專題01拋物線的平移、對稱變換

目錄

解題知識必備....................................................................

壓軸題型講練....................................................................4

類型一、拋物線上下平移..........................................................4

類型二、拋物線左右平移..........................................................8

類型三、拋物線沿傾斜方向平移...................................................11

類型四、沿x軸翻折.............................................................13

類型五、沿y軸翻折.............................................................17

類型六、旋轉(zhuǎn)...................................................................19

壓軸題能力測評.................................................................22

“解題知識必備X

1.y=a/的圖像和性質(zhì)

。的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸，蜩

久>0時，y隨%的增大而增大；x<0時，y隨x的增大而減

a>0向上（°，°）y軸

?。痪?。時，y有最小值0.

久>0時，y隨%的增大而減??；x<0時，y隨x的增大而增

a<0向下（°，°）y軸

大；X=。時，y有最大值。.

2.y=ax2+c的圖像和性質(zhì)

a的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸

%>0時，y隨%的增大而增大；%<0時，y隨工的增大而減

a>0向上（°，c）y軸

小；%=。時,y有最小值c.

%>0時，y隨%的增大而減?。唬?lt;0時，y隨%的增大而增

a<0向下（°，c）y軸

大；％=0時，y有最大值c.

3y=a(x—/i)2的圖像和性質(zhì)

開口方

a的符號頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

向

%＞力時,y隨%的增大而增大；》＜力時，y隨%的增大而減小；

a>0向上G，°)X=h

%=N時，y有最小值。.

%＞力時,y隨%的增大而減??；》＜力時，y隨%的增大而增大；

a<0向下R，°)X=h

%=1時，y有最大值。.

開口方

a的符號頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

向

%〉力時，y隨%的增大而增大;%＜力時，y隨%的增大而減??；

a>0向上(力，°)X=h

x=為時，y有最小值0.

%/時，y隨%的增大而減?。唬%時，y隨%的增大而增大；

a<0向下a，°)X=h

%=為時，y有最大值0.

4y=。(霓一①2+々的圖像和性質(zhì)

開口方對稱

a的符號頂點坐標(biāo)性質(zhì)

向軸

%>/時，y隨%的增大而增大；》<力時，y隨X的增大而

a>0向上,k)X=h

減??；x=/時，y有最小值々.

X>力時,y隨X的增大而減??；X<力時,y隨X的增大而

a<0向下(//fc)X=h

增大；比=N時，y有最大值k.

5二次函數(shù)丫=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)

2

用配方法可化成：y=a(%-%)+k的形式，其中』,k=爺土.

\/2a4a

二次函數(shù)卜=研+6*+《(awO):

2

頂點坐標(biāo)是(-2，4a7b),

2a4a

對稱軸直線x=-2，

2a

二次函數(shù)〃=am+bx+c(a/0)的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)a>0時，拋物線y=a/+6x+c(a/0)的開口向上,

x<-"時，_/隨x的增大而減小；

x>-標(biāo)時，隨X的增大而增大；

2

x=-_L時，JZ取得最小值4ac-b,即頂點是拋物線的最低點.

2a4a

②當(dāng)a<0時，拋物線片a層+6x+c(a/0)的開口向下，

x<-或-時，p隨x的增大而增大；

X>-與時，?7隨X的增大而減小；

2

%=-2時，J取得最大值“a”b,即頂點是拋物線的最高點.

2a4a

③拋物線y=a/+bx+c(a/0)的圖象可由拋物線y=a*的圖象向右或向左平移|一旦|個單位，再向上或

向下平移1*1個單位得到的.

X壓軸題型講練??

（0,4）,（5,4）.

（1）拋物線的對稱軸為直線耳=；

（2）當(dāng)。=1時，將拋物線向上平移左化>0）個單位長度后與線段MN僅有一個交點，則k的取值范圍是.

【答案】2k=2^6<k<ll

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想作出圖形，根據(jù)圖形進(jìn)行求解

是解決問題的關(guān)鍵.

4。八

（1）由題意可知拋物線的對稱軸為直線即可求解；

（2）由題意可知，當(dāng)a=l時，將拋物線向上平移左傳>0）個單位長度后拋物線為

,=_尤2+4尤_2=-（》-2）2+2+3結(jié)合圖形，找到臨界點：當(dāng)拋物線頂點恰好平移到線段跖V上，當(dāng)拋物

線經(jīng)過點N（5,4）時，求出對應(yīng)上的值，結(jié)合圖形即可求解.

