2024-2025學年湖南省岳陽市云溪區(qū)高二上學期11月期中考試數(shù)學檢測試題一、單選題（共8小題，每小題5分，總分40分）1.過點且傾斜角為的直線方程為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】由傾斜角為求出直線的斜率，再利用點斜式可求出直線方程【詳解】解：因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，故選：D2.“”是“直線與直線垂直”（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A分析】根據(jù)直線垂直可得，結合充分、必要條件分析判斷.【詳解】因為直線與直線垂直，等價于，即，所以“”是“直線與直線垂直”的充要條件.故選：A.3.已知點A，B，C為橢圓D的三個頂點，若是正三角形，則D的離心率是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】首先由題得到，結合，即可求得.【詳解】無論橢圓焦點位于軸或軸，根據(jù)點,,為橢圓的三個頂點,若是正三角形,則，即，即，即有，則，解得.故選：C.4.在長方體中，已知，，為的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】建立空間直角坐標系，利用線線角公式即可求解．【詳解】在長方體中,以點為原點,分別為,,軸建立空間直角坐標系，因為，，則，，，，可得,則，則直線與所成角的余弦值為.故選：C.5.瑞士數(shù)學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.這條直線被稱為“歐拉線”.已知的頂點，，，則的歐拉線方程為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意求的重心和外心，結合直線的兩點式方程可得歐拉線方程.【詳解】因為的頂點，，，可知的重心為點，即點，由題意，可知，所以的外心為斜邊的中點，即點，所以的歐拉線方程為，即.故選：C.6.已知圓與圓，過動點分別作圓、圓的切線，（，分別為切點），若，則的最小值是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出點的軌跡為直線，再根據(jù)點到直線的距離公式即可得到最值.【詳解】由題意得，，因為，又，即，即，化簡得點的軌跡為，即在直線上，表示的幾何意義為點到原點距離的平方，故只需計算原點到直線的距離再平方就可得最小值，即最小值為.故選：B.7.芻甍是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，是底面為矩形的屋脊狀的楔體.現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面BCDE為矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】用基向量表示和，再利用異面直線所成角的向量公式即可求解.【詳解】依題意得，，所以，又，，所以設異面直線AE與BD所成的角為，則故選：A.8.已知，分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點，為第一象限內(nèi)一點，且滿足，，線段與雙曲線交于點，若，則雙曲線的離心率為（A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意可得，，，利用余弦定理列式求解即可.【詳解】由題意可知：，，且，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，即，可得，所以雙曲線的離心率為.故選：C.二、多選題（共4小題，每小題5分，總分20分）9.滿足下列條件的直線與，其中的是（）A.的傾斜角為，的斜率為B.的斜率為，經(jīng)過點，C.經(jīng)過點，，經(jīng)過點，D.的方向向量為，的方向向量為【正確答案】BCD【分析】根據(jù)直線斜率之積為判斷ABC，再由方向向量垂直的數(shù)量積表示判斷D.【詳解】對A，，，，所以A不正確；對B，，，故B正確；對C，，，，故C正確；對D，因為，所以兩直線的方向向量互相垂直，故，故D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.點是圖象的一個對稱中心B.的單調遞增區(qū)間為，C.在上的值域為D.