試題PAGE1試題福田區(qū)八校2023-2024學年第一學期九年級開學聯(lián)考數學試卷一．選擇題（每題3分，共30分）1.的值介于（）A.25與30之間 B.30與35之間 C.35與40之間 D.40與45之間2.下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A. B. C. D.3.以下調查中，適宜全面調查的是（）A.了解全班同學每周體育鍛煉的時間 B.調查某批次汽車的抗撞擊能力C.調查春節(jié)聯(lián)歡晚會的收視率 D.鞋廠檢測生產的鞋底能承受的彎折次數4.若代數式有意義，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.且5.下列命題不正確的是（）A.經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行B.負數的立方根是負數C.對角線互相垂直的四邊形是菱形D.五邊形的外角和是6.如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑的卡鉗，卡鉗交叉點O為、的中點，只要量出的長度，就可以道該零件內徑的長度．依據的數學基本事實是（）A.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等C.兩條直線被一組平行線所截，所的對應線段成比例 D.兩點之間線段最短7.2020年一2022年無錫居民人均可支配收入由5.76萬元增長至6.58萬元，設人均可支配收入的年平均增長率為x，下列方程正確的是（）A. B.C. D.8.下列結論①若，則，，②數用科學記數法表示為，③若關于x的方程有增根，則，④不是分數．⑤若關于x的不等式恰有2個正整數解，則a的最大值是4，以上結論正確的個（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個9.小王同學從家出發(fā)，步行到離家a米的公園晨練，4分鐘后爸爸也從家出發(fā)沿著同一路線騎自行車到公園晨練，爸爸到達公園后立即以原速折返回到家中，兩人離家的距離y（單位：米）與出發(fā)時間x（單位：分鐘）的函數關系如圖所示，則兩人先后兩次相遇的時間間隔為（）A2.7分鐘 B.2.8分鐘 C.3分鐘 D.3.2分鐘10.如圖，平行四邊形中，，，，是邊上一點，且，是邊上的一個動點，將線段繞點逆時針旋轉，得到，連接、，則的最小值是（）A.4 B. C. D.二．填空題（每題3分，共15分）11.計算：______________．12.如圖，已知直線平分，則度數是_______．13.若實數m滿足，則________．14.數學家高斯推動了數學科學的發(fā)展，被數學界譽為“數學王子”，據傳，他在計算時，用到了一種方法，將首尾兩個數相加，進而得到．人們借助于這樣的方法，得到（n是正整數）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點，，其中，2，3，，，，且，是整數．記，如，即，，即，，即，?，以此類推．則_______．15.如圖，在中，，，為邊上一動點，且不與點、點重合，連接并延長，在延長線上取一點，使，連接．過點A作于點，的延長線與的延長線交于點H，已知，，則_______．三．解答題（共55分）16.計算：（1）；（2）．17.習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣．”某校為提高學生的閱讀品味，現決定購買獲得矛盾文學獎的甲、乙兩種書共100本，已知購買2本甲種書和1本乙種書共需100元，購買3本甲種書和2本乙種書共需165元．（1）求甲，乙兩種書的單價分別為多少元：（2）若學校決定購買以上兩種書的總費用不超過3200元，那么該校最多可以購買甲種書多少本？18.如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的頂點均在格點上，O、M也在格點上．（1）畫出△ABC關于直線OM對稱的△A1B1C1；（2）畫出△ABC繞點O按順時針方向旋轉90°后所得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1與△A2B2C2組成的圖形是軸對稱圖形嗎？如果是軸對稱圖形，請畫出對稱軸．19.2023年3月27日是第28個全國中小學生安全教育日，為提高學生安全防范意識和自我防護能力，某學校舉行了校園安全知識競賽活動．現從八、九年級中各隨機抽取15名學生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績得分用x表示，80分及以上為優(yōu)秀，共分成四組，A：；B：；C：；D：），并給出下面部分信息：八年級抽取的學生競賽成績在C組中的數據為：84，84，88．