2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)極值點(diǎn)偏移問題1.極值點(diǎn)偏移是指函數(shù)在極值點(diǎn)x0左邊和右邊的增減速度不一樣,導(dǎo)致函數(shù)圖象不關(guān)于直線x=x0對(duì)稱,如圖所示.(1)左右對(duì)稱,無偏移,如二次函數(shù).若f(x1)=f(x2),則x1+x2=2x0,如圖(1).(2)左陡右緩,極值點(diǎn)向左偏移.若f(x1)=f(x2),則x1+x2>2x0,如圖(2).(3)左緩右陡,極值點(diǎn)向右偏移.若f(x1)=f(x2),則x1+x2<2x0,如圖(3).圖(1)圖(2)圖(3)2.極值點(diǎn)偏移問題的結(jié)論不一定總是x1+x2>2x0(或<2x0),也可能是x1x2>常用的解法有對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)法和比值代換法.角度一對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)例1(2024廣東湛江一模)已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若方程f(x)=1有兩個(gè)根x1,x2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,并證明:x1x2>1.當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)>0,則f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0,則f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.角度二比(差)值換元例2(2024天津一模)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+lnx.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-ax(a∈R).①若x=1時(shí),g(x)取得極值,求g(x)的單調(diào)區(qū)間;(1)解

f'(x)=2x+,則f'(1)=3,f(1)=1,∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-1=3(x-1),即y=3x-2.針對(duì)訓(xùn)練1.(2024山西太原模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx++mx.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x1)-mx1=f(x2)-mx2(0<x1<x2),求證:x1+x2>2.當(dāng)-<m<0時(shí),0<x2<x1,∴函數(shù)f(x)在(0,x2),(x1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,在(x2,x1)內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)m>0時(shí),x1<0<x2,∴函數(shù)f(x)在(0,x2)內(nèi)單調(diào)遞減,在(x2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.∴函數(shù)h(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,∴h(x1)=g(2-x1)-g(x1)<h(1)=0,∴g(2-x1)<g(x1)=g(x2).∵2-x1>1,x2>1,g(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,∴2-x1<x2,故x1+x2>2.2.(2024江西南昌高三期末)已知函數(shù)f(x)=x-lnx-2.(1)求f(x)的最小值;(2)若方程f(x)=a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2(x1<x2),證明:x1+2x2>3.所以f'(x)>0?x>1,f'(x)<0?0<x<1,從而f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,故f(x)min=f(1)=-1.(2)證明

由(1)可得0