第三章、經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：多元線性回歸模型

一、內(nèi)容提要

本章將一元回歸模型拓展到了多元回歸模型，其基本的建模思想與建模方法與一元的

情形相同。主要內(nèi)容仍然包括模型的基本假定、模型的估計(jì)、模型的檢驗(yàn)以及模型在預(yù)測(cè)方

面的應(yīng)用等方面。只不過(guò)為了多元建模的需要，在基本假設(shè)方面以及檢驗(yàn)方面有所擴(kuò)充。

本章仍重點(diǎn)介紹了多元線性回歸模型的基本假設(shè)、估計(jì)方法以及檢驗(yàn)程序。與一元回

歸分析相比，多元回歸分析的基本假設(shè)中引入了多個(gè)解釋變量間不存在（完全）多重共線性

這一假設(shè)；在檢驗(yàn)部分，一方面引入了修正的可決系數(shù)，另?方面引入了對(duì)多個(gè)解釋變量是

否對(duì)被解釋變量有顯著線性影響關(guān)系的聯(lián)合性F檢驗(yàn)，并討論了F檢驗(yàn)與擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的

內(nèi)在聯(lián)系。

本章的另一個(gè)重點(diǎn)是將線性回歸模型拓展到非線性回歸模型，主要學(xué)習(xí)非線性模型如

何轉(zhuǎn)化為線性回歸模型的常見(jiàn)類型與方法。這里需要注意各回歸參數(shù)的具體經(jīng)濟(jì)含義。

本章第三個(gè)學(xué)習(xí)重點(diǎn)是關(guān)于模型的約束性檢驗(yàn)問(wèn)題，包括參數(shù)的線性約束與非線性約

束檢驗(yàn)。參數(shù)的線性約束檢驗(yàn)包括對(duì)參數(shù)線性約束的檢驗(yàn)、對(duì)模型增加或減少解釋變量的檢

驗(yàn)以及參數(shù)的穩(wěn)定性檢驗(yàn)三方面的內(nèi)容，其中參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)又包括鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)與

鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn)兩種類型的檢驗(yàn)。檢驗(yàn)都是以F檢驗(yàn)為主要檢驗(yàn)工具，以受約束模型與無(wú)約

束模型是否有顯著差異為檢驗(yàn)基點(diǎn)。參數(shù)的非線性約束檢驗(yàn)主要包括最大似然比檢驗(yàn)、沃爾

德檢驗(yàn)與拉格朗日乘數(shù)檢撿。它們?nèi)砸怨烙?jì)無(wú)約束模型與受約束模型為基礎(chǔ)，但以最大似然

原理進(jìn)行估計(jì)，且都適用于大樣本情形，都以約束條件個(gè)數(shù)為自由度的??分布為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)

量的分布特征。非線性約束檢驗(yàn)中的拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)在后面的章節(jié)中多次使用。

二、典型例題分析

例1.某地區(qū)通過(guò)?個(gè)樣本容量為722的調(diào)查數(shù)據(jù)得到勞動(dòng)力受教育的一個(gè)回歸方程為

edu=10.36-0.094s〃2s+0.13\medu+0.21Ofedu

R2=0.214

式中，edu為勞動(dòng)力受教育年數(shù)，sibs為該勞動(dòng)力家庭中兄弟姐妹的個(gè)數(shù)，medu與fedu分

別為母親與父親受到教育的年數(shù)。問(wèn)

(l)sibs是否具有預(yù)期的影響？為什么？若medu與fedu保持不變，為了使預(yù)測(cè)的受教

育水平減少一年，需要sibs增加多少？

(2)請(qǐng)對(duì)medu的系數(shù)給予適當(dāng)?shù)慕忉尅?/p>

(3)如果兩個(gè)勞動(dòng)力都沒(méi)有兄弟姐妹，但其中一個(gè)的父母受教育的年數(shù)為12年，另一

個(gè)的父母受教育的年數(shù)為16年，則兩人受教育的年數(shù)預(yù)期相差多少？

解答：

(1)預(yù)期sibs對(duì)勞動(dòng)者受教育的年數(shù)有影響。因此在收入及支出預(yù)算約束一定的條件

下，子女越多的家庭，每個(gè)孩子接受教育的時(shí)間會(huì)越短。

根據(jù)多元回歸模型偏回歸系數(shù)的含義，sibs前的參數(shù)估計(jì)值-0.094表明，在其他條件不

變的情況下，每增加1個(gè)兄弟姐妹，受教育年數(shù)會(huì)減少0.094年，因此，要減少1年受教育

的時(shí)間，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6個(gè)。

(2)medu的系數(shù)表示當(dāng)兄弟妞妹數(shù)與父親受教育的年數(shù)保持不變時(shí)，母親每增加I

年受教育的機(jī)會(huì)，其子女作為勞動(dòng)者就會(huì)預(yù)期增加0.131年的教育機(jī)會(huì)。

(3)首先計(jì)算兩人受教育的年數(shù)分別為

10.36+0.131x12+0.210x12=14.452

10.36+0.131x16+0.210x16=15.816

因此，兩人的受教育年限的差別為15.816-14.452=1.364

例2.以企業(yè)研發(fā)支出(R&D)占銷售額的比重為被解釋變量(Y),以企業(yè)銷售額(XI)

