第6章交流動態(tài)電路的分析

6－1正弦量6－2正弦激勵下一階動態(tài)電路的分析6－3復(fù)數(shù)6－4相量法基礎(chǔ)6－5用相量法求動態(tài)電路的特解§6－1正弦量6.1.1時變電壓和電流

時變電壓（電流）:電壓（電流）的大小和（或）方向隨時間變化的量。時變電壓（電流）在任意一個時刻的數(shù)值稱為它的瞬時值，用小寫字母表示，記為u(t)和i(t)。

周期電壓（電流）:如果時變電壓（電流）的每個值在經(jīng)過相等的時間后循環(huán)出現(xiàn)，那么這種時變電壓（電流）就是周期性的。

周期:用T表示，國際單位是秒（s）。頻率:用f表示，單位為赫茲（Hz）。頻率和周期之間的關(guān)系為平均值:在一個周期內(nèi)瞬時值的平均量。交變電壓:如果周期電壓（電流）的大小和方向都隨時間變化，但平均值為零，這種周期電壓(電流)是交變的，稱為交變電壓（交變電流），也稱為交流電壓（電流）。交流電路:如果電路中所含的獨立源是交流電壓源和（或）交流電流源，則該電路為交流電路。交流電阻電路:如果交流電路中除電源以外所含元件都是線性電阻元件，則稱為交流電阻電路。交流動態(tài)電路:如果交流電路中除電源以外所含的元件至少有一個是動態(tài)元件，則稱為交流動態(tài)電路。從本章開始研究交流動態(tài)電路的分析方法。6.1.2正弦電壓和電流正弦電壓（電流）:電路中按正弦規(guī)律變化的交流電壓（電流）稱為正弦電壓（正弦電流）。正弦電壓（電流）是使用最廣泛的一種交流電壓（電流），統(tǒng)稱為交流電，用AC或ac表示。正弦交流電路:如果交流動態(tài)電路中所含有的獨立源隨時間按正弦規(guī)律變化，則這種交流電路稱為正弦交流電路或正弦電路。以正弦電流為例，其瞬時表示式為三個常數(shù)Im、ω、θi分別稱為正弦量的振幅、角頻率和初相角，統(tǒng)稱為正弦量的三要素。波形如圖所示。正弦量的振幅Im或最大值是正弦電流瞬時值中最大的值，是一個常量，用帶下標(biāo)m

的大寫字母表示。

對一個正弦量來說，既可以用正弦函數(shù)表示也可以用余弦函數(shù)表示，本書全部采用余弦函數(shù)表示。初相角通常在|θi|≤π的主值范圍內(nèi)取值，其大小與計時起點的選擇有關(guān)。正弦電流表示式中的（ωt＋θi）稱為相位角，簡稱相位。不同的相位對應(yīng)著不同的瞬時值，所以相位代表了正弦量變化的進程。

角頻率ω表示了相位角隨時間變化的速度，即

單位為弧度/秒（rad/s）。角頻率與正弦量的周期T和頻率f之間的關(guān)系為

正弦電流的初相角θi反映了正弦電流在t=0時的大小，即

6.1.3有效值

周期電壓（電流）的瞬時值是隨時間變化的，而平均值有時又為零，這就需要為周期量規(guī)定一個能表征其總體效應(yīng)的量，這就是有效值。

以周期電流為例，設(shè)有兩個相同的電阻R，分別給它們通以直流電流I和周期電流i（t），若在周期電流一個周期T的時間內(nèi)，這兩個電阻所消耗的電能相等，也就是說，在做功方面直流電流I和周期電流i（t）在一個周期內(nèi)的平均做功能力是相等的，則該直流電流I就是周期電流i（t）的有效值。

在一個周期T內(nèi)，直流電流I通過電阻R所消耗的電能為周期電流

i（t）通過電阻R所消耗的電能為

如果W1=W2，即

同理可得正弦電壓的有效值

設(shè)有兩個同頻率的正弦電壓和電流分別為

它們之間的相位之差稱為相位差，用

θ12表示，即

相位差是區(qū)分兩個同頻率正弦量的重要標(biāo)志之一。6.1.4同頻率正弦量的比較如果θ12>0，則稱電壓u1的相位超前于電流i2的相位為θ12，或稱電流i2

的相位滯后于電壓u1的相位為θ12。如果θ12<0，則稱電壓u1的相位滯后于電流i2

的相位為θ12，或稱電流i2的相位超前電壓u1

的相位為θ12。因為超前和滯后是相對來說的，所以相位差常采用主值范圍內(nèi)的弧度或角度來表示，即|θ12|≤

π圖同頻率正弦量相位差的三種特殊情況如果θ12=0，表明相位差為零，稱為電壓u1與電流i2同相位），如圖（a）所示，此時兩個正弦量同時到達(dá)正的最大值，同時通過零點。如果θ12=±π/2，則稱電壓u1與電流i2相位正交，如圖（b）所示。如果θ12=π，則稱電壓u1

