠1)，其中a為底數，x為指數。指數函數的圖像是一個單調的曲線，當a>1時，圖像單調遞增；當0對數函數對數函數是指數函數的反函數，其基本形式為y=logax(a>0且a≠1)，其中a為底數，x為真數。對數函數的圖像也是一個單調的曲線，當a>1時，圖像單調遞增；當0三角函數定義和表示三角函數是描述三角形邊角關系的函數。常見的三角函數有正弦(sin)、余弦(cos)和正切(tan)。單位圓單位圓是研究三角函數的重要工具，它將角度與三角函數值建立起對應關系。性質和應用三角函數具有周期性、對稱性等重要性質，在物理、工程等領域有廣泛應用。反三角函數定義反三角函數是三角函數的反函數，例如反余弦函數，其定義域為[-1,1]，值域為[0,π]。性質反三角函數具有奇偶性、單調性、周期性等性質，可用于求解三角方程和三角不等式。應用反三角函數廣泛應用于物理學、工程學、計算機科學等領域。復合函數函數的嵌套復合函數是指一個函數的輸出作為另一個函數的輸入。復合函數的表達式復合函數的表達式通常表示為f(g(x))，其中g(x)是內函數，f(x)是外函數。實際應用復合函數在物理學、經濟學等領域有著廣泛的應用。反函數1定義如果函數y=f(x)的定義域和值域分別為D和R，那么對于R中的每一個值y，在D中恰好對應一個值x，使得y=f(x)，則稱y=f(x)的反函數為x=f-1(y)。2性質反函數圖像關于直線y=x對稱；反函數的定義域和值域分別為原函數的值域和定義域；反函數的單調性與原函數相同。3求解求解反函數的步驟：交換x和y，然后解出y關于x的表達式，即得到反函數。函數的圖像函數的圖像是在平面直角坐標系中，以自變量為橫坐標，因變量為縱坐標，描繪所有函數值對應的點所形成的圖形。函數的圖像可以直觀地展現函數的變化規(guī)律，以及函數的性質，如單調性、奇偶性、周期性等。函數圖像在數學研究中扮演著重要的角色，通過圖像可以更加深入地理解函數的性質和應用。函數圖像的性質對稱性對稱性是指函數圖像關于某一點或某直線對稱。例如，偶函數圖像關于y軸對稱，奇函數圖像關于原點對稱。單調性單調性是指函數圖像在某個區(qū)間內是單調遞增或單調遞減的。例如，當函數的導數大于零時，函數圖像在該區(qū)間內單調遞增。極值函數的極值是指函數圖像在某個局部范圍內取得最大值或最小值。例如，函數的導數等于零，且導數在該點附近發(fā)生變化，則該點可能為極值點。漸近線漸近線是指函數圖像當自變量趨于無窮大或某一個值時，無限接近于某一條直線或曲線。例如，當函數的極限存在時，函數圖像可能存在水平漸近線。函數圖像的平移1水平平移向左平移向右平移2垂直平移向上平移向下平移函數圖像平移是指將函數圖像沿坐標軸方向移動一定距離。水平平移是指將函數圖像沿橫軸方向移動，垂直平移是指將函數圖像沿縱軸方向移動。函數圖像的伸縮縱向伸縮將函數圖像沿縱軸方向拉伸或壓縮，得到新的函數圖像。例如，y=f(x)的圖像沿縱軸方向拉伸或壓縮k倍，得到新的函數圖像y=kf(x)。橫向伸縮將函數圖像沿橫軸方向拉伸或壓縮，得到新的函數圖像。例如，y=f(x)的圖像沿橫軸方向拉伸或壓縮k倍，得到新的函數圖像y=f(x/k)。伸縮的組合將函數圖像同時沿縱軸和橫軸方向拉伸或壓縮，得到新的函數圖像。例如，y=f(x)的圖像沿縱軸方向拉伸k倍，沿橫軸方向壓縮k倍，得到新的函數圖像y=kf(x/k)。函數圖像的對稱1軸對稱關于某一條直線對稱2中心對稱關于某一個點對稱3奇偶性奇函數關于原點對稱，偶函數關于y軸對稱函數圖像的對稱性是重要的性質之一，可以通過觀察函數圖像來判斷。函數的極值和單調性11.極值的概念函數在某個區(qū)間上的最大值或最小值被稱為函數的極值，極值點是函數取得極值時的自變量的值。22.單調性的概念函數在某個區(qū)間上，如果自變量的值增大時，函數的值也隨之增大，則稱函數在這個區(qū)間上是單調遞增的。33.極值與單調性的關系函數的極值點通常出現在函數的單調性發(fā)生變化的地方，也就是導數為零或導數不存在的地方。44.求極值和單調性的方法求極值和單調性的方法主要包括求導數、判斷導數的正負號、分析函數圖像等。