PAGE2.1.2一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系第1課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過對(duì)一元二次方程的解集及根與系數(shù)的關(guān)系的學(xué)習(xí),培育數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).2.通過求一元二次方程的解集,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)閱讀課本P47~50,填空.1.一元二次方程的一般形式是什么?思索:你認(rèn)為最簡(jiǎn)潔的一元二次方程具有什么樣的形式?可以怎樣得到這種方程的解集?舉例說明.總結(jié):(1)一般地,方程x2=t.當(dāng)t>0時(shí),解集為;

當(dāng)t=0時(shí),解集為;

當(dāng)t<0時(shí),解集為.

(2)方程(x-k)2=t.當(dāng)t>0時(shí),解集為;

當(dāng)t=0時(shí),解集為;

當(dāng)t<0時(shí),解集為.

2.將x2+2x+3=0化為(x-k)2=t的形式,并寫出這個(gè)方程的解集.歸納總結(jié):干脆開平方法:利用平方根的定義干脆開平方求一元二次方程的解的方法叫做干脆開平方法.課堂探究問題1:如何利用配方法,將ax2+bx+c=0(a≠0)化為(x-k)2=t的形式?歸納總結(jié):(1)配方法:通過方程的簡(jiǎn)潔變形,將左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式,若右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù),則可以運(yùn)用干脆開平方法求解,這種解一元二次方程的方法叫做配方法.(2)ax2+bx+c=0(a≠0)=(配方后的形式).

問題2:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集狀況如何?誰(shuí)確定方程的解集狀況?二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)圖像與x軸交點(diǎn)狀況如何?歸納總結(jié):1.一般地,稱為一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判別式.通常用Δ表示,即Δ=b2-4ac.

2.當(dāng)Δ>0時(shí),一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實(shí)數(shù)根,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有個(gè)交點(diǎn);當(dāng)Δ=0時(shí),一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實(shí)數(shù)根,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有個(gè)交點(diǎn);當(dāng)Δ<0時(shí),一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)實(shí)數(shù)根,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有個(gè)交點(diǎn).

問題3:當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集時(shí),方程的解是什么?歸納總結(jié):公式法:將一元二次方程中的系數(shù)a,b,c的值代入式子x=-b±b2-4當(dāng)堂練習(xí)1.用這節(jié)課所學(xué)習(xí)的方法解前邊情境與問題中的一元二次方程.2.求下列方程的解集:(1)(x-3)2-49=0;(2)(x-1)2=(4-2x)2;(3)2x2+4x-1=0.例題求方程x-2x-1=0的解集.變式:解方程(1)x4-x2-2=0;(2)x2-3x2-2=課堂小結(jié)求解一元二次方程的方法有哪些?課堂練習(xí)1.一元二次方程x2-16=0的解集是()A.{-8,8} B.{-4} C.{4} D.{-4,4}2.用配方法解方程x2-8x+5=0,將其化為(x+a)2=b的形式,正確的是()A.(x+4)2=11 B.(x+4)2=21C.(x-8)2=11 D.(x-4)2=113.用公式法解方程6x-8=5x2時(shí),a,b,c的值分別是()A.5,6,-8 B.5,-6,-8C.5,-6,8 D.6,5,-84.求下列方程的解集:(1)(x+1)2=12;(2)3x2-x=15-x;(3)x4+4x2-12=0; (4)4x2+8x+1=0.核心素養(yǎng)專練1.一元二次方程x2-9=0的解集是()A.{3} B.{-3} C.{-3,3} D.{-9,9}2.一元二次方程x2=3x的解集是()A.{0} B.{3} C.{-3} D.{0,3}3.一元二次方程4x2+1=4x的解集狀況是()A.為空集 B.只有一個(gè)元素C.有兩個(gè)元素 D.無(wú)法確定元素的個(gè)數(shù)4.用配方法解下列方程,配方正確的是()A.2y2-4y-4=0可化為(y-1)2=4B.x2-2x-9=0可化為(x-1)2=8C.x2+8x-9=0可化為(x+4)2=16D.x2-4x=0可化為(x-2)2=45.將方程x2-2x=3化為(x-m)2=n的形式,則m,n分別是.