【詳解】解：（1）0J=—ax"+4ox—2,

4。=2

回拋物線的對稱軸為直線彳=-

2x(-a)，

故答案為：2；

(2)當(dāng)。=1時，y=—x2+4x—2=—(x—2)-+2,

將拋物線向上平移＞0）個單位長度后拋物線為y=一（彳-2）2+2+左,

當(dāng)拋物線頂點恰好平移到線段上，此時，2+左=4,可得左=2；

當(dāng)拋物線經(jīng)過點加（0,4）時，此時_（O_2y+2+k=4,可得左=6,

此時加（0,4）關(guān)于對稱軸x=2對稱的點"'（4,4）,在線段MN上，不符合題意;

當(dāng)拋物線經(jīng)過點N（5,4）時，此時_（5-2y+2+%=4,可得上=11,

此時N（5,4）關(guān)于對稱軸x=2對稱的點N'（-l,4）,不在線段用N上，符合題意;

結(jié)合圖形可知，平移后的拋物線與線段初V僅有一個交點時，左=2或6＜后411；

故答案為：笈=2或6VII.

【變式訓(xùn)練11對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)相＞0,對于任意的函數(shù)值幾都滿足fzVyVm,

則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的機(jī)中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值.例如，如圖中的函

數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是L將函數(shù)丫=-爐+1（-24》〈/,出0）的圖象向上平移/個單位，得到的函數(shù)的邊

則f的取值范圍是.

【答案】13或5=4/43：

2442

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移和二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)條件分類討論函數(shù)值絕對值最大的

情況是解決問題的關(guān)鍵點.

仔細(xì)閱讀材料理解題意，可知”的值就是函數(shù)值絕對值最大的值，所以根據(jù)函數(shù)表達(dá)式找出函數(shù)值的最大

值和最小值，進(jìn)行分類討論求解即可.

【詳解】解：、=-犬+1(-2三不",讓0)向上平移/個單位后，得到的函數(shù)解析式為

y=-X2+t+l(-2<x<t,t>0)

回拋物線的開口向下，對稱軸為直線x=0,

回拋物線上的點離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，當(dāng)x=0時，y最大值為7+1,且x=2和x=-2的函數(shù)值相同,

回當(dāng)/V2時，x=—2時，y有最小值f-3,當(dāng)f>2時，x=f時，y有最小值一/+/+1,

由題意可知：〃是函數(shù)值絕對值最大時的值，

(I)當(dāng)/42時，

①，+123-，且'+

解得5?工，工3彳，

42

②當(dāng)3—此￡+1且

13

m<t<

24

(II)當(dāng)，>2時，

①/一，一12/+1且

無解；

②/2—,—1V/+1且+

無解，

1353

故答案為：二工/工二或二工/工彳.

【變式訓(xùn)練2].如圖，拋物線y=%2_1與y軸交于點尸，與1軸正半軸交于點慶，將拋物線向上平移2個

單位長度,點P的對應(yīng)點為P,點A的對應(yīng)點為H,則拋物線上PA段掃過的區(qū)域(陰影部分)的面積為.

【分析】連接AP，AP,如圖，先解方程尤2一1=0得A(LO),再利用拋物線的平移得到尸P=A4,=2,所以

拋物線上以段掃過的區(qū)域(陰影部分)的面積=S平行四邊形APPA?

.■.A(1,O),

:拋物線y=/_l向上平移2個單位長度，點尸的對應(yīng)點為P,點A的對應(yīng)點為A,

..PP=A4'=2,

拋物線上上4段掃過的區(qū)域(陰影部分)的面積=5平行四邊形"pw=1x2=2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查了拋物線與無軸的交點：把求二次函數(shù)y=o?+bx+c(a,b,c是常數(shù)，。*0)與x軸的

交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于》的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【變式訓(xùn)練3】.設(shè)拋物線＞=/+(。+1)%+。，其中。為實數(shù).

(1)不論。為何值，該拋物線必經(jīng)過一定點—；

(2)將拋物線＞=/+(°+1)無+a向上平移2個單位，所得拋物線頂點的縱坐標(biāo)的最大值是—.

【答案】(-1,0)2

【分析】(1)將拋物線解析式丫=工2+(。+1)無+。變形為丁=犬+。(尤+i)+x,當(dāng)x+i=o時，無論。為何值，

拋物線恒過某一定點；

(2)根據(jù)"上加下減〃可得出平移后的拋物線解析式，再利用配方法配方，可表達(dá)頂點的縱坐標(biāo)，再求最大

值.

【詳解】解：（1）將拋物線解析式丁=%2+（。+1）%+。變形為丁二/+。（兀+］）+%,

當(dāng)x+l=O即m-1時，拋物線恒過定點（-1,0）.

故答案是：（T,0）；

（2）y=x2+（a+l）x+a向上平移2個單位可得，y=x2+（a+l）x+a+2,

22

0y=（x+^±l）-l（a-l）+2,

回拋物線頂點的縱坐標(biāo)機(jī)=-1（〃-1）2+2,

4

1

0—<0,

4

0m的最大值為2.

