專題14四類母子型相似

目錄

解題知識(shí)必備.......................................

壓軸題型講練.......................................

類型一、“母子”模型（斜射影模型）..........................

類型二、雙垂直模型（射影模型）..............................

類型三、“母子”模型（變形）.................................

類型四、共邊模型.............................................

壓軸能力測(cè)評(píng)（10題）...............................

“解題知識(shí)必備??

母子相似證明題一般思路方法：

①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；

②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；

③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；

④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。

【模型解讀與圖示】"母子"模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形

寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角"，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成

比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似.

圖1圖2圖3

1）“母子"模型（斜射影模型）

條件：如圖1,NC=N/6。；結(jié)論：2仔=/1。/6：

2）雙垂直模型（射影模型）

條件:如圖2,NZ%=90。，CDVAB;

結(jié)論：“ACDsAABJCBD;C42=AD-AB,BO=BDBA,CU=DA-DB.

3）“母子"模型（變形）

條件:如圖3,NO=NC4￡,結(jié)論：;

4）共邊模型

條件:如圖1,在四邊形ABC。中，對(duì)角線3。平分/ABC,ZADB=ZDCB,結(jié)論：BD2=BABC；

X壓軸題型講練2

類型一、，，母子，，模型（斜射影模型）

例.定義：如圖，若點(diǎn)尸在三角形的一條邊上，且滿足N1=N2,則稱點(diǎn)尸為這個(gè)三角形的"理想點(diǎn)".

圖①圖②

（1）如圖①，若點(diǎn)D是VABC的邊的中點(diǎn)，AC=2近，AB=4,試判斷點(diǎn)。是不是VA3C的"理想點(diǎn)",

并說明理由；

（2）如圖②，在咫AABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,若點(diǎn)。是VABC的"理想點(diǎn)”，求CD的長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練1】.如圖，A5=16cm,AC=12cm,動(dòng)點(diǎn)尸，。分別以每秒2cm和1cm的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，

其中點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC邊一直移到點(diǎn)C為止，點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)沿胡邊一直運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A為止（點(diǎn)尸到

達(dá)點(diǎn)C后，點(diǎn)。繼續(xù)運(yùn)動(dòng)）

A

⑴請(qǐng)直接用含f的代數(shù)式表示AP的長(zhǎng)和AQ的長(zhǎng)，并寫出。的取值范圍;

⑵當(dāng)t等于何值時(shí)，AAPQ與AASC相似？

【變式訓(xùn)練2】.【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,在0ABe中，。為A8上一點(diǎn)，0AC￡）=0B.求證：AC2=AD-AB.

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,在口A8C。中，E為BC上一點(diǎn)，/為CZ）延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，0BFE=EA.若BF=4,

BE=3,求的長(zhǎng).

AZ?An

【變式訓(xùn)練3】.如圖，在AABC中，。是BC上的點(diǎn)，E是4D上一點(diǎn)，且丁=—,SBAD^ECA.

ACCE

CF

⑵若加是△極的中線,求左的直

類型二、雙垂直模型（射影模型）

AnAr

例.如圖，在RffilABC中，0ACB=9O。，點(diǎn)。在4B上，且——=——.

ACAB

(1)求證SACDSiSABC；

(2)若AZ)=3,BD=2,求CD的長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練1】.在RZ0ABe中，0AC8=9O。，點(diǎn)。為A8上一點(diǎn).

(1)如圖1,若COMB,求證：AC2^ADAB-,

FH4AD

(2)如圖2,若AC=8C,E而CD交CD于H,交AC于/，且——=-,求一的值;

HE9BD

(3)如圖3,若AC=BC,點(diǎn)H在CD上，0AHO=45。，CH=3DH,貝!|tanEIACH的值為

【變式訓(xùn)練2].如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD,AD上，3E_LCF于點(diǎn)G,若BC=4,AF=1,則

CE的長(zhǎng)為（）

Q4

【變式訓(xùn)練31.如圖，在RZIMBC中，媯C8=90。，COM3于點(diǎn)D,已知,那么BC=

類型三、，，母子，，模型（變形）

例.如圖，點(diǎn)尸是44BC的邊AB上的一點(diǎn)，若添加一個(gè)條件，使448C與ACBP相似，則下列所添加的條件

錯(cuò)誤的是（）

A.ZBPC=ZACBB.ZA=ZBCPC.AB:BC=BC:PBD.AC:CP=AB:BC

【變式訓(xùn)練1].如圖l,在四邊形ABDE中，ZABC=/BDE,點(diǎn)C在邊BD上,且AC〃DE,AB//CE,

點(diǎn)P在邊AC上，且AF=CE,連接防，小，DF交CE于點(diǎn)、G.

