專(zhuān)題02空間向量基本定理及坐標(biāo)表示小綜合仿真測(cè)試

目錄

01仿真測(cè)試

02能力提升

01仿真測(cè)試(8+3+3+5)

一、單選題

1.若忖￡耳構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則空間的另一個(gè)基底可能是()

A.+c,a+c,a-b^B.^a+b+c,-^a+b,^d+c

C.\a-b+c,a-b,a+c\D.\b-c.a-\-b,a+c\

【答案】C

【分析】根據(jù)共面定理逐一判斷即可.

【解析】因?yàn)榉?己=僅+可一(方一可，所以3+5,5+C,@一3共面,

所以｛3+己,3+了,a-耳不是空間的另一個(gè)基底，A錯(cuò)誤.

、一一一1一一1_一$+3共面,

因TAJ6Z+Z?+C——6Z+Z?H---，所以3+B+e—a+b,

222

所以不是空間的另一個(gè)基底，B錯(cuò)誤.

倨(設(shè)存在加，幾,^^a—b+c=m(3-6)+n(3+c)={jn+n)a-mb+nc,

m+n=\

則,一加二T,顯然無(wú)解，所以方—B+W，a-b，2+1不共面,

n=l

所以M-B+竭-時(shí)+3是空間的另一個(gè)基底，c正確.

因?yàn)锽—1=1+B—(G+1),所以3—己，a+b1+/共面，

所以亞-己方+而+可不是空間的另一個(gè)基底，D錯(cuò)誤.

故選：c

2.已知向量￡=(1,1,0),3=(—1,0,—2),且北+刃與互相垂直,則左的值是()

137

A.1B.一C.一D.-

555

【答案】D

【分析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算即得.

【解析】ka+b=k(1,1,0)+(―1,0,—2)={k,2a—各=2(1,1,0)—(—1,0,—2)=(3,2,2),

由直+1與互相垂直,得(無(wú)-1,左，-2>(3,2,2)=0,即5左一7=0,

所以左=(7.

故選：D

3.已知)=(2,3,1),S=(l,-2,-2),則1在B上的投影向量為()

A.2bB.-2b

2r

D.——b

c?卡3

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的投影向量公式進(jìn)行求解.

a-S_(2,3,l)-(l,-2,-2)_2-6-2_2

［解析］用=12+(_2)2+(_2廣9

a-b\b

故Z在B上的投影向量為力

故選：D

4.如圖所示的二棱錐43。中，令方=Z,AC^b-AD=c，且跖G分別是8C,的中點(diǎn)，貝U前+怒

等于()

1一1一-1-7一1-1-

A.——a+—b+cB.a-b+cC.—q+b+cD.——a+-b7-c

22+2222

【答案】A

【分析】結(jié)合條件用°,瓦c表示MG,4G,即可得出結(jié)果.

【解析】因?yàn)榕c三，AC=b>Al5=c>

所以押=+^G=1(^+c),

所以該=萬(wàn)一痂=g(B+，_；k+B)=g(3_司，

所以，MG+AG=i-(c-a]+-(b+c]=-]-a+-b+c.

2'‘2、'22

故選：A

5.已知向量￡石、工，其中在同一平面的是()

A.a=(1,1,0),^=(0,l,l),c=(1,4,1)

B.2=(3,0,0)3=(1,1,2),工=(4」,2)

C.Z=(l,2,4)》=(l,4,2),工=(2,3,1)

D.a=(l,0,0),S=(0,0,2),c=(0,3,0)

【答案】B

【分析】利用共面向量定理，結(jié)合方程思想逐項(xiàng)分析判斷即可.

n=1

【解析】對(duì)于A,假定)五共面，設(shè)(1,1,0)=加+則加+4〃=1,無(wú)解，A不是；

m+n=0

對(duì)于B,由(4,1,2)=1(3,0,0)+1。1,2),得點(diǎn)薪共面,B是;

x+2y=}

對(duì)于C,假定扇在忑共面，設(shè)(l,2,4)=x(l,4,2)+y(2,3,l),貝ij，4x+3y=2,無(wú)解，C不是；

2x+y=4

0=1

對(duì)于D,假定萬(wàn)卷了共面，設(shè)(1,0,0)=“0,0,2)+6(0,3設(shè)),貝「36=0,矛盾，D不是.

