全國(guó)大學(xué)生競(jìng)賽歷年試題名師精講

(非數(shù)學(xué)類)

(2023——2023)

第五屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試卷

（非數(shù)學(xué)類）

、解答下列各題（每題6分共24分，規(guī)定寫出重要環(huán)節(jié)）

1.求極限lim（l+sin/rJl+4〃2）.

解由于sin/rJl+4/=sin（不J1+4/-2〃乃）=sin[------（-2--分）:

）川+4/+2〃

/、刀

原式=lim1+sin——/-------=explim//In1+sin——/------

"?[+4/+2〃乃，乃J1+4//+2〃萬）

???（2分）

=explim/?sin——/------=explim——7------=e4....（2分）

Wl+4/r+2^JV，_*°°^l+4n2+2^J

2.證明廣義積分］吧土公不是絕對(duì)收斂時(shí)

解記建T'Hdx,只要證明發(fā)散即可。（2分）

〃開xn=0

sinx\dx="——!——fsinxdx=---

由于（2分）

1（〃+5+i”

y—±—發(fā)散，故由比較鑒別法￡氏發(fā)散。

71=0

（2分）

3.設(shè)函數(shù)y=），（x）由7+3d），—2y3=2確定，求y（工”勺極值。

解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得3/+6x），+3x2y'-6y2y'=0（1分）

故上當(dāng)

,令y'=（）,得x（x+2y）=0=x=0或工=-2），（2分）

2y27

將x=-2y代入所給方程得x=-2,y=1,

4號(hào)x=0代入所給方程得x=0,y=-1....................................................（2分）

（2x+2xy+2），）（一工2）一珀+2）,）（4R-2x）

又y”=

（2丁.4

（0+0-2）（2-0）-0

=-1<0,叫7f0=1>°，

fi-（2—0）2

故y（O）=-l為極大值，），（一2）=1為極小值。（3分）

4.過曲線），=?。ㄈ?）上的點(diǎn)A作切線，使該切線與曲線及x軸所圍成9勺平

面圖形口勺面積為3,求點(diǎn)A日勺坐標(biāo)。

4

解設(shè)切點(diǎn)A日勺坐標(biāo)為，，痂），曲線過A點(diǎn)的切線方程為y—5=金（kt）

...................................................................................................................（2分）；

令），=0,由切線方程得切線與1軸交點(diǎn)H勺橫坐標(biāo)為飛=-2，。

從而作圖可知，所求平面圖形H勺面積

S=—=—/\/7=—=>/=1,

2o44

故A點(diǎn)。勺坐標(biāo)為（1』）。......................（4分）

二、（滿分12）計(jì)算定積分/=jxsinxarcumd仁

L1+COS~X

h

四、(滿分12分)ii|/(x)|<^,/f(Ar)>^>O(a<x<b),證明jsinf(x)dx<1

m

解由于/'（%）2）>0（。<不?3,因此/（x）在［〃,句上嚴(yán)格單調(diào)增，從而有反函

數(shù)..................................................................（2分）。

設(shè)A=/（4）,B=/（b）,價(jià)是f日勺反函數(shù),則0<"（y）=7K<，

7??（3分）

-K=d”/>

又|/（工）|《萬，則一；r?A<3〈萬，因此Jsinf^x)dx=]c“(y)sinMv…(3分)

2

<^(y)sinydy<j—siny^=--cosy=-（2分）

om0"?

五、（滿分14分）設(shè)E是一種光滑封閉曲面，方向朝外。給定第二型的曲面積分

I=JJ（^3-x）dydz+（2y3-y^dzdx+{3^-z^dxdyo試確定曲面E,使積分I的值

E

最小，并求該最小值。

解記2圍成日勺立體為V,由高斯公式

/=那八6）3+9z2-3）Jv=（x2+2y2+3z2-1）dxdydz...........（3分）

為了使得I口勺值最小，就規(guī)定V是使得的最大空間區(qū)域f+2y2+3z2-l40,即

=［（x,y\z）\x2+2y^3z2<\］,曲面+2y?+3z?=1……（3分）

x=u100

y%，則總1

為求最小值，作變換0為0飛'

00

從而/二?2+V2+w2-\^dudvdw（4分）

2k2尸I

使用球坐標(biāo)計(jì)算,得/=dO\(r2-1)A,2sin^/r

v6ooo

33瓜A-24x/6

.246T）（YOS0）|；=-------4萬----=------TC（4分）

61515

ydx~xdy,其中。為常數(shù)，曲線C為輔圓

六、（滿分14分）設(shè)