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)圖象頂點坐標(biāo)等內(nèi)容，題目比較簡單.

類型二、拋物線左右平移

向上（％>o）［或向下（京0）］平移個單位

向右（A>0）或向右（方〉0）或

向左（*0）平向左（尿0）平

移I川個單位移I川個單位

mi：（4〉o）［或向下（MO）］平移四個單位

y=a(x-h)y=a(x-h)2+k

例.如圖，拋物線y=-/+12》-35與天軸交于4、2兩點，把拋物線在x軸及其上方的部分記作C］,將G

向左平移得到g,G與x軸交于2,D兩點，若直線y=f+7/與G，G共有3個不同的交點，則相的取

值范圍是.

【分析】首先求出點A和點B的坐標(biāo)，然后求出g解析式，分別求出直線y=-龍+機(jī)與拋物線G相切時機(jī)

的值以及直線y=-X+，然過點2時小的值，結(jié)合圖形即可得到答案.

【詳解】解：把>=。代入/=-尤2+12%-35得0=-f+12x-35，

解得x=5或x=7,

則點4(7,0),5(5,0),

拋物線G：y=-d+12x-35=-(x-6)~+1,(5<x<7),

由于拋物線G向左平移2個長度單位得拋物線Q,

則拋物線G解析式為y=_(x_6+2)2+l=_(x_4y+l,(34x45),

4J=-(X-4)2+1=0,即一(無一4y+l=0,

解得x=3或x=5,

則點0(3,0),

當(dāng)丁=一尤+機(jī)與拋物線G：丁=一(無一4)2+1相切時，

4"-(x-4)2+l=-x+m,-x2+9X-15-/7I=0,

根據(jù)相切可知方程有兩個相等的解，即A=9?-4x(-l)x(-15-機(jī))=0,

解得用=?21,

4

當(dāng)y=—x+力過點8（5,0）時,即:0=-5+?7,

解得：m=5,

21

結(jié)合圖象可知：直線丁=-龍+根與C-G共有3個不同的交點時，5<m<—.

21

故答案為：

4

【點睛】本題主要考查拋物線與x軸交點以及二次函數(shù)圖象與幾何交換的知識，解答本題的關(guān)鍵是正確畫出

圖形，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題，此題有一定的難度.

【變式訓(xùn)練1】如果拋物線y=-d+3x-2沿x軸向左平移機(jī)個單位長度后經(jīng)過原點，那么機(jī)=.

【答案】1或2/2或1

【分析】本題考查了拋物線的平移，拋物線的性質(zhì)，

先把拋物線寫成頂點式，再求平移后拋物線的解析式，把（o,o）代入可得：一［利一"!：+；=°，再解方程即

可.

【詳解】解：y=-犬+3工-2=-（工-目+—,

回拋物線沿*軸向左平移m個單位長度，

平移后拋物線解析式為：尸-1-5+加:+；,

把（o,o）代入可得：-（機(jī)-■!：+；=（）,

解得：叫=1,叱=2；

故答案為：1或2.

【變式訓(xùn)練2】.若把拋物線y=a（x-4）2向左平移6個單位長度后得到拋物線y=-3（尤-獷，且知拋物線

y=a（x-4）2的頂點為A,且與>軸交于點8,拋物線y=-3（*-域的頂點為M,貝！JS-MAB=.

【答案】144

【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)則，求出的值，進(jìn)而求出兩條拋物線的頂點坐標(biāo)和點8的坐標(biāo)，再利用面

積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：的巴拋物線y=a（%-4）2向左平移6個單位長度后得到拋物線y=-3（%-獷，

團(tuán)a（%—4+6）——3（x—/z）,

團(tuán)a=—3,h=—2,

回平移以前的拋物線為y=-3（尤-4）2,平移后的拋物線為y=-3（*+2）2,

回A（4,0）,M（-2,0）,

團(tuán)AM=6,

2

0^=-3(x-4),當(dāng)x=0時，y=-48,

團(tuán)3(0,T8),

0^=1x6x48=144:

故答案為：144.

【點睛】本題考查拋物線的平移，與，軸的交點，求頂點坐標(biāo).熟練掌握拋物線的平移規(guī)則：左加右減，上

加下減，是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練31.已知二次函數(shù)y^ax2+bx+c(a豐0)的圖象與%軸的交點為(-3,0),(6,0)，點M在函數(shù)y=3尤

的圖象上.若點M向左平移機(jī)("?>0)個單位得Ml,點/向右平移(m+6)(〃z>0)個單位得,當(dāng)點加1，〃2

都落在二次函數(shù)的圖象上時，則點用的坐標(biāo)為.

