旋轉(zhuǎn)中的幾何綜合(壓軸題專項講練)

?典例分析

【典例1］旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對集中，以達到解決問題

的目的.

(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在等邊三角形A8C內(nèi)部有一點P,PA=2,PB=V3,PC=1,求NBPC的度

數(shù).愛動腦筋的小明發(fā)現(xiàn)：將線段BP繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BP：連接4P\PP',貝三/kBP

A,然后利用△BPP和△4PP形狀的特殊性求出NBP71的度數(shù)，就可以解決這道問題.

下面是小明的部分解答過程：

解：將線段BP繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段.BP1,連接力P、PP',

■：BP=BP',AP'BP=60°,

...△PBP，是等邊三角形，

二乙BP'P=60°,PP'=PB=后

???△ABC是等邊三角形，

:./-ABC=60°,BC=BA,

.-.AABC-4ABp=AP,BP-乙ABP,

即NPBC=^P'BA.

請你補全余下的解答過程.

(2)【類比遷移】如圖②，在正方形ABC。內(nèi)有一點P,且P2=V17,PB=25PC=1,則MPC=

度.

(3)【拓展延伸】如圖③，在正方形4BCD中，對角線AC、BD交于點。，在直線4D上方有一點P,

PA=4,PD=2,連接PO,則線段P。的最大值為.

【思路點撥】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)變換把將分散的條件相對

集中到一個三角形中解決問題.

(1)將線段BP繞點2逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BP，，證明aPBC三AP'BA,再證明△4P，P是直角三角形；

(2)將線段8P繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段8P,證明△PBC三△P84,再證明△4P7是直角三角形；

(3)將線段。P繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。P，，證明△P04三△P，OD,在△「￡＞「'由三角形三邊關(guān)系求

出PP的最大值，從而求得OP的最大值.

【解題過程】

(1)解：將線段BP繞點2逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BPQ連接PP',

■:BP=BP',^P'BP=60°,

是等邊三角形，

:.ABP'P=60°,PP'=PB=P'B=V3.

???△ABC是等邊三角形，

.-./.ABC=60°,BC=BA,

??/ABC-AABP=^P'BP-^ABP,

即NP8C=^P'BA.

PBC三△P'BA

PC=4P，=1

在△2PP，中，

2

AP'2+PP'2=l2+(V3)=22=AP2

???乙4Pp=90°

^AP'B=乙BPI+Z.AP'P=60°+90°=150°

???乙BPC=/LBP'A=150°.

(2)解：將線段BP繞點5逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BP，，連接AP\PP',

D

叫、

BC

■■BP=BP',AP'BP=90°,

?.?四邊形4BCD是矩形,

.-.Z.ABC=90°,BC=BA,

.-.AABC-4ABp=乙P'BP-"BP,

即NPBC=^P'BA.

.?.APBC=△P'BA

：.PC=AP'=1

在△力PP，中，

2

4P，2+PP'2=/+42=(g)=AP2

：.^AP'P=90°

^.AP'B=Z-BP'P+AAP'P=45°+90°=135°

??"PC=^BP'A=135°.

故答案為：135°.

(3)解：將線段OP繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段OP,連接DP'、PP'.

■：OP=OP',NP'OP=90°,

...△POP，是等腰直角三角形，

;/BP'P=45°,PP'=V2P5=4.

???四邊形力BCD是正方形,

：./.AOD=90°,OA=OD,

：.Z.AOD-乙POD="OD-乙POD,

即4「OA=Z,P'OD.

??.△POA=△P'OD

PA=P'D=4

在中，PPYPD+P，D=6

當點。在PP，時，PP'=PD+P/D=4+2=6

???P'P<6

???PP的最大值為6

在Rt^POP，中，OP=OP'

.-.OP2+OP'2=20P2=PP'2

???OP=當PP'w￥x6=3V2.

???0P的最大值為3也

?學(xué)霸必刷

1.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)如圖1,△力BC與△EBD均為等邊三角形，將aEBD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn),

旋轉(zhuǎn)角為a(其中(T<a<180。)，連接CD,M是2E的中點，BC^^BD.

(1)求證：AE=CD；

(2)如圖2,連接DM,當ED的延長線經(jīng)過點C時，請判斷四邊形MEBD的形狀，并說明理由；

(3)如圖3,連接CM,若BD=2,在△E8D繞點B旋轉(zhuǎn)的過程中，求CM的最大值.

【思路點撥】

本題考查幾何變換綜合題、等邊三角形性質(zhì)、菱形的判定等知識點，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線.

(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得力B=BC,BE=BD,乙ABE=XBD,證明△4BE和△ABD全等,

即可得證；

(2)過點B作BNJ.DE,利用30。直角三角形求出EN,8N的長，由勾股定理可求4E=CD=28E,可得

EM=BD,再利用同旁內(nèi)角互補證明EM||BD,即可得證；

(3)取48中點F,連接FM,FC,利用三角形三邊關(guān)系即可求解.