九年級抽取的學生競賽成績?yōu)椋?8，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年級抽取的學生競賽成績統(tǒng)計表年級平均數中位數眾數優(yōu)秀率八87a98九8786bc根據以上信息，解答下列問題：（1）填空：________，________，________．（2）該校八、九年級共500人參加了此次競賽活動，請你估計該校八、九年級參加此次競賽活動成績達到90分及以上的學生人數．20.如圖，是矩形的對角線．（1）作線段的垂直平分線（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；（2）設的垂直平分線交于點，交于點，連接．①判斷四邊形的形狀，并說明理由；②若，求四邊形周長．21.點P（x，y）是第一象限內一個動點，過點P分別作兩坐標軸的垂線，垂足分別為M，N，已知矩形PMON的周長為8．（1）求y關于x的函數關系式，直接寫出自變量x的取值范圍；（2）直線l與（1）中的函數圖象交于A（1，a），與x軸交于點B（﹣1，0）．①求直線l的解析式；②已知點P不與點A重合，且△ABP的面積為，直接寫出P點的坐標．22.（1）用數學的眼光觀察．如圖，在四邊形中，，是對角線中點，是的中點，是的中點，求證：．（2）用數學思維思考．如圖，延長圖中的線段交的延長線于點，延長線段交的延長線于點，求證：．（3）用數學的語言表達．如圖，在中，，點在上，，是的中點，是的中點，連接并延長，與的延長線交于點，連接，若，試判斷的形狀，并進行證明．福田區(qū)八校2023-2024學年第一學期九年級開學聯(lián)考數學試卷一．選擇題（每題3分，共30分）1.的值介于（）A.25與30之間 B.30與35之間 C.35與40之間 D.40與45之間【答案】D【解析】【分析】直接利用二次根式的性質得出的取值范圍進而得出答案．【詳解】解∶∵．∴即，∴的值介于40與45之間．故選D．【點睛】本題主要考查了估算無理數的大小，正確估算無理數的取值范圍是解題關鍵．2.下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據同類二次根式的定義，逐個進行判斷即可．【詳解】解：A、，與不是同類二次根式，不符合題意；B、與不是同類二次根式，不符合題意；C、，與是同類二次根式，符合題意；D、，與不是同類二次根式，不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了同類二次根式，解題的關鍵是掌握同類二次根式的定義：將二次根式化為最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式是同類二次根式；最簡二次根式的特征：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式．3.以下調查中，適宜全面調查的是（）A.了解全班同學每周體育鍛煉的時間 B.調查某批次汽車的抗撞擊能力C.調查春節(jié)聯(lián)歡晚會的收視率 D.鞋廠檢測生產的鞋底能承受的彎折次數【答案】A【解析】【分析】根據普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似進行判斷．【詳解】解：A、了解全班同學每周體育鍛煉的時間適合全面調查，符合題意；B、調查某批次汽車的抗撞擊能力適合抽樣調查，不符合題意；C、調查春節(jié)聯(lián)歡晚會的收視率適合抽樣調查，不符合題意；D、鞋廠檢測生產的鞋底能承受的彎折次數適合抽樣調查，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了抽樣調查和全面調查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調查要根據所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，應選擇抽樣調查，對于精確度要求高的調查，事關重大的調查往往選用普查．4.若代數式有意義，則實數取值范圍是（）A. B. C. D.且【答案】D【解析】【分析】根據二次根式有意義的條件和分式有意義的條件得到不等式組，解不等式組即可得到答案．【詳解】解：∵代數式有意義，∴，解得且，故選：D【點睛】此題考查了二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．5.下列命題不正確的是（）A.