【答案】

3

【分析】本題考查了中點坐標(biāo)公式，二次函數(shù)的性質(zhì)；先求得拋物線的對稱軸為直線x=],進(jìn)而設(shè)”的坐

標(biāo)為(x,3x),得出加1,河2的中點坐標(biāo)橫坐標(biāo)，依題意可得x+3=],即可求解.

【詳解】解:團(tuán)二次函數(shù)丁=/+云+4470)的圖象與》軸的交點為(—3,0),(6,0),

回拋物線的對稱軸為直線x=三芻=|，

設(shè)M的坐標(biāo)為(x,3x),依題意，的中點坐標(biāo)橫坐標(biāo)為」—_+；+丁+6=彳+3

3

團(tuán)x+3=一

2

3

解得：^=--

2

故答案為

類型三、拋物線沿傾斜方向平移

0

向上(4＞0)［或向下(點0)］平移|上|個單位

y-ax2y-ax

向右(〃＞0)或向右(力＞0)或

向左(M0)平向左(M0)平

移1無1個單位移|川個單位

向上削＞0)［或向卜(左＜0)］平移1+單位

y=a(x-h)2廠a(x-A)"+A

例.將二次函數(shù)y=/+2x的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，平移后的二次函數(shù)的

圖象的頂點坐標(biāo)是.

【答案】(。,1)

【分析】按照"左加右減，上加下減"的規(guī)律解答.

【詳解】解：...^=f+2尤=(尤

回二次函數(shù)y=—+2x的圖象的頂點坐標(biāo)是(-1,-1),

圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是(0,1).

故答案為：

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，關(guān)鍵是掌握平移的規(guī)律.

【變式訓(xùn)練11把拋物線y=/+6x+c的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析

式為y=d-2x+3,貝!］6+c=.

【答案】12

【分析】先求出函數(shù)》=f-2無+3的頂點坐標(biāo)，再根據(jù)平移的特點得出原函數(shù)的頂點坐標(biāo)，再寫出原函數(shù)

的頂點式，化為一般式，即可得。，c的值，再計算b+c的值即可.

【詳解】解：ffly=x2-2x+3=(x-l)2+2,

團(tuán)所得圖象的頂點坐標(biāo)是(1,2),

回移動前的拋物線的頂點坐標(biāo)是。-3,2+2),即(-2,4),

回根據(jù)頂點式拋物線解析式可得移動前的拋物線為y=(X+2)2+4=x2+4x+8,

0Z7=4,c=8,

國人+。=4+8=12,

故答案是：12.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點式及二次函數(shù)圖象的平移，正確找出平移后函數(shù)的頂點坐標(biāo)，再根據(jù)

平移得出平以前函數(shù)的頂點坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2】.將二次函數(shù)y=-Cr-k)2+"1的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，頂點

恰好在直線y=2x+l上，則左的值為.

【答案】0

【分析】先求出二次函數(shù)y=-(x-A)2+奸1的圖象平移后的頂點坐標(biāo)，再將它代入y=2x+L即可求出左

的值.

【詳解】解：12二次函數(shù)y=-(x-k)2+4+1的頂點坐標(biāo)為(8,%+1),

團(tuán)將y=-(x-Z)2+左+1的圖象向右平移1個單位，向上平移2個單位后頂點坐標(biāo)為(左+1,左+3).

根據(jù)題意，得左+3=2(左+1)+1,

解得k=0.

故答案是：0.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，難度適中.根據(jù)點的平移

規(guī)律：右加左減，上加下減正確求出二次函數(shù)y=-(x-k)2+k+i的圖象平移后的頂點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】.已知將二次函數(shù)y=f+法+c的圖象向右平移2個單位，再向下平移3個單位，所得圖象

的解析式為y=Y-4x-5,則6=,C=.

【答案】0-6

【詳解】將y=x2-4x-5,化為頂點式，再逆向得出=d+6x+c的解析式，通過系數(shù)對應(yīng)法即可求出答案.

解：y=x2-4x-5=(x-2)2-9

由題可知，將y=無?-4x-5向左平移2個單位，再向上平移3個單位，可得到y(tǒng)=》2+6x+c的函數(shù)圖象，

0J=(X-2)2-9=(X-2+2)?-9+3=/-6,

Sb=0,c=-6.

故答案為0；—6.

