10.3.1 頻率的穩(wěn)定性主講人：劉仙舟學 科：數(shù)學（人教A版）學 校：北京市第八十中學年 級：高一下學期高中數(shù)學【學習目標】通過做重復試驗，探究頻率的穩(wěn)定性規(guī)律.理解頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別.理解頻率估計概率的應用實例.【重點?難點】重點:

頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別，用頻率估計概率.難點:

頻率的穩(wěn)定性規(guī)律的理解.高中數(shù)學【知識回顧】我們知道，事件的概率越大，意味著事件發(fā)生的可能性越大，在重復試驗中，相應的頻率一般也越大；事件的概率越小，則事件發(fā)生的可能性越小，在重復試驗中，相應的頻率一般也越小.

在初中，我們利用頻率與概率的這種關(guān)系，通過大量重復試驗，用頻率去估計概率.那么，在重復試驗中，頻率的大小是否就決定了概率的大小呢？頻率與概率之間到底是一種怎樣的關(guān)系呢？高中數(shù)學正面朝上反面朝上1P

A =2

.把硬幣正面朝上記為1，反面朝上記為0，則這個試驗的樣本空間Ω=

{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，A

=

{(1，0)，(0，1)}，所以 ( )高中數(shù)學【重復試驗】下面我們分步實施試驗，考察隨著試驗次數(shù)的增加，事件A的頻率的變化情況，以及頻率與概率的關(guān)系.第一步：每人重復做25次試驗，記錄事件A發(fā)生的次數(shù)，計算頻率；第二步：每4名同學為一組，相互比較試驗結(jié)果；第三步：各組統(tǒng)計試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，計算事件A發(fā)生的頻率，將結(jié)果填入表10.3

?

1中.暫停播放高中數(shù)學實驗組：[100,

100,

100,

100,

100,

100,

100,

100,

100,

100].頻數(shù)：[49,

51,

52,

51,

56,

48,

44,

53,

54,

48].頻率：高中數(shù)學小組序號試驗總次數(shù)事件A發(fā)生的次數(shù)事件A發(fā)生的頻率1100490.492100510.513100520.524100510.515100560.566100480.487100440.448100530.539100540.5410100480.48合計10005060.506高中數(shù)學每人做25次試驗，相當于在試驗次數(shù)較少時重復幾十次試驗，通過比較事件A發(fā)生的頻率，會發(fā)現(xiàn)頻率不會完全相同，而且波動較大.

小組合作100次試驗，再比較各組得到的事件A的頻率會發(fā)現(xiàn)頻率也不會完全相同，但波動變小.高中數(shù)學匯總?cè)嗟脑囼灲Y(jié)果，至少有1000次試驗.

經(jīng)過多次試驗會發(fā)現(xiàn)頻率非常接近A的概率0.5.結(jié)論：發(fā)現(xiàn)頻率具有不穩(wěn)定性，但隨著試驗次數(shù)的增加，頻率的波動幅度變小，逐漸穩(wěn)定到一個常數(shù).下面看利用計算機模擬擲兩枚硬幣的實驗，在重復試驗次數(shù)為20，100，500時各做5組試驗，得到事件A

=“一個正面朝上，一個反面朝上”發(fā)生的頻數(shù)n?和頻率?n(A) (表10.3?2).高中數(shù)學高中數(shù)學用折線圖表示頻率的波動情況（圖10.3

?

1）高中數(shù)學我們發(fā)現(xiàn)：試驗次數(shù)n相同，頻率?n(A)可能不同，這說明隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性.從整體來看，頻率在概率0.5附近波動，當試驗次數(shù)較少時，波動幅度較大；當試驗次數(shù)較大時，波動幅度較小.但試驗次數(shù)多的波動幅度并不全都比次數(shù)少的小，只是波動幅度小的可能性更大.高中數(shù)學大量試驗表明，在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性，一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率?n(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.