2a—0

故選：B

6.已知平行六面體/BCD-44GA的所有棱長(zhǎng)均為2,NB4D=NB44=NDA4=60。,M,N分別為

BC,GA的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為()

A.2B.3C.V3D.V5

【答案】D

【分析】以而、幺4、而為基底表示出何，再根據(jù)數(shù)據(jù)量的運(yùn)算律計(jì)算可得.

【解析】因?yàn)槠叫辛骟wABCD-AECR的所有棱長(zhǎng)均為2,/BAD=NBAA廣ZDAA,=60°,

所以萬(wàn)通=環(huán)通=方與=2*2xcos60°=2,

依題意可得荻=標(biāo)+西+*=；而+而_；刀,

]?2?21,■2,1,>

=-AD+AA+-AB+AD-AA——ADAB-ABAA

414121

=-X22+2Z+-X22+2--X2-2=5,

442

所以|荻卜B

故選：D

__27r

7.如圖，在四棱錐P-48co中，底面/BCD為菱形，4B=4,ZDAB=—,M為棱尸C的中點(diǎn)，且

AM-AB=5,則/（）

A.-2B.0C.2D.4

【答案】C

【分析】首先分析題意，作NGL8C,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)建立方程，整體代換求解

即可.

【解析】作/GL5C,以N為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

/(0,0,0),川2后一2,0),。(2省,2,0曾(“/)，

I222)

ZB=(2A/3,-2,0),而=馬魯,U'j，

AM?AB=5,/.A/3^2>/3+x)—2—y=5,即-j?=1

/P=(x,y,z),APAB=2百x-2y=2,即C正確，

8.正三棱柱48C-4耳G中，48=2,441=VL。為8C的中點(diǎn)，M為棱耳。上的動(dòng)點(diǎn)，N為棱上

的動(dòng)點(diǎn)“且黑二答,則線(xiàn)段,長(zhǎng)度的取值范圍為（）

V64幣

A.，近B.

27

D.[6,回

【答案】B

【分析】根據(jù)正三棱柱建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系求線(xiàn)段九W的表達(dá)式，利用函數(shù)求

最值即可.

【解析】因?yàn)檎庵?4a中，。為3c的中點(diǎn),

取用G中點(diǎn)。，連接。。，如圖，

以。為原點(diǎn)，0C,0A,。。為x/,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),^(0,73,0),^(-1,0,73),G(1,0,6),

因?yàn)镸是棱用G上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M（a,O,G）,且

/+3

于是令/=J)+6,tG|^V6,V7J.

所以當(dāng)/=s[6時(shí)，=v^-4=#

min762

即線(xiàn)段MN長(zhǎng)度的最小值為逅

2

當(dāng)％=時(shí)，

即線(xiàn)段"N長(zhǎng)度的最大值為及，

7

所以線(xiàn)段MN長(zhǎng)度的取值范圍為K，”

故選：B.

二、多選題

9.已知向量1=（加,%2）,6=（2,-2,1）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若則機(jī)=4,〃=-4B.若則機(jī)=-4,"=4

C.若7/3，則"-"+1=0D.若@7.3,則〃-加+1=0

【答案】AC

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算得出加，"的值判斷A,B；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算得出加，〃的

關(guān)系判斷C,D.

【解析】若則g=4=得機(jī)=4,"=-4,故A正確，B錯(cuò)誤；

2—21

若d_LB,則小3=2加一2〃+2=0,即加一〃+1=0,故C正確,D錯(cuò)誤;

故選：AC.

10.如圖，A,2為平面a外的點(diǎn)，點(diǎn)/,2在平面a上的射影分別為點(diǎn)H,B',點(diǎn)3不在直線(xiàn)44'上，m

為平面1內(nèi)的向量，則下列命題中正確的是()

A.若方_1_五，則彳分_L而

B.AB-m=A'B'-m

C.若存在實(shí)數(shù)人使成=X牙萬(wàn)，則獲與冠共線(xiàn)

D.若M是直線(xiàn)N8上不同于4,8的點(diǎn)，則存在有序?qū)崝?shù)組(x,y),使得訪(fǎng)=天益+了五7

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A,用射影概念和線(xiàn)面垂直性質(zhì)得到；對(duì)于B,將左邊向量轉(zhuǎn)化為右邊的向量，后根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)垂

直的向量數(shù)量積為0計(jì)算得到；對(duì)于C,直接用向量共線(xiàn)的性質(zhì)得到；對(duì)于D,用平面向量的基本定理可以

得到.

