河北中考圓的解答題

22.（2020?河北）如圖13,點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，分別延長OA到點(diǎn)C,OB到點(diǎn)D,使OC=OD,以點(diǎn)O為圓心，分

別以04,。。為半徑在C。上方作兩個(gè)半圓，點(diǎn)?為小半圓上任一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,8重合），連接。尸并延長

交大半圓于點(diǎn)E,連接AE,CP.

（1）①求證：AA0E2△POC；

②寫出N1,/2和NC三者間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）若OC=2OA=2,當(dāng)/C最大時(shí)，直接指出CP與小半圓的位置關(guān)系，并求此時(shí)S扇形EOO（答案保留江）.

解：(1)①證明：?：OA=OR,OE=OC,NAOE=/POC,??

②N1+NC=N2.理由：?:△AOEgAPOC,/.ZE=ZC.VZ1+ZE=Z2,AZ1+ZC=Z2.

(2)相切.

如圖，???(:「與小半圓相切，???CP_LOP.

在放△OPC中，???。尸=1,OC=2f

1

：.cosZCOP=-,A.

2

.\ZDOE=120°.

120萬x2241

4

25.（2019?河北）如圖1和圖2,UABCD中,AB=3,BC=15,tan/DAB=—.點(diǎn)P為AB延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A

3

作。O切CP于點(diǎn)P,設(shè)BP=x.

⑴如圖1,x為何值時(shí)，圓心O落在AP上?若此時(shí)。。交AD于點(diǎn)E,章談指出PE與BC的位置關(guān)系；

（2）當(dāng)x=4時(shí)，如圖2,。0與AC交于點(diǎn)Q,求NCAP的度數(shù)，并通過計(jì)算比較弦AP與劣弧PQ長度的大??；

⑶當(dāng)。O與線毯AD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，巨毯寫出x的取值范圍.

，AP為。O的直徑,

.*.ZBEP=90°,

APElAD.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AZBPC=ZDAB,BC/7AD,

APEIBC.

???作。0切CP于點(diǎn)P,

/.ZBPC=90°,

4

VtanZDAB=-,設(shè)BP=x,

3

4

PC=BP,tanZDAB=—x,

3

又???BC=15,

工蚌用?+爐=5?,

解得x=9,

即當(dāng)x=9時(shí)，圓心O落在AP上.

此時(shí)PE±BC.

VtanZCBP=tanNDAB=-,BC=15,

3

，BM=9,CM=12,

AM=AB+BM=3+9=12=CM,

/.ZCAP=45°.

VAB=3,BP=4,

.\AP=AB+BP=3+4=7.

作垂直于AP的直徑EF于點(diǎn)G,連接OP、FP,

F

7

則NFGP=90°,ZF=ZCAP=45°,AG=PG=-,

2

,7

AFG=PG=-,

2

7

..OG=OG-FG=OP-FG=OP--,

2

???(0T)2+g)2=0p2

7

解得OP=K，

2

9077

???劣弧PQ長度為——x2^--=-^-.

36024

???弦AP大于劣弧PQ長度.

(3)當(dāng)。O與線段AD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí):X^18.

25.(2018河北省，25,10)如圖，點(diǎn)4在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為26,一原點(diǎn)。為圓心，。4長為半徑作優(yōu)弧前，使點(diǎn)

B在。右卜方，且tanN4O8=±.在優(yōu)弧部上任取一點(diǎn)P,且能過P作直線/〃。8交數(shù)釉與點(diǎn)。，設(shè)Q在數(shù)

3

軸上對?應(yīng)的數(shù)為x,連接OP.

(1)若優(yōu)弧卷上一段通的長為13”，求/40P的度數(shù)及x的直：

(2)求x的最小值，并指出此時(shí)直線/與前所在圓的位置關(guān)系；

(3)若線段PQ的長為125耳毯寫出這時(shí)x的值.

第25題圖備用圖

TTOA

解：(1)設(shè)/AOP的度數(shù)為。.則口^=13)1.解得n=90.

180

：.OP±OA.1分

?:；?NPQO=NAOB.

?z/PO4

?t?an/PQ0=tanNA08=-----=—.

OQ3

39

VOP=26,：.0Q=——.

2

39

???NAOP的度數(shù)為90°,x的值為一.2分

2

4

(2)如圖(1),將/向左平移，當(dāng)/與。。相切時(shí)，x取得最小值.由（1）可知tan/PQO=—.

