2025屆江蘇省淮安市馬壩高級中學(xué)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知α，β表示兩個不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，則“α∥β是“l(fā)∥β”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．已知雙曲線的實軸長為，離心率為，、分別為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上運動，若為銳角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．4．已知是函數(shù)的極大值點，則的取值范圍是A． B．C． D．5．已知非零向量，滿足，，則與的夾角為（）A． B． C． D．6．函數(shù)f(x)=lnA． B． C． D．7．已知函數(shù).設(shè)，若對任意不相等的正數(shù)，，恒有，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知數(shù)列滿足：，則()A．16 B．25 C．28 D．339．執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．10．函數(shù)在上的圖象大致為（）A． B． C． D．11．已知傾斜角為的直線與直線垂直，則（）A． B． C． D．12．（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過點，且圓心在直線上的圓的半徑為__________．14．拋物線上到其焦點距離為5的點有_______個．15．設(shè)O為坐標(biāo)原點,,若點B(x,y)滿足，則的最大值是__________．16．已知函數(shù)，則曲線在處的切線斜率為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)，若存在兩個極值點，，且，求證：；（2）設(shè)，在不單調(diào)，且恒成立，求的取值范圍.（為自然對數(shù)的底數(shù)）.18．（12分）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，且，，.（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和；（3）設(shè)為數(shù)列的前項和，若對于任意，有，求實數(shù)的值.19．（12分）已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前項和為，且為與的等差中項．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求的前100項和．20．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點為極坐標(biāo)系的極點，軸的正半軸為極軸．已知曲線的極坐標(biāo)方程為，是上一動點，，點的軌跡為．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程，并化為直角坐標(biāo)方程；（2）若點，直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），直線與曲線的交點為，當(dāng)取最小值時，求直線的普通方程．21．（12分）如圖，平面分別是上的動點，且.（1）若平面與平面的交線為，求證：；（2）當(dāng)平面平面時，求平面與平面所成的二面角的余弦值.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線、曲線在第一象限交于兩點，且，點的坐標(biāo)為，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】試題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷．解：根據(jù)題意，由于α，β表示兩個不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，由于“α∥β，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，則必然α中任何一條直線平行于另一個平面，條件可以推出結(jié)論，反之不成立，∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件．故選A．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定．2、A【解析】

由已知先確定出雙曲線方程為，再分別找到為直角三角形的兩種情況，最后再結(jié)合即可解決.【詳解】由已知可得，，所以，從而雙曲線方程為，不妨設(shè)點在雙曲線右支上運動，則，當(dāng)時，此時，所以，，所以；當(dāng)軸時，，所以，又為銳角三角形，所以.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況，即為直角三角形，是一道中檔題.3、B【解析】

取的中點，連接、，推導(dǎo)出，設(shè)設(shè)球心為，和的中心分別為、，可得出平面，平面，利用勾股定理計算出球的半徑，再利用球體的表面積公式可得出結(jié)果.【詳解】取的中點，連接、，由和都是正三角形，得，，則，則，由勾股定理的逆定理，得.設(shè)球心為，和的中心分別為、.由球的性質(zhì)可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半徑為.所以外接球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計算，解題時要分析幾何體的結(jié)構(gòu)，找出球心的位置，并以此計算出球的半徑長，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.4、B【解析】

方法一：令，則，，當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，∴時，，，且，∴，即在上單調(diào)遞增，時，，，且，∴，即在上單調(diào)遞減，∴是函數(shù)的極大值點，∴滿足題意；當(dāng)時，存在使得，即，又在上單調(diào)遞減，∴時，，所以，這與是函數(shù)的極大值點矛盾．綜上，．故選B．方法二：依據(jù)極值的定義，要使是函數(shù)的極大值點，須在的左側(cè)附近，，即；在的右側(cè)附近，，即．易知，時，與相切于原點，所以根據(jù)與的圖象關(guān)系，可得，故選B．5、B【解析】

由平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系化簡，即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關(guān)系可得，，所以，即，由平面向量數(shù)量積定義可得，所以，而，即與的夾角為.故選：B【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，平面向量夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】因為fx=lnx2-4x+4x-23=7、D【解析】

求解的導(dǎo)函數(shù)，研究其單調(diào)性，對任意不相等的正數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.【詳解】的定義域為，，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減；不妨設(shè)，而，知在單調(diào)遞減，從而對任意、，恒有，即，，，令，則，原不等式等價于在單調(diào)遞減，即，從而，因為，所以實數(shù)a的取值范圍是故選：D.【點睛】此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問題，屬于一般性題目.8、C【解析】

依次遞推求出得解.【詳解】n=1時，，n=2時，，n=3時，，n=4時，，n=5時，.故選：C【點睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.9、D【解析】

