第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)總綱目錄教材研讀1.指數(shù)冪的概念考點突破2.有理數(shù)指數(shù)冪3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點二指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)考點一指數(shù)冪的化簡與求值考點三指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用1.指數(shù)冪的概念(1)根式的概念教材研讀根式的概念符號表示備注如果①

xn=a

,那么x叫做a的n次方根

n>1且n∈N*當(dāng)n為奇數(shù)時,正數(shù)的n次方根是一個②

正數(shù)

,負數(shù)的n次方根是一個③負數(shù)

零的n次方根是零當(dāng)n為偶數(shù)時,正數(shù)的n次方根有④兩個

,

它們互為⑤相反數(shù)

±

負數(shù)沒有偶次方根(2)兩個重要公式

=

(

)n=⑨

a

(注意a必須使

有意義).2.有理數(shù)指數(shù)冪(1)分數(shù)指數(shù)冪的表示(i)正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪:?=⑩

(a>0,m,n∈N*,n>1).(ii)正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪:

=

=

(a>0,m,n∈N*,n>1).(iii)0的正分數(shù)指數(shù)冪是

0

,0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義.(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(i)aras=

ar+s

(a>0,r,s∈Q).(ii)(ar)s=

ars

(a>0,r,s∈Q).(iii)(ab)r=

arbr

(a>0,b>0,r∈Q).3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1圖象

定義域

R

值域

(0,+∞)

性質(zhì)過定點?(0,1)

當(dāng)x>0時,?

y>1

;當(dāng)x<0時,?

0<y<1

當(dāng)x>0時,?

0<y<1

;當(dāng)x<0時,?

y>1

在(-∞,+∞)上是

單調(diào)增函數(shù)

在(-∞,+∞)上是

單調(diào)減函數(shù)

1.計算[(-2)6

-(-1)0的結(jié)果為

()A.-9

B.7

C.-10

D.9答案

B原式=

-1=23-1=7.故選B.B2.函數(shù)f(x)=3x+1的值域為

()A.(-1,+∞)

B.(1,+∞)

C.(0,1)

D.[1,+∞)答案

B∵3x>0,∴3x+1>1,即函數(shù)f(x)=3x+1的值域為(1,+∞).B3.(2016北京東城期中)函數(shù)y=ax-

(a>0,且a≠1)的圖象可能是

()

答案

D當(dāng)x=-1時,y=

-

=0,所以函數(shù)y=ax-

的圖象必過定點(-1,0),結(jié)合選項可知選D.D4.(2014北京海淀一模)已知f(x)=ax和g(x)=bx是指數(shù)函數(shù),則“f(2)>g(2)”

是“a>b”的

()A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件答案

C因為f(x)=ax和g(x)=bx是指數(shù)函數(shù),所以a>0且a≠1,b>0且b≠1.若f(2)>g(2),則a2>b2,所以a>b,充分性成立.若a>b,則a2>b2,所以f(2)>g(2),必要性成立.C5.當(dāng)a>0且a≠1時,函數(shù)f(x)=ax-2-3的圖象必過定點

.答案(2,-2)解析令x-2=0,則x=2,此時,f(x)=1-3=-2,故函數(shù)f(x)=ax-2-3的圖象必過定

點(2,-2).（2，-2）6.若指數(shù)函數(shù)f(x)=(a-2)x為減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為

.答案(2,3)解析∵f(x)=(a-2)x為減函數(shù),∴0<a-2<1,即2<a<3.(2，3）典例1化簡下列各式:考點一指數(shù)冪的化簡與求值考點突破(1)

+2-2×

-(0.01)0.5;(2)

?·b-2·(-3?b-1)÷(4?·b-3

;(3)

.解析(1)原式=1+

×

-

=1+

×

-

=1+

-

=

.(2)原式=-

b-3÷(4?·b-3

=-

b-3÷(??)=-

?·?=-

·

=-

.(3)原式=

=

·

=

.易錯警示(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、小數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一化為分數(shù)指數(shù)冪,以便

利用法則計算,但應(yīng)注意:①必須同底數(shù)冪相乘,指數(shù)才能相加;②運算的

先后順序.(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負數(shù)時,先確定符號,再把底數(shù)化為正數(shù).(3)運算

