2024年廣東省東莞市高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）記復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為2,若z（1+z）=2-23貝旭=（）

A.1B.V2C.2D.2V2

2.（5分）已知集合4={x|x=竽，kEZ},B-{x\x-^+kn,kEZ],貝U（）

A.A=BB.C.AQBD.

3.（5分）雙曲線石—y2=i的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為（)

lV3V3

A.遮B.1C.—D.

3

4.（5分）過(guò)/（-1,0）,B（0,3）,C（9,0）三點(diǎn)的圓與y軸交于N兩點(diǎn)，則|孫=（）

A.3B.4C.8D.6

5.（5分）假設(shè)甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過(guò)學(xué)習(xí)，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上進(jìn)步2%,

而乙疏于學(xué)習(xí)，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上退步1%.那么，大約需要經(jīng)過(guò)（）天，甲的“日能力值”

是乙的20倍.（參考數(shù)據(jù)：值102仁2.0086,/g99?=1.9956,1g2po.3010）

A.23B.100C.150D.232

22

TTrV3cosa+sina1-,,

6.（5分）a=-r+E（左EZ）"是“-------------=yJ3+1”的（）

4sinacosa

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.（5分）分別以銳角三角形45c的邊45,BC,4C為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積之比為遍：V6：2,則

cos5=（）

5V35V23V2V6

A.-----B.-----C.-----D.—

1212812

8.（5分）已知集合力={一2,3},若a,b,ce/且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)夕=優(yōu)，對(duì)數(shù)函

數(shù)歹=log辦，幕函數(shù)中至少有兩個(gè)函數(shù)在（0,+8）上單調(diào)遞增的有序數(shù)對(duì)（a,b,c）的個(gè)數(shù)是（）

A.16B.24C.32D.48

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得

6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

（多選）9.（6分）已知向量。=（1,V3）,b=（cosa,sina）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若a〃b,貝ijtana=V3

B.若（1_1/?,則tana=一第

TT71TT

C.若a與b的夾角為則|a—b|=3

D.若:與力方向相反，貝日在會(huì)上的投影向量的坐標(biāo)是（―會(huì)一學(xué)）

第1頁(yè)（共16頁(yè)）

己知偶函數(shù)（）的定義域?yàn)椋ǚQ）為奇函數(shù)，且（）在［］上單調(diào)遞增，則下列

（多選）10.（6分）/xR,fx+l/x0,1

結(jié)論正確的是（)

34

A./(-|)<0B.

2024

C.f(3)<0D.

（多選）11.（6分）已知正方體NBCD-NiSCbDi的各個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為3n的球面上，點(diǎn)尸為該球面上的任意

一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)尸，使得AP〃平面BDCi

B.有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)尸，使得4PL平面ADCi

V2+1

C.若點(diǎn)尸6平面BCC/i,則四棱錐尸-A8C。的體積的最大值為

6

D.若點(diǎn)PC平面BCCLBI，則4P+PG的最大值為逐

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）隨機(jī)變量X?N（^,。2）,若尸（X270）=P（XW90）且P（72WXW80）=0.3,則隨機(jī)變量X的第

80百分位數(shù)是.

13.（5分）已知函數(shù)/（x）=sin（3x+（p）（3>0）在區(qū)間（看，上單調(diào)，且滿足/（1）=—1,f（與D=0，則3

XV

14.（5分）已知直線/與橢圓C：百+，=1在第一象限交于尸，。兩點(diǎn)，/與x軸，y軸分別交于M,N兩點(diǎn)，且

er\PM\\QM\\PN\\QN\,,

）兩足----+-----=-----+-----,貝!11的斜率為.

\QM\\PM\\QN\\PN\-----------------------------------

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

npx—a

15.（13分）已知0<a<1,函數(shù)/（X）=1^（x=0）.

（1）求/（X）的單調(diào)區(qū)間.

（2）討論方程/（x）=。的根的個(gè)數(shù).

第2頁(yè)（共16頁(yè)）

16.(15分)如圖，已知圓柱。。1的軸截面488是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)尸是圓。1上異于點(diǎn)C,。的任意一點(diǎn).

,2V3

(1)若點(diǎn)D到平面NCP的距禺為亍，證明：OiP_LCZ).

(2)求OC與平面NC尸所成角的正弦值的取值范圍.