經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行B.負數的立方根是負數C.對角線互相垂直的四邊形是菱形D.五邊形的外角和是【答案】C【解析】【分析】由平行線公理、立方根的定義、菱形的判定定理、多邊形的外角和，分別進行判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行；故A正確；B、負數的立方根是負數；故B正確；C、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C錯誤；D、五邊形的外角和是，故D正確；故選：C【點睛】本題考查了判斷命題的真假，以及考查了平行線公理、立方根的定義、菱形的判定定理、多邊形的外角和，解題的關鍵是掌握所學的知識，正確的進行判斷．6.如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑的卡鉗，卡鉗交叉點O為、的中點，只要量出的長度，就可以道該零件內徑的長度．依據的數學基本事實是（）A.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等C.兩條直線被一組平行線所截，所的對應線段成比例 D.兩點之間線段最短【答案】A【解析】【分析】根據題意易證，根據證明方法即可求解．【詳解】解：O為、的中點，，，（對頂角相等），在與中，，，，故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的證明，正確使用全等三角形的證明方法是解題的關鍵．7.2020年一2022年無錫居民人均可支配收入由5.76萬元增長至6.58萬元，設人均可支配收入的年平均增長率為x，下列方程正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據2020年的人均可支配收入和2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．【詳解】解：由題意得：．故選：A．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．8.下列結論①若，則，，②數用科學記數法表示為，③若關于x的方程有增根，則，④不是分數．⑤若關于x的不等式恰有2個正整數解，則a的最大值是4，以上結論正確的個（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】C【解析】【分析】根據有理數的乘法，科學記數法，分式方程的解，一元一次不等式的解，實數的分類一一判斷即可．【詳解】解：①若，則，或，，故錯誤；②數用科學記數法表示為，故錯誤；③若關于x方程有增根，解得：，則，則，故錯誤；④是無理數，不是分數，故正確；⑤若關于x的不等式恰有2個正整數解，則，∴，解得：，則a的最大值是4，故正確；∴共有2個正確，故選：C．【點睛】本題考查了有理數的乘法，科學記數法，分式方程的解，一元一次不等式的解，實數的分類，知識點較多，但難度不大，要能熟練運用所學知識點對每個點進行準確判斷，方能正確作答．9.小王同學從家出發(fā)，步行到離家a米的公園晨練，4分鐘后爸爸也從家出發(fā)沿著同一路線騎自行車到公園晨練，爸爸到達公園后立即以原速折返回到家中，兩人離家的距離y（單位：米）與出發(fā)時間x（單位：分鐘）的函數關系如圖所示，則兩人先后兩次相遇的時間間隔為（）A.2.7分鐘 B.2.8分鐘 C.3分鐘 D.3.2分鐘【答案】C【解析】【分析】先根據題意求得A、D、E、F的坐標，然后再運用待定系數法分別確定AE、AF、OD的解析式，再分別聯(lián)立OD與AE和AF求得兩次相遇的時間，最后作差即可．【詳解】解：如圖：根據題意可得A（8，a），D(12,a)，E（4,0），F（12,0）設AE的解析式為y=kx+b，則，解得∴直線AE的解析式為y=x-a同理：直線AF的解析式為：y=-x+3a,直線OD的解析式為：y=聯(lián)立，解得聯(lián)立，解得兩人先后兩次相遇的時間間隔為9-6=3min．故答案為C．【點睛】本題主要考查了一次函數的應用，根據題意確定相關點的坐標、求出直線的解析式成為解答本題的關鍵．10.如圖，平行四邊形中，，，，是邊上一點，且，是邊上的一個動點，將線段繞點逆時針旋轉，得到，連接、，則的最小值是（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點，連接，，，作交的延長線于，根據三角形全等的判定與性質可以得到，由三角形三邊關系可得，利用勾股定理求出的值即可得到解答．