溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(二十六)平面對(duì)量應(yīng)用舉例(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.已知三個(gè)力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn),為使物體保持平衡,再加上一個(gè)力f4,則f4=()A.(-1,-2) B.(1,-2)C.(-1,2) D.(1,2)【解析】選D.由物理學(xué)問知:f1+f2+f3+f4=0,故f4=-(f1+f2+f3)=(1,2).2.(2021·東營(yíng)模擬)已知點(diǎn)A(-2,0),B(0,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足QUOTE·QUOTE=x2,則點(diǎn)P的軌跡是()A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線【解析】選D.QUOTE=(-2-x,-y),QUOTE=(-x,-y),則QUOTE·QUOTE=(-2-x)(-x)+y2=x2,所以y2=-2x.3.(2021·南寧模擬)已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1),且a∥b,則2sinαcosα等于()【解析】選D.由a∥b得cosα=-2sinα,所以tanα=-.所以2sinαcosα=4.(2021·廈門模擬)過點(diǎn)M(2,0)作圓x2+y2=1的兩條切線MA,MB(A,B為切點(diǎn)),則QUOTE·QUOTE=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.過點(diǎn)M(2,0)作圓x2+y2=1的兩條切線MA,MB(A,B為切點(diǎn)),由于|OM|=2,圓的半徑為1,所以|MA|=|MB|=QUOTE,且QUOTE與QUOTE的夾角為60°,故QUOTE·QUOTE=|QUOTE||QUOTE|cos60°=QUOTE×QUOTEcos60°=QUOTE,選D.5.(2021·哈爾濱模擬)在△ABC中,若則△ABC面積的最大值為()A.24 B.16 C.12 D.8【解題提示】先依據(jù)求b2+c2的值,從而求得bc的最大值.把cosA用bc表示,從而sinA可用bc表示,最終用S△ABC=bcsinA求解.【解析】選C.由題意可知AB=c,AC=b,所以b·ccosA=7,所以所以b2+c2=50≥2bc,所以bc≤25.【加固訓(xùn)練】若則△ABC的面積是()A.1 B.2 C. D.2【解析】選C.由于所以的夾角為θ,易知θ與∠BCA為對(duì)頂角,所以θ=∠BCA.cosθ=1×4cosθ=2,得cosθ=,所以cos∠BCA=,sin∠BCA=,所以6.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)應(yīng)的三角形的邊長(zhǎng),若=0,則cosB=()【解題提示】將其中一個(gè)向量轉(zhuǎn)化為用另外兩個(gè)向量來表示,利用兩向量不共線得邊a,b,c的關(guān)系,再利用余弦定理求解.【解析】選A.由=0得=0,又不共線,7.(2021·淄博模擬)在平行四邊形ABCD中,E,F分別是邊CD和BC的中點(diǎn),若(λ,μ∈R),則log(λμ)的值為()A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】選A.如圖,令=a,=b,則=a+b,①由于a,b不共線,由①,②得二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2021·安慶模擬)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,若(2a-c)QUOTE+(2a-b)QUOTE=0,則cosB=.【解題提示】利用QUOTE與QUOTE不共線得a,b,c關(guān)系后利用余弦定理求解.【解析】由于(2a-c)QUOTE+(2a-b)QUOTE=0,又QUOTE與QUOTE不共線,故QUOTE得QUOTE所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【方法技巧】利用向量求解三角形問題的策略(1)當(dāng)以向量的非坐標(biāo)形式給出邊關(guān)系時(shí),通常接受基底法進(jìn)行轉(zhuǎn)化,要留意共線、垂直條件的應(yīng)用,同時(shí)向量線性運(yùn)算的幾何意義也要時(shí)刻想到.(2)當(dāng)以向量的坐標(biāo)形式給出三角形中邊角關(guān)系時(shí),通常是利用坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化后邊化角或角化邊來尋求問題的突破.9.已知A,B,C是圓x2+y2=1上的三點(diǎn),且QUOTE+QUOTE=QUOTE,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則?OACB的面積等于.【解析】如圖所示,由|QUOTE|=|QUOTE|=|QUOTE|=1,QUOTE+QUOTE=QUOTE得?OACB為邊長(zhǎng)為1的菱形,且∠AOB=120°.