與利潤(rùn)占銷售額的比重(X2)為解釋變量，一個(gè)有32容量的樣本企業(yè)的估計(jì)結(jié)果如下：

Y=0.472+0.321og(X,)+0.05X2

(1.37)(0.22)(0.046)

R2=0.099

其中括號(hào)中為系數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差。

(1)解釋log(Xl)的系數(shù)。如果XI增加10%,估計(jì)Y會(huì)變化多少個(gè)百分點(diǎn)？這在經(jīng)濟(jì)

上是一個(gè)很大的影響嗎？

(2)針對(duì)R&D強(qiáng)度城銷售額的增加而提高這一備擇假設(shè)，檢驗(yàn)它不雖XI而變化的假

設(shè)。分別在5%和10%的顯著性水平上進(jìn)行這個(gè)檢驗(yàn)。

(3)利潤(rùn)占銷售額的比重X2對(duì)R&D強(qiáng)度Y是否在統(tǒng)計(jì)上有顯著的影響？

解答：

(1)log(xl)的系數(shù)表明在其他條件不變時(shí)，log(xl)變化1個(gè)單位，Y變化的單位數(shù)，

即AY=0.32Ak)g(Xl卜0.32(AX1/XI)=0.32x100%,換言之，當(dāng)企業(yè)銷售XI增長(zhǎng)100%時(shí),企

業(yè)研發(fā)支出占銷售額的比重Y會(huì)增加0.32個(gè)百分點(diǎn)。由此，如果XI增加1。％,Y會(huì)增加

0.032個(gè)百分點(diǎn)。這在經(jīng)濟(jì)上不是一個(gè)較大的影響。

(2)針對(duì)備擇假設(shè)H1：1>0,檢驗(yàn)原假設(shè)H0：1=0。易知計(jì)算的t統(tǒng)計(jì)量的值

為1=0.32/0.22=1.468。在5%的顯著性水平下，自由度為32-3=29的I分布的臨界值為1.699

(單側(cè))，計(jì)算的t值小于該臨界值，所以不拒絕原假設(shè)。意味著R&D強(qiáng)度不隨銷售額的增

加而變化。在10%的顯著性水平下，t分布的臨界值為1.311,計(jì)算的t值小于該值，拒絕

原假設(shè)，意味著R&D強(qiáng)度隨銷售額的增加而增加。

(3)對(duì)X2,參數(shù)估計(jì)值的t統(tǒng)計(jì)值為0.05/0.46=1.087,它比在10%的顯著性水平卜的

臨界值還小，因此可以認(rèn)為它對(duì)Y在統(tǒng)計(jì)上沒(méi)有顯著的影響。

例3.下表為有關(guān)經(jīng)批準(zhǔn)的私人住房單位及其決定因素的4個(gè)模型的估計(jì)量和相關(guān)統(tǒng)計(jì)

值（括號(hào)內(nèi)為“值）（如果某項(xiàng)為空，則意味著模型中沒(méi)有此變量）,數(shù)據(jù)為美國(guó)40個(gè)城市

的數(shù)據(jù)。模型如下：

hoI，sing=0（）+^density+P2value+/3yincome+popchang

4-P5unemp-\-/3Jocaltax+用statetax+〃

式中housing實(shí)際頒發(fā)的建筑許可證數(shù)量，density每平方英里的人口密度，value—

一自由房屋的均值（單位：百美元），income平均家庭的收入（單位：千美元），popchang

-1980~1992年的人口增長(zhǎng)百分比，unemp——失業(yè)率，locallax——人均交納的地方稅，

statetax---人均繳納的州稅

變量模型A模型B模型C模型D

C813(0.74)-392(0.81)-1279(0.34)-973(0.44)

Density0.075(0.43)0.062(0.32)0.042(0.47)

Value-0.855(0.13)-0.873(0.11)-0.994(0.06)-0.778(0.07)

Income110.41(0.14)133.03(0.04)125.71(0.05)116.60(0.06)

Popchang26.77(0.11)29.19(0.06)29.41(U.001)24.86(U.U8)

Unemp-76.55(0.48)

Localtax-0.061(0.95)

Statetax-1.006(0.40)-1.004(0.37)

RSS4.763e+74.843e+74.962e+75.038e+7

R20.3490.3380.3220.312

1.488c+61.424e+6L418c+61.399e+6

AIC1.776e+61.634e+6l.593e+61.538e+6

（1）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ虯中的每一個(gè)回歸系數(shù)在10%水平下是否為零（括號(hào)中的值為雙邊備擇p-