3

4

sinZPQO=—.

5

VOP=26,

65

?.OQ=—.

2

???x的最小俏為一出，

2分

2

此時(shí)/與助所在圓相切.1分

第25題答圖（1）第25題答圖（2）

（3）如圖（2）當(dāng)點(diǎn)P在數(shù)軸上方時(shí)，過點(diǎn)。作0C1/,垂足為C.連接0P.

4

設(shè)QC的K度為Q,則PC=12.5+Q,OC=-a.

3

4

在RtaOPC中有（12.5+a）2+（-a）2=262.

3

解得久=9.9,。2=—18.9（舍）.1分

?55

AOQ=-a=-X9.9=16.5.

33

J此時(shí)x的值為一1651分

當(dāng)點(diǎn)P在數(shù)軸的下方時(shí)，同理可得x的值為一31.5.1分

另外，當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)。右側(cè)時(shí)，同理可得x的值為3151分

綜上，x的值為-16.5或一31.5或31.5.

23.（2。17?河北）如圖，AB=\6,。為A8中點(diǎn)，點(diǎn)。在線段。3上（不與點(diǎn)。，B重合人將OC繞點(diǎn)。逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)270。后得到扇形CO。，AP,BQ分別切優(yōu)弧C。于點(diǎn)P,Q,且點(diǎn)尸，。在異側(cè)，連接。尸.

⑴求證：AP=BQ；

⑵當(dāng)80=時(shí)，求QO的長（結(jié)果保留;zj；

⑶若MPO的外心在扇形COD的內(nèi)部.求O。的取值范圍.

147r

【答案】⑴見解析；⑵——;（3）4<0C<8.

3

【解析】⑴連接。。，證明.見呢所在兩個(gè)三角形全等j（2）在於ZSO。中，由OB,5。的長求出NB。。

的度教，得到處所對圓心角的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式求解；（3）八4尸。的外心是。4的中點(diǎn),

試題分析：

試題解析：⑴證明：連接

FP,5。分別與0。相切，.?。尸1.4巳0Q1BQ,即NP=/C=90°.

\'OA=OB,0P=00,：.RtA.4P0^BlAB00.：.AP=BO.

⑵?"/4小,0B=；AB=8,ZO=90°>：,^ABOQ=,：.ZB0Q=6G^.

\-（90=8Xcos6Oo=4,???他的長為曰上簿二d二。.

（3）設(shè)點(diǎn)以為R4P0的外心，則M為0A的中點(diǎn)，「OUM.

當(dāng)點(diǎn)V在扇形的內(nèi)部時(shí)，OSf<OC,.*.4<OC<8.

考點(diǎn):

全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形，外心.

25.（2016河北，20,10分）

如圖，半圓。的直徑/1左4,以長為2的弦河為直徑，向點(diǎn)。方向作半圓M,其中2點(diǎn)在/10（?。┥锨也慌c力點(diǎn)重

合，但。點(diǎn)可與8點(diǎn)重合.

發(fā)現(xiàn)AP（?。┑拈L與Q4（?。┑拈L之和為定值/,求/；

思考點(diǎn)M與48的最大距離為,此時(shí)點(diǎn)尸，A間的距離為；點(diǎn)加與AB的最小距離為,此

時(shí)半圓M的弧與A8所圍成的封閉圖形面積為.

探究當(dāng)半圓M與相切時(shí)，求AP（?。┑拈L.

（注：結(jié)果保留rr,cos35°=—,cca55°=—）

33

第25題圖備用圖

25.解：發(fā)現(xiàn)連結(jié)OP,OQ,則O尸=劣=?。=2.

J.Z.POQ=60。.凡的氏?60n22n

1803

，/=：4-包=也.............................2分

233

思考62電/...............................

6分

264

探究半圓”與48相切，分兩種情況：

①如圖I,半圓M與/O切丁點(diǎn)7■時(shí)，連結(jié)尸aMO,TM.

WiJMTLAO,OMLPQ.

在RlZiPOM中,sin乙POM=；,

:*ZPOM=3Q°.7分

2

在RtZiTW中,TO=d⑻7=&

:.cosZAOM=在，即ZAOM=35°.................................

8分

NPO4=35。-3O°=5°.

/.舒的長=要=弓...........................

9分

18018

②如圖2,半圓M與80切丁點(diǎn)S時(shí)，連結(jié)0O.MO,SM.