（3）

x2++y2=r1,取正向。求極限

r->+oo'/

_V2z、

解作變換4;（觀測(cè)發(fā)現(xiàn)或用線性代數(shù)里正交變換化二次型的措

尸坐（〃+力

施），曲線c變?yōu)椤?平面上日勺橢圓「：3/+_1聲=,（實(shí)現(xiàn)了簡(jiǎn)化積分曲線）,

22

也是取正向…（2分）

并且X?+y2=u2+v2,ydx-xdy=vdu-udv（被積體現(xiàn)式?jīng)]變，同樣簡(jiǎn)樸?。?

vdu-udv

W4-VJ

（2分）

曲線參數(shù)化"=A/—rcose,u=y/lrsin。：0—>2江，則有vdu-udv=--^=r~dO,

V3V3

CInde

"Tf-（3分）

（2a

—r~cos2G+2r~sin20-cos2^+2sin29

【3

2不de22

—,則由于5V5cos2個(gè)+2$抽2。<2,從而

2

—cos2e+Zsin?0

3

0<J<+ooo因此當(dāng)〃>1時(shí)lim9（r）=0或avl時(shí)limI（r）=-oo（2分）

二…卞de/pde

而4==------------------------=4J3----------------------

0—cos2^+2sin200—cos2^+2sin20

33

=2?光備=2.卷…e[=2可刊=岳…

（3分）

33

0,6Z>1

1、3=-玉忑兀=-2入故所求極限為3⑺=,-。<1（2分）

-2乃,a=1

,11

oo1H----1-H---

七（滿分14分）判斷級(jí)數(shù)￡廠\~士時(shí)散散性，若收斂，求其和。

￡(〃+i)(〃+2)

解⑴記口+；++3=(一篇+2尸52,3,...

1]H?

由于lim——=0,n充足大時(shí)0<<1+(—dr=l+ln/?<Vn

〃-*0°\Jn*x

,11

因此<0<%<-----角---；<1H----1?…+-

,而Z~收斂,故￡------勺收斂…（2分）

(〃+1)(〃+2)姬n=l(刀+1)(刀+2)

(2)記4=l+g++：,(Z=1,2,3,…)，則

?11

S寧-5++工寧出一十"與

”￡(z+i)(k+2)￡(%+i)(4+2)frU+ik+2)

aa

J￡L_￡LY幺_&)+J%%|(nn（2分）

(23JV34)\nn+\)H+1n+2；

=—+-(a-a)+-(a^-aA++——(a~ai)---"（2分）

23I9-"]4、3」〃+1'"n"n"〃+2

_1111111a,1a

----+------F—,—F?H------------------n--=1.............................（2分）

23243n+1n〃+2n〃+2

由于0<?！?lt;1+j,ar=l+ln〃，因“匕()<?"，<]+m〃,從而山門匕電2=(),

*x〃+2〃+2"廿〃+2

故lima,t=0o

“一＞8〃+2

因此S=limS”=l—0—0=1。（也可由此用定義推知級(jí)數(shù)口勺收斂性）

M-XO

（3分）

第四屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題

(非數(shù)學(xué)類)參芍答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、(木題共5小纏.每小題各6分,共30分)解答卜列善題(要求寫出重要步舞)

(1)求極限

(2)求通過直線乙：；：：；；3：：：；0。的兩個(gè)相互奉a的平面陽和再.使其中一個(gè)皿由過點(diǎn)

(4.-3.1)：

(3)已Q函數(shù)二=〃(x.y)ed”,且二二1=0.確定第數(shù)。和b.使函數(shù)二=1x.月滿足方程

CXOy-

度正正八

--------------+==0:

(4)設(shè)函數(shù)“="(1)迂續(xù)可做.〃⑵=1.旦)(工+2沙加+(》+1-3必,在右半平面上與年受無關(guān).