第3頁(yè)(共16頁(yè))

17.(15分)如圖，已知拋物線C：x2=4y,其上有定點(diǎn)/(-2,1),B(6,9),動(dòng)點(diǎn)尸在拋物線上，且點(diǎn)尸位于

點(diǎn)45之間的曲線段上(不與點(diǎn)48重合)，過(guò)點(diǎn)8作直線/尸的垂線，垂足為。.

(1)若點(diǎn)尸是4。的中點(diǎn)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(2)求但。|是否有最大值，若有，求出其最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第4頁(yè)(共16頁(yè))

18.(17分)某單位進(jìn)行招聘面試，已知參加面試的N名學(xué)生全都來(lái)自4,B,C三所學(xué)校，其中來(lái)自/校的學(xué)生人

數(shù)為〃該單位要求所有面試人員面試前到場(chǎng)，并隨機(jī)給每人安排一個(gè)面試號(hào)碼左1=1,2,3,…，N),

按面試號(hào)碼改由小到大依次進(jìn)行面試，每人面試時(shí)長(zhǎng)5分鐘，面試完成后自行離場(chǎng).

(1)求面試號(hào)碼為2的學(xué)生來(lái)自/校的概率.

(2)若N=40,月=10,且比C兩所學(xué)校參加面試的學(xué)生人數(shù)比為1：2,求/校參加面試的學(xué)生先于其他兩校

學(xué)生完成面試(/校所有參加面試的學(xué)生完成面試后，B,C兩校都還有學(xué)生未完成面試)的概率.

(3)記隨機(jī)變量X表示最后一名/校學(xué)生完成面試所用的時(shí)長(zhǎng)(從第1名學(xué)生開始面試到最后一名/校學(xué)生完

成面試所用的時(shí)間)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明：E(X)=嗎尸.

第5頁(yè)(共16頁(yè))

19.（17分）數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計(jì)算，是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其主要研究對(duì)象包括向量和矩陣.對(duì)于平

/alla12a13

_________a21a22a23

面向量（X,歹），其模定義為|a|=J，+y2.類似地，對(duì)于〃行〃列的矩陣4〃=。31。32。33

九1O.n2Q九3

1

其?？捎上蛄磕Ｍ卣篂棰?（EM￡陶陶2）2（其中劭?為矩陣中第2?行第，列的數(shù)，￡為求和符號(hào)），記作//A//

F，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對(duì)于矩陣/22=,；；5）-其矩陣?！∟〃

1_____________________

尸=（EL1岑=1布）2=.22+42+32+52=3近弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)等前沿領(lǐng)域有重要的應(yīng)用?

/I00

0V20

(1)VwGN*,心3,矩陣及〃=00V3求使〃5〃尸＞3代的n的最小值.

\000

(2)V/iGN*n2矩陣

(1COS0COS0cos3COS。cosd\

0—sinO—sinOcosO—sinOcosO—sinOcosO—sinOcosO

Cnn=,求〃?！ㄊ?

0000(-l)n-2smn-20(—l)n-2smn-20cos0

\00000(-1尸-飛譏nT。/

0…0\

n+1

n+lan+l匠

》（陪建》（吟產(chǎn)0.,0

，證明：V/iGN*,3,//D///O3J_

（3）矩陣。加=Q

4Vn-14Vn-14Vn-17571十V

Zn(2)n-1/n(2)n-1Zn(5-)n-1??0

2VnQVnQVnQVn

\嗚)元）（2）五仇(彳)布…仇(彳)方)

第6頁(yè)（共16頁(yè)）

2024年廣東省東莞市高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)記復(fù)數(shù)z的共飄復(fù)數(shù)為2,若z(1+/)=2-23貝旭=()

A.1B.V2C.2D.2V2

解：由z(1+z)=2-2i,得z=jy=(備=-2i.團(tuán)=2.故選：C.

.1.4III-LIL)I_1.UI乙

2.(5分)已知集合/={%|%=竽，kGZ},B={%|%=5+%兀，fcGZ},貝！J()

A.A=BB.AHB=0C.AQBD.A^B

解：由集合8={%|%=白羅三，kEZ},A={%|%=竽，fcGZ),得/n艮故選：D.

3.(5分)雙曲線石-y2=1的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為()

lV3V3

A.V3B.1C.—D.—

23

解：雙曲線=一步=1的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為/(V3,0),一條漸近線方程為了=字刈即x—8y=0,

則雙曲線上y2=1的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為d周=g故選：c.