將的圖象先向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則【正確答案】AC【分析】已知函數(shù)fx=Asinωx+φ的解析式，根據(jù)函數(shù)圖像及其形式即可得到ABC【詳解】因為，所以點是圖象的一個對稱中心，A正確；令（），則（），故的單調遞增區(qū)間為（），B錯誤；因為，所以，故在上的值域為，C正確；將的圖象先向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），可得的圖象，D錯誤.故選：AC11.曲線是平面內(nèi)與兩個定點，的距離的積等于的點的軌跡，則下列結論正確的是（）A.點到軸距離的最大值為 B.點到原點距離的最大值為C.周長的最大值為 D.最大值為【正確答案】BD【分析】對于A：根據(jù)題意結合面積關系可得，即可得結果；對于B：根據(jù)向量可得，即可得結果；對于C：利用基本不等式分析判斷；對于D：利用余弦定理結合基本不等式分析判斷.【詳解】由題意可知：，，設Px,y，對于選項A：因為，即，解得，當且僅當時，等號成立，所以點到軸距離的最大值為，故A錯誤；對于選項B：因為，且，則且，可得，則，即，當且僅當同向時，等號成立，所以點到原點距離的最大值為，故B正確，對于選項C：因為，當且僅當時，等號成立，所以周長的最小值為，故C錯誤；對于選項D：因為，當且僅當時，等號成立，可得，所以最大值為，故D正確；故選：BD.12.在直三棱柱中，，，D是AC的中點，下列判斷正確的是（）A.∥平面B.面⊥面C.直線到平面的距離是D.點到直線的距離是【正確答案】ABD【分析】A.連接交于點E，連接DE，易得，再利用線面平行的判定定理判斷；B.易證，再根據(jù)平面平面ABC，得到平面，再利用面面垂直的判定定理判斷；C.以D點為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解判斷；D.作，連接，易證，利用勾股定理求解判斷?！驹斀狻緼.如圖所示：連接交于點E，連接DE，所以，又平面，平面，所以平面，故正確；B.因為，D是AC的中點，所以，又平面平面ABC，所以平面，又平面，所以面⊥面，故正確；C.∵平面，∴到平面的距離等于點到平面的距離，C.以D點為原點，建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，設平面的一個法向量，則，即，不妨取，所求距離，故錯誤；D.如圖所示：作，連接，因為平面ABC，所以，又，所以平面，則，又，所以，故正確；故選：ABD三、填空題（共4小題，每小題5分，總分20分）13.已知向量與的夾角為，，，則______，______【正確答案】①.2②.【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式可求得，由可求得.【詳解】由題意得，因為，所以.故；14.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，則AB1與C1B所成的角的大小為___________.【正確答案】900【詳解】不妨設BB1=1，則AB=2，∴直線AB1與C1B所成角為90°故答案為900.點睛：這個題目考查的是立體中異面直線的夾角的求法，常用方法是建系法，直接找兩個直線的方向向量，求方向向量的夾角即可；或者將異面直線平移到同一個平面中，轉化為平面直線的夾角問題．15.已知為拋物線上的任意一點，為其焦點，為圓上的一點，則的最小值為__________、【正確答案】【分析】取點，根據(jù)相似三角形得，則，再通過設點，結合兩點距離公式和二次函數(shù)性質即可求出最小值.【詳解】由題意得，取點，設圓的圓心為，則，所以，又因為，所以，則，.，即求得最小值，設，則，令.當時，，即的最小值為.故答案為.16.已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過點且斜率為2的直線與的一條漸近線在第四象限相交于點，四邊形為平行四邊形.若直線的斜率，則的離心率的取值范圍為_____.【正確答案】【分析】聯(lián)立的方程與漸近線方程，可得坐標，根據(jù)兩點斜率公式結合平行求解的斜率，即可化簡得，進而可求解離心率.【詳解】由題意可得F1?c,0，由于為平行四邊形，故,直線的方程為，漸近線方程，聯(lián)立，故,所以，因此，化簡得，故離心率為，故四、解答題（共4小題，總分70分）17.如圖，已知平面，為矩形，，分別為的中點，求證：（1）平面；（2）平面平面【正確答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】結合已知條件平面，建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標.