圓錐曲線的綜合問題

第一課時定點問題

［核心突破?題型剖析

調型二直線過定點問題________________

例1(2020.全國I卷)已知A,3分別為橢圓E：\+y2=i(a>D的左、右頂點，G

為E的上頂點，居?強=87為直線x=6上的動點，與E的另一交點為C,

P3與E的另一交點為D

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

⑴解由題設得A(—a,0),B(a,0),G(0,1).

則啟=(a,1),GB=(a,-1).

由才"強=8,得/—1=8,

解得a=3或a=—3(舍去).

所以橢圓E的方程為小§+產=1.

(2)證明設尸(6,yo),

則直線A尸的方程為尸丁”，(九+3),

即尸&+3),

聯立直線AP的方程與橢圓方程可得

1％2

§+戶1,

<

y=^(x+3),

整理得(y8+9)x2+6yix-\-9yi—81=0,

、-3y8+27

解傳x=-3或x=~及+9-,

將尸二!昔2代入直線產次+3)可得尸舞,

(—3y8+27

???點C的坐標為［1+9

同理可得點。的坐標為

「?直線CD的方程為y—

6yo2yol

貨+9<y8+lj/3y8—31

一3京+273y8~3<,3+1/

y3+9W+l

整理可得y+常)

4yo(y8+3)(3角-3)

3(9一此\yd+1J

4yo[_3網-3)

3(3—1y§)v,8+1/

整理得尸卡—m),

故直線CD過定點停，0).

感悟提升圓錐曲線中定點問題的兩種解法

(1)引進參數法：引進動點的坐標或動線中系數為參數表示變化量，再研究變化

的量與參數何時沒有關系，找到定點.

(2)特殊到一般法：根據動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變

量無關.

訓練1已知點1,|)是橢圓C：a+'=l(a泌＞0)上一點，F1,仍分別是橢

圓的左、右焦點，|PFI|+|PF2|=4.

⑴求橢圓C的標準方程；

（2）設直線I不經過P點且與橢圓C相交于A,B兩點.若直線PA與直線PB的斜

率之和為1,問：直線/是否過定點？證明你的結論.

⑴解由IPKI+IP網=4,得。=2,

又|）在橢圓上，

代入橢圓方程1有粉9=1,解得6=小L，

22

所以橢圓C的標準方程為5+1=1.

（2）證明當直線/的斜率不存在時，

A（xi,yi）,B（xi,一yi）,

33

yi—yi一］

k\+ki—廠j=1，

xi+1

解得％i=—4,不符合題意;

當直線/的斜率存在時，設直線/的方程

y=kx+m9A(xi,yi),B(X2,*),

由l〃r整理得G+d/4f+g左《%+4療—12=0,

[3X2+4V2-12=0,

-8km4m2—12

Xl+X2=

3+4產'xi，=3+4后，

j=48（4^-m2+3）＞0.

由kiH-ki~—1,

整理得（2左一1）x1x2+^+m—+%2）+2m—4=0,

即（加一4左）（2m—2左一3）=0.

3

當機=左+］時，此時，直線/過尸點，不符合題意；

當機=4左時，/=4產一加2+3＞0有解，此時直線/：y=用x+4）過定點（一4,0）.

題型二其它曲線過定點問題

2f、歷

例2（2022?湖南三湘名校聯考）已知橢圓C：，v+法=1（。＞6三1）的離心率為春,

其上焦點到直線bx+2ay-y［2=0的距離為學.

⑴求橢圓C的方程；

(2)過點P&,0卜勺直線/交橢圓C于A,3兩點.試探究以線段A3為直徑的圓是

否過定點.若過，求出定點坐標；若不過，請說明理由.

解(1)由題意得，e=^T，又/=62+°2,

所以a=-\f2b,c=b.

所以廬=1,cr=2,

故橢圓C的方程為曰+f=l.

2

(2)當軸時，以線段A3為直徑的圓的方程為卜一，+j12=3y.

當軸時，以線段A3為直徑的圓的方程為f+y2=i.

可得兩圓交點為。(一1,0).

由此可知，若以線段A3為直徑的圓恒過定點，則該定點為。(一1,0).

下證。(-1,0)符合題意.