與電流

i2反相，如圖（c）所示。(a)(b)(c)

例6-1

已知正弦電壓u（t）和電流

i1（t）、i2（t）的瞬時值表示式分別為

u（t）=15cos（314t+150°）V,i1（t）=10cos（314t+105°）A，

i2（t）=8cos（314t－45°）A，試求電壓

u（t）和電流i1（t）、i2（t）的相位差。解

電壓u（t）和電流i1（t）、i2（t）的相位差分別為（a）（b）圖6-3例6-1由于通常采用主值范圍內(nèi)的角度來表示同頻率正弦量的相位差，所以通常說成是電壓u（t）落后于電流i2（t）的相位差為

θ?=360°-195°=165°§6－2正弦激勵下一階動態(tài)電路的分析圖示RL電路，t=0時開關(guān)閉合，且iL（0－）=0A。設(shè)其外施激勵為正弦電壓t≥0回路的KVL方程如下t≥0t≥0初始條件為：iL（0+）=iL（0-）=0A，則上式對應(yīng)齊次方程的通解為iLh（t）=Ke-t/τ，其中τ=L/R，K為常數(shù)，由初始條件來確定。下面求非齊次方程特解iLp（t），特解形式根據(jù)方程右端us（t）的形式可設(shè)為同一頻率的正弦時間函數(shù)，即把上式代入原方程，得利用則微分方程的通解為t≥0其中常數(shù)K要根據(jù)初始條件iL（0+）=

iL（0－）=0來確定，即t≥0

由上式可知，該電路的響應(yīng)由兩部分組成，一個是暫態(tài)響應(yīng)分量，也就是對應(yīng)齊次微分方程的通解，當(dāng)t趨于無窮大時，理論上該項趨于零。另一個是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，也就是非齊次微分方程的特解，當(dāng)t趨于無窮大時t≥0

可以看出，這個電路存在兩種工作狀態(tài)，首先是達(dá)到穩(wěn)態(tài)前的過渡狀態(tài)，在此期間電路的響應(yīng)由暫態(tài)響應(yīng)分量和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量共同構(gòu)成，顯然此時響應(yīng)不是按正弦規(guī)律變化的。暫態(tài)響應(yīng)分量之所以會存在，是為了使電路的響應(yīng)滿足初始條件，以保證換路瞬間電感電流不能發(fā)生躍變。在暫態(tài)響應(yīng)的過渡過程結(jié)束后，電路進入穩(wěn)定狀態(tài)。在穩(wěn)態(tài)時，響應(yīng)將按正弦規(guī)律變化，且與外施正弦激勵同頻率，我們稱這一狀態(tài)為正弦穩(wěn)態(tài)。與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)過程相比，過渡過程是非常短暫的，一般在t>4τ時，就可認(rèn)為電路已進入正弦穩(wěn)態(tài)，t≥0圖6-5RL電路的響應(yīng)iL（t），iL（0）=0，曲線1：暫態(tài)響應(yīng)分量；曲線2：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量t≥0§6－3復(fù)數(shù)用直角坐標(biāo)形式表示時復(fù)數(shù)A的三角形式可以寫成其中θ=arctga2/a1，為復(fù)數(shù)A的輻角。1.復(fù)數(shù)的幾種表示形式這樣復(fù)數(shù)因此復(fù)數(shù)A的指數(shù)形式為復(fù)數(shù)A還可以寫成極坐標(biāo)形式，即由歐拉公式例6-2

把下列復(fù)數(shù)化為指數(shù)形式和極坐標(biāo)形式。（1）A=30-j40；（2）A=-5.7+j16.9；（3）A=32+j41；（4）A=-8-j7。解（1）A=30-j40=50/-53.1°=50e-j53.1°

（2）A=-5.7+j16.9=17.84/108.6°=17.84ej108.6°（3）A=32+j41=52/52°=52ej52°（4）A=-8-j7=10.63/-138.8°=10.63e-j138.8°