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，，，作交的延長線于，由題意可得：，，點是的中點，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，點的運動軌跡是射線，，，，，，，在中，，，，，在中，，，的最小值為；故選C．【點睛】本題考查平行四邊形與旋轉的綜合應用，熟練作出輔助線并掌握旋轉的性質、三角形全等的判定與性質、三角形三邊關系及勾股定理的應用是解題關鍵．二．填空題（每題3分，共15分）11.計算：______________．【答案】【解析】【分析】運用同底數冪的運算法則計算求解．【詳解】解：原式．故答案為：．【點睛】本題考查同底數冪的運算；掌握運算法則是解題的關鍵．12.如圖，已知直線平分，則的度數是_______．【答案】##70度【解析】【分析】由平角的定義可得，由角平分線的定義可得，再利用兩直線平行，內錯角相等即可求解．【詳解】解：，，平分，，，．故答案為：70°．【點睛】本題主要考查了平角的定義、角平分線的定義、平行線的性質，熟練掌握角平分線的定義和平行線的性質是解題關鍵．13.若實數m滿足，則________．【答案】【解析】【分析】根據完全平方公式得，再代值計算即可．【詳解】解：故答案為：．【點睛】本題考查完全平方公式的應用，求代數式值，掌握完全平方公式及其變式是解題本題的關鍵．14.數學家高斯推動了數學科學的發(fā)展，被數學界譽為“數學王子”，據傳，他在計算時，用到了一種方法，將首尾兩個數相加，進而得到．人們借助于這樣的方法，得到（n是正整數）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點，，其中，2，3，，，，且，是整數．記，如，即，，即，，即，?，以此類推．則_______．【答案】42【解析】【分析】利用圖形尋找規(guī)律，再利用規(guī)律解題即可．【詳解】解：第1圈有1個點，即，這時；第2圈有8個點，即到，這時；第3圈有16個點，即到，這時；，依次類推，第圈，；由規(guī)律可知：是在第23圈上，且，則，即，故答案為：42．【點睛】本題考查了圖形與規(guī)律，利用所給的圖形找到規(guī)律是解題的關鍵．15.如圖，在中，，，為邊上一動點，且不與點、點重合，連接并延長，在延長線上取一點，使，連接．過點A作于點，的延長線與的延長線交于點H，已知，，則_______．【答案】【解析】【分析】如圖，過點作于，由等腰直角三角形的性質可得，，由“”可證，可得，由勾股定理可得結論．【詳解】解：如圖，過點作于，∵，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，，，，，又，，，，在中，，，，∵，，∴；故答案為：．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．三．解答題（共55分）16.計算：（1）；（2）．【答案】（1）2022（2）【解析】【分析】（1）根據零次冪、負指數冪及算術平方根可進行求解；（2）根據分式的運算可進行求解．【小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查零次冪、負指數冪、分式的運算及算術平方根，熟練掌握各個運算是解題的關鍵．17.習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣．”某校為提高學生的閱讀品味，現決定購買獲得矛盾文學獎的甲、乙兩種書共100本，已知購買2本甲種書和1本乙種書共需100元，購買3本甲種書和2本乙種書共需165元．（1）求甲，乙兩種書的單價分別為多少元：（2）若學校決定購買以上兩種書總費用不超過3200元，那么該校最多可以購買甲種書多少本？【答案】（1）甲種書的單價為35元，乙種書的單價為30元（2）該校最多可以購買甲種書40本【解析】【分析】（1）設甲種書的單價為x元，乙種書的單價為y元，利用2本甲種書的價格1本乙種書的價格；3本甲種書的價格2本乙種書的價格，列方程解答即可；（2）設購買甲種書本，則購買乙種書本，根據購買甲種書的總價購買乙種書的總價，列不等式解答即可．【小問1詳解】解：設甲種書單價為x元，乙種書的單價為y元，可得方程，解得，原方程的解為，答：甲種書的單價為35元，乙種書的單價為30元．【小問2詳解】解：設購買甲種書本，則購買乙種書本，根據題意可得，解得，故該校最多可以購買甲種書40本，答：該校最多可以購買甲種書40本．【點睛】本題考查了二元一次方程的實際應用，一元一次不等式的實際應用，列出正確的等量關系和不等關系是解題的關鍵．18.如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的頂點均在格點上，O、M也在格點上．