高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省無錫市2024屆高三上學期期終教學質量調研測試數學試題一、單項選擇題1.已如集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意集合，.故選：A.2.復數在復平面內對應的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限C.笵三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因為，所以復數在復平面內對應的點為，易得該點在第四象限.故選：D.3.已知，是兩個不共線的向量，命題甲：向量與共線；命題乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】向量與共線等價于.因為，是兩個不共線的非零向量，所以，解得：.所以甲是乙的充要條件.故選：C.4.從甲地到乙地的距離約為，經多次實驗得到一輛汽車每小時托油量（單位：）與速度（單位：（）的下列數據：04060801200.0006.6678.12510.00020.000為描述汽車每小時枆油量與速度的關系，則下列四個函數模型中，最符合實際情況的函數模型是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意可知，該函數必須滿足三個條件：第一，定義域為；第二，在定義域上單調遞增；第三，函數經過坐標原點.對于A選項：不經過坐標原點，故A不符合;對于B選項：滿足以上三個條件，故B符合;對于C選項：在定義域內單調遞減，故C不符合;對于D選項：當時，無意義，故D不符合;故選:B.5.已知，設橢圓：與雙曲線：的離心率分別為，.若，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，結合離心率公式可得，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A.6.已知直四棱柱的底面是邊長為2的菱形，且.若，分別是側棱，上的點，且，，則四棱錐的體積為（）A. B.2 C. D.6【答案】A【解析】取的中點，連接，由直四棱柱的底面是邊長為2的菱形，且，所以易得，所以,又因為面，且面，所以,又因為且面，所以面，故為四棱錐的高.易得到，四邊形的面積為,所以四棱錐的體積為,故選：A.7.已知是等比數列的前項和，且存在，使得，，成等差數列.若對于任意的，滿足，則（）A. B. C.32 D.16【答案】D【解析】因為，，成等差數列，所以即，即，所以，因為數列是等比數列，且，所以，，所以，即，所以（無解）或，即又因為，所以，所以，所以，故選：D.8.已知函數的定義域為，且為奇函數，為偶函數.令函數若存在唯一的整數，使得不等式成立，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，，因為為奇函數，為偶函數.所以，，所以可得，同理可得，由得，所以，要滿足存在唯一的整數，使得不等式成立，而，當時，，顯然不成立，當時，要使只有一個整數解，因為所以，即.當時，要使只有一個整數解，因為,所以，即綜上所述：實數的取值范圍為.故選:B.二、多項選擇題9.第一組樣本數據，第二組樣本數據，，…，，其中（），則（）A.第二組樣本數據的樣本平均數是第一組樣本數據的樣本平均數的2倍B.第二組樣本數據的中位數是第一組樣本數據的中位數的2倍C.第二組樣本數據的樣本標準差是第一組樣本數據的樣本標準差的2倍D.第二組樣本數據的樣本極差是第一組樣本數據的樣本極差的2倍【答案】CD【解析】設樣本數據，的樣本平均數為，樣本中位數為，樣本標準差為，極差為，對于A,C選項：由，根據平均數和標準差的性質可知，樣本數據，，…,的樣本平均數為，故A錯誤；樣本數據，，…,的樣本方差為，所以第二組數據的樣本標準差，故C正確；對于B選項：根據中位數的概念可知，樣本數據，，…,的中位數為，故B錯誤；對于D選項：根據極差的概念可知,樣本數據，，…，的極差為,故D正確.故選：CD.10.已知函數，，則下列說法正確的是（）A.的圖象關于點對稱B.在區(qū)間上單調遞增C.將圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到的圖象D.函數的最大值為【答案】BCD【解析】對于A選項：將代入，得，故的圖象不關于點對稱,故選項A錯誤;對于B選項：在，令，則，因為，所以，根據余弦函數圖象可知在單調遞增，故選項B正確；對于C選項：將圖象上的所有點向右平移個單位長度,可得到故選項C正確；對于D選項：,結合余弦函數的性質可知：，故選項D正確.故選：BCD.11.已知過點的直線與拋物線：相交于、兩點，直線：是線段的中垂線，且與的交點為，則下列說法正確的是（）A.為定值 B.為定值C.且 D.