則（a）相加（b）相減圖復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的加減運算復(fù)數(shù)要進行相加或相減運算，最好用直角坐標(biāo)形式來進行。2.復(fù)數(shù)的運算復(fù)數(shù)的相加（減）運算在復(fù)平面上用做圖法進行時，如圖所示。在復(fù)數(shù)相乘時，用指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式則較為方便，即在復(fù)數(shù)相除時，同樣用指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式較為方便，即由此得出結(jié)論，兩個復(fù)數(shù)相乘時，其模相乘，輻角相加。兩個復(fù)數(shù)相除時，其模相除，輻角相減。共軛復(fù)數(shù):若兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)，則這兩個復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù).§6－4相量法基礎(chǔ)

由正弦激勵下一階動態(tài)電路的分析可知，在正弦穩(wěn)態(tài)時，如果所有的激勵都是同頻率的正弦量，則電路中各支路的電壓和電流將按與激勵同頻率的正弦規(guī)律變化，這樣，電路中的電壓和電流只需確定兩個要素：振幅和初相角。相量法就是一種用來確定正弦量的振幅和初相角的較簡便方法。設(shè)有一個正弦電壓u（t），表示式如下

又有一個復(fù)數(shù)寫成指數(shù)形式為U

mej（ωt+θu），將其轉(zhuǎn)換成三角形式為

比較以上兩式可以看出，正弦電壓u（t）的表示式恰好是復(fù)數(shù)

U

mej（ωt+θu）的實部，即

通過數(shù)學(xué)方法，把一個實數(shù)范圍的正弦量與一個復(fù)數(shù)一一對應(yīng)起來，即其中包含了正弦電壓的振幅和初相角兩個因素，這樣，在角頻率ω已知時，正弦電壓u就可以完全確定。因此便是一個足以表征正弦電壓的復(fù)值常數(shù)，再由正弦量的振幅和有效值之間的關(guān)系可得即正弦電壓的有效值相量為振幅相量和有效值相量之間的關(guān)系為一般所說的相量指有效值相量，并簡稱為相量。用振幅相量時，需加下標(biāo)m。相量在復(fù)平面上用有向線段來表示的圖稱為相量圖。右圖所示有向線段為電壓相量，圖中有向線段的長度為相量的模，即正弦量的有效值（振幅），有向線段與橫軸的夾角為相量的輻角，即正弦量的即正弦量的初相角。圖電壓相量圖

每個正弦量都有與之對應(yīng)的相量，相應(yīng)地，知道了相量也就可以立刻寫出它所代表的正弦量。另外，相量只是用來表征或代表正弦量的，并不等于正弦量。在正弦電路處于穩(wěn)態(tài)時，如果所有的激勵都是同頻率的正弦量，則各個支路的響應(yīng)也是和激勵同頻率的正弦量。只有具有相同頻率的正弦量才可以畫在同一個相量圖上，不同頻率的正弦一般不能畫在一個相量圖上。例6-3

若(1)(2)(3)試寫出代表各正弦量的相量，并畫出相量圖。解

（1）則代表u1(t)的相量為∕30°=8.66+j5V（2）則代表u2(t)的相量為∕-60°=5-j8.66V

（3）則代表i1(t)的相量為

∕-120°=-3.54-j6.12A

各正弦量的相量圖如圖所示。其中u1(t)、i1(t)為同頻率的正弦量，可以畫在一個相量圖中，如圖（a）所示，而u2(t)與u1(t)、i1(t)頻率不同，畫在另一個相量圖中，如圖（b）所示。（a）（b）圖例6-3相量圖

用相量代表正弦時間函數(shù)可將同頻率正弦量之間的運算轉(zhuǎn)換為相量的運算，從而使正弦量之間的運算得到簡化，下面介紹幾個有關(guān)的引理。

引理1

唯一性引理兩個同頻率的正弦量相等的充要條件是它們的相量形式對應(yīng)相等。即有任意兩個同頻率的正弦量

對應(yīng)的相量形式分別為，則對所有時刻t，

兩個正弦量相等的充要條件是：

證明：（1）充分性

因為則在所有的時刻t根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可得即x1(t)=x2(t)（2）必要性

因為對所有的時刻t，兩個正弦量都相等，即在t=0時，由

Re[]=Re[]在t=

時，由，可得Re[

]=Re[]根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可得

即

Im[]=Im[]

引理2

線性引理

n個同頻率的正弦量

的線性組合仍為一個同頻率的正弦量，且正弦量的相量形式為各個正弦量的相量的同一線性組合。即若

x（t）=α1x1（t）+α2x2（t）+…+αn

xn（t）其中α1、α2、…、αn均為實常數(shù)則證明：

=α1x1（t）+α2x（t）+…+αn

xn（t）=α1Re[]+α2Re[]+…+αnRe[]=Re[α1]+Re[α2]+…+Re[αn]=Re[α1+α2+…+αn]=Re[（α1+α2+…+αn）]x（t）=R