求〃(x).■

斛

__-7-rlnSf)

(1)醫(yī)為(〃')?=/.(1分)

cIn4八

而與砥”!)/.fl.Inn—=0...............(3分)

n'n■?-**n

所以

1+

即lim-7ln(w!)=0.故lim(w!)c=1..............................(2分)

(2)過直淺L的平面求為

“2x+y-3=+2)+〃(5x+5y-4二+3)=0

即(2%+5〃)*+(2+5〃))，一(32+4〃)二+(22+3〃)=0...............................，2分,

若干面不過點(diǎn)(4-3.1).代入得2+〃=0.叫〃=-/.,從而陽的方程為

blDg.Jna.CDHTcn/chang/匕nq刃目抬2012

3x+4y-z+l=0.C分)

若“面束中的總面“與可垂直,則

3-(22+5/z)+4-(z+5/z)+l-(3z+4^)=0

解穹2=-34.從而平面勺的方程為x-2y-5二+3=0.（2分）

axdiiddzz

(3)—=e^丁+a”(x+J')?v（2分）

dx。dy

,dtidu,、

b—+a—+abue(x.y).(2分)

dxdy',也砂

之士正+:=尸，(Z>-1)—+(a-l)—+(aft-a-Z>+l)w(x.)).

dxeydxdy'8》i.

。二aa.AL-

若使T-;-一二--二-+二=0.只自

cxcyexdy

(/>-1)-—+(d-1)---+((?/>-4J-^+1)M(X.^,)=0.&Ca=b=l.(2分)

dxdy

3

⑷由—(H[X+?'))=—((X+2y)n)(^(x+4MV=u,即--ix=4M.（2分）

dxdyduu

方程通解為

儂加+「)=“04u(Ju+c)=“(w+c)?3分、

1/3

由“(2)=1得(：=0,故……(I分)

⑸因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí),

啊*I

畫"捻(3分)

T0(A->8),(2分)

所以也疝/渚。

lim0（1分）

r?e力Vr+cosr

Mig.sina.CRfLcn/chanq/iang刊引14252

二、（本建的分）計(jì)算￡e-2"sinx\dx

解由于

hlW"”

=￡￡：.（一1尸夕”sin.a.........................《3分》

t-l

應(yīng)用分部枳分法

rsinxdr=le-,*"（l+^）.....................（2分）

**，）*5

所以

1K1--2（?trlk

￡2xIsinx\dx=-（1+e：T）￡e2a=-（1+e:,）—―—.........（2分）

>m,1-e

當(dāng)〃萬Sx<（〃+1）萬時(shí)

￡c”|sinx|dr41c"|sinxc/r<￡）c"sin.r|dx,

令〃T8.由兩邊夾法貼.得

（e，sin.vdxlimjelxsinxdx-y---.................（3分）

注i妃果最后不用夾遍法對(duì)，而用［ensinx《=如"：e力、in*dr=!三丁;,需先說明

fe”函］工|七收數(shù)

三、（本迎10分）求方超fshJ=2x-501的近似斛精硝到S00L

X

解由泰勒公式Sinf=r-當(dāng)2p（0<d<1）.......................（2分）

blog^ificLCO/fi.cfj/chafigz<icifjgweilai2012

ni

由此知x>500.0-v—

x500

I<n.l?-0I"<」一二

\x50u--sm-s一一0.001

12<.vJ2x1000

所以?.v=501即為滿足卷設(shè)條件的解《4分)

目、(本遐12分)設(shè)函數(shù)歹=f(x)的二階可士九且f?(x)>OJ(O)=OJ'(O)=O,求

hm^M-

.其中”是曲線y=./(x)上點(diǎn)p(x./*))處的力線<Ix輪上的截距.

I/(.v)sinu

解：曲線)Ff(x)在點(diǎn)p(xj"))處的切戕方同為

r-/(x)=/'(xXA-x)

令y=o,則有,丫=*一9".由此〃=人」皆?一

(3分)

/,(*)八M

/⑴二40)

f(x)二一Um-------------------=-^121=0

(2分)

八X)一/“⑴一八0)/*(())

x

由/(必4x=0處的所恭4.

，2+<>(好)=~^~^./+)

/(X)=/(0)+f(0)X+xg分)

得

嘎+痔

Inn-=1-lim——=1-hm

J0Xxf\x)I--

…(3分)

(2分)

“og3ina.CDm.qn/chang/ianqweUaiZCrlZ

五、（本題12分）求最小實(shí)數(shù)C,使得滿足J/'（QI小=1的連續(xù)的函數(shù)f（x）都有

jf(4x)dx^C

0

解由于3分)

￡|/(4)|&J；/(/)l2/tA<2f*|/0)Jr2,.............................