【解題過程】

(1)解：???△ABC與△EBD為等邊三角形，

???AB=BC,BE=BD,

???△EBD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)a,

Z.ABE=Z.CBD,

(AB=BC

在△4BE和△4BD中，］/-ABE=/.CBD

IBE=BD

???AABE=AABD,

???AE=CD；

(2)四邊形MEBD為菱形，理由如下:

過點8作BN，DE,垂足為N,

△EBD為等邊三角形，

???ABED=60°,BD=BE=ED,

■■BNIDE,

EN=迪邱

ED的延長線經(jīng)過點C,BC=^BD,

由勾股定理得，NC=|BE,

???EC=EN+NC=(BE+|BE=3BE,

■■■DC=EC-ED=2BE,

由(1)得，AE=CD=2BE,

???M是4E的中點，

???EM=^AE=BE,

?:乙EDB=60°,

???乙BDC=120°,

???乙BEA=LBDC=120°,

???乙BEA+Z.EBD=120°+60°=180°,

??.EM||BD,

BE=BD=EM,

四邊形MEBD為菱形；

(3)取AB中點F,連接FM,FC,

???△ABC為等邊三角形，F(xiàn)為4B中點，

FC=爭C,

■：BC=由BD,BD=2,

FC=V2T,

M為AE中點，尸為48中點，

MF為△4BE的中位線，

MF=^BE=|fi￡）=1,

在△MFC中，MC<FM+FC

MC最大為&T+1.

2.（23-24九年級上?重慶江津?階段練習(xí)）如圖，在△力BC中，ABAC=90°,AB=AC=242,AD1BC于

點D點G是射線上一點，過G作GE1GF分別交/2、NC于點E、F：

A

①②③

(1)如圖①所示，若點￡,尸分別在線段AC±,當點G與點。重合時，求證：AE+AF=^2AD,

(2)如圖②所示，當點G在線段外，且點E與點8重合時，猜想/E,/尸與NG之間存在的數(shù)量關(guān)系

并說明理由；

(3)當點G在線段4D上時，請直接寫出力G+BG+CG的最小值.

參考公式：(V^+=a+6+

【思路點撥】

(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可求證；

(2)過點G作HG上月G交4B延長線于點由等腰直角三角形可得ND4B=^DAC=45°,AG=HG,由“ASA

“可證aAGF三△HGE,可得4尸=BH,可得結(jié)論；

(3)將A48G繞點4順時針旋轉(zhuǎn)60。得到9G,連接GG\B'C,過點夕作夕NL4C,交G4的延長線于點N,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得4G+BG+CG=GG，+BY?+CG,則當點/，點G,點G,點C共線時，4G+BG+CG的

值最小，最小值為BC的長，由30。角所對直角邊是斜邊一半和勾股定理可求解.

【解題過程】

(1)解：由題：在△4BC中，^BAC=90°,AB=AC=6,AD1BC于點D,GE1GF,

則。也是BC上的中點，即4。是BC的垂直平分線，

Z.EAD=NC=45°,AD=CD,4ADE=4CDF,

4DE三△WQ4S4),

：.AE=CF,

??.AE+AF=AC,

AE+AF=.

(2)AE+AF=^2AG,理由如下：

如圖1,過點G作HG1/G交/B延長線于點H,

A

V^LBAC=90°,AB=AC=6,AD1BC,

???^DAB=乙DAC=45°,

^AHG=Z.BAD=45°,

：.AG=HG,

???AH=yj2AG,

???AEGF=乙AGH=90°,

??.匕AGF=乙EGH,

又?:乙AHG=/-FAG=45°,

???△/GFw2\HGEQ4S4),

??.AF=BH,

??.AH=AE+BH=AE+AF=&AG.

(3)如圖2,將△ZBG繞點/順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ZBG,連接GC,

B'C,過點夕作夕N1/C,交。4的延長線于點N,

N

???/.BAB'=60°,^LGAG'=60°,BG=B'Gf,

???△/GO是等邊三角形，

AG-GG,

AG+BG+CG=GGf+BG'+CG,

二當點B，，點(7,點G,點C共線時，

4G+BG+CG的值最小，最小值為夕C的長，

vAB'AC=AB'AB+Z.BAC=600+90°=150°,

???^B'AN=30°,

???B'N=3,AN=>/3B'N=3板，

CN=6+3y/3)

B'C=J(6+3vI)?+9=3顯+3V2,

.?.4G+BG+CG的最小值為：3遙+3位.

3.(23-24九年級上?安徽阜陽?期中)如圖1,E,F分別是正方形4BCD的邊CD,BC上的動點,且滿足NE4F=45°,

試判斷線段BF,EF,ED之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

小聰同學(xué)的想法：將△D4E順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△B4H,然后通過證明三角形全等可得出結(jié)論.

圖1圖2

(1)線段BF,EF,ED之間的數(shù)量關(guān)系是.

