立體幾何外接球與內(nèi)切球

一外接球模型

1、“墻角”模型

“墻角”模型是指具有三條棱兩兩垂直或三個平面兩兩垂直的特征,將該三

棱錐放入長方體中，把該三棱錘的外接球轉(zhuǎn)化為該長方體的外接球，不用找出球心

的具體位置，即可求出該球的半徑,如圖：

［例1］已知三棱錐PABC的四個頂點在球0的球面上,PA=PB=PC,ZXABC是邊

長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,NCEF=90。,則球0的體積為（）

A.8庭兀B.4瓜兀C.2屈兀D.

【詳解】答案D

解析：設(shè)PA=PB=PC=2x.VE,F分別為PA,AB的中點,，EF〃PB,且EF=1PB=x...?^ABC

為邊長為2的等邊三角形,.??CF=V3.又/CEF=90。，

???CE=6=3?,AE4PA=x在△AEC中，由余弦定理可知cosZEAC=乂4-"）

作PD±AC于點D,???PA=PC,???D為AC的中點,cosNEAC=^=；

1/4/X

AX2+4~—=-./.2x2+l=2..*.x2=i,ttx*???.PA=PB=PC=&.又

4x2x22

AB=BC=AC=2,???PA,PB,PC兩兩垂直.???2R=V2+2+2=V6.AR=y.

.,.VAR3AX^=V6

【練習(xí)1】（2022?廣東廣州一模）已知三棱錐PABC的棱ARAB,AC兩兩互相垂

直,AP=AB=AC=2g，以頂點P為球心,4為半徑作一個球，球面與該三棱錐的表面

相交得到四段弧,則最長弧的弧長等于.

【詳解】答案與

解析：由題設(shè)，將三棱錐PABC補全為棱長為2V5的正方體，如圖所示.若AD=AF=2,則

PD=PF=4,即D,F在以P為球心,4為半徑的球面上.記0為底面中心則

OA=A@2QP=3/>4,所以，底面ABC與球面所成弧是以A為圓心,2為半徑的四分之一

圓弧，故弧長為匹側(cè)面PBC與球面所成弧是以P為圓心,4為半徑且圓心角為方的圓弧，故弧

長為手；側(cè)面PBA,側(cè)面PCA與球面所成弧是以P為圓心,4為半徑且圓心角為工的圓弧，

故弧長均為右所以最長弧的弧長為

2、“對棱相等”模型

“對棱相等”模型是指三棱錐的相對的兩條棱相等，應(yīng)用數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，構(gòu)建

長方體，將該三棱錐放入該長方體中，使三棱錐的頂點與長方體的頂點重合，將該

三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為該長方體的外接球，從而求出該外接球的半徑，如圖.

［例2］在平行四邊形48C。中〃8=2&,8C=3,且cos4=當(dāng)沿80將。折

起，使點C到達(dá)點E處,且滿足則三棱錐EABD的外接球的表面積

為.

【詳解】答案心乃

解析在4ABD中，由余弦定理，得BD2=32+(2a)22x3x2&x當(dāng)解得BD=3.在三棱錐

EABD中,AE=BD=3,AD=BE=3,AB=ED=2&,三組對棱長相等，可將三棱錐EABD放在長

方體中.設(shè)長方體從同一頂點出發(fā)的三棱長分別為x,y,z,其外接球的半徑為R,令

x2+y2=9,y2+z2=9,z2+x2=8,則x2+y2+z2=13,即2R=VT5,所以R=^.又長方體與三棱錐

EABD的外接球相同，所以三棱錐EABD的外接球的表面積為4兀R2=4兀x*13兀

【練習(xí)2］(2023?遼寧大連模擬)如圖所示，在正四面體ABCD中,E是棱AD的

中點,P是棱AC上一動點,BP+PE的最小值為E，則該正四面體的外接球的表面

積等于.

【詳解】答案12%

解析將平面ADC和平面ACD展開在同一個平面內(nèi)，如圖.由三角形兩邊和大于第三邊得

到，當(dāng)點P在點F位置時,BP+PE取得最小值，所以BE=VI5股AE=a，則AB=2a.在4ABE

中,NBAEW油余弦定理得cosZBAE辛等<得a=?,故正四面體的棱長為2a.