類型四、沿x軸翻折

二次函數(shù)的翻轉(zhuǎn)問題的解題思路：

①根據(jù)二次函數(shù)上特殊點的坐標(biāo)值求得二次函數(shù)的表達(dá)式；

②根據(jù)翻轉(zhuǎn)后拋物線與原拋物線的圖像關(guān)系，確定新拋物線的表達(dá)式；

③在直角坐標(biāo)系中畫出原拋物線及翻轉(zhuǎn)后拋物線的簡易圖，根據(jù)圖像來判斷題目中需要求解的量的各種可

能性；

④根據(jù)圖像及相關(guān)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計算，求得題目中需要求解的值。

例.函數(shù)y=|ov2+bx+c\^a>Q,b2-41ac>0)的圖象是由函數(shù)y=ax2+bx+c[^a>0,b2-4ac>0)的圖象X軸上

方部分不變，x軸下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是

①2a+6=0；②c=3；③奶c>0；④3a+c=0；⑤將圖象向上平移1個單位后與直線y=5有3個交

點.

【答案】①③④⑤

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).根據(jù)圖象判斷出對稱軸的位置，再利用二次函數(shù)的對稱軸公

式x=即可得到2a+b=0,故①正確；由圖象可判斷二次函數(shù)、="2+云+。與丫軸的交點為(0,-3),

2a

即c=-3,故②錯誤；根據(jù)圖象判斷a>0,6c0,結(jié)合c=-3,可知a6c>0,故③正確；當(dāng)天=-1時，y=0,

結(jié)合b=-2a可判斷④正確；求出原二次函數(shù)的表達(dá)式產(chǎn)V-2x-3,即可判斷函數(shù)頂點的坐標(biāo)，可以得到

將圖象向上平移1個單位后，函數(shù)頂點的坐標(biāo)為(1,5),繼而得出直線y=5與平移后的函數(shù)圖象有3個交點，

故⑤正確.

【詳解】解：???圖象經(jīng)過(T，。)，(3,0),

一1+3

.?拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x==1,

._±=1

2a，

/.b=-2a,即2a+b=0,故①正確；

?>0,

?二拋物線y=女2+"+<:與y軸交點在x軸下方，

/.c=-3<0,故②錯誤；

?>0,

:.b=—2a<0,

/.abc>0,故③正確；

團(tuán)(-1,0),

06Z-Z?+C=O,

0Z?=—2a，

團(tuán)，+2a+c=0,

即3a+c=0,故④正確；

2

回將點(一1，。)和(3，。)代入y=ax+bx-3f

fa—b—3=0[a=l

回Q「入a八，解得〃<

[9Q+3Z?—3=0[b=-2

國二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2—2x—3,

回當(dāng)x=l時，y=l-2-3=-4,

回圖象上當(dāng)-l<x<3時，函數(shù)頂點的坐標(biāo)為。,4),

團(tuán)將圖象向上平移1個單位后，函數(shù)頂點的坐標(biāo)為(L5),如圖所示:

故⑤正確；

綜上：正確的有①③④⑤，

故答案為：①③④⑤.

【變式訓(xùn)練11將拋物線y=2(尤+2)2-5向左平移3個單位長度后，再沿x軸翻折，則變換后所得拋物

線的頂點坐標(biāo)為.

【答案】(-5,5)

【分析】利用頂點式解析式寫出平移后拋物線的解析式，最后寫出關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式即可得出

答案.

【詳解】解：回拋物線y=2(尤+2)2-5向左平移3個單位的頂點坐標(biāo)為(-5,-5),

團(tuán)得到新的圖象的解析式y(tǒng)=2(x+5)2-5,

回將圖象沿著無軸翻折，則翻折后的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-2(x+5)2+5.

回變換后頂點的坐標(biāo)為(-5,5).

故答案為：(-5,5).

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，拋物線平移問題，實際上就是兩條拋物線頂點之間的問題，

找到了頂點的變化就知道了拋物線的變化.

【變式訓(xùn)練2】.如圖，將二次函數(shù)廣-(x-2)2+4(X")的圖象沿直線x=4翻折，翻折前后的圖象組成一個

新圖象若直線y=6和圖象M有四個交點，結(jié)合圖象可知，b的取值范圍是.

【答案】0<b<4.

【分析】利用折疊的性質(zhì)確定翻折所得拋物線解析式為y=-(x-6)2+4(x>4),再求出拋物線y=-(x-2)2+4

與x軸的交點坐標(biāo)為(0,0),(4,0)和拋物線y=-(x-2)2+4與x軸的交點坐標(biāo)為(8,0),(4,0),從而

利用函數(shù)圖象得到當(dāng)0<b<4時，直線y=b和圖象M有四個交點.

【詳解】解:二次函數(shù)y=-(x-2)2+4(x<4)的圖象沿直線x=4翻折所得拋物線解析式為y=-(x-6)2+4(x>4)

當(dāng)y=0時,y=-(x-2)2+4=0,解得xi=0,X2=4,則拋物線y=-(x-2)2+4與x軸的交點坐標(biāo)為(0,0),(4,

0),

拋物線y=-(x-2)2+4與x軸的交點坐標(biāo)為(8,0),(4,0),

所以當(dāng)0<b<4時，直線y=b和圖象M有四個交點.