由對稱性，同理得的的氏=￡.

由/=”,得介的長=?一=考

331818

除上，刀的氏為三或等.......

10分

1818

26.（2015?河北）（本小題滿分14分）

平面上，矩形488與直徑為QP的半圓K如圖擺放，分別延長。4和QP交于點(diǎn)O,且N8OQ=60：,OQ=OD=3,

OP=2,。八=A8=1.讓線段OD及矩形488位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針方向形如旋

轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a（為WaW60°）.

發(fā)現(xiàn)⑴當(dāng)a=0°,即初始位置時(shí)，點(diǎn)P直線48上.（填“在”或“不在”）

求當(dāng)a是多少時(shí)，0Q經(jīng)過點(diǎn)8?

⑵在0Q旋轉(zhuǎn)過程也尚要說明a是多少時(shí)，點(diǎn)P,A間的距離最??？并指出這個(gè)最小值:

⑶如圖，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時(shí).求a及S陰影.

拓展如圖.當(dāng)線段0Q與C8邊交于點(diǎn)與函邊交于點(diǎn)/V時(shí)，設(shè)8M=x（x>0）,用含x的代數(shù)式表示8N的長，并

求x的取值范圍.

探究當(dāng)半圓K與矩形48C。的邊相切時(shí)，求sina

【答案】發(fā)現(xiàn)：(1)在，15°；(2)當(dāng)a=60°時(shí)，最小距離為1；(3)30°,%=叵+土

留影1624

拓展：X的范圍是0<xS2&-l.

——

場行.iVf/*3-p.6>/21-P.yf3

探究：sina的值為-------或--------或——

1()1()2

⑶如圖3,

連.0有。M+.WP

：.AP^OP-OA=1

.??當(dāng)a=60°時(shí)R

.,.PA的最小值為1

設(shè)半圓K與？。交點(diǎn)為3連接MK，過點(diǎn)?作.哈于點(diǎn)廳，過點(diǎn).?作R三LK。于點(diǎn)三

拓展

在由△。2￡中，2早=13=1,(??=2,「./9。/=30°,

如圖5,N04V

???a=60°-30°=30°.

=NMBN=

90°,NANO

由HD5。知，N&PQ=NPOH=8°

=NBNM,所

.'.ZR.W=2X30°=60°.

以△AONs4

BMN.

在攵中，RE=RKsin600=—,ANAO

4

BNBM

即

二與彭二令*

\-BN_I

BN一二

：,BN=-

x+1

如圖4,當(dāng)點(diǎn)。落在8c上時(shí)，x取最大值，作QFJ_4。于點(diǎn)F.

BQ=AF=ylOQ2-QF2-AO=yj32-f=

Ax的范圍是0vxW2>/2-1.

【注：如果考生答“工工20-1或x<2應(yīng)-1"均不扣分】

探究

半圓與矩形相切，分三種情況：

①如圖5,半圓K與8c切于點(diǎn)了，設(shè)直線K7■與4。和0Q的初始位置所在直線分別交于5,。'，則NKS0=NK7B

=90°,作KG_L。。'于點(diǎn)G.

RSO5K中，OS=yl0K2-SK2=—圖=2.

RtAOSO7中，S。'=。。'tan600=2aKQ1=2\f3--.

2

RtZXKG。'中，/0，=30°,KG=-KOr=>/3--,

24

百工4區(qū)3

Rt^OGK中,2受

OK5-10

2

?5

②半圓K與4。切于點(diǎn)了，如圖6,同理可得

g（07一KT）

.KG

sma=-----

OK55

22

6忘-1

-

5"To

③當(dāng)半員IK與co相切時(shí)，成Q與點(diǎn)D重合，且為切點(diǎn).

.'.a=6D°,sine?=sin60°=—

2

綜上述，si妝的值為巫色或或近.

10102

考點(diǎn)：圓，直線與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，相似，三角形法則求最值

25.（2014?河北）（本小題滿分11分）如圖，優(yōu)弧AB.所在。。的半徑為2,AB=2石點(diǎn)p為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)（點(diǎn)

P不與A,B重合）將圖形沿BP折疊，得到點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A1

（1）點(diǎn)0到弦AB的距離是一▲；當(dāng)BP經(jīng)過點(diǎn)0時(shí)，NABA'=▲°：

（2）當(dāng)B/V與QO相切時(shí)，如圖所示，求折痕BP的長；

（3）若線段BA，與優(yōu)弧AB只有一個(gè)公共點(diǎn)&設(shè)/ABP=a,確定a的取值范圍.