6.求下列方程的解集:(1)2x2+5x=-2; (2)x4-7x2+12=0;(3)(x2-5x)2-2(x2-5(4)(x-1)2x2-x-1x-2=0;參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究略課堂小結(jié)略課堂練習(xí)1.D2.D3.C4.(1){23-1,-23-1}(2){-5,5}(3){-2,2}(4)-核心素養(yǎng)專練1.C2.D3.B4.D5.1,46.(1)-2,-12(2){-2,-3,(3)原方程可化為(x2-5x+4)(x2-5x-6)=0,∴(x-1)(x-4)(x+1)(x-6)=0,∴方程的解集為{-1,1,4,6}.(4)原方程可化為x-1x∴x-1x+1=0或x-1即2x-1x=0或∴方程的解集為-1(5)令2x+1=t,則2x=t2-1(t≥∴原方程可化為t2-1-t=5,即t2-t-6=0,∴t=3或t=-2(舍),∴2x+1=∴x=4,方程的解集為{4}.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.學(xué)生在初中已經(jīng)駕馭解一元二次方程,本課時(shí)進(jìn)一步深化對(duì)配方法的理解;2.通過對(duì)一元二次方程實(shí)根個(gè)數(shù)的探討,進(jìn)一步深化理解分類探討的數(shù)學(xué)思想;3.引入換元法解一元二次方程的思想,體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中化繁為簡(jiǎn)解決問題的基本方法;4.結(jié)合詳細(xì)的實(shí)際應(yīng)用問題,讓學(xué)生借助數(shù)學(xué)抽象轉(zhuǎn)化為方程求解問題進(jìn)行求解運(yùn)算,提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)《九章算術(shù)》第九章“勾股”問題二十:今有邑方不知大小,各中開門.出北門二十步有木,出南門一十四步,折而西行一千七百七十五步見木.問邑方幾何.問題二十的譯文:今有正方形小城,其邊長(zhǎng)是未知數(shù),城墻各邊正中都開有一門.出北門,20步處有一棵樹,出南門14步,轉(zhuǎn)向西走1775步恰好能望見那棵樹.求正方形小城的邊長(zhǎng)是多少.依據(jù)題中的描述可作出示意圖,如圖所示,其中A點(diǎn)代表北門,B處是木,C點(diǎn)代表南門,而且AB=20,CD=14,DE=1775,求正方形的邊長(zhǎng).課堂探究對(duì)用因式分解法不簡(jiǎn)潔得到解集的一元二次方程,我們?cè)撊绾蜗率秩ヌ接懩?提出問題:你認(rèn)為最簡(jiǎn)潔的一元二次方程具有什么樣的形式?可以怎樣得到這種方程的解集?1.獨(dú)立完成P48的第一個(gè)嘗試與發(fā)覺.2.學(xué)生獨(dú)立完成后相互溝通下各自的答案.一般地,方程x2=t.(1)當(dāng)t>0時(shí),;

(2)當(dāng)t=0時(shí),;

(3)當(dāng)t<0時(shí),.

一般地,方程(x-k)2=t.(1)當(dāng)t>0時(shí),;

(2)當(dāng)t=0時(shí),;

(3)當(dāng)t<0時(shí),.

3.結(jié)合前面老師的講解,學(xué)生嘗試獨(dú)立完成其次個(gè)的“嘗試與發(fā)覺”.4.相互溝通,談?wù)劇皣L試與發(fā)覺”的結(jié)果與初中所學(xué)的用公式法求解的關(guān)系以及判別式探討方程根的狀況的異同.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)化為(x-k)2=t的形式,過程如下:例題求方程x-2x-1=0的解集.跟蹤練習(xí)求下列方程的解集:(1)x4-x2-2=0;(2)x2-3x2-2=(3)x2+1x2+x-1x-4核心素養(yǎng)專練1.已知關(guān)于x的一元二次方程|m|x2-2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.2.如圖,要在長(zhǎng)25m的墻EF的一邊,通過砌墻來(lái)圍一個(gè)矩形花園ABCD,與圍墻平行的一邊BC上要預(yù)留3m寬的入口(如圖中MN所示,入口不用砌墻),用能砌46m長(zhǎng)墻的材料砌墻,當(dāng)矩形的長(zhǎng)BC為多少米時(shí),矩形花園的面積為299m2?參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究2.一般地,方程x2=t.(1)當(dāng)t>0時(shí),解集為{t,-t}.(2)當(dāng)t=0時(shí),解集為{0};(3)當(dāng)t<0時(shí),解集為?.一般地,方程(x-k)2=t.(1)當(dāng)t>0時(shí),解集為{k+t,k-t}.(2)當(dāng)t=0時(shí),解集為{k};(3)當(dāng)t<0時(shí),解集為?.4.略例題解法一:設(shè)x=y,則y≥0,原方程可變?yōu)閥2-2y-1=0,∴y2-2y+1=2,∴(y-1)2=2,∴y=1+2或y=1-2(舍).從而x=1+2,即x=3+22,∴原方程的解集為{3