【答案】BD【解析】由題意可知，直線的斜率存在且不為0，因為直線過點且與拋物線：相交于、兩點，直線：是線段的中垂線，所以設直線：，聯(lián)立方程，可得，所以,，所以的中點坐標，由題意可知，點是中點，所以，，因為在直線：上，所以，因為，所以，所以為定值，故選項B正確；因為是變量，所以不是定值，故選項A錯誤；因為，，所以，即，又因為，所以，即，解得或，故選項C錯誤；對選項D，由選項C可得，，所以，解得，故選項D正確.故選：BD.12.已知在伯努利試驗中，事件發(fā)生的概率為，我們稱將試驗進行至事件發(fā)生次為止，試驗進行的次數服從負二項分布，記作，則下列說法正確的是（）A.若，則，B.若，則，C.若，，則D.若，則當取不小于的最小正整數時，最大【答案】ACD【解析】對于A選項，因為，則，A對；對于B選項，因為，則，，B錯；對于C選項，因為從中取出個數的取法有種，這些取法可按的值分類，即時的取法有種，所以，，因為，，設，則，所以，，C對；對于D選項，因為，最大，則，所以，，解得，所以，當取不小于的最小正整數時，最大，D對.故選：ACD.三、填空題13.已知直線與圓相交于兩點，則______.【答案】【解析】圓，，圓心，半徑.圓心到直線的距離..故答案為：14.隨著杭州亞運會的舉辦，吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”火遍全國.現(xiàn)有甲、乙、丙位運動員要與“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”站成一排拍照留念，則這個吉祥物互不相鄰的排隊方法數為______.（用數字作答）【答案】【解析】先將甲、乙、丙位運動員排序，然后將“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”三個吉祥物插入位運動員形成的個空位的個空位中，所以，不同的排隊方法種數為種.故答案為：.15.已知函數在區(qū)間上值域為，則的值為______.【答案】【解析】由題意得，當時，，由于在區(qū)間上的值域為，故①或②，解①得，滿足解②得，不滿足，舍去，綜上，的值為.故答案為：16.已知函數，若函數的圖象在點和點處的兩條切線相互平行且分別交軸于、兩點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】當時，，，則，當時，，，則，因為函數的圖象在點和點處的兩條切線相互平行，則，即，則，，，所以，，令，其中，則，當時，，此時函數在上單調遞減，當時，，此時函數在上單調遞增，所以，，因此，的取值范圍是.故答案為：.四、解答題17.設數列滿足，，.（1）證明：數列為等比數列；（2）求數列的通項公式.（1）證明：由，則，所以，由，，則故數列為等比數列.（2）解：由（1）可知數列是以為首項，以3為公比，故，，則；；.由累加法可得：，由，則18.在中，角的對邊分別為，，，已知的面積為.（1）求；（2）若，求.解：（1）結合題意：的面積為,，結合余弦定理可得：，所以，解得，所以.（2）因為，所以，易得A為銳角，所以，所以，由上問可知,,所以，所以,整理得,即，解得（舍去），或.19.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，是線段的中點.（1）若，求證：平面；（2）若，，且平面與平面夾角的正切值為，求線段的長.（1）證明：取AC的中點G，連接BG、FG，因為，所以,又因為平面平面，平面ABC平面，，所以CD平面ABC，平面ABC，所以，因為，平面,所以平面ACD，又因為是線段的中點，所以且，且，所以且，四邊形BGFE是平行四邊形，所以，所以平面（2）解：如圖建系因為，又，所以,又因為，，所以四邊形BCDE是直角梯形，所以設，所以，，，所以，，設平面ADE的一個法向量，所以，平面ABC的法向量，設平面ABC與平面ADE夾角為，所以，，所以，所以，，所以20.為考察藥物對預防疾病A以及藥物對治療疾病A的效果，科研團隊進行了大量動物對照試驗.根據100個簡單隨機樣本的數據，得到如下列聯(lián)表：（單位：只）藥物疾病A未患病患病合計未服用301545服用451055合計7525100（1）依據的獨立性檢驗，分析藥物對預防疾病A的有效性；（2）用頻率估計概率，現(xiàn)從患病的動物中用隨機抽樣的方法每次選取1只，用藥物進行治療.已知藥物的治愈率如下：對未服用過藥物的動物治愈率為，對服用過藥物的動物治愈率為.若共選取3次，每次選取的結果是相互獨立的.記選取的3只動物中被治愈的動物個數為，求的分布列和數學期望.附：，0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）零假設為:藥物對預防疾病A無效果，根據列聯(lián)表中的數據，經計算得到,根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷零假設不成立，即認為藥物對預防疾病A有效果.（2）設A表示藥物的治愈率，表示對未服用過藥物,表示服用過藥物由題，，，且，，.藥物的治愈率，則，所以，，，，X的分布列如下表所示X0123P．21.在直角坐標系中，動點與定點的距離和到定直線：的距離的比是常數，記動點的軌跡為.