值）。根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該把變量保留在模型中還是去掉？

（2）在模型A中，在10%水平下檢驗(yàn)聯(lián)合假設(shè)Ho：Pi=0（i=l,5,6,7）o說(shuō)明被擇假設(shè)，計(jì)

算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值，說(shuō)明其在零假設(shè)條件下的分布，拒絕或接受零假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)。說(shuō)明你的

結(jié)論。

（3）哪個(gè)模型是“最優(yōu)的”？解釋你的選擇標(biāo)準(zhǔn)。

（4）說(shuō)明最優(yōu)模型中有哪些系數(shù)的符號(hào)是“錯(cuò)誤的”。說(shuō)明你的預(yù)期符號(hào)并解釋原因。確認(rèn)

其是否為正確符號(hào).

解答：

（1）直接給出了P-值，所以沒(méi)有必要計(jì)算年統(tǒng)計(jì)值以及查t分布表。根據(jù)題意，如果

P-值＜0.10,則我們拒絕參數(shù)為零的原假設(shè)。

由于表中所有參數(shù)的P-值都超過(guò)了10%,所以沒(méi)有系數(shù)是顯著不為零的。但由此去掉所

有解釋變量，則會(huì)得到非常奇怪的結(jié)果。其實(shí)正如我們所知道的，多元回去歸中在省略變量

時(shí)一定要謹(jǐn)慎，要有所選擇。本例中，valuesincome、popchang的p-值僅比0.1稍大一點(diǎn)，

在略掉unemp、localtax、slatetax的模型C中，這些變量的系數(shù)都是顯著的。

（2）針對(duì)聯(lián)合假設(shè)Ho：pi=0（i=l,5,6,7）的備擇假設(shè)為Hl：d=0（i=l,5,6,7）

中至少有一個(gè)不為零。檢驗(yàn)假設(shè)H0,熨際上就是參數(shù)的約束性檢驗(yàn)，非約束模型為模里人，

約束模型為模型D,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值為

F=(RSSR-RSSGAku-kQ=(5.038e+7-4.763e+7)/(7-3)=0也

RSSu/("即—I)一(4.763f+7)7(40-8)

顯然，在H0假設(shè)下，上述統(tǒng)計(jì)量滿足F分布，在10%的顯著性水平下，自由度為(4,32)

的F分布的臨界值位于2.09和2.14之間。顯然，計(jì)算的F值小于臨界值，我們不能拒絕

H0,所以Bi(i=l,5,6,7)是聯(lián)合不顯著的。

(3)模型D中的3個(gè)解釋變量全部通過(guò)顯著性檢驗(yàn)。盡管R2與殘差平方和較大，但相

對(duì)來(lái)說(shuō)其AIC值最低，所以我們選擇該模型為最優(yōu)的模型。

(4)隨著收入的增加，我們預(yù)期住房需要會(huì)隨之增加。所以可以預(yù)期B3>(),事實(shí)上其

估計(jì)值確是大于零的。同樣地，隨著人口的增加，住房需求也會(huì)隨之增加，所以我們預(yù)期B

4〉0,事實(shí)其估計(jì)值也是如此。隨著房屋價(jià)格的上升，我們預(yù)期對(duì)住房的需求人數(shù)減少，即

我們預(yù)期B3估計(jì)值的符號(hào)為負(fù)，回歸結(jié)果與直覺(jué)相符。出乎預(yù)料的是，地方稅與州稅為不

顯著的。由于稅收的增加將使可支配收入降低，所以我們預(yù)期住房的需求將下降。雖然模型

A是這種情況，但它們的影響卻非常微弱。

4、在經(jīng)典線性模型基本假定下，對(duì)含有三個(gè)自變量的多元回歸模型：

Y=氏+必、+dX?+氏X3+N

你想檢驗(yàn)的虛擬假設(shè)是H0：4-2分=1。

(1)用A,A的方差及其協(xié)方差求出

(2)寫(xiě)出檢驗(yàn)H0：4-2方=1的t統(tǒng)計(jì)量。

(3)如果定義4-2為=0,寫(xiě)出一個(gè)涉及仇、8、仇和飽的回歸方程，以便能直接得

到0估計(jì)值6及其標(biāo)準(zhǔn)誤。

解答：

(1)由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)易知

京—出-2月)=)-4C^v(3(,A)+4W/r(A)

(2)由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)易知

A2反-1八八八?

t="二/，，其中陽(yáng)4-2分)為(4-24,)的標(biāo)準(zhǔn)差。

陽(yáng)6-2/2)

(3)由四一2四知4=。+2人，代入原模型得

丫=0。+(。+2色必+fi2X2+.〃

=/3(HQX\+X?)+AX3+〃

這就是所需的模型，其中B估il值@及其標(biāo)準(zhǔn)誤都能通過(guò)對(duì)該模型進(jìn)行估訂得到。

三、習(xí)題

(-)基本知識(shí)類題型

3-1.解釋下列概念：

1)多元線性回歸6)參數(shù)估計(jì)后的置信區(qū)間

2)虛變量7)被解釋變量預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間

3)正規(guī)方程組8)受約束問(wèn)歸

4)無(wú)偏性9)無(wú)約束回歸

5)一致性10)參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)

3-2.觀察下列方程并判斷其變量是否呈線性？系數(shù)是否呈線性？或都是？或都不是?