因此我們可以用頻率?n(A)

估計概率P(A).高中數(shù)學【應用實例】例1

新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應的男嬰數(shù).通過抽樣調(diào)查得知，我國2014年、2015年出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51.分別估計我國2014年和2015年男嬰的出生率（新生兒中男嬰的比率，精確到0.001）；根據(jù)估計結(jié)果，你認為“生男孩和生女孩是等可能的”這個判斷可靠嗎？分析：根據(jù)“性別比”的定義和抽樣調(diào)查結(jié)果，可以計算男嬰出生的頻率；由頻率的穩(wěn)定性，可以估計男嬰的出生率.暫停播放高中數(shù)學2015年男嬰出生的頻率為115.88≈

0.537100+

115.88113.51100+

113.51≈

0.532解：（1）2014年男嬰出生的頻率為由此估計，我國2014年男嬰出生率約為0.537，2015年男嬰出生率約為0.532.（2）由于調(diào)查新生兒人數(shù)的樣本非常大，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，上述對男嬰出生率的估計具有較高的可信度.因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的”的結(jié)論.高中數(shù)學例2

一個游戲包含了兩個隨機事件A和B，規(guī)定事件A發(fā)生則甲獲勝，事件B發(fā)生則乙獲勝.判斷游戲是否公平的標準是事件A和B發(fā)生的概率是否相等.在游戲過程中甲發(fā)現(xiàn)：玩了10次時，雙方各勝5次；但玩到1000次時，自己才勝300次，而乙卻勝了700次.

據(jù)此甲認為游戲不公平，但乙認為游戲是公平的.

你更支持誰的結(jié)論？為什么？暫停播放高中數(shù)學解：當游戲玩了10次時，甲、乙獲勝的概率都為0.5；當游戲玩了1000次時，甲獲勝的概率為0.3，乙獲勝的概率為0.7.根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率偏離概率很大的可能性會越來越小.相對10次游戲，1000次游戲時的頻率接近概率的可能性更大，因此，我們更愿意相信1000次時的頻率離概率更近.而游戲玩到1000次時，甲、乙獲勝的概率分別是0.3和0.7，存在很大差距.所以有理由認為游戲是不公平的.

因此，應該支持甲對游戲公平性的判斷.高中數(shù)學降水的概率是氣象專家根據(jù)氣象條件和經(jīng)驗，經(jīng)分析推斷得到的.

對“降水的概率為90%”比較合理的解釋是:大量觀察發(fā)現(xiàn)，在類似的氣象條件下，大約有90%的天數(shù)要下雨.高中數(shù)學【結(jié)論】只有根據(jù)氣象預報的長期記錄，才能評價預報的準確性.如果在類似氣象條件下預報要下雨的那些天（天數(shù)較多）里，大約有90%確實下雨了，那么應該認為預報是準確的；如果真實下雨的天數(shù)所占的比例與90%差別較大，那么就可以認為預報不太準確.高中數(shù)學練習：1.

人類的四種血型與基因類型的對應為：O型的基因類型為ii，A型的基因類型為ai或aa，B型的基因類型為bi或bb，AB型的基因類型為ab.

其中a和b是顯性基因，i是隱性基因.

一對夫妻的血型一個是A型，一個是B型，請確定他們子女的血型O，A，B或AB型的概率，并填寫下表：父母血型的基因類型組合子女血型的概率OABABai×biA ai×

bb BA aa×

bi Baa×bb高中數(shù)學解：當父母血型的基因類型組合為ai×

bi時，子女的基因為ii，ai，bi，ab是等可能的，概率各是0.25．

同理可以分析其他的父母基因類型組合．

結(jié)果如下表：父母血型的基因類型組合子女血型的概率OABABai×bi0.250.250.250.25ai×

bb000.50.5aa×

bi00.500.5aa×bb0001高中數(shù)學2.“用事件A發(fā)生的頻率?n(A)估計概率P(A),

重復試驗次數(shù)n越大，估計的就越精確”，判斷這種說法是否正確，并舉例說明.解：說法不確切.確切的說法是:當試驗次數(shù)較少時，頻率與概率差異較小的可能性小，當試驗次數(shù)足夠多時，頻率與概率差異較小的可能性大．反例:拋擲一枚硬幣，正面朝上的概率為0.5.拋擲兩次硬幣, 可能得到頻率為0.5，拋擲99次硬幣，頻率可能不為0.5．