第三章

空間向量與立體幾何

3.3.2.2空間向量長度與夾角的坐標(biāo)表示1.進(jìn)一步熟悉空間向量的坐標(biāo)表示.2.能利用空間向量的坐標(biāo)解決一些簡單的長度與夾角問題.探究1

平面向量長度的坐標(biāo)表示是否可以推廣到空間向量長度的坐標(biāo)表示？提示

可以.知識梳理(1)向量的模(長度)為其坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根；(2)空間兩點(diǎn)間的距離可以通過向量模的坐標(biāo)表示得到.例1如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.單位正方體ABCD－A′B′C′D′的頂點(diǎn)A位于坐標(biāo)原點(diǎn)，其中點(diǎn)B(1，0，0)，點(diǎn)D(0，1，0)，點(diǎn)A′(0，0，1).因?yàn)辄c(diǎn)E是棱B′C′的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱B′B的中點(diǎn)，點(diǎn)G是側(cè)面CDD′C′的中心，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求長度的一般步驟(1)建立坐標(biāo)系：結(jié)合圖形建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.建立時要充分利用已知的垂直關(guān)系，找到(或作出)兩兩垂直的三條直線.(2)求向量的坐標(biāo)：依據(jù)條件，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到待求向量的坐標(biāo).(3)代入公式計(jì)算.思維升華訓(xùn)練1[1，5]探究2

平面向量夾角的坐標(biāo)表示是否可以推廣到空間向量夾角的坐標(biāo)表示？提示

可以.知識梳理例2思維升華求空間向量夾角的一般思路(1)建系：恰當(dāng)?shù)臉?gòu)建空間直角坐標(biāo)系.(2)寫坐標(biāo)：求出所對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，及向量的坐標(biāo)表示.(3)計(jì)算：運(yùn)用夾角公式的坐標(biāo)表示運(yùn)算.訓(xùn)練2A.120° B.150° C.30° D.60°√如圖，以B為原點(diǎn)，BC，BA，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.令A(yù)B＝BC＝AA1＝2，則B(0，0，0)，E(0，1，0)，F(xiàn)(0，0，1)，C1(2，0，2)，(2)(鏈接教材P117習(xí)題3－3A組T4)已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1，1)，且a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是_____________________.由題意可知a·b＜0，且a與b不共線，則a·b＝3×(－1)－2×(x－1)－3×1＝－2x－4＜0，解得x＞－2.若a與b共線，例3如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是AA1，CB1的中點(diǎn).以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.(2)求△BMN的面積.思維升華空間幾何體中三角形的面積計(jì)算，在具備建系的條件下常通過建系，利用有關(guān)向量的模、夾角求解.訓(xùn)練3解得n＝±1，故c為(2，1，－2)或(－2，－1，2).(2)已知向量ka＋b與b互相垂直，求k的值；ka＋b＝(1－k，－k，－2)，由于ka＋b與b垂直，則(1－k，－k，－2)·(1，0，－2)＝1－k＋4＝0，k＝5.(3)求△ABC的面積.1、背誦記憶空間向量長度與夾角的坐標(biāo)公式2、記憶求空間向量夾角的思路與解題步驟√√根據(jù)題意，設(shè)b＝ka(k∈R)，即(3，x，y)＝k(－1，2，1)，則有k＝－3，則x＝－6，y＝－3，則b＝(3，－6，－3)，3.向量a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，則x＋y的值為________.－3或1－31、把課堂檢測習(xí)題同桌互批，各組長將檢測