【解析】對(duì)于A,根據(jù)射影概念，知道刀71.成，BB'1m，若方_L五，AA'r>AB=A,

則麗_1面44缶/，HB'u面44'8'8,則再,而成立，故A正確.

對(duì)于B,AB-m=(^'+A^'+B^ym=AA'-m+ArB'-m+B7Bm=ArB'-m,故B正確.

對(duì)于C,若加=彳牙百，則云和亞共線(xiàn)，則與方可能相交，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,若M是直線(xiàn)上不同于4,2的點(diǎn)，則以與448',8四個(gè)點(diǎn)都是共面的，且方，五？不

共線(xiàn)，可以作為面N423的一組基底，

則由平面的基本定理，可知存在有序?qū)崝?shù)組(x,y),使得訪(fǎng)=才存+p五？，故D正確.

故選：ABD.

7T

11.如圖，四棱錐尸-48CD的底面為平行四邊形，且N4PD=N4PC=NDPC=3,PA=2,PC=PD=3,

G為APCD的重心，〃■為8G的中點(diǎn).若前=加沙+〃》+〃麗，西麗，則下列結(jié)論正確的是()

A.m+n+p=--.B.PM=5

c.若彳=；，則向量麗，五5,d?共面D.若，則力=:

【答案】ACD

【分析】結(jié)合空間向量線(xiàn)性運(yùn)算利用百，定，而表示前，結(jié)合空間向量基本定理求私"，。，判斷A,表示

PM，結(jié)合模的性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算律求其模長(zhǎng)，判斷B,表示聞7,而，百，結(jié)合向量共面定理判斷C,由

5G1G7,可得瑟.（工=0，化簡(jiǎn)可求2,判斷D.

【解析】延長(zhǎng)PG交CD與點(diǎn)尸，因?yàn)镚為APCD的重心，

所以所=g麗=|xg（定+珂==g乒+珂,

所以數(shù)=赤+所=旃+；（京+網(wǎng)，

所以旃=強(qiáng)一莎+：（定+呵=而一刀+；（定+珂,

BG=PD-PC-PA+^PC+PD^,

所以數(shù)=_莎_：斤+g而，y.BG=mPA+nPC+pPD,

24

所以機(jī)=_l,〃=_§,p=],

所以7〃+〃+p=-g,A正確；

^PM=PG+GM=-{PC+PD）--BG=-（PC+PD）--PD+-PC+-PA,

323332

——?1—?2—?1—?

所以尸M+§尸C—§尸。，

所以?聞[=、9+g斤—麗:，

所以尸M=-PD+-PC+-PA——PDPC——PDPA+—PCPA,

?1994933

TT

又/APD=/APC=/DPC=—,PA=2,PC=PD=3,

3

所以同2=4,園2=|麗『=9,莎屁=莎?麗=3，PCPD=^,

所以質(zhì)『=1+4+1-2-1+2=5,

所以尸河=逐，B錯(cuò)誤；

^Gf=PT-PG=-PD--PC--PD=--PC-—Pi5,

433312

——>1―?2—?1—?

AD=PD-PA>PM=-PA+-PC--PD,

、n-------------k----rtr1[I2_II.

AD=xGT+yPM,貝|,歹=-1,--x+yj=0,x--j=l,

所以x=-4,y=-2,

所以疝5=-"斤-2A而，所以向量而，亞,Gf共面，c正確；

^^jGf=PT-PG=APD-^PC-^PD=-^PC+^L-^PD,

—?—?2—(,4—,,

BG=-PA一一PC+—PD,

33

由數(shù),萬(wàn)可得，數(shù)而=卜萬(wàn)一*+：可.無(wú)+[_J而=0,

又同2=4,附2=|囹2=9,PAPC=PA-PD=3^PC-PD=^,

所以1-31X-J+2-3(2-g]-2+12(X-j=0,

所以6(幾一，一1,

所以2=3，D正確.

6

故選：ACD.

三、填空題

12.已知向量3=(1,1,0),3=(僅,0,2),cosG，B)=-*,若向量-+瘍與弓+石所成角為銳角，則實(shí)數(shù)上

的范圍是一

【答案】（-l,；）U（；,+8）

【分析】根據(jù)題意，利用向量的夾角公式，求得加=-1,再由向量2+屆與力+B所成角為銳角，得到

p+^）-（2?+^＞0,求得后＞-1,當(dāng)向量Z+屆與3共線(xiàn)時(shí)，求得左=，即可得到實(shí)數(shù)上的范圍.

