山東省青島市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題本試卷共6頁(yè)，19題.全卷滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上的無(wú)效.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解集合A，再由交集的概念計(jì)算即可.【詳解】由，即.故選：C2.已知平面向量，則向量在向量上的投影向量是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量公式：計(jì)算即得.【詳解】根據(jù)平面向量的投影向量的規(guī)定可得:向量在向量上的投影向量為：，即，因，則，，則向量在向量上的投影向量為.故選：D.3.若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法化簡(jiǎn)，再由所在象限的復(fù)數(shù)特征列不等式組求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，可得，所以，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，所以.故選：C4.已知函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用余弦函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心求出的表達(dá)式，再賦值求得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng),則，解得，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B5.展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)結(jié)合換底公式可求得結(jié)果.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，由可得，且，所以，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：C.6.橢圓任意兩條相互垂直的切線(xiàn)的交點(diǎn)軌跡為圓：，這個(gè)圓稱(chēng)為橢圓的蒙日?qǐng)A.在圓上總存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)能作橢圓的兩條相互垂直的切線(xiàn)，財(cái)?shù)娜≈捣秶牵ǎ〢. B. C. D.【正確答案】D【分析】將在圓上總存在點(diǎn)能作橢圓的兩條相互垂直的切線(xiàn)轉(zhuǎn)化為圓與橢圓的蒙日?qǐng)A總存在交點(diǎn)，然后列不等式求解即可.【詳解】由題意得橢圓的蒙日?qǐng)A為，在圓上總存在點(diǎn)，則圓與總存在交點(diǎn)，即兩圓相切或相交，則，解得.故選：D.7.1551年奧地利數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家雷蒂庫(kù)斯在《三角學(xué)準(zhǔn)則》中首次用直角三角形的邊長(zhǎng)之比定義正割和余割，在某直角三角形中，一個(gè)銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用（角）表示；銳角的斜邊與其對(duì)邊的比，叫做該銳角的余割，用（角）表示，則（）A. B. C.4 D.8【正確答案】C【分析】根據(jù)給定的定義，利用銳角三角函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為角的正余弦，再利用二倍角公式、輔助角公式求解作答.【詳解】依題意，角可視為某直角三角形的內(nèi)角，由銳角三角函數(shù)定義及已知得，所以.故選：C8.雙曲線(xiàn)的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線(xiàn)分別為，，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)垂直于的直線(xiàn)分別交，于，兩點(diǎn).已知、、成等差數(shù)列，且與反向.則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題意為直角三角形，解出三邊后再由漸近線(xiàn)斜率求離心率【詳解】設(shè)，由勾股定理可得：得：，，由倍角公式，解得且，則，即，則離心率．故選:A二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.已知，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】對(duì)于A：直接觀察即可；對(duì)于B：做差法判斷；對(duì)于C：構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)單調(diào)性后可判斷；對(duì)于D：構(gòu)造函數(shù)，確定單調(diào)性，然后通過(guò)化簡(jiǎn)整理后可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，不一定大于1，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，則，所以，故B正確.一題多解，根據(jù)糖水不等式，，，可知B正確.對(duì)于C選項(xiàng)，，令，則，則在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?，所以，即，故C正確.對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，令，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，則，即成立，故D正確.一題多解根據(jù)對(duì)數(shù)平均不等式，，可知D正確.故選：BCD.10.有一組樣本數(shù)據(jù)，添加一個(gè)數(shù)形成一組新的數(shù)據(jù)，且，則新的樣本數(shù)據(jù)（）A.眾數(shù)是1概率是B.極差不變的概率是C.第25百分位數(shù)不變的概率是D.平均值變大的概率是【正確答案】ABD【分析】根據(jù)題意計(jì)算出的每個(gè)可能的取值相應(yīng)的概率，結(jié)合各選項(xiàng)的條件確定X可能的取值，即可求出相應(yīng)的概率，即得答案.【詳解】由題意知，則，，，，對(duì)于A，眾數(shù)是1，說(shuō)明添加的數(shù)為1，則，A正確；對(duì)于B，極差不變，說(shuō)明添加的數(shù)，則極差不變的概率是，B正確；對(duì)于C，由于，故原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)均為第2個(gè)數(shù)，只要添加的數(shù)不為0，原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)從小到大排列后，第二個(gè)數(shù)相同，都為1，故第25百分位數(shù)不變的概率是，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，原樣本數(shù)據(jù)的平均值為，平均值變大，則添加的數(shù)要大于2，即，故平均值變大的概率是，D正確，故選：ABD11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若是奇函數(shù)，，且對(duì)任意，，則（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合賦值法可得相關(guān)結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，令得：，又因?yàn)椋?