（1）求的方程；（2）過動點（）的直線交軸于點，交于點（點在第一象限），且.作點關于軸的對稱點，連接并延長交于點.證明：直線斜率不小于.（1）解：結合題意：設點到定直線：的距離為，則，所以，化簡得.故的方程為.（2）證明：由題意可知：直線的斜率存在，故可設直線的方程為，設,所以，，因為，所以，且在橢圓內部.所以聯(lián)立，，所以所以，，即點,因為，，所以，所以直線的方程可設為，設聯(lián)立，，所以，，故,所以直線斜率為結合題意可知，即，當且僅當，即時，直線斜率取得最小值.故直線斜率不小于.22.已知函數（），為的導函數，.（1）若，求在上的最大值；（2）設，，其中.若直線的斜率為，且，求實數的取值范圍.（1）解：若，可得，則，即，可得，當時，，所以在上單調遞增，又由，所以，即，所以函數在上單調遞減，所以，即函數的最大值為.（2）解：由，可得，因為，所以對任意且，都有，因為，可得，則，對任意且，令，則對于恒成立，由則對于恒成立，記，可得，①若，則，在單調遞增，所以，符合題意；②若，則，當時，，在單調遞減；當時，，在單調遞增，所以，當時，，不符合題意（舍去），綜上可得，，即實數的取值范圍為江蘇省無錫市2024屆高三上學期期終教學質量調研測試數學試題一、單項選擇題1.已如集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意集合，.故選：A.2.復數在復平面內對應的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限C.笵三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因為，所以復數在復平面內對應的點為，易得該點在第四象限.故選：D.3.已知，是兩個不共線的向量，命題甲：向量與共線；命題乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】向量與共線等價于.因為，是兩個不共線的非零向量，所以，解得：.所以甲是乙的充要條件.故選：C.4.從甲地到乙地的距離約為，經多次實驗得到一輛汽車每小時托油量（單位：）與速度（單位：（）的下列數據：04060801200.0006.6678.12510.00020.000為描述汽車每小時枆油量與速度的關系，則下列四個函數模型中，最符合實際情況的函數模型是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意可知，該函數必須滿足三個條件：第一，定義域為；第二，在定義域上單調遞增；第三，函數經過坐標原點.對于A選項：不經過坐標原點，故A不符合;對于B選項：滿足以上三個條件，故B符合;對于C選項：在定義域內單調遞減，故C不符合;對于D選項：當時，無意義，故D不符合;故選:B.5.已知，設橢圓：與雙曲線：的離心率分別為，.若，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，結合離心率公式可得，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A.6.已知直四棱柱的底面是邊長為2的菱形，且.若，分別是側棱，上的點，且，，則四棱錐的體積為（）A. B.2 C. D.6【答案】A【解析】取的中點，連接，由直四棱柱的底面是邊長為2的菱形，且，所以易得，所以,又因為面，且面，所以,又因為且面，所以面，故為四棱錐的高.易得到，四邊形的面積為,所以四棱錐的體積為,故選：A.7.已知是等比數列的前項和，且存在，使得，，成等差數列.若對于任意的，滿足，則（）A. B. C.32 D.16【答案】D【解析】因為，，成等差數列，所以即，即，所以，因為數列是等比數列，且，所以，，所以，即，所以（無解）或，即又因為，所以，所以，所以，故選：D.8.已知函數的定義域為，且為奇函數，為偶函數.令函數若存在唯一的整數，使得不等式成立，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，，因為為奇函數，為偶函數.所以，，所以可得，同理可得，由得，所以，要滿足存在唯一的整數，使得不等式成立，而，當時，，顯然不成立，當時，要使只有一個整數解，因為所以，即.當時，要使只有一個整數解，因為,所以，即綜上所述：實數的取值范圍為.故選:B.二、多項選擇題9.第一組樣本數據，第二組樣本數據，，…，，其中（），則（）A.第二組樣本數據的樣本平均數是第一組樣本數據的樣本平均數的2倍B.第二組樣本數據的中位數是第一組樣本數據的中位數的2倍C.第二組樣本數據的樣本標準差是第一組樣本數據的樣本標準差的2倍D.第二組樣本數據的樣本極差是第一組樣本數據的樣本極差的2倍【答案】CD【解析】設樣本數據，的樣本平均數為，樣本中位數為，樣本標準差為，極差為，對于A,C選項：由，根據平均數和標準差的性質可知，樣本數據，，…,的樣本平均數為，故A錯誤；樣本數據，，…,的樣本方差為，所以第二組數據的樣本標準差，故C正確；對于B選項：根據中位數的概念可知，樣本數據，，…,的中位數為，故B錯誤；對于D選項：根據極差的概念可知,樣本數據，，…，的極差為,故D正確.