另一方面,取則=］：，(.\)欣分)

f?(x)-(n?l)x\￡1fn(x)idx［1........................(3

而辦。力-2^-^-2->2........................(3分)

因此最小的實(shí)數(shù)C=2...........................................(2分)

六、（本邇12分）設(shè)/（x）為連續(xù)函數(shù)，f>0?M域C是由拗物面二=必+產(chǎn)和*面

X2+/+?=/2。>0）所圍起來的部分.定義三支根分

"0=JJJ/（爐

a

求"（r）的導(dǎo)數(shù)■'（，）

解法I.記g=g"）=如等二1,則Q在冷，面上的技影為X2+）/sg（2分）

在曲線S:［，':':二，上任取一點(diǎn)（工廠1）.燈除點(diǎn)到的點(diǎn)的射和/輪的夾角

R+y+丁-/?

為0,=arccosy=arccosy.取A/>0,則4>〃心對(duì)于固定的f>Q.號(hào)總積分爰

產(chǎn)（f+AO-QQ）.這是一個(gè)在厚度為”的球殼上的根分原點(diǎn)到城殼邊緣上的點(diǎn)的射線和

二軸夾蓋在％&和，之間.我力隹用球坐標(biāo)變換來做這個(gè)積分，由枳分的連續(xù)性可知.存在

a-a{M）,0：…￡a￡0「使得

2.va

."十&）-白⑴=及可的］7（產(chǎn)）rhm的...............?分）

00t

這樣就有戶"+*）-&，）=2”（l-cosa）Jf（目/從而當(dāng)

b］og.sirjcLCOifj-Cfi/chcing/dcinyweilai2012

cos(z—>cos^=

't

的行導(dǎo)數(shù)為

2”[1-皇JUf（產(chǎn)）=”（2,+1-Jl+4/卜〃產(chǎn)）.............（4分）

當(dāng)A，＜O,號(hào)忠/。）一尸”+z）可以得到同檸的左號(hào)數(shù).因此

k"）=6+1-J1+4八卜/（J）.（2分）

x=rcos0

解法2.令y=/sin8.

Z—Z

0"42萬1-----

Jl+4/[_1

則Q.其中。滿足/+/=J,a=~~1.....(2分)

/W4一產(chǎn)

故有

1s

ZK.Vr-ra(J產(chǎn)7、

F{t}=J的,rdrJ/'(r+z)dz=2rJ/JfW+z')dzdr....(2分)

oo/oI/)

從而有

戶'(t)=Jf\a+zD龍}十!”(r+t-r),「dr...(4分)

注意到心一笳=笳.第?個(gè)積分為0,我們得到

尸'(￡)=2rrf(t-)tfr-.-dr=-7rtf(t~)(.

I&2二^J--產(chǎn)

所以A'(0=-")=)(2Z+1-Jl+4/2)0分)

七、（本趣】4分）設(shè)與為正項(xiàng)級(jí)數(shù).

傳.1?H1

（1）若lim/S-J-〕＞。.則之《收斂:

"T%.也A.、K

（2）若lim＜0.且￡“發(fā)散.則發(fā)散。

一1凡,也a."trtr

blog^jfJcLC9rn-C；n/c；[jcifjg/<icifjgw^ileij2012

因而工4的部分和有上界，從而收斂.......................（.4分）

”10”

（2）若——~）<^<0則存在AtN,對(duì)于任意的〃2.V時(shí).

一與“以8”

—見<.b.""

（3分）

有

于品由Z"發(fā)散?得到發(fā)散（3分）

。?1

blog^ifJcLCO/c；h6ing/（i6irjgweilcu2012

第三屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試卷

（非數(shù)學(xué)類）

一.計(jì)算下列各題（本題共3小題，每題各5分，共15分，規(guī)定寫出重要環(huán)節(jié)。）

1

(sinxI-cosx

(1).求lim

x->0IX

解：措施一（用兩個(gè)重要極限）:

1xsinx-x

sinx)1-cosxsmx-xsinx-vA'(I-COSX)

lim=lim1+

x—>0A->0I

x7尢7

——1X2

sinx-xcosx-l

sinx-xlim-

XTO2V2.Di2>

1?A(1-COSX)-r-X--

=lime'/=2,2=e.3

A->0

措施二（取對(duì)數(shù)）:

sin.r

------1

sinx

i,nx

l1

sinx)l-cos.vlim—.1-?0一Y2

limi-cosx_e2

DX7

..sinx-xcosx-l

hm—；----lim-lim-^—

1

x->0Iv3,v->0~TT~1。

-A—Xe-5

e22

1)