【解析】由向量5=（1,1,0）,否=（機(jī),0,2）,可得a.石=私"=①M(fèi)=+4,

/_A/Fna-bmV10

因?yàn)閏＜43=-而，可得雨一萬(wàn)4一二一而，解得比一

所以石=(-1,0,2),所以Z+廟=(1-左,1,2左)與/+3=(1,2,2),

又因?yàn)橄蛄縕+序與垢+B所成角為銳角，

所以（a+焉）-（2a+q=1-左+2+4上＞0,解得左＞-1,

若向量2+瘍與力+B共線(xiàn)，則一弓=段，解得彳=g,

所以實(shí)數(shù)上的范圍是（T；）U（；,+S）.

故答案為：（-l,g）U（g,+8）.

13.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直

角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵/8C-44。中，M,N分別是4。，24的中點(diǎn)，G是九W的中點(diǎn)，若

AG=xAB+yAAx+zAC,則％+>+z=.

_____i__3_____?

【分析】由G是MV的中點(diǎn)，可得就=］（不+而），再由向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得就=］存+］怒+

即可得答案.

【解析】解：連接如圖所示:

因?yàn)镚是肱V的中點(diǎn)，分別是4G，的中點(diǎn)，

—?1―?——?

所以/G=2(4N+力N)

=；(商+麗+石+乖)

1—?1―?―?1——?

二,(的產(chǎn)+叫+產(chǎn))

1—?1—>—?1—、

=-(AB+-AA1+AA1+-AC)

1—?3—>1—?

=-(AB+-AA1+-AC)

1—?3—?1―?

=-AB+-AA,+-AC,

2414

又因?yàn)?G=x45+歹/4+zZC，

而2131

所以x=5，v=D,

3

所以％+>+2=萬(wàn).

3

故答案為：—

14.已知空間向量Q,b,c?e均為單位向量，且Q與B夾角為萬(wàn)，Q與c夾角為§，則。-？+2限3+3己2

的最大值為.

［答案］J17+6『

【分析】設(shè)1=(1,0,0),=(0,1,0),3=(x,y,z),所以M=y,a-b=0,a-c=x=^,由同=1,得

/+z2=|,即可得丁的取值范圍，^a-e+2b-e+3c-e=\a+2b+3c\cos0,計(jì)算求解即可.

【解析】因?yàn)?,b,c，2均為單位向量，所以同=|,=同=同=1，

設(shè)2=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(x,y,z),所以混一,

Jr

因?yàn)镼與B夾角為,，所以〃.3=0,

因?yàn)椤昱c"夾角為I",所以32=1同同cosg=g,

又a.c=x,所以x=],

因?yàn)橥?Jf+jZ+z?=1,所以/+z2=q,

所以》2=：-z2。，即一包

4422

設(shè)Q+2B+3己與e的夾角為。，

a-e+2b-e+3c-e=^a+2b+3cj-e=^a+2b+3c||e|cos^=|5+26+3c|cos6,,

\a+2b+3c|=加+2b+3c）?=y]a2+4b2+9c2+4a-b+6a-c+12b-c

=717+127,

a-e+2b-e+3c-e=J17+12歹cos。,

因?yàn)楣榭臻g中任意單位向量，

所以當(dāng)>=等，cos6=l時(shí)，鼠工+2「G+31」的最大值為J17+6君.

故答案為：717+673-

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)出空間向量，利用空間向量的?？汕蠼饬说娜≈捣秶鶕?jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可

知當(dāng)Z+2B+33與工的夾角為0°時(shí)，可求解最值.

四、解答題

15.已知空間三點(diǎn)/（一4,0,4）,2（-2,2,4）,C（-3,2,3）,設(shè)￡=次，b=BC.

⑴求「，W；

⑵求0與B的夾角.

【答案】⑴同=2收；|可=啦.

【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可;

(2)根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到答案.