(2)如圖2,在正方形4BCD中，^EAF=45°,連接BD,分別交力F,4E于點M,N,試判斷線段BM,

MN,ND之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【思路點撥】

本題考查了旋轉(zhuǎn)與三角形綜合，

(1)先證明雙B、尸三點共線，再證明△4FE三得到EF=FH,即可證明EF=BE+DF；

(2)如圖所示，將△2DE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△B4H,先求出乙48。=N4DB=45。，由旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)可知4N=AG,^ABG=^ADB=45°,/.GAE=90°,則NMBG=90。，證明△4GM三△ANM(SAS),得

到MN=GM,利用勾股定理即可證明MN?=BM2+DN2.

【解題過程】

(1)解：結(jié)論：EF=BE+DF

理由：???四邊形/BCD是正方形,

.-.^ABC=2LADC=乙BAD=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AH=AE,Z.ADE=AABH=90°,HB=DE,^EAH=90°,

=45°,

??ZFAH=45°,

：.^FAH=AEAF,

-/.ABF+乙ABH=90°+90°=180°,

???F、B、”三點共線，

又?.弘尸=AF,

△AFE=△4F”(SAS),

：,EF=FH,

-FH=BF+BH=BF+DE,

：.EF=BE+DF.

(2)結(jié)論：MN?=BM2+DN2,證明如下：

如圖所示，將△4DN繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△BAG.

-BA=AD,Z,BAD=90°,

：.Z.ABD=乙ADB=45°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AN=AG,^LABG=Z.ADB=45°,々ME=90。,

???乙MBG=Z.ABG+乙ABD=90°,

-Z-EAF=45°,

.'./-GAM=Z-BAG+/.BAM=90°一^LEAF=45°,

...4M4G=乙MAN,

'：AM=AM,

△4GM三△ANM(SAS),

.-.MN=GM,

■.■AMBG=90°,

：.BM2+BG2=GM2,

:.MN2=BM2+DN2.

4.(23-24九年級上?貴州遵義?期中)數(shù)學(xué)綜合實踐課上，同學(xué)們以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展如下

探究活動：

ER-------7DAA

BCD

圖1圖2

(1)【操作探究】如圖1,△ABC為等邊三角形，將△ABC繞點4旋轉(zhuǎn)180。，得到△4DE,連接BE,F

是BE的中點，連接AF.

①寫出圖1中一個等于90。的角」

②圖1中4F與DE的數(shù)量關(guān)系是

(2)【遷移探究】如圖2,將(1)中的等邊△ABC繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)30。，得到△ADE,其他條件不

變.探究2尸與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3,在4ABC中,ABAC=90°,AB=AC,BC=2^2,將△ABC繞點4旋轉(zhuǎn)，得

至【「△aDE,連接BE,尸是BE的中點，連接力F.在旋轉(zhuǎn)過程中，當NEBC=15。時，直接寫出線段4F的長.

【思路點撥】

(1)①根據(jù)△ABC為等邊三角形，將△力BC繞點”旋轉(zhuǎn)180。，得到△4DE,可得AB=AC=4。=4E,

又尸為BE中點，故NAFE=4AFB=90°,AF||DE||BC,可知=90°=乙EBC；

②由2F是△BDE的中位線，可得AF=?)E；

(2)由等邊△ABC繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)30。,得到△4DE,可得NB4C=60°,ACAE=30°,AB=AC=AE=DE,

即得48aE=NBaC+NC4E=90。，而尸為BE中點，AB=AE,^AFIBC,故△ABF是等腰直角三角形,

AB=>/2AF,從而DE=五AF；

(3)分兩種情況：當BE在下方時，求出/4BF=N48C+NCBE=60。，AB=*=2,可得BF

AB=1,故4F=7AB2_BF2=722_12=瓜當BE在BC上方時，

/.ABF=^ABC-AEBC=45°-15°=30°,/.AFB=90°,有力F=X2=1.

【解題過程】

(1)解：①???△4BC為等邊三角形，將△48C繞點4旋轉(zhuǎn)180。，得到△4DE,

.-.AB=AC=AD=AE,

■■F為BE中點,

.-.AAFE=AAFB=90°,49是△BDE的中位線，也是△BCE的中位線，

：.AF||DE||BC,

:.Z.BED=90°=乙EBC；

故答案為：N4FE或NAFB或NBED或NEBC(寫出一個即可)；

②由①知，AF是△BDE的中位線，

：.AF=|Z)E；

故答案為：4尸=扣房

(2)DE=V2XF,理由如下：

如圖：

?.?等邊△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30。，得到△ADE,

：.^BAC=60°,/.CAE=30°,AB=AC=AE=DE,

：.Z.BAE=LBAC+/.CAE=90°,

：.^ABE=乙AEB=45°,

?.F為BE中點,AB=AE,

：.AF1BCf

.?.△ABF是等腰直角三角形,

.t.AB=V224F,

：.DE=V2i4F；

(3)當BE在BC下方時，如圖:

A

-ABAC=90%AB=AC,

???△/BC是等腰直角三角形，

"ABC=45°,

：.Z-ABF=/-ABC+乙CBE=60°,

-：AB=AC=AE,F為BE中點,

.-.2LAFB=90°,

??ZBAF=30°,

'：BC=2V2,

BC

：-AB==2,

V2

:.BF==1,

：.AF=7AB2-BF2=722—一=V3；

當BE在BC上方時，如圖：

D

■：^ABF=乙ABC-乙EBC=45°-15°=30°,4AFB=90°,

：.AF==gx2=1；

綜上所述，4F的長為VI或1.