故答案是：0<b<4.

【點睛】考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋

物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析

式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式.

【變式訓(xùn)練3】.已知拋物線C0:y=-x2+2x+l.

(1)將C。向右平移3個單位長度，向下平移2個單位長度得到函數(shù)的解析式為.

(2)將C。沿x軸翻折得到函數(shù)C2的解析式為.

(3)將C。沿y軸翻折得到函數(shù)G的解析式為.

【答案】y=-(x-4)2y=(尤一1『_2y(尤+1J+2

【分析】先將拋物線解析式化為頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象平移規(guī)律(左加右減，上加下減)與翻折的

規(guī)律(沿X軸翻折，無不變y變?yōu)橄喾磾?shù)，沿y軸翻折，y不變，x變?yōu)橄喾磾?shù))分別求解(1)(2)(3)即

可.

【詳解】解y=-%2+2x+l=—(*-1)一+2,

(1)將C。向右平移3個單位長度，向下平移2個單位長度得到函數(shù)的解析式為y=-(x_l—3)2+2-2,

即>=-(尤-4)2，

故答案為：y=-(x-4)-；

(2)將c°沿X軸翻折得到函數(shù)G的解析式為一y=-(X-1)2+2,

即y=（x-1）?—2,

故答案為：y=（x-l）2-2；

（3）將Co沿y軸翻折得到函數(shù)的解析式為y=-（-X-1）2+2,

即y=-（％+1）2+2,

故答案為：y=-（＜x+lf+2.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移與翻折規(guī)律，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移與翻折規(guī)律是解題的

關(guān)鍵.

類型五、沿y軸翻折

二次函數(shù)的翻轉(zhuǎn)問題的解題思路：

①根據(jù)二次函數(shù)上特殊點的坐標(biāo)值求得二次函數(shù)的表達(dá)式；

②根據(jù)翻轉(zhuǎn)后拋物線與原拋物線的圖像關(guān)系，確定新拋物線的表達(dá)式；

③在直角坐標(biāo)系中畫出原拋物線及翻轉(zhuǎn)后拋物線的簡易圖，根據(jù)圖像來判斷題目中需要求解的量的各種可

能性；

④根據(jù)圖像及相關(guān)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計算，求得題目中需要求解的值。

例.將拋物線丫=*2-6*+7沿丫軸翻折，所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式是（"""F

A.y=-x2+6x-l1B.y=x2+6x+7

C.y=-x2+6x+7D.y=x2-6x+ll

【答案】B

【分析】先把y=N-6x+7配成頂點式得到拋物線的頂點坐標(biāo)為（3,-2）,再利用關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)

特征得到點（3,-2）關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為（-3,-2）,然后利用頂點式寫出變換后的拋物線解析

式.

【詳解】四=》-6x+7=（x-3）2-2,回拋物線的頂點坐標(biāo)為（3,-2）.

回點（3,-2）關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為（-3,-2）,回拋物線y=N-6尤+7沿y軸翻折，所得拋物線的函

數(shù)表達(dá)式是y=（x+3）2-2,即y=N+6x+7.

故選B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線翻折后的形狀不變，故⑷不變，所以求翻折后

的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意三點翻折后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出

解析式；二是考慮翻折后的頂點坐標(biāo)和。的正負(fù)，即可求出解析式.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

【變式訓(xùn)練1】.關(guān)于下列二次函數(shù)圖象之間的變換，敘述錯誤的是()

A.將y=-2x2+1的圖象向下平移3個單位得到y(tǒng)=-2x2-2的圖象

B.將y=-2(x-1)2的圖象向左平移3個單位得到y(tǒng)=-2(x+2)2的圖象

C.將y=-2x2的圖象沿x軸翻折得到y(tǒng)=2x2的圖象

D.將y=-2(X-1)2+1的圖象沿y軸翻折得到y(tǒng)=-2(X+1)2-1的圖象

【答案】D

【分析】根據(jù)平移變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】A選項，將y=-2x2+1的圖象向下平移3個單位得到y(tǒng)=-2x2-2的圖象，故A選項不符合題意；

B選項，將y=-2(x-1)2的圖象向左平移3個單位得到y(tǒng)=-2(x+2)2的圖象，故B選項不符合題意；

C選項，將y=-2/的圖象沿x軸翻折得到＞=2x2的圖象，故C選項不符合題意；

D選項，將y=-2(x-1)2+1的圖象沿y軸翻折得到y(tǒng)=-2(x+1)2+1的圖象，故D選項符合題意.