32xax2a2

如圖,將正四面體補成一個正方體，則正方體的棱長為2,則該正

四面體的外接球的直徑為正方體的體對角線長，所以2R=2H,即R=>/3,故該正四面體的

外接球的表面積S=4成2=12乃

3、“直三棱柱”模型

對于直三棱柱,應(yīng)用數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),結(jié)合球與直棱柱的有關(guān)性質(zhì)，

一是確定直三棱柱的外接球球心的位置為直三棱柱的上、下底面三角形外接圓

的圓心連線所構(gòu)成的線段的中點；

二是利用正弦定理求出底面三角形的外接圓的半徑,若是特殊三角形,如等邊

三角形或直角三角形,可利用特殊三角形的特點,快速獲得其外接圓的半徑；

三是用定理,即利用勾股定理,求出球的半徑；

四是用公式，即利用球的表面積或體積公式求解，注意直三棱柱的外接球與內(nèi)

切球的本質(zhì)區(qū)別.

[例3)已知二棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱的長都為6,頂點都在一個球面匕

則該球的表面積為()

A.36萬B.84萬C.132萬D.180乃

【詳解】答案B

解析：由題意三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，設(shè)N,M是上下底面中心,MN的中點O

是三棱柱ABCA1B1C1外接球的球心,AM=^X6=2V5,OM=1MN=1AA1=3,球的半徑

r=OA=70M2+AM2=J(2V3)2+32=VU,所以球的表面積S=4加2=4兀x(?J)2=84兀故

選B.

【練習(xí)3]一個正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱均垂直于底面.已知該六棱柱

的頂點都在同一個球面上，六棱柱的體積為？，底面周長為3,那么這個球的體積

8

為.

【詳解】答案與

解析：設(shè)正六棱柱底面邊長為a,正六棱柱的高為h,球的半徑為R,則a=1,底面積為

S=6X^X(1)2^,V柱=511哼h(yuǎn)=1,,??h=V3,R2=(q)2+6)2=1,R=1,故球的體舐

V=j7tR3=y.

4、“球心在高所在直線上”模型

對于圓錐、圓臺、側(cè)棱相等的棱錐等幾何體，可得球心必在該幾何體的高所在

的直線上，或者在棱錐一個底面的高所在直線上，由此可把相關(guān)信息集中到某一個

直角三角形內(nèi)，利用勾股定理求解，如圖.

［例4］已知三棱錐MABC的四個頂點均在表面積為32萬的球面上，AB=BC=

2A/2,AC=4,則三棱錐MABC的體積的最大值為（）

8+8V2

V2+4V2rD.呼

【詳解】答案C

解析：根據(jù)題意知,4ABC是一個直角三角形，其面積為4,其外接圓的圓心在斜邊AC

的中點上，設(shè)外接圓的圓心為Q,當(dāng)MQ與平面ABC垂直時，三棱錐MABC的體積最大.

設(shè)球心為O,半徑為氐4成2=32（得R=2衣,點O到平面ABC的距離為瓜豆3=2,所

以三棱錐MABC體積的最大值為1x近x（2+2立）衛(wèi)警.故選C.

【練習(xí)4］已知圓錐的頂點和底面圓周都在球O面上，若圓輪的側(cè)面展開圖的圓

心角為拳面積為3兀,則球O的表面積等于（）

.817r口81n心121n卜121n

A-VBVC.丁D—

【詳解】答案A

解析：圓錐的頂點和底面圓周都在球0面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為我，面積為

3元，設(shè)母線為1,底面圓的半徑為1?聊x梟12=3%可得1=3.由扇形的弧長公式可得2口予1,

所以r=l.圓錐的高B01=5序于=2VI設(shè)球0的半徑為R向r2+（24R）2=R2,解得R號.

所以球0的表面積等于4兀R2=4兀x*=法.故選A.

【鞏固練習(xí)】

1、（2023?安徽?統(tǒng)考一模）在三棱錐P-48C中，底面

ABC,CA=CB=PA=2,/ACB=,,則三棱錐15c外接球的表面積為（）

A.25reB.20兀C.16兀D.127c

2、（2022?江蘇海門?高三期末）已知正四棱錐尸-"CD的底面邊長為2拉，側(cè)棱

以與底面48。所成的角為45。，頂點P,A,B,C,。在球。的球面上，則球

。的體積是（)

A.16兀B.C.87rD.-----n

3

3、如圖所示，底面48CZ）為正方形，EF=4,其余棱長為2,則羨除外

接球體積與羨除體積之比為（）

A.20兀B.46虱C.8區(qū)兀

3

D.2兀

4、（2022?廣東羅湖?高三期末）在“8C中，AB上BC,

BC=I，若將“8C沿/C邊上的中線8。折起，使得平面48。J.平面BCD點E

在由此得到的四面體/BCO的棱/C上運動，則下列結(jié)論正確的為（）

A.1B.四面體48。。的體積為:

2o

C.存在點E使得七的面積為:D.四面體46CQ的外接球表面積為學(xué)

43

￡、（2022?河北張家口?高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形

的四面體稱之為鱉脯（bienao）.如圖，三棱錐。-48c為一個鱉脯，其

中N_L平面45C,AB工BC,DA=AB=BC=2tAM1.DC,M為垂足，

則（）

A.4W_L平面88

B.。。為三棱錐。-彳8。的外接球的直徑

C.三棱錐的外接球體積為4備

D.三棱錐M-ABC的外接球體積與三棱錐M-ABD的外接球體枳相等

6、（2022?江蘇如皋?高三期末）已知三棱錐。-48C中，AB=AC=AD=]fZDAB

=ZDAC=|,ZBAC=1,則點A到平面BCD的距離為,該三棱錐

的外接球的體積為.

7、（2022?廣東潮州?高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的

四面體稱為鱉脯，在鱉麝488中，431平面88,CDA.AD,AB=BD=4i,已

知動點E從。點出發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱4。上一點到點8的最短距離為廂，則

該棱錐的外接球的表面積為.

8、（2022?廣東?鐵一中學(xué)高三期末）己知四面體力-次第中，AB=CD=M,

AC=BD=屈,BC=AD=yf]3t則其外接球的體積為.

9、（2022?河北保定?高三期末）如圖，0￡?是邊長為4的等邊三角形力8C的中位線，

將△力。E沿0E折起，使得點A與P重合，平面PDE1平面8C0E,則四棱雉

P-BCDE外接球的表面積是.

二內(nèi)切球模型

求解多面體的內(nèi)切球的問題，一般是將多面體分割為以球心為頂點，多面體

的各面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑.

10、（2021?山東高三其他模擬）如圖所示的由4個直角三角形組成的各邊長均為

1的六邊形是某棱錐的側(cè)面展開圖，則該棱錐的內(nèi)切球半徑為.

11、已知三棱錐尸-48C的所有棱長都相等，現(xiàn)沿P4PB,PC三條側(cè)棱剪開，

將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為2#,則三棱錐

P-/8C的內(nèi)切球的體積為

12、（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓錐內(nèi)切球（與圓錐側(cè)面、底面均相

切的球）的半徑為2,當(dāng)該圓錐的表面積最小時，其外接球的表面積為（）

A.8EB.96兀C.108兀D.126兀

13、（2022?湖北武昌?高三期末）已知四面體力3C。的一個平面展開圖如圖所示，

其中四邊形/EFQ是邊長為2頁的菱形，B,C分別為川心月D的中點，

則在該四面體中（）

A.BELCDB.BE與平面。CE所成角的余弦值為理

C.四面體488的內(nèi)切球半徑為叵D.四面體43co的外接球表面積為9萬

30

14、（2022?江蘇通州?高三期末）將正方形/8C0沿對角線8。折成直二面角?

—BD—C,設(shè)三棱錐0—8OC的外接球和內(nèi)切球的半徑分別為門，〃2,球心分別

為。I,。2.若正方形力8CQ的邊長為1,則薦；（91（92=.

參考答案

1、【答案】B

【詳解】由C4=C8=2,/4C8="得NC4B=NCB4=三,

36

所以“8C的外接圓半徑"/$=2,

由于4，底面ABC,所以外接球的半徑R=卜圖=舊,//：%：*

所以外接球的表面積S=4M,=20元.

2、【答案】B

,

【詳解】在正四棱錐2-48co中，連接4C,BD,ACC\BD=Of連尸。，如圖，

則有尸。」平面488,N/M。'為側(cè)棱為與底面所成的角，即/尸彳。=45。，

于是得O'P=O'A=O'B=O'C=O'D=—AB=2,

2

因此，頂點P,J,B,C,。在以。為球心，2為半徑的球面上，即點。與。重

合，

4

所以球。的體積是展?23肯乃.

3、【答案】A

【詳解】連接4C、BD交于點區(qū)取ER的中點O,連接OM,則OM_L平面/8CD.

取3c的中點G,連接FG,作GH上EF,垂足為H,如圖所示，

由題意得，OA=OB=OC=OD,OE=OF=2HF,=-EF=\FG=—BC=V3,

f4t2

:.HG7FG'-HF'=6,：.0M=HG=6,

又?:AM-—^-AB—x/2,???OA-JOM?+AM'=2，

：.OA=OB=OC=OD=OE=OF=2,即：這個羨除的外接球的球心為。，半徑為2,

???這個羨除的外接球體積為匕=料=料7=等.

