第1課時函數的極值第五章一元函數的導數及其應用5.3導數在研究函數中的應用5.3.2函數的極值與最大(小)值整體感知[學習目標]

1．了解函數的極值及相關的概念．(數學抽象)2．能利用導數求某些函數的極值．(數學運算)3．體會導數在求極值中的應用．(數學運算)4．能利用導數研究與函數極值等相關的問題．(數學運算)(教師用書)“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”．說的是廬山的高低起伏，錯落有致，在群山之中，各個山峰的頂端，雖不一定是群山的最高處，但它卻是其附近的最高點．由此聯(lián)想廬山的連綿起伏形成好多的“峰點”與“谷點”．這就是我們這節(jié)課研究的函數的極值．

[討論交流]

問題1．極大值、極小值的概念是什么？問題2．函數的極大值點、極小值點是什么？問題3．如何求函數的極值？[自我感知]經過認真的預習，結合對本節(jié)課的理解和認知，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構探究1函數極值的概念探究問題1如圖是某處群山的截面圖，你能指出山峰、山谷嗎？[提示]

在x1，x3，x5處是山峰，在x2，x4處是山谷．探究問題2你能從函數與導數角度描述一下探究問題1中在各個山峰、山谷附近的特點嗎？[提示]

以山峰x＝x1處為例來研究，在x＝x1處，它附近的函數值都比它小，且在x＝x1處的左側函數是單調遞增的，且有f′(x)＞0，在x＝x1處的右側函數是單調遞減的，且有f′(x)＜0，函數圖象是連續(xù)不斷的，f′(x)的變化也是連續(xù)不斷的，并且有f′(x1)＝0.[新知生成]極值點與極值的概念(1)極小值點與極小值函數y＝f(x)在點x＝a處的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點處的函數值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側_______________，右側_______________，則把a叫做函數y＝f(x)的__________，f(a)叫做函數y＝f(x)的________．f′(x)＜0f′(x)＞0極小值點極小值(2)極大值點與極大值函數y＝f(x)在點x＝b處的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點處的函數值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側_______________，右側_______________，則把b叫做函數y＝f(x)的__________，f(b)叫做函數y＝f(x)的________．(3)極大值點、極小值點統(tǒng)稱為________，極大值和極小值統(tǒng)稱為______．f′(x)＞0f′(x)＜0極大值點極大值極值點極值【教用·微提醒】

1．極值點是函數單調性的轉折點，因此若f(x)在(a，b)內有極值，則f(x)在(a，b)內不是單調函數．2．極值點不是點，出現在區(qū)間的內部，端點不能是極值點．[典例講評]

1．函數y＝f(x)的導函數的圖象如圖所示，給出下列判斷：

③⑤

反思領悟

關于函數極值的概念的理解(1)可導函數y＝f(x)在點x＝x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x＝x0左側與右側f′(x)的符號不同．(2)若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內不是單調函數，即在某區(qū)間上單調遞增或單調遞減的函數沒有極值．[學以致用]

1．已知函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內的極小值點的個數為(

)A．1

B．2

C．3

D．4√A

[由圖象，設f′(x)與x軸負半軸的兩個“穿過”x軸的交點的橫坐標分別為c，d，其中c＜d，可知在(a，c)，(d，b)上，f′(x)≥0，所以此時函數f(x)在(a，c)，(d，b)上單調遞增，在(c，d)上，f′(x)＜0，此時f(x)在(c，d)上單調遞減，所以x＝d時，函數取得極小值．則函數y＝f(x)的極小值點的個數為1.]