圖1圖2

【答案】（1）1,60；（2）26；（3）0°＜。＜30°或60。工。＜120°.

【解析】

試題分析：（1）如答圖，過點(diǎn)。作OH_LAB于點(diǎn)H,則

的半徑為2,AB=2J5,.?.OA=2,=根據(jù)勾股定理，得。小1,即點(diǎn)。至I］弦AB的距離是1.

sinNABP==—

二?當(dāng)BP經(jīng)過點(diǎn)0時(shí)，OB2,.?.NABP=30°..??根據(jù)折疊的性質(zhì)，NABA'=60°.

（2）過點(diǎn)0作OC±AB于點(diǎn)C,過點(diǎn)0作ODJ_PB于點(diǎn)D,連接0B,則根據(jù)折疊的性質(zhì)，切線的性質(zhì),

垂徑定理，銳角三角函數(shù)定義可求得BP=2后

（3）分點(diǎn)A在在<30內(nèi)和點(diǎn)A在。。外兩種情況討論.

試題解析，（1）L60.

（2）如答圖，過點(diǎn)。作OCJ_A3于點(diǎn)C,過點(diǎn)O作0D±?3于點(diǎn)D,連接03,

TBA.與.00相切，二NO3A、93.

OC1

smZOBC.——

在8△03C中，03=2,OCT,82/.ZOBC=：

ZABP=1ABA'=1IZOBA'+ZOBCI=60°

/.22./.ZQ3?=300.

'/OD1?3,.a.3?=2BD.BD=0Bcos30°=?BP=2g\

（3）???點(diǎn)P,A不重合，

由（1）得，當(dāng)a噌大到30：時(shí)，點(diǎn)A在憂弧0上，

.?.當(dāng)0°<a（30°時(shí)，點(diǎn)A在。0內(nèi)，線段3A.與優(yōu)弧馥只有一個(gè)公共點(diǎn)3

由（2）知，當(dāng)a噌大到60：時(shí)，3A與⑥。?日切，即線段BA.與優(yōu)弧&只有一個(gè)公共點(diǎn)3.

當(dāng)a繼續(xù)噌大時(shí)，點(diǎn)P逐漸靠近點(diǎn)？，1旦點(diǎn)？，3不重合，.?.NOBP<90°.

?.?a=N0BA+N0BP,NOBA=30°,…口<120°

.?.當(dāng)6。?！?<120°時(shí)，點(diǎn)A在。0外，注段3A與優(yōu)瓠薪只有一個(gè)公共點(diǎn)3

綜上所述，a的取值范圍是°。<&<30°或60。4a<120°

考點(diǎn)：1.折裳問題，2.銳角三角函數(shù)定義；3Q殊角的三角函數(shù)值；4.勾股定理；5.切線的性質(zhì)；6.垂徑定

理；7.直線與圓的位置關(guān)系；3.分類思想%應(yīng)用.

24,(2013?河北)(本小題滿分11分)

如圖16,△048中，。4二。8=10,Z/AOB-80%以點(diǎn)。為圓心，6為半徑的優(yōu)弧MN分別交。4OB于點(diǎn)M,

(1)點(diǎn)P在右半弧上(N8OP是銳角)，將OP繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)8C。得OR

求證：AP=BP'；

(2)點(diǎn)了在左半弧上，若AT與弧相切，求點(diǎn)7?到04的距離；

(3)設(shè)點(diǎn)Q在優(yōu)弧前/上，當(dāng)△AOQ的面積最大時(shí)，直接寫出/8。。的度數(shù).

圖16

解析：

(1)正明：如圖2,VZA0P=ZA0B+ZB0P=80o+ZB0P.

----《NBOP'=NPOP'+ZB0P=80°+ZB0P

//W；?NAOP:/BOP,........................................................2分

又???OA=OB,OP=OP'

.,.△A()P^ABOP,....................................................4分

JAP=BP'.....................................................................5分

圖23

(2)解：連接0T,過T作TH_LOA于點(diǎn)H

?「AT與碗相切,AZATO=90°.............................................................6分

???AT=ylOA2-OT2=7102-62=8......................................................7分

-：-xOAxTH=-xATxOT^-x\OxTH=-xSx6

2222

24

??.TH=一，即為所求的距離...................................9分