【解析】(1)由題意，5=A8=(2,2,0),fe=5C=(-l,0,-l),

所以同=A/22+22+02=2V2,忖=^(-1)2+02+(-1)2=V2；

_r5-62x(-l)+2x0+0x(-l)1

⑵由⑴可知3。*=蟲(chóng)=一一—，

又扇6—e[r0,7rr],所以或6-=2g71,即°與刃的夾角為2學(xué)兀.

16.在正方體/BCD-中，設(shè)而=八萬(wàn)5=加刀i=3，E,尸分別是/〃，3。的中點(diǎn).

⑴用向量。，b>3表示。]2,EF；

(2)^D^F=xa+yb+zc,求實(shí)數(shù)x,7,z的值.

-----11

【答案】(1)28=口_6_了，EF=-a--c

11

(2)JC=-,y=--,z=-l.

【分析】(1)利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解即可；

(2)用3,b，己表示再利用空間向量基本定理求解即可.

【解析】(1)連接g,BD、,BD,EF,則/C,8。交于點(diǎn)尸，

l\B=Djj+DB=^AAi+AB-AD=a-b-c,

EF=EA+AF=-I1A+-AC=--(AA.+AD]+-(AB+AD)=-AB--AAI=-(a-c\=-a--c.

222V'2V'222V722

(2)連接。尸，

^F=1(^D+^8)=1(-Z4；+D^)=|(-c+5-6-c)=15-^-c,

__?-11

XDXF=xa+yb+zc,所以x=],y=--,z=-1.

17.已知空間中的三點(diǎn)尸(-2,0,2),M(-l,l,2),N(-3,0,4),a=PM，b^PN.

⑴求APAW的面積;

(2)當(dāng)版+B與%-2B的夾角為鈍角時(shí)，求人的范圍.

3

【答案】⑴萬(wàn)；

叱卜川.

【分析】(1)應(yīng)用向量坐標(biāo)表示有a=(1,1,0),3=(-1,0,2),由向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算可得

cos<%]>=-叵，再求其正弦值，應(yīng)用三角形面積公式求面積；

10

(2)向量坐標(biāo)表示得%+3=(左-1,左,2),質(zhì)-2^=(左+2,左,-4),它們的夾角。為鈍角，Bpcos<9<0,即可

求參數(shù)范圍，注意排除向量反向共線(xiàn)的情況.

—?_?—>—?ci*b—1A/](

【解析】(1)由題設(shè)。=(1,1,0),b=(—1,0,2),貝ljcos<>==——=—7=—7==——

\a\\b\V2xV510

所以cos/WPN=-巫，故在“AW中sin/WN=W^,

1010

故APAW的面積為孑叵=3.

2102

(2)由(1)知：ka+b={k-\,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),且它們夾角6為鈍角,

(k-l)(k+2}+k2-S

所以c°sQ(li+4]"K+J'即(1)(后+小人8<。,

所以2r+"10=(2左+5)("2)<0,可得一

k—\=4(左+2)

當(dāng)它們反向共線(xiàn)，即而+3=4(而—2司且4<0時(shí)，有<k=Ak,無(wú)解，

2=-42

綜上，ke(--,2).

18.如圖，已知四棱錐T-43CD的底面為平行四邊形，平面a與直線(xiàn)40、TA、7c分別交于點(diǎn)尸、。、

R,且滿(mǎn)足典=4="=底點(diǎn)"在直線(xiàn)73上，N為棱CD的中點(diǎn)，且直線(xiàn)兒W//平面口.

⑴設(shè)方=￡,TB=b，TC=c，試用基底｛a五c｝表示向量近;

(2)若點(diǎn)初的軌跡長(zhǎng)度與棱長(zhǎng)竊的比值為M,試討論〃是否為定值，若必為定值，請(qǐng)求出必，若〃不為定值,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l)a+c-加

(2)〃為定值?

【分析】

(1)根據(jù)空間向量基本定理進(jìn)行求解；

(2)設(shè)俞=出=小,表達(dá)出兩=而-加++，根據(jù)ACV//平面a,設(shè)存在實(shí)數(shù)

P，z,使得麗7=y聲+z礪，表達(dá)出存=(l-x)Z+x"-x3,QR=-xa+(\-x)c,從而得到方程，得到

(42+1)X2-(42+3)X+22+1=0,分幾=一;和彳/一;時(shí)，結(jié)合根的判別式，得到一手，求出〃為

定值更.