圖3

(1)求證：BF=DF；

(2)如圖2,若ZACE=NCDF,求證：CECF=BFDG；

（3）如圖3,若延長(zhǎng)仍恰好經(jīng)過點(diǎn)E,求籌的值?

4

【變式訓(xùn)練21.如圖LZC=90,8C=6,tanB=,點(diǎn)/從點(diǎn)3出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)

動(dòng)，點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).

圖1圖2

(1)求4B的長(zhǎng).

⑵當(dāng)以點(diǎn)M、C、N為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似時(shí)，求力的值.

(3)如圖2,將本題改為點(diǎn)M從點(diǎn)8出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在54上向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)A出

發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，其它條件不變，求當(dāng)t為何值時(shí)，附為等腰三角形.

【變式訓(xùn)練3].如圖，直線A8經(jīng)過回。上的點(diǎn)C,并且。4=。8,CA=CB,直線08交回。于點(diǎn)E、D,連

接EC、CD.

(1)試判斷直線A8與回。的位置關(guān)系，并加以證明;

(2)求證：BC2=BDBE-,

(3)若tanE=!，團(tuán)。的半徑為3,求OA的長(zhǎng).

2

類型四、共邊模型

例.如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊存在2倍關(guān)系，則稱這兩個(gè)相似三角形互為母子三角形.

AA

DF

(1)如果血F與V互為母子三角形，則行的值可能為()

1一1

A.2B.—C.2或一

22

(2)已知：如圖1,VABC中，AD是NA4c的角平分線，AB=2AD,ZADE=NB.

求證：△ABD與V"見互為母子三角形.

(3)如圖2,VABC中，AD是中線，過射線C4上點(diǎn)E作EG//BC,交射線D4于點(diǎn)G,連結(jié)8E,射線BE

與射線ZM交于點(diǎn)尸，若AAGE與△ADC互為母子三角形.求黑的值.

Gr

【變式訓(xùn)練1].如圖，PA,尸3為。。的兩條切線，A,B為切點(diǎn)，B。的延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)。，交叢的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,連接OP,AD.

(1)求證：AD//OP；

(2)若AP=2AC,求tan/OPB的值.

【變式訓(xùn)練2].如圖，A3是0。的直徑，AD,8。是0。的弦，2c是0。的切線，切點(diǎn)為8,OC//AD,

BA.CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.

(1)求證：CO是。。的切線；

(2)若。。的半徑為4,ED=3AE,求AE的長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練3】.如圖，VABC中，=點(diǎn)。、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，A/XBE與點(diǎn)尸.

(1)求證：AE2=FEBE;

(2)求NABC的大??；

(3)若￡>尸=1,求ZVU印的面積.

”壓軸能力測(cè)評(píng)“

1.如圖，中，ZC=90°,AB=15,BC=9,點(diǎn)尸，。分別在BC,AC上，CP=3x,

CQ=4x(0<x<3).把△PCQ繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)，得到△FOE,點(diǎn)。落在線段尸。上.若點(diǎn)。在-54C的平分線

上，則CP的長(zhǎng)為()

C.6D.6.5

2.如圖，正方形ABCD中，回ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針轉(zhuǎn)到△ABC,AB,AC分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)E,F,若

AE=4,則.石D的值為（）

A.8B.12C.16D.20

3.如圖，菱形ABC。和菱形石CGb的邊長(zhǎng)分別為4G和26，助=120。，則圖中陰影部分的面積是（）

A.3B.2途C.4D.373

4.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,BE平分NDBC交DC于E,b是5c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF=CE,BE

延長(zhǎng)線交。P于G,則5G-EG的值是.

5.如圖，V"C中，點(diǎn)。在A3上，/B=2/BCD,若BD=2,BC=5,則線段CD的長(zhǎng)為

6.如圖，在VABC中，點(diǎn)。在上，請(qǐng)?jiān)偬硪粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使△ADCS^ACB,那么可添加的條件

是.

若AC=B，AD=1,則D3的長(zhǎng)為.