（1）畫出△ABC關于直線OM對稱的△A1B1C1；（2）畫出△ABC繞點O按順時針方向旋轉90°后所得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1與△A2B2C2組成的圖形是軸對稱圖形嗎？如果是軸對稱圖形，請畫出對稱軸．【答案】(1)（2）見解析（3）是【解析】【詳解】試題分析:（1）（2）（3）△A1B1C1與△A2B2C2組成的圖形是軸對稱圖形，對稱軸如下：考點：本題考查軸對稱圖形．點評：軸對稱的知識雖然是偏基礎的，但是要求學生不僅能夠辨認識別并判斷軸對稱圖形，還要求學生能夠畫出已知圖形的軸對稱圖形以及相應的對稱軸．19.2023年3月27日是第28個全國中小學生安全教育日，為提高學生安全防范意識和自我防護能力，某學校舉行了校園安全知識競賽活動．現從八、九年級中各隨機抽取15名學生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績得分用x表示，80分及以上為優(yōu)秀，共分成四組，A：；B：；C：；D：），并給出下面部分信息：八年級抽取的學生競賽成績在C組中的數據為：84，84，88．九年級抽取的學生競賽成績?yōu)椋?8，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年級抽取的學生競賽成績統(tǒng)計表年級平均數中位數眾數優(yōu)秀率八87a98九8786bc根據以上信息，解答下列問題：（1）填空：________，________，________．（2）該校八、九年級共500人參加了此次競賽活動，請你估計該校八、九年級參加此次競賽活動成績達到90分及以上的學生人數．【答案】（1）84，100，；（2）200人【解析】【分析】（1）根據中位數的定義得出a為排序后第八名學生的成績；找出抽取的九年級學生的競賽成績中出現次數最多的分數，即可求出b；用抽取的九年級學生的競賽成績中80分以上的個數除以15，即可求出c；（2）用500人乘以抽取的八、九年級學生競賽成績中90分以上的人數所占百分比，即可求解．【小問1詳解】解：∵一共抽取八年級學生15人，∴中位數是排序后的第8個數據，∵1+5=6，∴第8個數據落在C組，∴a第八名學生成績，即；∵抽取的九年級學生競賽成績中，100分出現了3次，出現次數最多，∴，∵抽取的九年級學生競賽成績中，80分及以上的有12個，∴；故答案為：84，100，；【小問2詳解】解：根據頻數分布直方圖可得，抽取的八年級學生競賽成績中，90分以上的有6個；根據抽取的九年級學生的競賽成績可得，90分以上的有6個；∴該校八、九年級參加此次競賽活動成績達到90分及以上的學生人數為：（人），答：該校八、九年級參加此次競賽活動成績達到90分及以上的學生人數為200人．【點睛】本題主要考查了頻數分布直方圖，中位數，眾數，頻率，以及用樣本估計總體，解題的關鍵是熟練掌握相關知識點，并靈活運用，正確從統(tǒng)計圖中獲取需要數據．20.如圖，是矩形的對角線．（1）作線段的垂直平分線（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；（2）設的垂直平分線交于點，交于點，連接．①判斷四邊形的形狀，并說明理由；②若，求四邊形的周長．【答案】（1）圖見詳解（2）①四邊形是菱形，理由見詳解；②四邊形的周長為【解析】【分析】（1）分別以點B、D為圓心，大于為半徑畫弧，分別交于點M、N，連接，則問題可求解；（2）①由題意易得，易得，然后可得四邊形是平行四邊形，進而問題可求證；②設，則，然后根據勾股定理可建立方程進行求解．【小問1詳解】解：所作線段的垂直平分線如圖所示：【小問2詳解】解：①四邊形是菱形，理由如下：如圖，由作圖可知：，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵是的垂直平分線，∴，∴四邊形是菱形；②∵四邊形是矩形，，∴，由①可設，則，∵，∴，即，解得：，∴四邊形的周長為．【點睛】本題主要考查矩形的性質、菱形的性質與判定、勾股定理及線段垂直平分線的性質，熟練掌握矩形的性質、菱形的性質與判定、勾股定理及線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．21.點P（x，y）是第一象限內一個動點，過點P分別作兩坐標軸的垂線，垂足分別為M，N，已知矩形PMON的周長為8．（1）求y關于x的函數關系式，直接寫出自變量x的取值范圍；（2）直線l與（1）中的函數圖象交于A（1，a），與x軸交于點B（﹣1，0）．①求直線l的解析式；②已知點P不與點A重合，且△ABP的面積為，直接寫出P點的坐標．【答案】（1）y＝4﹣x（0＜x＜4）；（2）①y＝x+；②