5.(23-24九年級上?山東日照?期末)如圖1,在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=BC=2,D,￡分別為4C,BC

的中點，將繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△COE，（如圖2）,使直線。廳恰好過點8,連接40.

(1)判斷2。與的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)求BE，的長;

(3)若將△CDE繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，當直線DE過RtZXABC的一個頂點時，請直接寫出BE，長的

其它所有值.

【思路點撥】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的不變性證明△CO4三△0￡方,再由對應(yīng)角相等及鄰補角即可得證；

(2)設(shè)4。=8斤=居在RtZkAOB中，由勾股定理得：x2+(V2+x)2=(2V2)2,解方程即可；

(3)分類討論，分第一次經(jīng)過點8,經(jīng)過點/,再次經(jīng)過點8討論，根據(jù)變化中的不變性，不變的是基本

圖形關(guān)系即△CD71三以及位置關(guān)系，始終有垂直，繼而設(shè)=運用勾股定理列方程求

解即可.

【解題過程】

(1)解：4。與的位置關(guān)系為4O1BZZ.

■■-AC=BC,D,E分別為4GBe的中點，

：.CD=CE,即C。=CE',

???ZC=90°,即NBC4=力CE'=90°,

.-.Z.ACD'=Z.BCE',

△CD'A^△CE'B,

r

;/CE，B=Z-CDAf

vzC=90°,CD'=CE',AC=BC,

"CDE=MED=4CAB=^CBA=45°,

：,^CE'B=Z.CDrA=135°,

：./.AD'B=135°-45°=90°,

即：AD'LBD'.

(2)解：RtAACB^,AC=BC=2,

-'-BA=7AC2+BC2=2V2,同理可求。舊=V2,

???△CD'A=△CE'B,

：.AD'=BE'f

設(shè)40'=BE1=%,

22

在Rt△力ZTB中，由勾股定理得：x2+(V2+%)=(2V2),

解得：丐返(舍負)，

:.BE'=

2

(3)解：①經(jīng)過點2時，題(2)已求BE，=當返；

②經(jīng)過點/時，如圖所示，

同理可證：△CD'Z三△CE'B,

：.Z.D'AC=乙E，BC,BE'=AD'

vzl=z2,

：./-AE'B=Z-BCA=90°,

設(shè)BE'=AD'=x,

22

在Rt△4中，由勾股定理得：%2+(x-V2)=(2V2),

解得：X=書便(舍負)，

即：BE'=二+『

③再次經(jīng)過點3時，如下圖:

A

同理可證：ACD'AmACE'B,AD'1BE',

設(shè)BE'=AD'=x,

在RtaAirB中，由勾股定理得：%2+（x-V2）2=（2V2）\

解得：久=書叵（舍負），

即：BE'=立乎5；

綜上所述：8萬=退笄或BE，=月返.

6.（23-24八年級下?遼寧丹東?期中）（1）問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,等邊△ABC內(nèi)有一點P,若點P到頂點/,B,C的距離分別為3,4,5,求乙4PB的度數(shù).為了解

決本題，我們可以將繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。到△4CP，處，這樣就可以將三條線段P4PB,PC轉(zhuǎn)化到

一個三角形中，從而求出乙4PB的度數(shù).請按此方法求乙4PB的度數(shù)，寫出求解過程；

（2）拓展研究：

請利用第（1）題解答的思想方法，解答下面的問題：

①如圖2,△ABC中，4B=aC/BAC=90。，點E,尸為BC邊上的點，且NE4F=45。，判斷BE,EF,CF之

間的數(shù)量關(guān)系并證明；

②如圖3,在△4BC中，NHBC=30。，AB=4,BC=6,在△ABC內(nèi)部有一點尸，連接P4PB,PC，直接寫

出P4+PB+PC的最小值.

【思路點撥】

(1)連接PP',根據(jù)題意得至＜P=4P=3/P4P，=60。,BP=CP'=4,AAPB=AAP'C,進而得到

△4PP”為等邊三角形，。。，=4。=3,乙4。？=60。，根據(jù)勾股定理逆定理證明^「2(是直角三角形，且

/.PP'C=90°,即可求出乙4PB=Z.AP'C=150°；

(2)①證明NB=NaCB=45。，將△B/lE繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△C4D,連接DF,得到

^.BAE=4DAC,^ACD=ZB=45°,AD=AE,BE=CD,進而得至〕Jz_DCE=90°,根據(jù)勾股定理得至！JDF2=c

F2+CD2=CF2+BE2,證明△AEF^△ADF,得至【JEF=DF,即可得至ijBE?+CF2=￡F2；

②將△4BP繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△4BP，，連接PP「A'C,即可得至1J乙4B4=APBP，=60。，A'

B=AB=4,BP=BP,A'P'=AP,從而得到△8PP為等邊三角形，N48c=90。，BP=PP',根據(jù)兩點

之間線段最短得到P4+PB+PC=4P+PP+CP24C,即可得到當且僅當4,P',P,C四點共線時，

PA+PB+PC的值最小為4c的長，根據(jù)勾股定理求出4c=24^,即可得到P4+PB+PC的最小值為2

V13.