函數的周期性周期函數對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得對于定義域內任意實數x，都有f(x+T)=f(x)成立，則稱f(x)為周期函數。周期函數在一個周期內重復出現，圖像形狀完全相同。周期滿足上述條件的最小正數T稱為函數f(x)的周期，也稱為最小正周期。周期函數的周期可以是任何非零實數，但不一定是正數。函數的奇偶性奇函數定義域關于原點對稱，滿足f(-x)=-f(x)。偶函數定義域關于原點對稱，滿足f(-x)=f(x)。判斷方法將x替換為-x，觀察函數表達式是否滿足奇函數或偶函數的定義。函數的有界性有界函數函數值在某個區(qū)間內，始終保持在一定的范圍之內，則稱該函數在這個區(qū)間上有界。無界函數如果函數值在某個區(qū)間內，可以無限增大或無限減小，則稱該函數在這個區(qū)間上無界。上界和下界函數值在某個區(qū)間內的最大值稱為該函數的上界，最小值稱為下界。有界性與圖像有界函數的圖像在一定區(qū)間內不會超出某個特定的范圍，而無界函數的圖像則沒有這個限制。函數的漸近線水平漸近線當x趨向正無窮或負無窮時，函數的值無限接近于某個常數，該常數對應的直線稱為水平漸近線。當x趨向正無窮或負無窮時，函數的值無限接近于某個常數，該常數對應的直線稱為水平漸近線。垂直漸近線當x趨向某個特定值時，函數的值無限接近于正無窮或負無窮，該特定值對應的直線稱為垂直漸近線。當x趨向某個特定值時，函數的值無限接近于正無窮或負無窮，該特定值對應的直線稱為垂直漸近線。曲線與直線相交的性質1交點個數曲線與直線可能相交于一個點，多個點，或者不相交。2交點坐標交點坐標滿足曲線和直線的方程。3斜率關系在交點處，曲線的切線斜率等于直線的斜率。4應用曲線與直線相交的性質可以用來求解方程組，確定函數的極值點等。函數的定積分面積定積分可以用來計算曲線與坐標軸圍成的面積。體積定積分可以用來計算旋轉體積。功定積分可以用來計算物體在力場中的功。概率定積分可以用來計算隨機變量的概率。微分中值定理羅爾定理函數在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導，且兩端點函數值相等，則存在一點使得導數為零。拉格朗日中值定理函數在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導，則存在一點使得導數等于該區(qū)間兩端點函數值之差與區(qū)間長度之比。柯西中值定理兩個函數在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導，則存在一點使得兩函數在該點導數之比等于兩函數在區(qū)間端點函數值之差之比。導數的應用物理學導數在物理學中有廣泛應用，例如求解運動學問題，計算加速度和速度等。工程學導數在工程學中用于優(yōu)化設計，例如找到最優(yōu)尺寸和形狀，提高效率和性能。經濟學導數在經濟學中用于分析經濟變化，例如預測價格波動和評估投資回報率。導函數的幾何意義切線斜率導數f'(x)在x點的值表示曲線y=f(x)在點(x,f(x))處的切線的斜率。函數圖像與導數的關系導數的幾何意義導數在函數圖像上的幾何意義是切線的斜率。在函數圖像上，每一點都有唯一的一條切線，切線的斜率就是該點的導數值。導數與函數單調性導數與函數的單調性密切相關。導數為正，則函數單調遞增；導數為負，則函數單調遞減。導數為零，則函數可能取得極值。導數與函數凹凸性導數的二階導數可以用來判斷函數的凹凸性。二階導數為正，則函數圖像向上凹；二階導數為負，則函數圖像向下凹。二階導數為零，則函數圖像可能存在拐點。曲線的凹凸性與拐點凹凸性函數圖像的凹凸性是指函數圖像在某個區(qū)間內是向上彎曲還是向下彎曲。拐點拐點是指函數圖像的凹凸性發(fā)生變化的點，即從向上彎曲變?yōu)橄蛳聫澢驈南蛳聫澢優(yōu)橄蛏蠌澢狞c。判定可以通過判斷函數二階導數的符號來判定曲線的凹凸性，如果二階導數大于零則為凹，小于零則為凸，等于零則可能為拐點。應用凹凸性與拐點在函數圖像的繪制、函數的極值、函數的單調性等方面都有重要的應用。常見初等函數的導數公式指數函數的導數公式指數函數的導數與其自身成正比，導數公式為：y'=