故選D.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握平移變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀

與大小的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2】.已知拋物線的解析式為、=加+陵+。(分0),則下列說法中錯誤的是()

A.若將該拋物線沿y軸平移，則a,b的值不變B.若將該拋物線沿X軸平移，貝陷的值不變

C.若將該拋物線沿y軸翻折，則ac的值不變D.若將該拋物線沿X軸翻折，貝伊的值不變

【答案】D

【分析】利用拋物線的性質(zhì)和拋物線的平移規(guī)律和翻折變換各選項分析判斷，即可求解.

【詳解】A.若將該拋物線沿，軸平移，則拋物線的對稱軸不變，開口大小、開口方向不變，則a,6的值不

變，故該選項正確，符合題意；

B.若將該拋物線沿x軸平移，開口大小、開口方向不變，則。的值不變，故該選項正確，符合題意；

C.若將該拋物線沿V軸翻折，開口大小、開口方向不變，與y軸的交點不不變，則a，c的值不變，故該選

項正確，符合題意；

D.若將該拋物線沿?zé)o軸翻折，由于開口方向變化，對稱軸沒有變化，則6的值變?yōu)?從故該選項不正確，

不符合題意；

故選D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故”不變，所以求平移后的

拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解

析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

【變式訓(xùn)練3】.已知拋物線的解析式為y=ax2+6x+c(aw0),則下列說法中正確的是()

A.將圖象沿y軸平移，則a,b的值不變B.將圖象沿x軸平移，則。的值不變

C.將圖象沿y軸翻折，則a,c的值不變D.將圖象沿x軸翻折，則b的值不變

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律分別判斷A,B,根據(jù)翻折前后的開口方向，對稱軸以及與y軸交點

情況判斷C,D.

【詳解】解：A、若將圖象沿y軸平移機(jī)個單位，

則y=ax2+bx+c+m,

加值不變，6值不變，故正確，不符合題意；

B、若將圖象沿?zé)o軸平移m個單位，

貝I]y—a(x±m(xù))2+b(^x±m(xù))+c-ax2+(b+2atn)x+am1+bm+c,

初值不變，6值變化；故不符合題意；

C、若將圖象沿y軸翻折，

則開口方向不變，對稱軸變化，與y軸交點不變，

加值不變，。值變化，c值不變，故正確，不符合題意；

D、若將圖象沿x軸翻折，

則開口方向變化，對稱軸不變，與y軸交點變化，

加值變化，6值變化，c值變化，故符合題意；

故選D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與幾何變換，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，平移規(guī)律，以

及翻折前后各部分的變化情況.

類型六、旋轉(zhuǎn)

0

變換前變換方式變換后口訣

繞頂點旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號，h、k均不變

y=a(x-h)2+k

繞原點旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號

例.將拋物線y=Y-2x+3繞頂點旋轉(zhuǎn)180。后的圖象的解析式為.

【答案1y=—x2+2x+l

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，先將函數(shù)解析式整理成頂點式形式并求出頂點坐標(biāo)，再根

據(jù)繞頂點旋轉(zhuǎn)180。后的圖象與原圖象開口相反，利用頂點式解析式寫出即可.

【詳解】解：■-y=x2-2x+3,

—x~—2x+1+2,

=(x-1)a+2,

拋物線y=Y-2x+3的頂點坐標(biāo)為(1,2),

；?拋物線y=x2-2x+3繞頂點旋轉(zhuǎn)180。后的圖象的解析式為y=-(x-1了+2=-/+2x+1,

即y=-x2+2x+l.

故答案為：y=-x2+2x+l.

【變式訓(xùn)練拋物線產(chǎn)2/-4廠5的圖象先向左平移3個單位，再向上平移4個單位，再把拋物線繞頂點

旋轉(zhuǎn)180。，得到的新圖象的解析式為.

【答案】尸2(尤+2%3

【分析】易得拋物線y=2d-4廠5的頂點坐標(biāo)，進(jìn)而可得到平移后的新坐標(biāo)，也就得到了平移后的拋物線的

解析式，繞拋物線頂點旋轉(zhuǎn)180。得到新拋物線的解析式的二次項系數(shù)互為相反數(shù)，頂點坐標(biāo)不變，即可解

答.

【詳解】解：y=2/-4x-5=2(x-1)2-7

所以原拋物線的頂點為(1,-7),向左平移3個單位，再向上平移4個單位，那么新拋物線的頂點為(-2,-3)；

可設(shè)新拋物線的解析式為y=2(x")2+左，

代入得：y=2(x+2)2-3,

把拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°,

可得新拋物線的解析式的二次項的系數(shù)為-2,頂點不變，

所以，所求的拋物線解析式為：y=-2(尤+2)2-3,

故答案為：產(chǎn)-2(尤+2)2-3.

