空間解析幾何第六章§4.空間中的平面與直線空間中的平面及其方程?？臻g直線及其方程。1、平面的點法式方程幾何上，任給空間中某一點，及某一方向，都可且只可做一條過該定點且垂直于給定方向的平面。下面用解析式描述此幾何關(guān)系.任取平面

上一點M(x,y,z).故n

M0M=0.設(shè)：平面

過定點M0(x0,y0,z0)且垂直于方向n=(A,B,C).由已知，n

M0M，

M0Mxzy0

n一、空間中的平面及其方程我們稱垂直于平面

的任何非零向量為的法方向或法向，因此，n即為

之一個法向.方程(1)依賴于法向n及定點M(x0,y0,z0).故(1)稱為平面

的法點式方程.A(x

x0)+B(y

y0)+C(z

z0)=0法點式方程解取所求平面的點法式方程為化簡得取法向量化簡得所求平面方程為解一般地，設(shè)平面

過M1,M2,M3三點,M1,M2,M3不共線.即則得平面方程為：即平面的三點式方程.2、平面的一般方程由點法式方程法向量—平面的一般（式）方程。平面一般方程的幾種特殊情況：平面通過坐標(biāo)原點；平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于坐標(biāo)面；類似地可討論情形.類似地可討論情形.設(shè)平面：由過

原點知所求平面方程為解3、平面的截距式方程設(shè)平面方程為將三點坐標(biāo)代入方程，得——平面的截距式方程x軸上截距y軸上截距z軸上截距4、點到平面的距離解：如圖

M1NM0

設(shè)平面

:Ax+By+Cz+D=0.則平面上點M1(x1,y1,z1)滿足A1x+B1y+C1z+D1=0.由于M0N為之法向.故M0N//(A,B,C).n

即即點到平面的距離公式5、兩平面的夾角我們目前已對平面本身的解析關(guān)系描述得較清楚了.現(xiàn)在討論兩平面間的關(guān)系.一般說來，兩平面的關(guān)系有以下幾種兩平面平行不重合.兩平面平行重合.兩平面不平行相交兩平面法向一致但無交點兩法向一致且有交點兩平面垂直相交但不垂直兩法向垂直兩法向不共線也不垂直橋梁法向夾角

1:A1x+B1y+C1z+D1=0,

2:A2x+B2y+C2z+D2=0.如何求其間夾角？分別為

1

，

2的法向，故定義:兩平面

1,

2的法方向n1,n2的夾角稱為平面

1和

2的夾角(通常指銳角).由平面方程，知n1=(A1,B1,C1)、n2=(A2,B2,C2)A1A2+B1B2+C1C2=0;兩平面平行

=====A1:A2=B1:B2=C1:C2.兩平面垂直

n1

n2=0n1

n2=0

A1:A2=B1:

B2=C1:

C2.000即平行不重合

重合

A1:A2=B1:B2=C1:C2

D1:D2;A1:A2=B1:B2=C1:C2=D1:D2.特殊情形：例5.設(shè)平面

過點M1(1,0,0),M2(1,1,1)且與平面

1：x+y+z=0垂直，求平面

.而

過點M1,M2.故平面

//M1M2

.設(shè)

1法向n1=(1,1,1).因此，平面

n1

M1M2.

n1

M1M2

即

的法向n=n1

M1M2.則平面

//n1.解：故得平面

方程為即n例6研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：解

兩平面相交，且夾角解

兩平面平行。

兩平面不重合．二、空間直線及其方程1.由直線上一點與直線l的方向決定的直線方程如果一個非零向量平行于直線L，就稱這個向量為直線的一個方向向量．

點

在直線l上的充要條件是

（1）式叫做直線l的向量式參數(shù)方程——直線的(坐標(biāo)式)參數(shù)方程將直線的參數(shù)方程中的參數(shù)t消去，則可得到——直線L的標(biāo)準(zhǔn)方程或?qū)ΨQ式方程。直線L的一組方向數(shù)。方向向量的方向余弦稱為該直線的方向余弦解所以交點為取所求直線方程——兩點式方程。注：2.直線的一般方程若空間直線L為兩平面則的交線，——空間直線的一般方程。(不唯一)在直角坐標(biāo)系下，兩平面的法向量分別為所以直線l的方向向量可取為例8將直線L化成對稱式方程解：平面的法向量平面的法向量求直線L上一點M0(x0,y0,z0)令x0=1則得Y0=4,z0=4所求直線L方程為解先作過點M且與已知直線L垂直的平面

再求已知直線與該平面的交點N,LM

N代入平面方程，得交點取方向向量所求直線方程為另解LM

'L

再求過M與L的：則兩直線夾角

滿足設(shè)直線兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為3.兩直線的夾角特別有:例10

求以下兩直線的夾角解:直線直線二直線夾角

的余弦為從而的方向向量為的方向向量為4.直線到平面的夾角當(dāng)直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角

當(dāng)直線與平面不垂直時,設(shè)直線

L的方向向量為平面

的法向量為直線和它在平面上的投影直︿則直線與平面夾角

滿足線所夾銳角

稱為直線與平面間的夾角解:為所求夾角．直線與平面的位置關(guān)系：//小結(jié)空間平面空間直線一般形式法點式截距式(三元一次方程)Ax+By+Cz+D=0.交面式對稱式:參數(shù)形式:兩點式:(一般形式)：三元一次方程組.

x=x0+mt,

y=y0+nt,

z=z0+pt;關(guān)系直線間夾角：平面間夾角：直線與平面間夾角：直線在平面上的投影：過直線的平面束中的一條垂直于已知平