【解題過程】

解：(1)連接PP',

?.?將△4PB繞頂點A逆時針PP嗾轉(zhuǎn)60。到△河0一

.-.AP=AP'=3/P4P'=60°,BP=CP'=4,乙4PB=^AP'C,

.?.△4PP”為等邊三角形，

：.PP'=AP=3,/.AP'P=60°,

...p，p2+p，c=32+42=25,PC2=52=25,

：.P'P2+P'C=PC2,

△PPC是直角三角形，且NPPC=90。，

.-.AAP:C=^AP'P+乙CP'P=150°,

.-./.APB=/.AP'C=150°；

(2)@BE2+CF2=EF2.

證明：-.-AB=AC,^BAC=90°,

：ZB=乙ACB=45°,

如圖，將△B2E繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△C4D,連接DF,

貝U：4BAE=ADAC,^ACD=NB=45°,AD=AE,BE=CD,

:ZDCE=乙4cB+Z.ACD=90°,

.-.DF2=CF2+CD2=CF2+BE2,

■：^EAF=45°,Z.EAD=90°,

.-.Z.DAF=Z.EAF=45°,

X--AE=AD,AF=AF,

■.AAEF^AADF,

：.EF=DF,

.-.BE2+CF2=EF2；

@PA+PB+PC的最小值為2位

如圖，將aaBP繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△4BP,連接PP-A,C,

貝ij：/.ABA'=^PBP'=60°,A'B=AB=4,BP=BP',A'P'=AP,

△BPP，為等邊三角形，^A'BC=^A'BA+^ABC=90°,

:.BP=PP',

：.PA+PB+PC=A'P'+PP'+CP>A'C,

???當且僅當4,P1,P,C四點共線時，PA+PB+PC的值最小為4c的長,

■：/.A'BC=90°,

■■A'C=7AB2+BC2=V42+62=2V13,

.?.P4+PB+PC的最小值為2瓜.

7.(24-25九年級上?福建福州?開學(xué)考試)如圖1,在?△4BC中,AA=90°,AB=AC,點0、E分別在邊

(1)觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是_，位置關(guān)系是_；

(2)探究證明：把△ADE繞點/逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN,BD,CE,判斷△0"那的形狀,

并說明理由；

(3)拓展延伸：把△力DE繞點N在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若4。=2,48=4,直接寫出△PMN面積的最大值.

【思路點撥】

(1)根據(jù)三角形中位線定理得PN||BD,PN=^BD,PM||CE,PM=次,從而得出PM=PN,

PM1PN；

(2)首先利用SAS證明△4BD三△4CE,得N4BD=N力CE,BD=CE,再由(1)同理說明結(jié)論成立；

(3)先判斷出MN最大時，△PMN的面積最大，進而求出4N,AM,即可得出MN最大=4M+AN,最后

用面積公式即可得出結(jié)論.

【解題過程】

(1)解：???點P,N是BC,CD的中點，

.■.PN||BD,PN=^BD,

???點P,M是CD,DE的中點,

PM||CE,PM=^CE,

AB—AC,AD=AE,

???BD=CE,

???PM=PN,

,:PN||BD,

；.乙DPN=Z.ADC,

???PM||CE,

???乙DPM=/.DCA,

???（BAC=90°,

???乙4OC+乙4co=90°,

,"MPN=乙DPM+乙DPN=^DCA+^ADC=90°,

??.PMJ.PN,

故答案為：PM=PN,PM1PN；

（2）解：△PMN是等腰直角三角形.

理由如下：由旋轉(zhuǎn)知，Z-BAD=/.CAE,

vAB=AC,AD=AE,

.-.△XBP=Ai4CE（SAS）,

???乙ABD=Z.ACE,BD=CE,

利用三角形的中位線得，PN=3BD,PM=*E,

???PM=PN,

.?.△PMN是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM||CE,

???乙DPM=乙DCE,

同（1）的方法得，PN||BD,

???乙PNC=乙DBC,

v2DPN=乙DCB+乙PNC=乙DCB+乙DBC,

???乙MPN=Z.DPM+乙DPN=乙DCE+乙DCB+乙DBC=乙BCE+Z.DBC

=Z.ACB+Z-ACE+Z.DBC=乙ACB+Z-ABD+乙DBC=乙ACB+Z.ABCf

vABAC=90°,

/.Z.ACB+Z.ABC=90°,

???乙MPN=90°,

.?.△PMN是等腰直角三角形；

(3)解：如圖，同(2)的方法得，△PMN是等腰直角三角形，連接⑷V/M,

E

M

BNC

■■MN<AM+AN,

當點4M,N三點共線時，MN最大,

如圖：

??.MN最大時，的面積最大，

???時可最大=4用+4可，

在△4DE中，40=4E=2,N￡ME=90。，

???由勾股定理得：DE=V2XD=2V2,

丁點”為DE中點，

AM=|f）E=V2,

在RtzXABC中，AB=AC=4,同上可求AN=2近,

MN最大=2V2+y/2—3應(yīng)