2

【解析】(1)因?yàn)樗睦忮F7-/BCD的底面為平行四邊形，所以石=元，

^LTD=TA+AD=TA+BC=TA+TC-TB=a+c-b;

又條普盥x,

（2）由（1）知，TD=a+c-b

所以河=xZ,萬(wàn)=0—龍丘，后=》石，

TA+x\TD-TA\=a+x\a+c-b-a]=a+xc-xb,

QP=TP-TQ=(\-x)a+xc-xb,QR=TR-TQ=—xu.+(1—x)c,

—?1—?1—?1_1__

設(shè)前=4而=與，又川=/丁。+/77)=5"y+c,

——?—?―?1-(\、一一

貝|7W=?r_7W=_5Q+[5+;lb—c，

因?yàn)殡臯//平面。，則存在實(shí)數(shù)歹/,^NM=yQP+zQR,

%攵NM=yQP+zQR=y(l-x^a+xyc-xyb-xza+(1-x)zc,

所以一;Q+[；+X]B—C=y(\-x)a+xyc-xyb-xza+{1-X^ZC

-^y-xy-xz^a-xyb+^xy+z-xz^c,

1

y-xy-xz=-—

-xy=2+1

故V

xy+z-xz=-l

整理得，(4A+1)X2-(42+3)X+22+1=0,

當(dāng)彳=一"7時(shí)，-2x—<+1=0,解得x=：,

424

12

當(dāng)彳力-^時(shí)，由A=[-(42+3)]—4(44+1)(2/1+1)20,

解得一些“<二或」好，

4444

綜上，--<2<—,

44

r-(/~Xr-

所以對(duì)所有滿(mǎn)足條件的平面。，點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為半-=當(dāng)，

4I4J2

故〃為定值，//=—■

2

【點(diǎn)睛】空間向量解決空間幾何中點(diǎn)的存在性問(wèn)題或軌跡問(wèn)題，可將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，化繁為簡(jiǎn),

可大大節(jié)省思考量.

Cl?CL3

19.三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下：ab2b3=

C\C2C3

iJk

+aZ>]C-4,則稱(chēng)為空間向量。與B的叉乘，其中

+a2b3cx32a3b2c1-ajb^-axb3c2,^axb=xxyl

%%Z[

a=x^i+yj+zlk{xl,yl,zleR),b=xj+y2j+z2k(x2,y2,z2eR),?J,5}為單位正交基底.以。為坐標(biāo)原點(diǎn),

分別以7,7》的方向?yàn)閤軸、了軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，己知48是空間直角坐標(biāo)系中異于。

的不同兩點(diǎn).

⑴①若/(0,2,1),8(-1,3,2),求為X麗；

②證明：OAxOB+OBxOA=0.

(2)記。08的面積為L(zhǎng)°B，證明：以0"3俘'礪卜

(3)問(wèn)：(萬(wàn)義森>的幾何意義表示以A/08為底面、|Ex瓦|為高的三棱錐體積的多少倍？

【答案】⑴①(1,-1,2)；②證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

(3)6

【分析】(1)利用向量的叉乘的定義進(jìn)行分析運(yùn)算即可；

(2)利用數(shù)量積公式求得cos//08,則sinN/08=Jl-cos^N/OB，可得

222

S.AOB=|P||^|'sinZAOB=I^|O3||O5|-(04-OB),借助叉乘公式利用分析法即可證得結(jié)果;

(3)由S“0B=JEX詞，化簡(jiǎn)可得由x函2=：S“OB?俘x得x6,即可得到結(jié)果.

【解析】(1)①解：因?yàn)?(0,2,1),3(-1,3,2),

ijk

貝西x歷=021=4?-7+0+2^-6-3?=i-j+2k=(l,-l,2),

-132

②證明：設(shè)/(X”M,馬),3(%2，%/2),

.-----,------?—?—>—?

貝UOAxOB=yxz2i+zxx2j+xxy2k-x2yxk-z2xj-y2zxi

z

=(yi2~%Z],4X2-z2x?x,y2-馬%)，

X2X2與X］互換，弦與為互換，Z2與4互換,

可得03XCM=(%Z［-了尼,Z2±-ztx2,x2yt-再%)，

故際礪+礪xE=(o,o,o)=G.