*.*ABHEF,面CDEF,Mu面COE產(chǎn)，

：?AB〃面CDEF,即：點4到面COb的距離等于點8到面CD）的距離，

又V￡^OED=AOCD,；?^A-OED=^B-OCD~^O-BCD，

J這個羨除的體積為

??

丫2=〃A-OED+^BCF-ADO=Vo-BCD+3VQ-BCD=WO-BCD=4x-X-x2x2x72=--，

32n

???羨除的外接球體積與羨除體積之比為￡=孟=2夜冗.

亍

4、【答案】BCD

【詳解】對于A：取8。的中點M,連接CM,

因為BC=C0=1,所以CA/J.8Z),

又平面/3。_L平面BCD,

所以CM_L平面月8。，則CM_L4。，

若4Z)C=5，貝Ij/￡>_LCD,

所以ZO_L平面CA/。，則力。_L8Z),

顯然不可能，故選項A錯誤；

對于B：考查三棱錐4-8CQ的體積，易知△8CO的面積為由,

4

在平面初。中，過A作80的垂線，交8。的延長線于點“，

易知AH=正*,

2

因為平面"O_L平面BCQ,所以加7_L到平面8CQ,

即三棱錐力-B8的高為力〃=立，

2

所以三棱錐A-BCD的體積為V=k旦立」，

3428

即四面體488的體積為:，故選項B正確：

O

對于C:顯然當(dāng)4c平面5QE時，一?！甑拿娣e取得最小值，

易知C〃=也，且力〃=3，^\^AC=ylAH2+CH2=—,

222

又四面體力BCD的體積為:，所以J=：xSx現(xiàn)，

o832

即5=詼/,且ASCQ的面積為由,L

40444

所以存在點E使得△加歷的面積為故選項C正確；

對于D：設(shè)△38與△48。的外心依次為Q,。2，

過a作平面sc。的垂線心過a作平面/切的垂線a

則四面體ABCD的外接球球心。為直線4與4的交點，

則四邊形MO0Q為矩形，且0,加=且，qc=正，

'23

所以四面體N88的外接球半徑為

R=OC=JOQ'+OC、2”+*2=R右,

則外接球表面積為s=4在=4兀X*腎，故選項D正確.

5、【答案】BC

【詳解】對于A選項，如下圖，過點A向8。引垂線，垂足為N,

平面力BC,BCu平面N8C,貝IJ8C1/IO,

vBC±ABfABcAD=A,則BCJL平面W

又AN、8Ou平面彳8短，所以，CBLAN,CB1BDf

vANLBD,BCCBD=B,則4V_L平面BCD,

這與4W_L平面3CQ矛盾，A錯；

對于B選項，?.?力。_1平面/8。，/ICu平面48C,貝

在三棱錐。一48C中，NDAC=/CBD=90°,

則OC的中點到A、3、C、0的距離相等，

所以PC為三棱錐O-48C的外接球的直徑，故B正確；

對于C選項，分別取8。、CO的中點N、E,連接EN,

因為N、E分別為BD、的中點，則EN//BC,

平面490,則EN_L平面480,

???4D_L平面NBC,AB\^FjBjABC,則

故△川即的外心為線段的中點N,

因為ENu平面A/5Q,則平面M8Z)_L平面/B。，

故三棱錐M-ABD的外接球球心在直線EN上，即該球球心在平面MBD內(nèi),

所以AMBD的外接圓直徑2R為三棱錐M-ABD的外接球直徑，

2

?,SC=2tCD=+3=《AD+初+BC?=2石，

ADAC

AM==^-9MC=J/C2一而=逋

CD33

在中，cosZ5CD=—=—,sinZBDC=—=—,

CD3CD3

在△M8C中，由余弦定理得，BM=\l8c2+CM2-2BCCMcosZBCD=2，

2R=———=-^=2/3

故sinZMDB也，則R=右，

T

所以三棱錐M-物。的外接球體積為:萬尸=4折，故C正確；

因為/4VC=N43C=9(T,故幺。為三棱錐的外接球的直徑，且彳C=2啦,

而三棱錐河-口。的外接球直徑為26,故D錯誤.