（1）利用向量共面的充要條件將用平面中兩個不共線向量線性表示即可得證；（2）先分別求出平面與平面的法向量，再證兩法向量垂直即可.【詳解】如圖，以為坐標原點，所在的直線分別為、、軸正方向建立空間直角坐標系.設，則有.（1）因為分別為的中點，所以.所以.所以.又因為平面，所以平面.（2）由（1），知，所以.設平面的一個法向量為則，即.解得.令，則.設平面的一個法向量為，則，即.得.令，則，因為，所以.故平面平面18.某公司的入職面試中有4道難度相當?shù)念}目，王陽答對每道題的概率都是0.7，若每位面試者共有4次機會，一旦某次答對抽到的題目、則面試通過，否則就一直抽題到第4次為止，假設對抽到的不同題目能否答對是獨立的.（1）求王陽第三次答題通過面試的概率；（2）求王陽最終通過面試的概率.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）分析可知：若王陽第三次答題通過面試，則前次均不通過，結合獨立事件概率求法運算求解；（2）先求王陽未通過面試的概率，結合對立事件概率求法運算求解.【小問1詳解】記“王陽第三次答題通過面試”為事件，若王陽第三次答題通過面試，則前次均不通過，所以王陽第三次答題通過面試的概率為.【小問2詳解】記“王陽最終通過面試”為事件，王陽未通過面試的概率為，所以王陽最終通過面試的概率.19.已知雙曲線的實軸長為，且過點（1）求雙曲線C的方程.（2）過雙曲線C的右焦點F作斜率為的直線l，l與雙曲線C交于A，B兩點，求（3）若M，N是雙曲線C上不同的兩點.且直線MN的斜率為，線段MN的中點為P，證明：點P在直線上.【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得，將點的坐標代入得，即可求解.（2）由（1）得，進而得直線l的方程為，聯(lián)立雙曲線方程，得韋達定理，進而求解.（3）利用點差法即可證明.【小問1詳解】根據(jù)題意可得，則將點的坐標代入，得，解得，故雙曲線C的方程為【小問2詳解】由（1）得，則，則直線l的方程為設，由，得，，，，所以小問3詳解】設，，則，兩式相減得設，則，所以，即，所以，即，所以點P在直線上.20.已知為坐標原點，橢圓：的兩個頂點坐標為，，短軸長為2，直線交橢圓于，兩點，直線與軸不平行，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.（1）求橢圓C的方程（2）求證：直線恒過定點；（3）斜率為的直線交橢圓于，兩點，記以，為直徑的圓的面積分別為，，的面積為，求的最大值.【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）.【分析】（1）由已知易知的值，得橢圓C的方程；（2）設直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理及，可得，即可得證；（3）設直線，聯(lián)立直線與橢圓，結合韋達定理可得弦長MN，再根據(jù)點到直線距離可得，再根據(jù)點在橢圓上，可得，進而可得，再利用二次函數(shù)的性質求得最值.【小問1詳解】由已知兩個頂點坐標為A?2,0，，短軸長為2，得，，則橢圓方程.【小問2詳解】設直線方程為，Px1,y1由，消去x得，，，則，，，，又點Px1,y則，即，則，即，解得，此時，即直線的方程為，所以直線恒過定點.【小問3詳解】設直線的方程為，，，由，消去得，，即，則，，所以點到直線的距離，所以，又，，所以，所以則當即時，取最大值為.關鍵點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把直線與橢圓的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．21.如圖，軸垂足為點，點在的延長線上，且.當點在圓上運動時，點的軌跡方程為.（1）求點的軌跡的方程；（2）當時，點的軌跡方程記為.（i）若動點為軌跡外一點，且點到軌跡的兩條切線互相垂直，記點的軌跡方程記為，試判斷與圓是否存在交點？若存在，求出交點的坐標；若不存在，請說明理由；（ii）軌跡的左右頂點分別記為，圓上有一動點，在軸上方，，直線交軌跡于點，連接，，設直線，的斜率存在且分別為，，若，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（i）沒有交點，理由見詳解；（ii）【分析】（1）設Mx,y，可得，代入圓即可得結果；（2）根據(jù)題意可得的方程為.（i）可知圓在橢圓內(nèi)，即可得結果；（ⅱ）設，聯(lián)立方程求得，可得，即可得結果.【小問1詳解】設Mx,y因為，則，又因為點在圓上，則，所以點的軌跡的方程為.【小問2詳解