，故A正確；因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，且為偶函數(shù).令，可得：①再用代替可得：②①②得：所以：，所以是周期為3的周期函數(shù)，所以：，故B正確.因?yàn)椋?，，所以：，所以：，故C錯(cuò)誤；又因?yàn)橐酁橹芷跒?的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，所以令，可得：，所以.所以.故D正確.故選：ABD方法點(diǎn)睛：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)有：奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)；偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).若定義在上的函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且周期為，則其導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù)，且周期也為.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正四棱臺(tái)的上?下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，若側(cè)棱與底面所成的角為，則該正四棱臺(tái)的體積為_(kāi)_________.【正確答案】##【分析】作出輔助線(xiàn)，根據(jù)側(cè)棱與底面所成角的大小求出臺(tái)體的高，利用臺(tái)體體積公式求出答案.【詳解】如圖，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作⊥平面，交于點(diǎn)，則⊥平面于點(diǎn)，且點(diǎn)在上，其中，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，所以，因?yàn)閭?cè)棱與底面所成的角為，所以，故，則該正四棱臺(tái)的體積為.故13.某次會(huì)議中，籌備組將包含甲?己在內(nèi)的4名工作人員，分配到3個(gè)會(huì)議廳工作，每個(gè)會(huì)議廳至少1人，每人只負(fù)責(zé)一個(gè)會(huì)議廳，則甲?乙兩人不能分配到同一個(gè)會(huì)議廳的安排方法共有__________種.（用數(shù)字作答）【正確答案】30【分析】先求出4名工作人員分配到3個(gè)會(huì)議廳的情況數(shù)，甲乙兩人分配到同一個(gè)會(huì)議廳的情況數(shù)，相減得到答案.【詳解】將4名工作人員分配到3個(gè)會(huì)議廳，方案有種情況，其中甲?乙兩人分配到同一個(gè)會(huì)議廳的情況為，從而甲?乙兩人不能分配到同一個(gè)會(huì)議廳的安排方法有種.故3014.某同學(xué)在研究構(gòu)造新數(shù)列時(shí)發(fā)現(xiàn)：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列；...第次得到數(shù)列；記，則__________；__________.【正確答案】①.②.【分析】找到規(guī)律，得到，，結(jié)合等比數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】，，，依次類(lèi)推，得到，故.故42，-3四?解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求的值；（2）若，且的周長(zhǎng)為，求邊上的高.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由已知結(jié)合切化弦可得，利用正余弦定理邊化角，可得，即可求得答案；（2）由題意可得，結(jié)合（1）即可求出，利用余弦定理求出，進(jìn)而求得，結(jié)合邊上的高為，即可求得答案【小問(wèn)1詳解】由，可得，所以，又由正弦定理和余弦定理，可得，整理得，所以.【小問(wèn)2詳解】由，且的周長(zhǎng)為，可得，又由（1）可知，，即，所以，聯(lián)立方程組，解得，所以，則，所以邊上的高為.16.如圖，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）先證平面，再證得,從而得平面，即得：平面平面；（2）通過(guò)（1）的條件建系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出兩平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】平面平面..又底面是菱形，.平面平面，如圖，設(shè)交于，取的中點(diǎn)，連，則，因，則,故是平行四邊形.則因平面，平面，又因平面平面平面.【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系因，則設(shè)平面的法向量為則故可取，又設(shè)平面的法向量則故可取.設(shè)平面與平面夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.17.為檢驗(yàn)預(yù)防某種疾病的兩種疫苗的免疫效果，隨機(jī)抽取接種疫苗的志愿者各100名，化驗(yàn)其血液中某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)（該醫(yī)學(xué)指標(biāo)范圍為，統(tǒng)計(jì)如下：該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)接種疫苗人數(shù)1050接種疫苗人數(shù)3040個(gè)別數(shù)據(jù)模糊不清，用含字母的代數(shù)式表示.（1）為檢驗(yàn)該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)在內(nèi)的是否需要接種加強(qiáng)針，先從醫(yī)學(xué)指標(biāo)在的志愿者中，按接種疫苗分層抽取8人，再次抽血化驗(yàn)進(jìn)行判斷.從這8人中隨機(jī)抽取4人調(diào)研醫(yī)學(xué)指標(biāo)低的原因，記這4人中接種疫苗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）根據(jù)（1）化驗(yàn)研判結(jié)果，醫(yī)學(xué)認(rèn)為該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)低于50，產(chǎn)生抗體較弱，需接種加強(qiáng)針，該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)不低于50，產(chǎn)生抗體較強(qiáng)，不需接種加強(qiáng)針.請(qǐng)先完成下面的列聯(lián)表，若根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為接種疫苗與志愿者產(chǎn)生抗體的強(qiáng)弱有關(guān)聯(lián)，求的最大值.疫苗抗體合計(jì)抗體弱抗體強(qiáng)疫苗