故選：CD.10.已知函數，，則下列說法正確的是（）A.的圖象關于點對稱B.在區(qū)間上單調遞增C.將圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到的圖象D.函數的最大值為【答案】BCD【解析】對于A選項：將代入，得，故的圖象不關于點對稱,故選項A錯誤;對于B選項：在，令，則，因為，所以，根據余弦函數圖象可知在單調遞增，故選項B正確；對于C選項：將圖象上的所有點向右平移個單位長度,可得到故選項C正確；對于D選項：,結合余弦函數的性質可知：，故選項D正確.故選：BCD.11.已知過點的直線與拋物線：相交于、兩點，直線：是線段的中垂線，且與的交點為，則下列說法正確的是（）A.為定值 B.為定值C.且 D.【答案】BD【解析】由題意可知，直線的斜率存在且不為0，因為直線過點且與拋物線：相交于、兩點，直線：是線段的中垂線，所以設直線：，聯(lián)立方程，可得，所以,，所以的中點坐標，由題意可知，點是中點，所以，，因為在直線：上，所以，因為，所以，所以為定值，故選項B正確；因為是變量，所以不是定值，故選項A錯誤；因為，，所以，即，又因為，所以，即，解得或，故選項C錯誤；對選項D，由選項C可得，，所以，解得，故選項D正確.故選：BD.12.已知在伯努利試驗中，事件發(fā)生的概率為，我們稱將試驗進行至事件發(fā)生次為止，試驗進行的次數服從負二項分布，記作，則下列說法正確的是（）A.若，則，B.若，則，C.若，，則D.若，則當取不小于的最小正整數時，最大【答案】ACD【解析】對于A選項，因為，則，A對；對于B選項，因為，則，，B錯；對于C選項，因為從中取出個數的取法有種，這些取法可按的值分類，即時的取法有種，所以，，因為，，設，則，所以，，C對；對于D選項，因為，最大，則，所以，，解得，所以，當取不小于的最小正整數時，最大，D對.故選：ACD.三、填空題13.已知直線與圓相交于兩點，則______.【答案】【解析】圓，，圓心，半徑.圓心到直線的距離..故答案為：14.隨著杭州亞運會的舉辦，吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”火遍全國.現(xiàn)有甲、乙、丙位運動員要與“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”站成一排拍照留念，則這個吉祥物互不相鄰的排隊方法數為______.（用數字作答）【答案】【解析】先將甲、乙、丙位運動員排序，然后將“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”三個吉祥物插入位運動員形成的個空位的個空位中，所以，不同的排隊方法種數為種.故答案為：.15.已知函數在區(qū)間上值域為，則的值為______.【答案】【解析】由題意得，當時，，由于在區(qū)間上的值域為，故①或②，解①得，滿足解②得，不滿足，舍去，綜上，的值為.故答案為：16.已知函數，若函數的圖象在點和點處的兩條切線相互平行且分別交軸于、兩點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】當時，，，則，當時，，，則，因為函數的圖象在點和點處的兩條切線相互平行，則，即，則，，，所以，，令，其中，則，當時，，此時函數在上單調遞減，當時，，此時函數在上單調遞增，所以，，因此，的取值范圍是.故答案為：.四、解答題17.設數列滿足，，.（1）證明：數列為等比數列；（2）求數列的通項公式.（1）證明：由，則，所以，由，，則故數列為等比數列.（2）解：由（1）可知數列是以為首項，以3為公比，故，，則；；.由累加法可得：，由，則18.在中，角的對邊分別為，，，已知的面積為.（1）求；（2）若，求.解：（1）結合題意：的面積為,，結合余弦定理可得：，所以，解得，所以.（2）因為，所以，易得A為銳角，所以，所以，由上問可知,,所以，所以,整理得,即，解得（舍去），或.19.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，是線段的中點.（1）若，求證：平面；（2）若，，且平面與平面夾角的正切值為，求線段的長.（1）證明：取AC的中點G，連接BG、FG，因為，所以,又因為平面平面，平面ABC平面，，所以CD平面ABC，平面ABC，所以，因為，平面,所以平面ACD，又因為是線段的中點，所以且，且，所以且，四邊形BGFE是平行四邊形，所以，所以平面（2）解：如圖建系因為，又，所以,又因為，，所以四邊形BCDE是直角梯形，所以設，所以，，，所以，，設平面ADE的一個法向量，所以，平面ABC的法向量，設平面ABC與平面ADE夾角為，所以，，所以，所以，，所以20.為考察藥物對預防疾病A以及藥物對治療疾病A的效果，科研團隊進行了大量動物對照試驗.根據100個簡單隨機樣本的數據，得到如下列聯(lián)表：（單位：只）藥物疾病A未患病患病合計未服用301545服用451055合計7525100（1）依據