(2).求lim---------1------------F...H----------

〃一KOn+1n+2n+n

11

解：措施一(用歐拉公式)令-----+------+…+------

〃+1〃+2〃+〃

由歐拉公式得1H-----1■…H--------ln〃=C+o(1)，

2n

貝ijldF??H-------——F??+———ln2//=C+o(1),

2nn+\In

其中，o(l)表達(dá)〃一>8時(shí)的無窮小量，

二?兩式相減，得：x-ln2=o(1),limx=In2.

n〃->8”

措施二(用定積分的定義)

1

limx=lim—+lim(---+??+—)=lim—(---+…+

…”…〃+]2nf〃|￡-n)

+1+

n

(,1t]o

=I------o￥=m2

o1+X

x=ln(l+e2]d2V

(3)已知J\),求一g。

[j=r-arctane1，lx~

I-

dy[d.dy1+//e”-d+1

dt-]+/'..辦―2*-2e21

l+e2f

.1_d—2]+/，_(1+巧(/—2)

2t92t4f

?公一2e2e~4e

dt

二.(本題10分)求方程(2x+y—4)。￥+(/+》-1)4)，=0時(shí)通解。

解：設(shè)P=2x+y—4,Q=x+y-l,則P<Zr+Q4=0

dp

—=—=1,.*.Pdx+Qdy~0是^一種全微分方程，設(shè)

dydx—.

dz=Pdx+Qdy

3z^.

措施一：由——P—2x+y—4得

dx

z=J(2x+y-49x2+xy-4x+C(y)

dz,

由彳=x+C(y)=Q=x+y-l得

C（y）=y-i^C[y}=-y2-y+c

乙

2A12

z=x+孫-4%+萬V-y+c

措施

z=jJz=jPdx+Qdy=+y-4卜比+（x+y—1）力

dPdQ............................

—=—，，該曲淺積分與途徑無關(guān)

dydx

/.z=￡（2x-4）tir+j：（x+y-Vjdy=x2-4x+xy+^y2-y

三.（本題15分）段函數(shù)f（x）在x=00勺某鄰域內(nèi)具有二階持續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

/（°），/（。），/（°）均不為°，證明：存在唯一一組實(shí)數(shù)K，攵2，％3，使得

3㈤+V（2/0+V（3/O-〃O）

mu0—uo

Dh-

證明：由極限的存在性:冊(cè)伙"'（/2）+&/（2力）+&/（3〃）_/（0）］=0

即優(yōu)十&十左3_1］/（0）=0，又/（。）工0,.??/+￡+勺二1①

由洛比達(dá)法則得

「"（〃）+&/（2/2）+&/（3/2）-/⑼

AAALAG

D

=4""）+2&/（2〃）+3&/（3。二.

2。2h

由極限日勺存在性得然（〃）+2k?f（2〃）+3k3f（3A）］=0

即（K+242+3公）/'（0）=0,又/（0）wO,+2攵2+3攵3=0②

再次使用洛比達(dá)法則得

Hm"'（〃）+2&/'（2/2）+3&f（3/z）

2。2h

=]而％/（"）+%/（2〃）+“"”（3。=o

2

??.+4&+9k3）f（0）=Ov/'（O）w0

4+4ko+9k3=0③

k、+k?+k、=1

由①②③得K,e，%是齊次線性方程組<h+2k2+3a=0的解

k}+4k2+9k3=0

，11P

設(shè)力=則

123,x=0Ax=bt

J49jO

qii1W1o03

增廣矩陣A*=1230-010-3則

oj100

J4911

R（A/）=R（A）=3

因此，方程Ax=匕有唯一解，即存在唯一一組實(shí)數(shù)4,22,占滿足題意，

且4=3,攵2=—3,攵3=1。

)2)

「廠y"Z",f、

四.(本題17分)設(shè)E]+'+,其中〃>Z?>c>0,

ab~c

E.:z2=x24-y2,r為與Z?的交線，求輔球面2在r匕各點(diǎn)口勺切平面

/V141

到原點(diǎn)距離日勺最大值和最小值。

、x2y2Z2

解：設(shè)「上任一點(diǎn)M(x,y,z),令尸(x,y,z)=--4--H—；—1,

■2x，2y，2z

則F=——,F=—丁,F~=—―,橢球面盤在「上點(diǎn)M處H勺法向量為:

xa~yc~

xyz

屋'戶/2］在點(diǎn)M處日勺切平面為n：

a(X-x)+j("y)+?Z—z)=()

1

原點(diǎn)到平面n口勺距離為d=令

?x2y~)z2

2

G(x,y,z)=j+v+[則d

(17cjG(x,y,z)

z2X2丁+z27

+—1，在條件—+瓦+/一「

十%ca~

779

Z-二廠+y-下H勺條件極值,

令

f222

vz?22

H(x,y,z)=---M■匕4仁4-y-Z

++2+1]+

/b7

則由拉格朗日乘數(shù)法得:

2X2x

-/+4r+24x=0

礦

2y

y=/+4沫+2勾=。

2

z2z

H=—+\—-2A)z=0,

zcc

?9?