疫苗

合計(jì)

附：，其中.0.250.0250.0051.3235.0247.879【正確答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析，2【分析】（1）由抽樣調(diào)查性質(zhì)可得抽取接種疫苗人數(shù)，計(jì)算出的所有可能取值的對(duì)應(yīng)概率可得分布列，由分布列可計(jì)算期望；（2）結(jié)合計(jì)算公式計(jì)算出對(duì)應(yīng)的范圍即可得.【小問(wèn)1詳解】從醫(yī)學(xué)指標(biāo)在的志愿者中，按接種疫苗分層抽取8人中，接種疫苗有2人，接種疫苗有6人，由題意可知，可能取值為，，的分布列為：234則；【小問(wèn)2詳解】列聯(lián)表如下：疫苗抗體合計(jì)抗體弱抗體強(qiáng)疫苗100疫苗100合計(jì)60140200則，由題意可知，，整理得，，解得或，又，則，所以，故的最大值為2.18.已知橢圓的離心率，其上焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合.（1）求橢圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓T于點(diǎn)、，同時(shí)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)、（如圖1所示，點(diǎn)在橢圓與拋物線(xiàn)第一象限交點(diǎn)上方），判斷與的大小關(guān)系，并證明；（3）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)、（如圖2所示），判斷四邊形的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說(shuō)明理由.【正確答案】（1）（2），證明見(jiàn)解析（3）存在，最小值為【分析】（1）求出拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得出的值，利用橢圓的離心率可得出的值，由此可計(jì)算出的值，由此可得出橢圓的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)方程為，分析可知，將直線(xiàn)的方程分別與橢圓、拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求出、，利用作差法可得出、的大小關(guān)系；（3）設(shè)、、、，對(duì)直線(xiàn)的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，在直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，求出、的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得四邊形面積的取值范圍；在直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直接求出四邊形的面積，綜合可得出四邊形面積的最小值.【小問(wèn)1詳解】解：由題意可知，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，由題意可知，，，則，所以，，因此，橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意，設(shè)橢圓與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為，聯(lián)立解得，即點(diǎn)，所以，直線(xiàn)的斜率為，若要產(chǎn)生如圖1中、、、四點(diǎn)的位置，可知，設(shè)直線(xiàn)方程，設(shè)、、、，聯(lián)立，消去得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，拋物線(xiàn)方程為，聯(lián)立，消去得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，所以，即.【小問(wèn)3詳解】解：存在最小值，最小值為.設(shè)、、、，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，則直線(xiàn)方程為，由（2）可知：，由，以替換，可得，所以，因?yàn)?，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則，則，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，由可得，則，，所以.綜上所述：，所以四邊形面積的最小值為.方法點(diǎn)睛：圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線(xiàn)的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線(xiàn)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.19.已知函數(shù).（1）若為奇函數(shù)，求此時(shí)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）設(shè)函數(shù)，且存在分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).（i）求函數(shù)的極值；（ii）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（i）答案見(jiàn)解析；（ii）.【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義,求出的值,然后利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)方程.（2）(i)對(duì)進(jìn)行求導(dǎo),將既存在極大值,又存在極小值轉(zhuǎn)化成必有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性和極值,進(jìn)而即可求解;(ii)對(duì)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)分析的極值,將恒成立轉(zhuǎn)化成,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論求解即可.【小問(wèn)1詳解】為奇函數(shù)，有，則，經(jīng)檢驗(yàn)知滿(mǎn)足題意，所以所以，，所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.【小問(wèn)2詳解】（i），因?yàn)楹瘮?shù)既存在極大值，又存在極小值，則必有兩個(gè)不等的實(shí)根