設直線/的斜率存在，且不為0,

其方程為尸小一g),代入］+%2=1,

cc2c1c

并整理得出2+2)%2—左2-2=0,

設A(%i,yi),Bg聞，

3—18

則Xl+X2=3（左2+2）'?&=9（。+2）

所以QAQB=（Xi+1）（%2+1）+^1^2X1X2~\-X1+12+1+——2

1^2—18

（XI+X2）+1+g左2=（1+9（M+2）+

3（廬+2）+1+/=。

故怎，讀，即。(一1,0)在以線段A3為直徑的圓上.

綜上，以線段A3為直徑的圓恒過定點(一1,0).

感悟提升(1)定點問題，先猜后證，可先考慮運動圖形是否有對稱性及特殊(或

極端)位置猜想，如直線的水平位置、豎直位置，即左=0或左不存在時.

(2)以曲線上的點為參數，設點尸(xi,yi),利用點在曲線兀v,y)=0上,即兀如，

yi)=0消參.

訓練2(2021?重慶診斷)已知橢圓C：，+:=1(。泌>0)的左、右頂點分別是雙曲

線Q：泉一丁2=1的左、右焦點，且C1與。2相交于點F坐，坐!

⑴求橢圓C1的標準方程；

(2)設直線/：g與橢圓。交于A,3兩點，以線段A3為直徑的圓是否恒

過定點？若恒過定點，求出該定點；若不恒過定點，請說明理由.

解(1)將f坐，書代入解得機2=1,

「?(22=m2+l=2,

將苧’當代入A狼=1，解得廬=i,

橢圓。的標準方程為曰十丁=1.

(2)設A(xi,yi),3(x2,/),

「,

y=kx~^1,

由《,整理得(9+18R)%2—12日—16=0,

*+41,

?I12-~16

..X1+X2=9+18^2,X1X2=9+L

J=144^+64(9+18^)>0.

由對稱性可知，以A3為直徑的圓若恒過定點，則定點必在y軸上.

設定點為"(0,加)，則

yiMB=(X2,2

MA=(XI9—^o),丁一丁0)

MA-MB=xiX2-\-(yi—yo)(y2—yo)

=%i12+yiy2—yo(yi+y2)+y8

X1X2~\~k^X1X2

=（1+F）XLX2一|（X1+%2）+）^8+鏟）+g

18（京-1）—+9京+6加一15

9+18^

[9的+6y°_15=0,解得加=1'

1),

以線段AB為直徑的圓恒過定點(0,1).

微點突破/齊次化處理策略

“齊次”從詞面上解釋是“次數相等”的意思.在代數里也有“齊次”的叫法，

例如產稱為二次齊次式，/中每一項都是關于x,y的二次項.下面

研究齊次化在圓錐曲線中的應用.

例已知拋物線V=2pxS＞0),過原點且互相垂直的兩直線。4。3交拋物線于

A,B求證：直線AB過定點.

證明設AB：x=my-\-n,A(xi,yi),

將直線AB方程變形為“廣=1,代入到y(tǒng)2=2px中得y2=2px-X

,、2

注意到左。尸卷，koB=》,上式兩邊同除以％2得自+卓專一§=0(*)

koA,kOB是方程(*)的兩根，則左04?左OB=—秒=—lnn=2p,

所以直線A3方程為x=my+2p,所以直線A3恒過定點(2p,0).

I分層訓練?鞏固提升

1.已知橢圓C：最十奈=1(。＞。＞0)的右焦點為(1,0),且經過點A(0,1).

⑴求橢圓C的方程;

(2)設。為原點，直線/：與橢圓C交于兩個不同點P,Q,直線

AP與x軸交于點直線AQ與x軸交于點N.若10M“。川二？，求證：直線/經

過定點.

(1)解由題意，得6=1,c=1,

所以a2=b2-\-c2=2.

x2

所以橢圓C的方程為,+y2=i.

(2)證明設尸(xi,yi),2(x2,yi),

則直線AP的方程為y="1x+l.