【變式訓(xùn)練2].如圖，在平面直角坐標(biāo)系。中，拋物線>=-撲-4)~+2可以看作是拋物線>=/+2經(jīng)

過若干次圖形的變化(平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn))得到的，寫出一種由拋物線y=g尤2+2得到拋物線

1

>=_5(無一4)9-+2的過程：.

110

【答案】拋物線y=$2+2先向右平移4個單位，再關(guān)于直線＞=2軸對稱得到拋物線y=4(x-4)2+2.

111

【分析】由拋物線y=嚴(yán)+2向右平移4個單位后得到拋物線y=為尤-4)29+2后，此時正好與y=-1x2+2

關(guān)于直線y=2對稱，即可得到答案.

【詳解】解：回拋物線＞=萬/+2向右平移4個單位后得到拋物線＞=5(尤-4『+2后，正好與y=一;一+2

關(guān)于直線y=2對稱，

191

回拋物線＞=-](x-4)-+2可以看做是拋物線y=]/+2先向右平移4個單位,再關(guān)于直線y=2軸對稱得到

的，

110

故答案為:拋物線y=1%2+2先向右平移4個單位,再關(guān)于直線y=2軸對稱得到拋物線J=-1(X-4)2+2.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，軸對稱變化，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.

【變式訓(xùn)練3].如圖，一段拋物線：y=-x(x-3)(0<r<3),記為Ci,它與x軸交于點O,Ai；將J繞點

4旋轉(zhuǎn)180。得C2,交x軸于點4;將C2繞點4旋轉(zhuǎn)180。得C3,交無軸于點4;......如此進(jìn)行下去，直至

得C2019.若尸(加，2)在第2019段拋物線C2019上，則機(jī)=.

【答案】6055或6056

【分析】根據(jù)圖象的旋轉(zhuǎn)變化規(guī)律以及二次函數(shù)的平移規(guī)律得出平移后解析式，進(jìn)而求出m的值.

【詳解】Ey=-x(x-3)(0<x<3),

團(tuán)圖象與x軸交點坐標(biāo)為：(0,0),(3,0),

0OAi=3,

團(tuán)將Ci繞點Ai旋轉(zhuǎn)180。得C2,交x軸于點A2；

團(tuán)OA2=2X3=6,

同理可得OA3=3X3=9,

0OA2oi9=2O19x3=6O57,

團(tuán)第2019段拋物線C2019可看作第1段拋物線y=-x2+3x(0<x<3)向右平移(6057-3)個單位，

當(dāng)y=2時，-x?+3x=2,解得xi=l,X2=2,

回點(1,2)和點(2,2)向右平移6054個單位所得對應(yīng)點的坐標(biāo)為(6055,2),(6056,2),

Em的值為6055或6056.

故答案為：6055或6056.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋

物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析

式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式.也考查了從特殊到一般解決規(guī)律型問題的方法.

X壓軸能力測評”

1.將拋物線y=x?向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，所得拋物線的表達(dá)式為()

A.y=(%+2)+3B.y=(%+2)—3

C.y=(x—2)2+3D.y=(x-2)2—3

【答案】A

【詳解】本題考查了拋物線圖像的平移，熟練掌握拋物線圖像的平移方法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)拋物線平移

的方法：自變量加減左右移，函數(shù)值加減上下移，即可得到平移后的表達(dá)式.先確定拋物線y=f的頂點坐

標(biāo)為(0,0)，再根據(jù)點平移的規(guī)律得到平移后對應(yīng)點的坐標(biāo)為(-2,-3),然后根據(jù)頂點式寫出平移后的拋物

線解析式.

【解答】解：拋物線>=/的頂點坐標(biāo)為(0,0),把點(0,0)向左平移2個單位，再向上平移3個單位長度所

得對應(yīng)點的坐標(biāo)為(-2,-3),

所以平移后的拋物線解析式為y=(尤+2)2+3.

故選：A.

2.將拋物線y=2(%+l)2-3向右平移2個單位，再向上平移1個單位所得到的拋物線解析式為()

A.y=2(x+4)2-4B.y=2(x+4)2-2

C.y=2(x-l)2-2D.y=2(x-l)2-4

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象的平移與幾何變換，熟練掌握并利用拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，

上加下減進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)"上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：由"左加右減"的原則可知，將拋物線y=2(%+1)2-3向右平移2個單位所得拋物線的解析式為：

y=2(x+l-2)2-3.

由"上加下減”的原則可知，將拋物線y=2(尤+1-2)2-3向上平移1個單位所得拋物線的解析式為：

y=2(x+l-2)2-3+l,5Py=2(x-l)2-2.

故選：C.

3.函數(shù)y=+6x+c|(。AO,//2_4a>0)的圖象是由函數(shù)y