同上可得：MN=V2PM,

:.PM=當MN,

S^PMN最大=5PM2=-x-MN2=-x(3V2)=

8.（2023?重慶九龍坡?模擬預(yù)測）在等腰△ABC中，^ABC=90°,AB=BC,將斜邊AC繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)

一定角度得到線段4。，4。交BC于點G,過點C作CF12D于點足

(1)如圖1,當旋轉(zhuǎn)22.5。時，若BG=1,求AC的長；

(2)如圖2,當旋轉(zhuǎn)30。時，連接BD,CD,延長CF交BD于點E,連接EG,求證：AG=CE+EG；

(3)如圖3,點M是4C邊上一動點，在線段上存在一點N,使NB+M4+NC的值最小時，若NA=2,

請直接寫出ACNM的面積.

【思路點撥】

本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知

識，解題的關(guān)鍵是會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想思考問題

(1)過點G作GH14C于點〃，得到HG=BG=1,即可求得CG=魚，再由BC=AB=BG+CG,勾股定

理求得力C；

(2)延長CF交4B于點7,連接8T,求得Rt△AGB三Rt△CTB,可得4G=CT,BT=BG,由8D||AC,得至！J

△TBE三△GBE,即可得到4G=CE+EG

(3)將△BCN繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。,得至I」△BPQ,^NQ,AP,當點P、Q、N、A四點共線時,NB+NA+NC

的值最小，此時8M是等腰直角三角形ABC的一條中線，即可求得△CNM的面積

【解題過程】

⑴解:如圖1,當旋轉(zhuǎn)22.5。時，則NC4G=NG4B=22.5。，

過點G作GHL4C于點，，貝UGH=8G=L

在等腰RtZkCGH中，乙BCA=45°,

則CG=V2GH=V2,

則BC=BG+CG=V2+1,

在等腰RtZXABC中，

AC=V2BC=2+V2；

(2)證明：如圖2,過點。作DML4C于點過點8作BN，4;于點N,

圖2

=30°,

：.DM=

-,-Z.ABC=90°,AB=AC,

：.BN=^AC

而ZC=AD,

：.DM=BN

又。M_LAC,BN工AC,

???四邊形50MN是矩形

：.BD\\AC

延長CE交84的延長線于點T,

-CF1ADf

??/CFG=2ABC=90°,

=Z-CGF,

;/TCG=Z-GAB,

^^LABG=乙CBT=90°,BA=BC,

/.△ABG=△CBT(ASA),

.-.AG=CT,BG=BT,

-BDWAC,

"EBG=乙ACB=45°,

貝iJzlEBT=90°-Z.EBG=45°=乙EBG,

■：BT=BG,BE=BE,

△BEG三△BET(SAS),

；.ET=EG,

：.AG=CT=CE+ET=CE+EG；

(3)解：如圖3,將△CBN繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△PBQ,

連接QN,AP.

圖3

則PQ=CN,△BQN是等邊三角形，

:.BN=NQ,乙BNQ=乙BQN=60°,

■:CN+AN+BNPQ+QN+NA>AP,

???當尸，Q,N,/共線時，NC+BN+AN的值最小.

此時乙4BP=900+60°=150°,PB=AB,乙BAN=15°,

并且aBQN是等邊三角形，乙BNQ=60°,

.?Z4BN=6O°—15°=45°,

■：/.ABC=90°,

."ABN=乙CBN=45°,

■：BA=BC,

:.BMLAC,且CM=AM

又上MAN=45°-15°=30°,

:.NM=,N=1,AM=y/3MN=遮，

.,.CM=AM—V3,

△CNM的面積=1xCM-MW=|xV3xl=^.

9.(23-24九年級上?重慶?期中)如圖，將△ABC繞點/順時針旋轉(zhuǎn)得到△4NM,點比C的對應(yīng)點分別

為N,M.