結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù),也不能既含有分母又含有負指數(shù).1-1

+(0.002?-10×(

-2)-1+(

-

)0=

.答案-

解析原式=

+

-

+1=

+50

-10(

+2)+1=

+10

-10

-20+1=-

.-

1-2

÷

·

=

.答案

a2

解析原式=

÷

·

=

(

-2

)·

·

=

·a·

=a2.

a2

考點二指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)典例2(1)(2016北京通州高三摸底)已知a=1,b=

,c=30.9,則a,b,c的大小關(guān)系是

()A.a<b<c

B.b<c<a

C.c<a<b

D.b<a<c(2)(2016北京順義期末)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-1|,c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b),則2a+2c

與2的大小關(guān)系是

()A.2a+2c>2

B.2a+2c≥2C.2a+2c≤2

D.2a+2c<2答案(1)D(2)D解析(1)∵b=

<

=1,30.9>30=1,∴b<a<c,故選D.(2)作出y=|2x-1|的圖象如圖所示:

要使c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b)成立,則有c<0且a>0,∴2c<1<2a.∴f(c)=1-2c,f(a)=2a-1.又f(c)>f(a),∴1-2c>2a-1,即2a+2c<2.故選D.方法技巧(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點,判斷選項中的圖象是

否過這些點,若不滿足則排除.(2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題,一般

是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手,通過平移、伸縮、對稱變換而得到

的.特別地,當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論.(3)有關(guān)指

數(shù)方程、不等式問題的求解,往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)

合求解.2-1

(2015北京石景山一模)函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的圖象如圖所

示,則函數(shù)g(x)=ax+b的大致圖象是

()

B答案

B由f(x)的圖象可知0<a<1,b<-1,則函數(shù)g(x)為減函數(shù),且g(0)=1+

b<0,故選B.2-2設(shè)a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,則a,b,c的大小關(guān)系是

()A.a<b<c

B.a<c<b

C.b<a<c

D.b<c<a答案

C因為指數(shù)函數(shù)y=0.6x在(-∞,+∞)上為減函數(shù),所以0.60.6>0.61.5,即a>b,又0<0.60.6<1,1.50.6>1,所以a<c,故選C.C2-3

(2017北京豐臺一模)如果a=21.2,b=

,c=2log2

,那么

()A.c>b>a

B.c>a>b

C.a>b>c

D.a>c>b答案

D

a=21.2>2,b=

<1,c=2log2

=log23∈(1,2),∴a>c>b.故選D.D典例3已知函數(shù)f(x)=

.(1)若a=-1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.考點三指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用解析(1)當(dāng)a=-1時,f(x)=

,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增,在(-2,+∞)上單調(diào)遞減,而y=

在R上單調(diào)遞減,所以f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞減,在(-2,+∞)上單調(diào)遞增,即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

(-2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-2).(2)令g(x)=ax2-4x+3,則f(x)=

,由于f(x)有最大值3,所以g(x)應(yīng)有最小值-1,因此必有

解得a=1,即當(dāng)f(x)有最大值3時,a的值為1.(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知,要使f(x)的值域為(0,+∞),應(yīng)使y=ax2-4x+3的值域為R,因此只能a=0(因為若a≠0,則y=ax2-4x+3為二次函數(shù),其值域不可能為R).

故a的值為0.方法技巧1.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域問題(1)函數(shù)y=af(x)的定義域與f(x)的定義域相同.(2)先確定f(x)的值域,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域、單調(diào)性確定函數(shù)y=af(a)的

值域.2.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷形如y=af(x)的函數(shù)的單調(diào)性,它的單調(diào)區(qū)間與f(x)的單調(diào)區(qū)間有關(guān).若a>1,函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間即為y=af(x)的單

調(diào)增(減)區(qū)間;若0<a<1,函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間即為函數(shù)y=af(x)的單

調(diào)減(增)區(qū)間,概括起來即為“同增異減”.3.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的最值問題,往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值

問題.3-1已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2|x-m|-1(m為實數(shù))為偶函數(shù).記a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關(guān)系為

()A.a