1)匕=0。+0聞+%

2)匕=為+夕/。gXj+6

3)log匕=&+用logX,+與

4)匕=為+四(凡XJ+J

5)匕=-^-+￡；

6)匕=1+/?°(l—X3+￡j

7)匕=凡+四X/+氏X2,/10+e,

3-3.多元線性回歸模型與一元線性回歸模型有哪些區(qū)別？

3-4.為什么說(shuō)最小二乘估計(jì)量是最優(yōu)的線性無(wú)偏估計(jì)量？多元線性回歸最小二乘估計(jì)的正

規(guī)方程組，能解出唯一的參數(shù)估計(jì)的條件是什么？

3-5.多元線性回歸模型的基本假設(shè)是什么？試說(shuō)明在證明最小二乘估U量的無(wú)偏性和有效

性的過(guò)程中，哪些基本假設(shè)起了作用？

3-6.請(qǐng)說(shuō)明區(qū)間估計(jì)的含義。

(二)基本證明與問(wèn)答類題型

3-7.什么是正規(guī)方程組？分別用非矩陣形式和矩陣形式寫(xiě)出模型：

%=鳳+夕內(nèi)：+河馬+…+夕卜%+%，i=1,2,…,〃的正規(guī)方程組,及其推導(dǎo)過(guò)程。

編號(hào)：

時(shí)間：2021年X月X日書(shū)山有路勤為徑，學(xué)海無(wú)涯苦作舟頁(yè)碼：第6頁(yè)共19頁(yè)

3-8.對(duì)于多元線性回歸模型，證明：

⑴

⑵Z油=￡(樂(lè)+BR+…+黑場(chǎng)洶=o

3-9.為什么從計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型得到的預(yù)測(cè)值不是一個(gè)確定的值？預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間和置信

度的含義是什么？在相同的置信度下如何才能縮小置信區(qū)間？為什么？

3-10.在多元線性回歸分析中，，檢驗(yàn)與尸檢驗(yàn)有何不同？在一元線性回歸分析中二者是否

有等價(jià)的作用？

3/1.設(shè)有模型:＞，=&+/?內(nèi)+夕42+〃，試在下設(shè)條件下:

(1)。廿%=\

(2)/?,=/?2

分別求出A和九的最小二乘估計(jì)量。

3-12.多元線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型

X=A+四人+用?%+…十4"+從i=L2「?,n(2.11.1)

的矩陣形式是什么？其中每個(gè)矩陣的含義是什么？熟練地寫(xiě)出用矩陣表示的該模型的普通

最小二乘參數(shù)估計(jì)量，并證明在滿足基本假設(shè)的情況下該普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量是無(wú)偏和

有效的估計(jì)量。

3-13.有如下生產(chǎn)函數(shù):InX=1.37+0.632InXT+0.452InL

(0.257)(0.219)

R2=0.98CbvSx也)=0.055

其中括號(hào)內(nèi)數(shù)值為參數(shù)標(biāo)格差。請(qǐng)檢驗(yàn)以下零假設(shè)：

(1)產(chǎn)出量的資本彈性和勞動(dòng)彈性是等同的；

(2)存在不變規(guī)模收益，即4=1o

3-14.對(duì)模型川=凡+4鳳…+/內(nèi),+%應(yīng)用OLS法，得到回歸方程如下：

y,=A-+P\X\i+PlX2iPkXki

第6頁(yè)共19頁(yè)

編號(hào)：

時(shí)間：2021年X月X日書(shū)山有路勤為徑，學(xué)海無(wú)涯苦作舟頁(yè)碼：第7頁(yè)共19頁(yè)

要求：證明殘差弓-%與%不相關(guān)，即：22與=0。

3-15.