圖I圖2圖3

(1)如圖1,當點N落在BC的延長線上時，且N4CB=90o/C=6,AB=10,求BN的長；

(2)如圖2,△4BC繞點/順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△4VM,延長BC交4N于點。，使得FN=4D,連接DF,

猜想線段并證明你的猜想；

(3)如圖3,連接BN,CM,點R為BC的中點，連接RG.若乙4cB=90。,47=6,AB=10,在旋轉(zhuǎn)過程中,

求出GR的最小值；若不存在，請說明理由

【思路點撥】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到2B=4V=10,利用勾股定理求得BC=8,CN=8,故BN的長為16；

(2)在NM上取點°,使NQ=CD,連接FQ,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：AN=AB/BAN=60。,得△ABN是等

邊三角形，證明△FNQm△ADC(SAS),可得上FQN=^ACD,FQ=AC,即可得NFQH=AACB,由AM=AACB,

可得NFQH=ZM,從而可證△FQH=△XMH(AAS),得QH=MH,故HN-MH=CD；

(3)過3作8PIIMN交MC延長線于尸，連接NC,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到4C=AM./.ACB=Z.AMN=90°,BC=MN,

證得NP=NBCP,得BP=BC,從而BP=MN,即可證△BPG三△NMG(AAS),可知G是BN中點，GR=

1

NC,要使GR最小，只需NC最小，此時N、C、/共線，NC的最小值為4V-4C=4,故GR最小為5

NC=2.

【解題過程】

(1)解：???將繞點力順時針旋轉(zhuǎn)得到△4VM,

AAB=AN=10,

???(ACB=90°,

???乙ACN=90°,

-AC=6,

2222

.?.BC=7AB2—AC2=，102-62=8fCN=y/AN-AC=V10-6=8,

BN=BC+CN=16；

(2)解：HN-MH=CD,證明如下：

在NM上取點0,使NQ=CD,連接FQ,如圖:

由△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ANM得:AN=AB^BAN=60°,

???△4BN是等邊三角形，

???LANB=60°,

???乙FNQ=180°-乙ANB-4ANM=180°一60°一4ANM=120°-^ANMf

在△48。中，乙ADB=180°-Z.BAN-/.ABC=180°-60°-=120。-N/BC,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知N4VM=乙48C,

???乙ADB=(FNQ,

???FN=AD,

???△FNQwZ\40C(SAS),

???乙FQN=^ACD,FQ=AC,

???180°一(FQN=180°一4ACD,即NFQH=Z.ACB,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知NM=乙4CB,

???(FQH=4M,

???AM=AC,

???FQ=AM,

???Z.FHQ=UHM,

??.△FQH=△ZMU(AAS),

??.QH=MH,

???HN-QH=NQ,

???HN-MH=CD；

(3)解：在旋轉(zhuǎn)過程中，GR存在最小值2,理由如下:

過5作BPIIMN交MC延長線于P,連接NC,如圖：

vA繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ANM,

??.AC=AM,Z.ACB=^AMN=90°fBC=MN,

??.匕ACM=乙4MC,

而48cp=180°-Z.ACB-匕ACM=90°-Z.ACMf乙NMP=乙AMN-Z.AMC=90°-AAMC,

：?LBCP=乙NMP,

???BPWMN,

乙P=乙NMP,

乙P=LBCP,

??.BP=BC,

BP=MN,

在和ANMC中，

(Z-BGP=4NGM

］乙P=CNMG,

IBP=MN

BPG三△NMG(AAS),

：.BG=NG,即G是BN中點，

???點R為BC的中點，

;.GR是△BCN的中位線，

GR=如C,

要使GR最小，只需NC最小，

而AN==10,AC=6,

?W、C、Z共線,NC的最小值為AN—AC=4,

1

：.GR最小為萬NC=2.

10.(23-24八年級下?山西晉中?期末)綜合與實踐

圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，在研究三角形的旋轉(zhuǎn)過程中，發(fā)現(xiàn)下列問題：如圖

1,在△ABC中，AB=AC,^BAC=a,D,￡分別為4B,AC邊上一點，連接。E,且。E||8C,將△4BC繞

若a=60。，將aABC繞點/旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，貝1|。8與CE的數(shù)量關(guān)系為；

(2)類比探究：

若a=90。，將△ABC繞點/旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置，D8,CE相交于點O,猜想。B,CE滿足的位置關(guān)系，

并說明理由；

(3)拓展應(yīng)用：

如圖4,在(2)的條件下，連結(jié)CD,分別取DE,DC,BC的中點M,P,N,連結(jié)PM,PN,MN,若

=4,AB=10,請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中△「“可面積的最大值.

【思路點撥】

(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和“SAS”可證△4DB三△4EC,即可求解；

(2)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和“SAS”可證△ADB三△4EC,可得〃BO=4C。，由外角的性質(zhì)可得結(jié)論；

⑶先證明△PMN是等腰直角三角形，可得SNMN=$N2=*,則當點/,點D,點8三點共線時,

BD有最大值，即可求△PMN面積最大值.