三+匕+三_l=0

a2h2c2

x2+y2-z2=0

x=022

解得i22bY或1/+（?,

，-z_/+/[y=o

/、b4+c4/、a4+c4

對(duì)應(yīng)此時(shí)的G（x,y,z）=b濘伊+目或G（x,j,z）=丘2（/+,2）

此時(shí)□勺4=bc西小或2

又由于a>Z?>c>0,則&<I?

因此，橢球面弓在「上各點(diǎn)口勺切平面到原點(diǎn)距離口勺最大值和最小值分別為：

2

X+3/=1

五.(本題16分)已知S是空間曲線《繞y軸旋轉(zhuǎn)形成日勺橢球面

[z=0

H勺上半部分(z之0)取上側(cè)，口是s在P(x,y,z)點(diǎn)處H勺切平面，p(x,j,z)

是原點(diǎn)到切平面口口勺距離，4,表達(dá)S的正法向的方向余弦。計(jì)算：

(1)ff―——-dS：(2)[z(/lx+3〃v+i/z)dS

"p(”z)"

解：(1)由題意得：橢球面s的方程為％2+3y?+z?=l(zNO)

2

令產(chǎn)=V+3y2+z-1,則Fx-2x,F'v-6y,￡'=2z,

切平面口的法向量為〃=(x,3y,z),

口日勺方程為了(乂一/)+3〉(丫一丁)+2(2—2)=0,

工2+32+名2?

原點(diǎn)到切平面IIH勺距離夕(x,y,z)=.--------=―/-------

、7Vx2+9y2+z2正+9丁+22

z

dS=jjZy1x2+9y2+z2dS

??"JsI夕(x,y,z)

將一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分得：記?！癦:尢2+z2〈LxZO.zNO

￡]-2(3—2—2)"廣

溫z=4/ine聞

22

f￡sin^(3-2sin6^)^

-J。忑

1x371

2^42~r

⑵措施一:

x3yz

2=

小x2+9y2+z?y/x2+9y2+z2yjx2+9y2+z2

/.I2=jjz(Ax+3/zy+vz^dS=JJzjx?+9y?+z2ds=I]

ss

措施二(將一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二型)：

八=jJz(Ax+34y+vz)dS=jjxzdydz+3yzclzdx+z2cbcdy

222

記X:z=0,x2+3y2<1Q:x4-3y4-Z<l(z>0),取面2向下，Q

向外,

由高斯公式得：乙+JJxzdydz+3yzdzdx+zzdxdy=|j|6zdV

E

12=10'6zdV,求該三重積分H勺措施諸多，現(xiàn)給出如下幾種常見措施:

C

①先一后二:

「6』何『

idz-3jj(1-工2一3y2”b

22

X2+3>,2<1x+3y<l

生11

5/呵。耳r（l-，）dr-

2

da=^^~z^dz=^r

②先二后一：/2=6jzdzjj

x2+3y2

2dejjd(p^r3sin2(pdr=

③廣義極坐標(biāo)代換：12=J（）

六.（本題12分）設(shè)f（x）是在（一二),+8)內(nèi)的可微函數(shù)，且<〃礦(X),

其中0<機(jī)<1,任取實(shí)數(shù)。（），定義。”=),〃=1,2,…，證明：

8

2（4一%）絕對(duì)收斂。

〃=1

證明：%-%=ln/(%T)—ln/(q_2)

由拉格朗日中值定理得：三片介于Q,I，Q,L2之間，使得

In/■)-Inf(%)=y7^(^-i-

an-l）

an-a?-\=匕-a?-2)|，

又尸⑷卜〃礦⑷得

im<.

\f^\

%一。（）卜；

??丁―an-\<ma〃-1—a〃-2<…<機(jī)，0<m<\

a>a)8

二.級(jí)數(shù)Z〃廣1q收斂，級(jí)數(shù)〉~an-\收斂，即2（可一和）

H=In=\〃=1

絕對(duì)收斂。

七.(本題15分)與否存在區(qū)間[0,2]上的持續(xù)可微函數(shù)f(x),滿足

〃。)=〃2)=1，

/'(x)<