3-16.考慮下列兩個(gè)模型：

I、H=四+夕22+夕3%+%

II、（x-x2j）=+a2x2i+a3x3i+u\

要求：（1）證明：&2=AT，&\=3\,痣=氐

（2）證明：殘差的最小二乘估計(jì)量相同，即：4=4

（3）在何種情況下，模型H的擬合優(yōu)度咫會(huì)小于模型I擬合優(yōu)度解。

3-17.假設(shè)要求你建立一個(gè)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型來(lái)說(shuō)明在學(xué)校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人

數(shù)，以便決定是否修建第二條跑道以滿足所有的鍛煉者。你通過(guò)整個(gè)學(xué)年收集數(shù)據(jù)，得到兩

個(gè)可能的解釋性方程：

2

方程A：Y=125.0-15.0X,-1.0X2+1.5X3灰=0.75

方程B：f=123.0-14.0X,+5.5X2-3.7X4=0.73

其中：V一一某天慢跑者的人數(shù)

X1——該天降雨的英寸數(shù)

x2——該天日照的小時(shí)數(shù)

x3一一該天的最高溫度（按華氏溫度）

x4一一第二天需交學(xué)期論文的班級(jí)數(shù)

請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）這兩個(gè)方程你認(rèn)為哪個(gè)更合理些，為什么？

（2）為什么用相同的數(shù)據(jù)去估計(jì)相同變顯的系數(shù)得到不同的符號(hào)？

3-18.對(duì)下列模型：y=a+Aq+2z,+%（1;

y,=a+網(wǎng)-Pzi+u.（2）

求出B的最小二乘估計(jì)值；并將結(jié)果與下面的三變量回歸方程的最小二乘估計(jì)值作比較：

（3）），：=。+/匕-汽+%,你認(rèn)為哪一個(gè)估計(jì)值更好？

3-19.假定以校園內(nèi)食堂每天賣出的盒飯數(shù)量作為被解釋變量，盒飯價(jià)格、氣溫、附近餐廳

第7頁(yè)共19頁(yè)

編號(hào)：

時(shí)間：2021年X月X日書(shū)山有路勤為徑，學(xué)海無(wú)涯苦作舟頁(yè)碼：第8頁(yè)共19頁(yè)

的盒飯價(jià)格、學(xué)校當(dāng)日的學(xué)生數(shù)量（單位：千人）作為解釋變量，進(jìn)行回歸分析；假設(shè)不管

是否有假期，食堂都營(yíng)業(yè)。不幸的是，食堂內(nèi)的計(jì)算機(jī)被一次病毒侵犯，所有的存儲(chǔ)丟失,

無(wú)法恢復(fù)，你不能說(shuō)出獨(dú)立變量分別代表著哪一項(xiàng)！下面是回歸結(jié)果（括號(hào)內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)差）：

R=10.6+28.4Xh+12.7X2/4-0.61X3.-5.9X4/

（2.6）（6.3）（0.61）（5.9）產(chǎn)=0.63〃=35

要求：

（1）試判定每項(xiàng)結(jié)果對(duì)應(yīng)著哪一個(gè)變量？

（2）對(duì)你的判定結(jié)論做出說(shuō)明。

（三）基本計(jì)算類題型

3-20.試對(duì)一元線性【可歸模型：匕=凡+4丫“+萬(wàn)2丫〃+%，（，=12?一,〃）作回歸分

析，要求：⑴求出未知參數(shù)戊）,四,人的最小二乘估計(jì)量A，R，A：

（2）求出隨機(jī)誤差項(xiàng)〃的方差小的無(wú)偏估計(jì)量；

（3）對(duì)樣本回歸方程作擬合優(yōu)度檢驗(yàn)；

（4）對(duì)總體回歸方程的顯著性進(jìn)行尸檢驗(yàn)；

（5）對(duì)修,為的顯著性進(jìn)行，檢驗(yàn)；

（6）當(dāng)X。=（1,XQ,X2O）'時(shí)，寫(xiě)出E（y°IX。）和Yo的置信度為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間。

3-21.下表給出三變量模型的回歸結(jié)果：

方差來(lái)源平方和（SS）自由度（d.f.）平方和的均值（MSS）

來(lái)自回歸65965——

來(lái)自殘差——————

總離差（TSS）6604214

要求：（1）樣本容量是多少？

（2）求RSS?

（3）ESS和RSS的自由度各是多少？

（4）求穴2和江？

（5）檢驗(yàn)假設(shè)：X?和X3對(duì)丫無(wú)影響。你用什么慢設(shè)檢驗(yàn)？為什么？

（6）根據(jù)以上信息，你能否確定X2和X3各自對(duì)y的貢獻(xiàn)嗎？

第8頁(yè)共19頁(yè)

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3-22.下面給出依據(jù)15個(gè)觀察值計(jì)算得到的數(shù)據(jù)：

P=367.693,X2=402.760,又3=8.0,=66（）42269

2名=84855.096,=280.0,y,.x2/=74778.346

Z.V/3,=4250.9,Z%,%=4796.0

其中小寫(xiě)字母代表了各值與其樣本均值的離差。

要求：（1）估計(jì)三個(gè)多元回歸系數(shù)；

（2）估計(jì)它們的標(biāo)準(zhǔn)差；并求出心與訶f

（3）估計(jì)4、B395%的置信區(qū)間；

（4）在0=5%下，檢驗(yàn)估計(jì)的每個(gè)回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)顯著性（雙邊檢驗(yàn)）；