表5.3-2x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調遞增單調遞減單調遞增

[解]

(1)f′(x)＝x2－2x－3，x∈R，令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示：

x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調遞增單調遞減極小值－6單調遞增

x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單調遞減極小值3單調遞增∴當x＝1時，f(x)有極小值，且f(x)極小值＝3，無極大值．發(fā)現規(guī)律

求可導函數f(x)極值的步驟(1)定義域：求函數的________．(2)求導：求函數的________________．(3)令f′(x)＝0，求出方程f′(x)＝0____________，即導函數f′(x)的零點．(4)列表：方程的根x0將整個定義域分成若干個區(qū)間，把x，f′(x)，f(x)在每個區(qū)間內的變化情況列在一個表格內．(5)結論：若導數f′(x)在x＝x0附近左正右負，則函數f(x)在x＝x0處取得________；若左負右正，則函數f(x)取得________．定義域導數f′(x)全部的根x0極大值極小值

[解]

由題意可得f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．解方程f′(x)＝0，可得x＝－2或x＝2.解不等式f′(x)>0，可得x<－2或x>2，此時f(x)單調遞增．解不等式f′(x)<0，可得－2<x<2，此時f(x)單調遞減．因此，f(x)在(－∞，－2)上單調遞增，在(－2，2)上單調遞減，在(2，＋∞)上單調遞增，而且f′(－2)＝f′(2)＝0.

√√

當a＝3時，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)·(x－3)，令f′(x)＞0，得x＜1或x＞3；令f′(x)＜0，得1＜x＜3，則f(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上單調遞增，在(1，3)上單調遞減，f(x)在

x＝1處取得極大值，不符合題意．故選A.(2)已知f(x)＝(x－2)ex，可得f′(x)＝(x－1)ex，令f′(x)＝0，解得x＝1，所以函數f(x)的極值點為x＝1.又g(x)＝xlnx＋ax，可得g′(x)＝lnx＋a＋1，若函數f(x)與g(x)有相同的極值點，此時g′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，經檢驗a＝－1符合題意．故選A.]反思領悟

已知函數的極值求參數的方法(1)對于已知可導函數的極值求參數的問題，解題的切入點是極值存在的條件：極值點處的導數值為0，極值點兩側的導數值異號．注意：求出參數后，一定要驗證是否滿足題目的條件．(2)對于函數無極值的問題，往往轉化為其導函數的值非負或非正在某區(qū)間內恒成立的問題，即轉化為f′(x)≥0或f′(x)≤0在某區(qū)間內恒成立的問題，此時需注意不等式中的等號是否成立．[學以致用]

3．已知函數f(x)＝x(x－m)2在x＝1處取得極大值，則m的值為(

)A．1 B．2C．3 D．1或3√

243題號1應用遷移√

23題號142．已知函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)(

)A．既有極小值，也有極大值B．有極小值，但無極大值C．有極大值，但無極小值D．既無極小值，也無極大值√B

[由圖象可知x＜a時，f′(x)＜0，函數單調遞減，x＞a時，f′(x)＞0，函數單調遞增，所以x＝a是函數的極小值點．故選B.]23題號41√3．函數f(x)＝ax3＋bx在x＝1處取得極值－2，則a，b的值分別為(

)A．1，－3 B．1，3C．－1，3 D．－1，－3

243題號14．函數f(x)＝lnx－x在區(qū)間(0，e]上的極大值為________．

－11．知識鏈：(1)函數極值的概念．(2)函數極值的判定及求法．(3)函數極值的應用．2．方法鏈：方程思想、分類討論．3．警示牌：導數值等于零不是此點為極值點的充要條件．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．函數極值的求解依據與步驟是什么？[提示]

一般地，求函數y＝f(x)的極值的步驟是：①求出函數的定義域及導數f′(x)；②解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一個)；③用方程f′(x)＝0的根，順次將函數的定義域分成若干個開區(qū)間，可將x，f′(x)，f(x)在每個區(qū)間內的變化情況列在同一個表格中；④由f′(x)在各個開區(qū)間內的符號，判斷f(x)在f′(x)＝0的各個根處的極值情況：如果左正右負，那么函數f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么函數f(x)在這個根處取得極小值；如果