6、［答案］叵匹冗

754

【詳解】①如下圖所示，^D-A?C='4-BCD

設(shè)點A到平面BCD的距離為h,取BC中點E,連AE、DE,

因為加心31,皿T，所以88“邛

xl—

-S,^ABC,"D2

所以力=3_=叵

1.V7

30ABCD—xlX—

22

②取中點凡連CF交/￡于G,則G是“8C的外心，過G作。G||ZM,

。為三棱錐夕卜接球的球心，過。作。HIM,所以M=耕邛

設(shè)球的半徑為R，則*=/G2+OG2=O"2+(1_OG)2,

所以"停:若

7、【答案】阮

【詳解】如圖所示：

設(shè)CQ=x,由題意得：CB=而，

在△C5。中，由余弦定理得：CB2=CD2+BD2-2CD-BD-cos1350,

，B[Jx2+4x-8=0，解得x=2或A

H

I)

x=-4（舍去），

如圖所示：

該棱錐的外接球即為長方體的外接球,

則外接球的半徑為：火=以（可+（可+22=瓦

所以外接球的表面積為5=44?2=航,

故答案為：8冗

8、【答案】粵式

【詳解】如圖，構(gòu)造長方體，其面對角線長分別為石,J證后,

則四面體4-的外接球即為此長方體的外接球，

設(shè)長方體的長寬高分別X,力z,外接球半徑為R

貝IJ丁+/=5,y2+Z?=10,/+?2=13,

222

所以+y2=5,y2+z=10,X4-Z=13,

則―』4=（2或解得R=華,

所以/苧平?

故答案為：平7t

9、【答案】專

【詳解】如圖，分別取8C,DE的中點（7,尸，連接反OF.

因為“8C是邊長為4的等邊三角形，

所以尸尸=。尸=百，

所以O(shè)'8=O'C=O'O=O'E=2,

則四邊形8CQE外接圓的圓心為O，，半徑,:2.

設(shè)四棱錐P-8CQE外接球的球心為O,連接OO，，過點

。作OH_LPE,垂足為，.

易證四邊形所。。是矩形，則〃尸=。。，OH=（7F=B

設(shè)四棱錐P-BCDE外接球的半徑為R,

B

貝ljR2=OO>2+O'B;OH'P*OT2+（尸尸一。。'『，

即R2=OCT2+22=(V3)2+(V3-00了，解得胃=￡

故四棱錐尸-BCDE外接球的表面積是4版=學(xué)

題型二、幾何體的內(nèi)切球

io、【答案】1-立

2

【解析】將圖形還原得四棱錐尸-48C。，如圖,

設(shè)內(nèi)切球的球心為O,半徑為尸,

則有Vp-ABCD=^O-ABCI)+%-PAB+'o-PBC+^O-PA1)+%-PDC，

即5X1XS四邊孫88=](S四邊形/BCD+S&PAB+S48c+^^PAD+^^PDC),「'

解得』f

11、【解析】：三棱錐P-48c展開后為一等邊三角形，設(shè)此此三角形的邊長為

4m

高7，得。=6/.所以三棱錐的棱長為3五,可得棱長的高〃=2百

a.則

.1c17cV3

SMBC=^'h'SAABC乃"二h比

設(shè)內(nèi)切球的半徑為乙33，得2,所

以內(nèi)切球32

12、【答案】A

【詳解】設(shè)圓錐的頂點為S,底面圓的圓心為6,內(nèi)切球圓心為O,

貝|JO8=OC=2,AB=ACf

SOocsc

因為SBJL48,OC.LSAf所以△力8ssAOCS,則===

SAAB3B

設(shè)48=?(廠>2),SA=lt

4,55-22l-r,SB-22*.2/o

故—r=；F由-得：SB」,

2

?2/-rzecnlr-r+tr21.Ir-r

32

由7=布得：SB=F，成二+2二丁,所以4/+4尸=//_/,r+4r=/(r-4),

4r+r32/

解得：/，所以圓錐的表面積為“/+/

2

A〃'2/r（r）,K/（r-4）-4/_V-32?_"1-8）

令/（＞不，/（?⑹4）2一卜一廠卜一j，

當(dāng)/*《2/,+oo）時,廣（尸）＞0,當(dāng)何2,2旬時,f（r）＜Qf

故/⑺=三在，?￡（2,2啦）上單調(diào)遞減，在廣e（2夜,+8）上單調(diào)遞

增，

故/（'）=4在'=2五時取得最小值，

/（「『年甸=答=32,

此時/=#=巫迪=6亞，58=3+2=咯2=8,

/一44r2V2

設(shè)圓錐的外接球