JXI

VI

令y=0,得點M的橫坐標砧=-----

^1—1

又y\—kx\t,

從而10M=即|=鼠;二1-

?X2

同理，3=EFT

y—kx~\~t,

22

由〈％9得(1+2左zW+ddx+Zz—2=0,

5+J,、

則』=(4k)2—4(1+2-)(2?—2)=163—8於+8>0,

1

廠,4ktIt—2

九1十九2——]+2左2，X1X：

以IOMHOM

XIIIXI

kxi~\~t—111kx2~\~t—1

X1X2

+左(^―1)(XI+%2)+Ct-1)2

2P—2

1+2

1+/

又10M-|0川=2,所以2=2.

解得/=0,滿足/>0,所以直線/經過定點(0,0).

2.已知拋物線C的頂點在原點，焦點在坐標軸上，點A(l,2)為拋物線C上一點.

(1)求拋物線C的方程；

⑵若點3(1,—2)在拋物線C上,過點B作拋物線C的兩條弦BP與BQ,若kBp-kBQ

=-2,求證：直線PQ過定點.

(1)解若拋物線的焦點在x軸上，設拋物線方程為產;以，代入點A(l,2),可

得。=4,所以拋物線方程為y2=4x.

若拋物線的焦點在y軸上，設拋物線方程為一二冽y，代入點A(l,2),可得加=

所以拋物線方程為一4.

綜上所述，拋物線C的方程是丁=以或

⑵證明因為點3(1,—2)在拋物線C上，所以由⑴可得拋物線C的方程是V

=4x.

易知直線3尸，3Q的斜率均存在，設直線的方程為y+2=4x—1),

將直線3尸的方程代入V=4x,消去》得

Fx2—(2M+4左+4)x+(左+2戶=0.

▼小(%+2)2

設P(xi,yi),則xi=正,

所始2以(尸(左卜+2^)^2，2左+4)

2

用一工替換點P坐標中的左，

可得。((左一1)2,2—24)，從而直線尸。的斜率為

2k+4,

k_2+2左_________2-+44

(左+2)2-二=—>+2-+4左+4

—N——(D

2k

——4+2左+2'

故直線PQ的方程是

2k

y—2+2左=_后+2左+2廿一(%—1)公

通過觀察，應有一女2+2左+2=%一(左一1)2,得x=3,y=2,

所以直線PQ恒過定點(3,2).

3.已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最

大值為3,最小值為1.

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)若直線/：丁=h+根與橢圓C相交于A,3兩點(A,3不是左右頂點)，且以

A3為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線/過定點，并求出該定點的坐標.

72

解⑴由題意，設橢圓的標準方程為，+方=1(。>6>0),a+c=3,a—c=i9a

=2,c=l,b2=3,

72

所以橢圓c的標準方程為，+5=1.

(2)設A(xi,yi),B(X2,y2),

y=kx-\-m9

由,/+9］得加丘+4(機2—3)=0,

A=64m2^-16(3+4^)(m2-3)>0,3+4)t2-m2>0.

8mk4(m2—3)

X1+X23+4/XPX2=-3+4產

3(m2—4/^)

2=,

y\-yi=(kxi+m)?(te+m)=Icxixi+mk(xi+X2)+m-3+4F

因為以A3為直徑的圓過橢圓的右頂點0(2,0),kAD-kBD=-l,

3(加2-4標)4(二-3)

所以個?上51,w+%1%2-2(%i+%2)+4=0,

Xi—2X2—2―3+叱~+3+4F

+'3+4%2+4=。,7m2+16m^+4^2=0,解得mi=—2k,mz=—q,

且滿足3+4^2—m2>0.

當力=-2左時，/：y=k(x-2)9直線過定點(2,0),與已知矛盾;

當為=一當時，/:y=小一技直線過定點停，0)

綜上可知，直線/過定點，定點坐標為停，0)

4.(2022?濟南模擬)已知橢圓C：2+*1(。泌＞0)的左、右焦點分別為Fi,F2,

點「I?，坐)滿足1尸人1+1尸冏=2處且SAPAR2=|.

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)過點M(4,0)的直線/與C交于A(xi,yi),3(x2,*)兩點，且yyWO,問在x

軸上是否存在定點N,使得直線ML,NB與y軸圍成的三角形始終為底邊在y軸

上的等腰三角形？若存在，求出定點N的坐標；若不存