所以S?OACB=|QUOTE||QUOTE|sin120°=1×1×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE10.(2021·牡丹江模擬)在長(zhǎng)江南岸渡口處,江水以12.5km/h的速度向東流,渡船的速度為25km/h.渡船要垂直地渡過長(zhǎng)江,則航向?yàn)?【解析】如圖所示,渡船速度為QUOTE,水流速度為QUOTE,船實(shí)際垂直過江的速度為QUOTE,依題意知|QUOTE|=QUOTE,|QUOTE|=25.由于QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE+QUOTE,由于QUOTE⊥QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=0,所以25×QUOTEcos(∠BOD+90°)+QUOTE=0,所以cos(∠BOD+90°)=-QUOTE,所以sin∠BOD=QUOTE,所以∠BOD=30°,所以航向?yàn)楸逼?0°.答案:北偏西30°(20分鐘40分)1.(5分)(2021·保定模擬)已知△ABC的外接圓圓心為O,若,則△ABC是()A.鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.不能確定【解題提示】利用已知推斷O點(diǎn)的位置,再依據(jù)O為外心可解.【解析】選C.由可得O為BC邊的中點(diǎn).又O為△ABC的外心,故BC為△ABC外接圓的直徑,故∠BAC=90°,故△ABC為直角三角形.2.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),=(1,0),若則||的最小值為()A.3.5 B.4.5 C.5.5 【解析】選C.設(shè)P(x,y),則=(x,y).又由于所以(x-1)2+y2=x2,得y2=2x-1,又=(-5,0),由于2x-1≥0,所以x≥,3.(5分)已知向量a=,=a-b,=a+b,若△OAB是等邊三角形,則△OAB的面積為.【解析】由于a=,=a-b,=a+b,所以+=(a-b)+(a+b)=2a=(-1,),所以所以等邊三角形OAB的高為1,邊長(zhǎng)為,因此其面積為答案:4.(12分)(2021·重慶模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值.(2)若QUOTE·QUOTE=2,且b=2QUOTE,求a和c的值.【解析】(1)由正弦定理,得2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB(R為△ABC外接圓半徑),所以sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,即sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,所以sin(B+C)=3sinAcosB,又sin(B+C)=sin(π-A)=sinA.所以sinA=3sinAcosB.由于sinA≠0,所以cosB=QUOTE.(2)由QUOTE·QUOTE=2,得accosB=2,由(1)知cosB=QUOTE,所以ac=6①.又由于b2=a2+c2-2accosB,即8=a2+c2-4,所以a2+c2=12②.由①②式解得a=c=QUOTE.【加固訓(xùn)練】(2021·石家莊模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=k(k∈R),(1)推斷△ABC的外形.(2)若c=QUOTE,求k的值.【解析】(1)由于QUOTE·QUOTE=cbcosA,QUOTE·QUOTE=cacosB,又QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE,所以bccosA=accosB,所以sinBcosA=sinAcosB,即sinAcosB-sinBcosA=0,所以sin(A-B)=0,由于-π<A-B<π,所以A=B,即△ABC為等腰三角形.(2)由(1)知,QUOTE·QUOTE=bccosA=bc·QUOTE=QUOTE=k,由于c=QUOTE,所以k=1.5.(13分)(力氣挑戰(zhàn)題)已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡曲線C滿足∠AMB=2θ,cos2θ=3,過點(diǎn)B的直線交曲線C于P,Q兩點(diǎn).(1)求的值,并寫出曲線C的方程.(2)設(shè)直線PQ的傾斜角是,試求△APQ的面積.【解題提示】(1)先依據(jù)向量的運(yùn)算確定點(diǎn)M的軌跡,然后依據(jù)相關(guān)的值寫出曲線C的方程.(2)寫出直線PQ的方程,與曲線C的方程組成方程組,依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求△APQ的面積.【解析】(1)設(shè)M(x,y),在△MAB中,|AB|=2,∠AMB=2θ,依據(jù)余弦定理得因此點(diǎn)M的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓(點(diǎn)M在x