（5）檢驗(yàn)在a=5%下所有的部分系數(shù)都為零，并給出方差分析表。

3-23.考慮以下方程（括號(hào)內(nèi)為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差）：

W=8.562+0.364P+0.004e?-2.56（乜

（0.080）（0.072）（0.658）〃=19R2=0.873

其中：W——r年的每位雇員的工資和薪水

P——1年的物價(jià)水平

U-----1年的失業(yè)率

要求：（1）對(duì)個(gè)人收入估計(jì)的斜率系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)；（盡量在做本題之前不參考結(jié)果）

（2）討論與_1在理論上的正確性，對(duì)本模型的正確性進(jìn)行討論：是否應(yīng)從方程中

刪除？為什么？

3-24.下表是某種商品的需求量、價(jià)格和消費(fèi)者收入十年的時(shí)間序列資料：

年份12345678910

需求591965456236064700674006444068000724007571070680

價(jià)格23.5624.4432.0732.4631.1534.1435.3038.7039.6346.68

收入762091201067011160119001292014340159601800019300

要求：（I）己知商品需求量丫是其價(jià)格占和消費(fèi)者收入X2的函數(shù)，試求y對(duì)看和X2的最

小二乘回歸方程：+Ax2

（2）求y的總變差中未被X1和X2解釋的部分，并對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)；

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（3）對(duì)回歸參數(shù)自，區(qū)進(jìn)行顯著性，檢驗(yàn)。

3-25.參考習(xí)題2-28給出的數(shù)據(jù)，要求：

（1）建立一個(gè)多元回歸模型，解釋MBA畢業(yè)生的平均初職工資，并且求出回歸結(jié)果；

（2）如果模型中包括了GPA和GMAT分?jǐn)?shù)這兩個(gè)解釋變量，先驗(yàn)地，你可能會(huì)遇到什么

問(wèn)題，為什么？

（3）如果學(xué)費(fèi)這一變量的系數(shù)為正、并且在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，是否表示進(jìn)入最昂貴的商業(yè)

學(xué)校是值得的。學(xué)費(fèi)這個(gè)變量可用什么來(lái)代替？

3-26.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生用于購(gòu)買書(shū)籍及課外讀物的支出與本人受教育年限和其家庭收入水

平有關(guān)，對(duì)18名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：

學(xué)生購(gòu)買書(shū)籍及課外受教育年限家庭月可支配收

序號(hào)讀物支出y（元/（年）入X2（元/月）

1450.54171.2

2507.74174.2

3613.95204.3

4563.44218.7

5501.54219.4

6781.57240.4

7541.84273.5

8611.15294.8

91222.110330.2

10793.27333.1

11660.85366.0

12792.76350.9

13580.84357.9

14612.75359.0

15890.87371.9

161121.09435.3

171094.28523.9

181253.010604.1

要求：

（1）試求出學(xué)生購(gòu)買書(shū)籍及課外讀物的支出丫與受教育年限X1和家庭收入水平X2的估計(jì)

的回歸方程：9=6）+6/+Ax2

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（2）對(duì)用，四的顯著性進(jìn)行t檢驗(yàn)；計(jì)算心和4；

（3）假設(shè)有一學(xué)生的受教育年限占=10年，家庭收入水平X2=480元/月，試預(yù)測(cè)該學(xué)生全

年購(gòu)買書(shū)籍及課外讀物的支出，并求出相應(yīng)的預(yù)測(cè)區(qū)間（a=0.05）。

3-27.根據(jù)100對(duì)（王，?。┑挠^察值計(jì)算出：

=12Z封=-9ZV=3（）

要求：

（1）求出一元模型y=&+分內(nèi)+〃中的用的最小二乘估計(jì)量及其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)量;

（2）后來(lái)發(fā)現(xiàn)y還受它的影響，于是將一元模型改為二元模型y=a°+a2x24-v,

收集/的相應(yīng)觀察值并計(jì)算出：

Z君=62七卞=8=2

求二元模型中的%,%的最小二乘估計(jì)量及其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)量：

（3）一元模型中的以與二元模型中的用是否相等？為什么？

3-28.考慮以下預(yù)測(cè)的回歸方程：

Y1=-120+0.10G+5.33RS示’=0.50

其中：Y,---第t年的玉米產(chǎn)量（蒲式耳/畝）

F,——第t年的施肥強(qiáng)度（磅/畝）

RS,——第t年的降雨量（英寸）

要求歸I答下列問(wèn)題：

（1）從尸和RS對(duì)丫的影響方面，說(shuō)出本方程中系數(shù)0.10和5.33的含義；

（2）常數(shù)項(xiàng)-120是否意味著玉米的負(fù)產(chǎn)量可能存在？

（3）假定〃廠的真實(shí)值為0.40,則估計(jì)值是否有偏？為葉么？

（4）假定該方程并不滿足所有的占典模型假設(shè)，即并不是最佳線性無(wú)偏估計(jì)值，則是否意

味著歷es的真實(shí)值絕對(duì)不等于5.33?為什么？

3-29.已知線性回歸模型Y=X5+U式中U?（0,cr2I）,〃-13且〃一3（〃為樣木

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容量，攵為參數(shù)的個(gè)數(shù)），由二次型（Y-XB）'（Y-X8）的最小化得到如下線性方程組:

■+2氐+A=3

2或+5A+/3=9

方+A+6A=-8

要求：（1）把問(wèn)題寫(xiě)成矩陣向量的形式；用求逆矩陣的方法求解之;

（2）如果Y'Y=53,求才\

（3）求出力的方差一協(xié)方差矩陣。

3-30.已知數(shù)據(jù)如下表:

YXiX?