2

(2)證明：因?yàn)閟in//O3=Jl-cosZ/NOB=11-(OAOBy

河口函2

7|O4|2|0S|2-(04OB)2

\OA^OB\

故S”=J可|西?sinZAOB=|J研函2心.函2,

故要證S./°B=J^X礪J,

只需證WX西=^|ft4|2|OB|2-(OAOB)2,

即證"x函2=］函2］函2一函,函2.

由(1)OA=(xI,y1,zl),OB=(x2,y2,z2),

OAxOB=［yxz2-y2zx,zxx2—z2x1,xxy2-x2y^

2

故|O/X08『=(w-%Z1)~+("2-Zzx"+(xly2-x2yl),

又ICM「=x；+y；+z；J05『=*+￡+z；,

(OA-OB)2=(再尤2++ziz2)~

則防X函2=|明2］函2一例,函2成立，

故國(guó)，。8=；|況,瓦

(3)由(2)5,os=1pxO5|,

得畫(huà)X礪了=|亦兩2

=礪國(guó)厲X礪卜S“OB-2|厲x礪卜

故(Ex為)2=；$/。＞刀乂礪卜6,

故(04x08)2的幾何意義表示：

以。為底面、。xOB為高的三棱錐體積的6倍.

【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵：一是對(duì)向量叉乘定義的理解；二是證明刀x礪|時(shí)，利用分析法，把

條件坐標(biāo)化處理.

02能力提升

一、單選題

1.已知長(zhǎng)方體/8CD-44G。中，AB=4,BC=3,44=2,空間中存在一動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足回A|=1,記

I1=AB-AP,I2=AD-AP,I^AC^AP,貝！]（）.

A.存在點(diǎn)尸，使得/廣八B.存在點(diǎn)P,使得/1=人

C.對(duì)任意的點(diǎn)P,有L＞AD.對(duì)任意的點(diǎn)P,有/2＞，3

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，由留詞=1,設(shè)尸的坐標(biāo)為(x),z),可得X、

y、z的取值范圍都為[-1,1],求出數(shù)量積，由尸的坐標(biāo)的范圍可得答案.

【解析】以片4為X軸，4G為y軸，耳8為z軸，4為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則8（0,0,2）,4（4,0,2）、￡＞（4,3,2）,&（0,3,0）,設(shè)點(diǎn)P（xj,z）,

所以存=（-4,0,0）,AP=（x-4,y,z-2）,AD=（0,3,0）,旗=（-4,3,-2）,率=（無(wú)j,z）,

因?yàn)閨麗=1,所以，x2+y2+z2=1,.-.xe[-l,l],ye[-1,1],ze[-l,l],

Il=AB-AP=-4（x-4）,I2=AD-AP=3y,

Z3=^Q-AP=-4（x-4）+3y-2（z-2）,

A_，2=_4（x_4）_3y=16_4x_3y>0恒成立，故C正確，A不正確;

,7—4

71-73=-3y+2（z-2）=-4-37+2z,令『人,貝

麻卜77T777=卜+*LZ2=卜+■節(jié)+1624,+16

,4x13x16-1港

、丫4x134,矛盾，所以B不正確；

3713

4—A=4（x—4）+2（z—2）=—20+4x+2z<0恒成立，所以D不正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量數(shù)量積的大小比較，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.

—?2—?—?1—?

2.在正四棱錐P-/5C。中，若PE=PB，PF=-PC,平面4跖與棱心交于點(diǎn)G,則四棱錐P-/E方G

與四棱錐尸-/5C。的體積比為（）

7874

A.—B.—C.—D.—

46454545

【答案】B

【分析】利用A、E、F、G四點(diǎn)共面，PG^PD,由錐體體積公式，求出魯倏和/S的值，即可得

3曠P-ABCDVP-ABCD

【解析】如圖所示,

設(shè)AS=/l而，由A、E、F、G四點(diǎn)共面,

^AF=xAE+yAG,貝lj方+麗=工（方+函+>（萬(wàn)+兩，

即AP+^（AB+AD-AP）=xAP+^-（AB-AP）+yAP+y^AAD-/AP^,

得［Q-尹力

=0,

33

2x..