根據(jù)框圖，模擬程序運行，即可求出答案.【詳解】運行程序，，

，，，，，結(jié)束循環(huán)，故輸出，故選：D.【點睛】本題主要考查了程序框圖，循環(huán)結(jié)構(gòu)，條件分支結(jié)構(gòu)，屬于中檔題.10、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時的符號，即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，排除選項A，B；當(dāng)時，，，排除選項D，故選：C.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對稱性，屬于中檔題.11、D【解析】

傾斜角為的直線與直線垂直，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出結(jié)果.【詳解】解：因為直線與直線垂直，所以，.又為直線傾斜角，解得.故選：D.【點睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】．故選B．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,結(jié)合圓心所在直線方程,即可求得圓心坐標(biāo).由兩點間距離公式,即可得半徑.【詳解】因為圓經(jīng)過點則直線的斜率為所以與直線垂直的方程斜率為點的中點坐標(biāo)為所以由點斜式可得直線垂直平分線的方程為,化簡可得而弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,且圓心在直線上,設(shè)圓心所以圓心滿足解得所以圓心坐標(biāo)為則圓的半徑為故答案為:【點睛】本題考查了直線垂直時的斜率關(guān)系,直線與直線交點的求法,直線與圓的位置關(guān)系,圓的半徑的求法,屬于基礎(chǔ)題.14、2【解析】

設(shè)符合條件的點,由拋物線的定義可得,即可求解.【詳解】設(shè)符合條件的點,則,所以符合條件的點有2個.故答案為:2【點睛】本題考查拋物線的定義的應(yīng)用,考查拋物線的焦半徑.15、【解析】,可行域如圖，直線與圓相切時取最大值，由16、【解析】

求導(dǎo)后代入可構(gòu)造方程求得，即為所求斜率.【詳解】，，解得：，即在處的切線斜率為.故答案為：.【點睛】本題考查切線斜率的求解問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）先求出，又由可判斷出在上單調(diào)遞減，故，令，記，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可；（2）由在上不單調(diào)轉(zhuǎn)化為在上有解，可得，令，分類討論求的最大值，再求解即可.【詳解】（1）已知，，由可得，又由,知在上單調(diào)遞減，令，記，則在上單調(diào)遞增；，在上單調(diào)遞增；，（2），，在上不單調(diào)，在上有正有負，在上有解，，，恒成立，記，則，記，，在上單調(diào)增，在上單調(diào)減.于是知（i）當(dāng)即時，恒成立，在上單調(diào)增，，，.（ii）當(dāng)時，，故不滿足題意.綜上所述，【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運算求解能力.18、（1），（2）（3）【解析】

（1）假設(shè)公差，公比，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，化簡式子，可得，，然后利用公式法，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用錯位相減法求和，可得結(jié)果.（3）計算出，代值計算并化簡，可得結(jié)果.【詳解】解：（1）依題意：，即，解得：所以，（2），，，上面兩式相減，得：則即所以，（3），所以由得，，即【點睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及利用錯位相減法求和，屬基礎(chǔ)題.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）利用已知條件化簡出，當(dāng)時，，當(dāng)時，再利用進行化簡，得出，即可證明出為等差數(shù)列；（2）根據(jù)（1）中，求出數(shù)列的通項公式，再化簡出，可直接求出的前100項和．【詳解】解：（1）由題意知，即，①當(dāng)時，由①式可得；又時，有，代入①式得，整理得，∴是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，∵是各項都為正數(shù)，∴，∴，又，∴，則，，即：.∴的前100項和．【點睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，通項公式的求法以及裂項相消法求和，考查分析解題能力和計算能力.20、（1），；（2）.【解析】

（1）設(shè)點極坐標(biāo)分別為,，由可得,整理即可得到極坐標(biāo)方程,進而求得直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，，將直線的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程中,再利用韋達定理可得，，則，求得取最小值時符合的條件,進而求得直線的普通方程.【詳解】（1）設(shè)點極坐標(biāo)分別為，，因為,則，所以曲線的極坐標(biāo)方程為，兩邊同乘,得，所以的直角坐標(biāo)方程為,即.（2）設(shè)點對應(yīng)的參數(shù)分別為，則,，將直線的參數(shù)方程（參數(shù)），代入的直角坐標(biāo)方程中，整理得.由韋達定理得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，所以當(dāng)取得最小值時，直線的普通方程為.【點睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,考查利用直線的參數(shù)方程研究直線與圓的位置關(guān)系．21、（1）見解析；（2）【解析】

（1）首先由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質(zhì)定理即可得證；（2）以點為坐標(biāo)原點，，所在的直線分別為軸，以過點且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；【詳解】解：（1）由，又平面，平面，所以平面.又平面，且平面平面，故.（2）因為平面，所以，又，所以平面，所以，又，所以.若平面平面，則平面，所以，由且，又，所以.以點為坐標(biāo)原點，，所在的直線分別為軸，以過點且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)則由，可得，，即，所以可得，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，，，取，得所以易知平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成的二面角為，則，結(jié)合圖形可知平面與平面所成的二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用，利用空間向量法求二面角，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培