1110

329

835

1541

285-6

要求：（1）先根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)以下回歸模型的方程（只估計(jì)參數(shù)不用估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差）：

X=?（1+?k.

y（=4）+^2X2i“2i

■兒孫+%

（2）回答下列問(wèn)題：％嗎？為什么？友二為嗎？為什么？

（四）自我綜合練習(xí)類題型

3-31.自己選擇研究對(duì)象（最好是一個(gè)實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題），收集樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件

（建議使用Eviews3.1）,完成建立多元線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的全過(guò)程，并寫(xiě)出詳細(xì)研究報(bào)告。

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四、習(xí)題參考答案

（-）基本知識(shí)類題型

3-1.解釋下列概念

（1）在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中往往存在一個(gè)被解釋變量受到多個(gè)解釋變量的影響的現(xiàn)象,

表現(xiàn)為在線性回歸模型中有多個(gè)解釋變量，這樣的模型被稱為多元線性回歸模型，多元

指多個(gè)解釋變量。

（2）形如XY=XrXB的關(guān)于參數(shù)估計(jì)值的線性代數(shù)方程組稱為正規(guī)方程組。

3-2.答：變量非線性、系數(shù)線性；變量、系數(shù)均線性；變量、系數(shù)均線性；變量線

性、系數(shù)非線性；變量、系數(shù)均為非線性；變量、系數(shù)均為非線性；變量、系數(shù)均為線

性。

3-3.答：多元線性回歸模型與一元線性回歸模型的區(qū)別表現(xiàn)在如下幾方面.：一是解

釋變量的個(gè)數(shù)不同：二是模型的經(jīng)典假設(shè)不同，多元線性回歸模型比一元線性回歸模型

多了“解釋變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系”的假定；三是多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)

式的表達(dá)更復(fù)雜；

3-4.在多元線性回歸模型中，參數(shù)的最小二乘估計(jì)量具備線性、無(wú)偏性、最小方差

性，同時(shí)多元線性回歸模型滿足經(jīng)典假定，所以此時(shí)的最小二乘估計(jì)量是最優(yōu)的線性無(wú)

偏估計(jì)量，又稱BLUE估計(jì)量。對(duì)于多元線性回歸最小二乘估計(jì)的正規(guī)方程組，

3-5.答：多元線性回歸模型的基本假定有：零均值假定、隨機(jī)項(xiàng)獨(dú)立同方差假定、

解釋變量的非隨機(jī)性假定、解釋變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系假定、隨機(jī)誤差項(xiàng)叫服從

均值為0方差為b?的正態(tài)分布假定。在證明最小二乘估計(jì)量的無(wú)偏性中，利用了解釋

變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)的假定：在有效性的證明中，利用了隨機(jī)項(xiàng)獨(dú)立同方差假定。

3-6.答：區(qū)間估計(jì)是指研究用未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值（從一組樣本觀測(cè)值算得的）作

為近似值的精確程度和誤差范圍。

（二）基本證明與問(wèn)答類題型

3-7.答：含有待估關(guān)系估計(jì)量的方程組稱為正規(guī)方程組。

正規(guī)方程組的非矩陣形式如下：

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編號(hào)：

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Z、一Z(6。+瓦"?+A%+…+A見(jiàn))=。

Xy/廠Z(6。+AA+Az+…+BkX”=0

Ey/2,-E(A+6屈+"+?,?+pkxki)x2.=0

2%幾-2(6。+B\&i+B6”+…+A與M產(chǎn)o

正規(guī)方程組的矩陣形式如下:

X'Y=XrXB

推導(dǎo)過(guò)程略。

3-16.解：

（1）證明：由參數(shù)估計(jì)公式可得下列參數(shù)估計(jì)值

Z，2i（%一上2i）Z*2/3i

苫/5-以）Z4

Z君Z±2#3i

Z、2/3iZ3li

Z4Z*2*3i

Z*2r*3i￡文3

Z,

Z居Z*2/3i

Z比2i比3iZ痣Z比2/31z君

A人-i

._2*2/3,￡心（?「心）

%一

Z居Z*2/3i

2*2/3,

z麓z月仆,Z-4

Z&*3,Zi

2以均Z*3』

Z居ZMZ土2&

Z*2j*3i

ZX2iX3iZ將

人

=A

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=y-X-a2x2-匹3元3

=y-(1+d)x-

22ayx3

=AA&一而3

人

=A

證畢。

⑵證明：

4二必一々『一?一42々:一左3當(dāng),

=y,-a[-(\+a2)x2i-a3x3i

=y,~P\~PlX2i~^3X3i

A

=%

證畢。

⑶設(shè):Zj=%f

I式的擬合優(yōu)度為:

R2-黑￡(x-J5)2

n式的擬合優(yōu)度為:

R2]ESS、?中

2TSSZG-彳/

在⑵中已經(jīng)證得e=可成立，即二式分子相同，若要模型II的擬合優(yōu)度R；小于模型

i的擬合優(yōu)度耳，必須滿足：>2（馬一刃2<?'，一?。

3-17.答：

⑴方程B更合理些。原因是：方程B中的參數(shù)估計(jì)值的符號(hào)與現(xiàn)實(shí)更接近些，如與

日照的小時(shí)數(shù)同向變化，天長(zhǎng)則慢跑的人會(huì)多些；與第二天需交學(xué)期論文的班級(jí)數(shù)成反

向變化，這一點(diǎn)在學(xué)校的跑道模型中是一個(gè)合理的解釋變量。

⑵解釋變量的系數(shù)表明該變量的單位變化在方程中其他解釋變量不變的條件下對(duì)被

解釋變量的影響，在方程A和方程B中由于選擇了不同的解釋變量，如方程A選擇的

是“該天的最高溫度”而方程B選擇的是“第二天需交學(xué)期論文的班級(jí)數(shù)”，由此造成X2

與這兩個(gè)變量之間的關(guān)系不同，所以用相同的數(shù)據(jù)估計(jì)相同的變量得到不同的符號(hào)。

第15頁(yè)共19頁(yè)

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3-18.答：

將模型⑴改寫(xiě)成（％-2zJ=a+您+%,則p的估計(jì)值為：

方一君（,一2zp

p~

將模型⑵改寫(xiě)成￡=a+〃（七一zp+w-,則p的估計(jì)值為：

\?七一4一5+乞）2

這兩個(gè)模型都是三變量回歸模型⑶在某種限制條件卜.的變形。如果限制條件正確，則前

兩個(gè)回歸參數(shù)會(huì)更有效；如果限制條件不正確則前兩個(gè)回歸參數(shù)會(huì)有偏。

3-19.答：

⑴答案并不唯一，猜測(cè)為：X1為學(xué)生數(shù)量，X2為附近餐廳的盒飯價(jià)格，X3為氣溫,

X,為校園內(nèi)食堂的盒飯價(jià)格;

⑵理由是被解釋變量應(yīng)與學(xué)生數(shù)量成正比，并且應(yīng)該影響顯著；與本食堂盒飯價(jià)格

成反比，這與需求理論相吻合；與附近餐廳的盒飯價(jià)格成正比，因?yàn)楸舜耸翘娲?；與

氣溫的變化關(guān)系不是十分顯著，因?yàn)榇蠖鄶?shù)學(xué)生不會(huì)因?yàn)闅鉁厣卟怀燥垺?/p>

（三）基本計(jì)算類題型

3-22.解：⑴

A二Zy/2,Z舄一Z)'/3iZ//3>

Z4Z4-Z2/Z0/

74778.346x280-4250.9x4796.0

84855.096x280-4796.02

550620

=757810

=0.7266

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A

A=

ZZ4-Z心/Z2/

4250.9x84855.096-74778.346x4796.0

84855.096x28()-4796.()2

2073580

-757810

=2.7363

=367.693-0.7266x402.760-2.7363x8.0

=53.1572

⑵

2)'；—Ay0-AME,

o_Z〃_13_ZZ15-3Z

66042.269-0.7266x74778.346-2.7363x4250.9

~12

=6.3821

se（夕?）=加叭四）=—xAxer2=12.768

15

干xZKi+千xE&-2歡XWX/3i

其中：A=

Z名XX3i~ZX2iX3iZX2iX3i

同理，可得：5^(/?,)=0.0486,%(屈)=0.8454

擬合優(yōu)度為:心』冢落".頰g

=1-(1-/?2)-^^=0.9986

n-k

⑶d.f.=12,a=5%,查表得P(|/|<2.179)=0.95

-2.179<-7266一分<2.179,得到0.6207<^<0.8325

0.0486~

-2.179<27363-/<2.179,得到0.8%2</3.<4.5784

0.8454

.?.用95%的置信區(qū)間為：0.6207</32<0.8325,

用95%的置信區(qū)間為:0.8942<又<4.5784

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(4)”0:Bt=0,(/=1,2,3),乩：B尸0

a=5%(雙邊)，c/.f=15-3=12查表得臨界值