【解題過程】

(1)解:如圖1,AB=AC,

???Z.ABC=Z-ACB,

???DEWBC,

???乙ADE=Z-ABC,

Z-AED=Z.ACB,

Z-ADE=Z.AED,

???AD=AE,

由旋轉(zhuǎn)得：

Z.DAB+Z-BAE=/.BAE+Z-EAC,

???乙DAB=Z.EAC,

在△ZOB和△AEC^

(AB=AC

]4BAD=Z.CAE,

IAD=AE

△/EC(SAS),

???BD—CE,

故答案為：BD=CE；

(2)解：DB1CE,

理由如下：如圖，設(shè)48與CE的交點為點P,

???△ABC繞點/旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置，a=90°,

?-?/.DAE=/.BAC=90°,

???Z.DAB=Z.EACf

在△408和△4EC中，

(AD=AE

\z-DAB=Z.EAC,

IAB=AC

???乙ABD=Z-ACE,

???〃。8是45尸0的外角，也是△/CP的外角，

???Z.CPB=Z.ABO+乙COB

=Z.ACO+Z.CAB,

???乙COB=乙CAB=90°,

**?DB_LCE；

(3)解：???M,P,N分別是DE,DC,BC的中點，

DB\\PNfDB=2PN,

PMIICE,CE=2PM,

-AADB=AAECf

???DB=CE,

???PN=PM,

?：DBICE,DBHPN,PMWCE,

???PNJ.PM,

??.△PMN是等腰直角三角形，

1.

SAPMN=]PN

=釧2,

■■AD=4,AB=10,

???當點/,點。，點2三點共線時，BD有最大值，即△「“人面積有最大值,

???BD的最大值為14,

???△PMN面積的最大值為《X142=

oZ

11.（23-24九年級上?福建福州?期中）如圖，在△力BC中，乙4cB=90。.C8=C4=4近，點。始終在AC

的上方，且4&4。=以0。＜戊＜180。），點石為射線力。上任意一點（點E與點4不重合）,連接CE,將線段CE

繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CF,直線FB交直線4D于點M.

(1)如圖1,當0。＜。＜45。時，求證8M1AE；

(2)當點Q為4c邊的中點時，連接MQ,求MQ的最大值；

(3)如圖2,若a=105。，2E=2時，求△BCF的面積.

【思路點撥】

(1)證△4CE三△BCF得NEAC=NFBC,再利用三角形得內(nèi)角和定理及垂直定義即可得證；

(2)如圖，取中點0,連接。M、0Q,由勾股定理得AB=7cA2+CB2=8.由直角三角形的性質(zhì)得

0M=孤4=4,又根據(jù)中位線的性質(zhì)得0Q=1SC=2V2,進而三角形的三邊關(guān)系即可求解；

(3)連接MC,過點2作BH1CM于點過點C作CP1ZM交ZM延長線于點P,CN1BM于點N,證

△ACP三4BCN,得CP=CN,進而求得48=魚47=8,再利用勾股定理及三角形的面積公式即可求解.

【解題過程】

(1)證明：如圖，

?.?乙4cB=90°,將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CF,

.-.^ACE=ABCA-乙BCE=90°-乙BCE,Z.BCF=4ECF-乙BCE=90°-乙BCE,

???Z-ACE=乙BCF

vCA=CB,CE=CF,

??.△ACE=△BCF

??Z-EAC=Z-FBC

???z.1=z2,

???￡.BMA=乙BCA=90°

??.BM1AE

(2)解：如圖，取中點。，連接。M、0Q,

：,AB="取+CB2=8.

???0M==4,

???點Q為AC的中點，

1廠

：.OQ=-BC=2<2

當M、。、Q三點共線時，MQ最大

此時，MQ=OM+OQ=^AB+=4+2近；

(3)解：如圖，連接MC,過點B作于點H,過點C作交ZM延長線于點P,CN1BM于點N,

?..Z.CPA=乙CNB=90°,^ACB=90°

???2LACP=90°-ZACN=乙BCN

???CA=CB

.*.△ACP=△BCN

??.CP=CN

1

???乙CMN=-Z.AMN=45°=乙MCN

vCA=CB=4V2

???AB=y/2AC—8

vZ.CAD=105%Z.BAC=45°

???乙BAM=60°

AM=^AB=4,BM=WAM=4V3

.??BH=MH=爭M=2后CH=y/BC2-BH2=2五

??.MC=MH+HC=2V6+2V2

11

??S&BCM=/BM-CN=-CM-BH

BH-CM衛(wèi)正也=2b+2

CN=

BM4V3

?1?S^BCF-,CN=gx2x（2遮+2）—2V3+2.

12.(23-24九年級上?福建龍巖?階段練習(xí))已知等腰直角三角形ABC中，N2BC=90。，點。在射線CB上

移動(不與2、C重合)，連接AD,線段40繞點。順時針旋轉(zhuǎn)。。(0。＜a。W180。)得到線段DE,連接CE,

AE.

(1)如圖1,當點￡落在線段4C上時，

①直接寫出NB力。的度數(shù)(可用a表示)；

②請用等式表示CE、CD、CB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)當點E落在線段4C的延長線上時，請在圖2中畫出符合條件的圖形，則(1)中，CE、CD.C8的數(shù)

量關(guān)系仍然成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出正確的數(shù)量關(guān)系.

【思路點撥】

(1)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出=^ADE=a,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出ABAC=45。，由三角形內(nèi)

角和定理得出2/840+90。+a=180。，則可得出答案；②過點E作EF18C于尸，證明△4BD三ZkOFE(

AAS),由全等三角形的性質(zhì)得出42=DF,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；