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文檔簡介

n階行列式

n階行列式注意觀察二階行列式（1-5）與三階行列式（1-6），可以看出：（1）二階行列式的展開式是2！項乘積的代數(shù)和；三階行列式的展開式是3！項乘積的代數(shù)和.（2）二階和三階行列式展開式中每一個乘積項中的元素都取自不同的行和不同的列.（3）當(dāng)行列式展開式中乘積項元素的行標(biāo)按自然數(shù)列排列時，若元素的列標(biāo)為奇排列，則該乘積項取負(fù)號；元素的列標(biāo)為偶排列時，該乘積項取正號．

n階行列式作為二階、三階行列式的推廣，我們類似地給出n階行列式的定義．定義1-6由排成n行n列的n2個元素aij（i，j=1，2，…，n）組成的記號

（1-7）稱為n階行列式，其中j1j2…jn為n級排列，

表示對所有的n級排列求和．

n階行列式容易看出，n階行列式表示一個數(shù)值，這個數(shù)值是n！項的代數(shù)和，每一項是取自行列式中不同行不同列的n個元素的乘積a1j1a2j2…anjn，該項的符號在j1j2…jn為奇排列時取負(fù)號，為偶排列時取正號．

n階行列式當(dāng)n=2，3時，這樣定義的二階和三階行列式與之前用對角線法則定義的結(jié)果是一致的．當(dāng)n=1時，一階行列式為|a11|=a11，注意不要與絕對值符號混淆．根據(jù)二階、三階行列式的定義，我們發(fā)現(xiàn)式（1-10）還可以寫成如下形式：

n階行列式

n階行列式

n階行列式上式表明，一個三階行列式等于它的第1行各個元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式（都是二階行列式）的乘積之和，這就意味著三階行列式可化為二階行列式來計算．利用這個特點可以類似定義四階行列式、五階行列式……以此類推，可以給出n階行列式的另一種定義．

n階行列式定義1-7由排成n行n列的n2個數(shù)組成的n階行列式記作當(dāng)n=1時，D=|a11|=a11

.當(dāng)n≥2時，假設(shè)n-1階行列式已經(jīng)定義，那么n階行列式（1-9）所表達的算式為（1-9）（1-10）

n階行列式其中A1j為元素a1j的代數(shù)余子式，j=1，2，…，n．式（1-10）稱為行列式按第1行展開．若記n階矩陣則n階行列式（1-9

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