--y--^^y=y

1-^=0，解得：2即—.2—。?，

又萬(wàn)"AB,而不共面，貝上2=-,PG=J

33D。

1-2y=0

_APF

設(shè)九，九分別是點(diǎn)尸到平面尸/E和點(diǎn)C到平面尸的距離，則寸=而，

—P-AEF—F-PAES.pE也S.PAEPFPAPEPFPEPF2

所以A

—P-ABC^C-PABS^h,~STc~PAPB

ArPAABRZArADPARTC~TBTC~9

1VpAEF1

v=—V=-

vP-ABCcvP-ABCDfyQ，

2VP-ABCD

"-…V_PAPDPCPDPC15'-一2腺"°15'

CPAD

Vp-AEFG_Vp—AGF+^P-AEF=J_+J__

VP-ABCD^P-ABCD91545

Q

則四棱錐尸-"EFG與四棱錐尸-3。的體積比為方.

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:

點(diǎn)共面問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為向量共面問(wèn)題；求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形；利用錐體體積公式，棱錐的體

積比最終轉(zhuǎn)化為棱長(zhǎng)之比.

二、多選題

3.已知正方體431GA的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)尸滿(mǎn)足方=2萬(wàn)+萬(wàn)+~弧，2,〃，/eR（P,B,

D,4四點(diǎn)不重合），則下列說(shuō)法正確的是（）.

A.當(dāng)彳+〃+7=1時(shí)，|尸H的最小值是1

B.當(dāng)2=1,〃=7時(shí)，尸8||平面4BQ

C.當(dāng)彳=〃=1,7時(shí)，平面PAD_L平面4助

D.當(dāng)x〃=i,7=0時(shí)，直線(xiàn)尸4與平面44GA所成角的正切值的最大值為正

2

【答案】BCD

【分析】對(duì)于A：根據(jù)空間向量分析可知點(diǎn)尸在平面49內(nèi)，利用等體積法求點(diǎn)A到平面43。的距離；

對(duì)于B：根據(jù)空間向量分析可知點(diǎn)尸在直線(xiàn)8。上，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)空間

向量分析可知點(diǎn)尸為取CG的中點(diǎn)，結(jié)合線(xiàn)面垂直關(guān)系分析證明；對(duì)于D：根據(jù)空間向量分析可知點(diǎn)P在平

面ABCD內(nèi)，根據(jù)線(xiàn)面夾角的定義結(jié)合基本不等式分析判斷.

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)X+〃+7=l時(shí)，即7=1一(/1+〃)，

貝UAP=AAB+JJAD+yAAx=AAB+pAD+[1-(2+AAX,

可得AP—AAX=)+〃(/￡)—/4),則4P=,

可知點(diǎn)尸在平面4助內(nèi)，

設(shè)點(diǎn)A到平面A{BD的距離為d,可知A、B=A\D=BD=6,

由〃A-A、BD=QTBD可得』xdxL收X亞X=—xlx-xlxl,解得d=—,

322323

所以戶(hù)H的最小值是d=g,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)2=1,〃=7時(shí)，

貝！IAP=AAB+JJAD+yAAx=AB+〃AD+p.AAx,

可得萬(wàn)一益=〃（而+五可，則赤=〃函，

由正方體的性質(zhì)可知：NBIIG2,且NB=CQ1,

則/8G4為平行四邊形，可得N2IIBG，且/〃=2G，

即函=畫(huà)，則麗=〃苑，

可知點(diǎn)P在直線(xiàn)8G上，直線(xiàn)形即為直線(xiàn)

且4DJI5C],AD|U平面/BQi，2。9平面481，，

所以3Gli平面48Q],即尸8||平面陰2,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)幾=〃=1,7=g時(shí)，

>>--------?>>>I>>I>

貝I]/尸=/L43+〃AD+//4=AB+/O+//4,

取CG的中點(diǎn)M,^^AP=AC+^CCi=AC+CM=AM,

可知點(diǎn)尸即為點(diǎn)”，

因?yàn)?4]，平面23C。，BDu平面23CD,則/4_L8。,

設(shè)“CCW=。，連接OP,

可知ZC12D,AAX[\AC=A,//“/Cu平面，

所以平面44GC,且NQu平面44CC，可得8O_L/G，

同理可得：Afi1AC,,且8?？?3=8,8。，48<=平面49，

所以平面4BD,

又因?yàn)?。，尸分別為/c,CG的中點(diǎn)，則OPII/G，可得。尸，平面43。,

且OPu平面4血，所以平面4區(qū)0,平面4班）,故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)澳=1,y=0時(shí)，

貝屈=彳刀+〃詬+,石=4與+〃Z5,

可知點(diǎn)尸在平面ABCD內(nèi),