3

J12+(-V3)2，

4.(5分)過(guò)/(-1,0),B(0,3),C(9,0)三點(diǎn)的圓與y軸交于M,N兩點(diǎn)，則此W|=()

A.3B.4C.8D.6

解：設(shè)圓的方程為?+/+瓜+切+尸=0,代入點(diǎn)/(-1,0),B(0,3),C(9,0),

(1-D+F=0

貝19+3E+F=0,解得。=-8,E=0,F=-9,可得x2+/-8x-9=0,整理得(x-4)2+/=25符合題意,

、81+9。+F=0

所以圓的方程為了+產(chǎn)-網(wǎng)-9=0,令x=0,可得y2-9=0,解得y=±3,所以|ACV|=6.故選：D.

5.(5分)假設(shè)甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過(guò)學(xué)習(xí)，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上進(jìn)步2%,

而乙疏于學(xué)習(xí)，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上退步1%.那么，大約需要經(jīng)過(guò)()天，甲的“日能力值”

是乙的20倍.(參考數(shù)據(jù)：Zgl02?2.0086,/g99-1.9956,lg2-0.3010)

A.23B.100C.150D.232

解：設(shè)甲和乙剛開始的“日能力值”為1,則〃天后，甲、乙的“日能力值”分別(1+2%)",(1-1%)"

依題意，生黑=20,即(挈尸=20,兩邊取常用對(duì)數(shù)得〃匈*=匈20,因此九=行篇監(jiān)礪"

(1—1%)"yyig乙一

1+0,3010

100,所以大約需要經(jīng)過(guò)100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.故選：B.

2.0086-1.9956

n.lV3cos2a+sin2a/—,,

6.（5分）a=-7+E（左CZ）是z“z-------------=y/3+1”的（）

4sinacosa

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條伴D.既不充分也不必要條件

第7頁(yè)(共16頁(yè))

解：因?yàn)榛?竺亞±=W+i,所以遺竺史必=b+1,所以ta/a—（舊+l）tma+百=0,

sinacosatana

BP（tana—V3）（tanacr-1）=0,所以位na=遮，或tana=l,所以a=5+k兀（左EZ）,或0=/+攵兀（左WZ）,

77J5cos2a+sin2ar—

所以“觀=3+股（任Z）”是“一：--------------=0+1”的充分不必要條件.故選：A.

qsinacosa

7.（5分）分別以銳角三角形/5C的邊BC,/C為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積之比為遍：V6：2,則

cosB=()

5V35V23V2V6

A.--B.——C.—D.—

1212812

解：設(shè)45邊上的高為CZ）：x,以邊45,BC,ZC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積分別為匕，Vi，匕,

22z

用—1「/個(gè)c?k14n二匚i、iCA'CBsinC—/曰1/i112門“nCA-CB-sinC

則一G4?CBsniC=亍48?%,所以x=7-5，可得匕rz=方兀必2,ZD+小兀％'?8。=-----5TB--------

2ZADDDJAD

22222z

T4H"7iAB-AC'Siri-An:AB'BC'SiriB

同理可得巧------荻-----，匕TZ=--------3IC--------

irCA2,'CB2'SinzCn:AB2'AC2'Siv?ATcAB2'BC2-siTi2,B

由題意可得,=V6：2,

3AB3BCSAC

AB2+BC2-AC23V2

整理得AC=,BC=，所以cosB=~n~*故選：C.

2AB-BCO

8.（5分）已知集合2={-4,2,3）,若a,b,且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)^=〃，對(duì)數(shù)函

數(shù)y=log施，幕函數(shù)中至少有兩個(gè)函數(shù)在（0,+°°）上單調(diào)遞增的有序數(shù)對(duì)（a,b,c）的個(gè)數(shù)是（）

A.16B.24C.32D.48

解：由題意知，滿足指數(shù)函數(shù)y=a]（a>0且QWI）,對(duì)數(shù)函數(shù)y=log胡（6>0且6W1）的a,b取值，且使得它

們?cè)冢?,+8）單調(diào)遞增的a,b都只有2個(gè)，分別是2,3.滿足募函數(shù)的c取值，且使得它在（0,+8）

11

上單調(diào)遞增的。有4個(gè)，分別為5,2,3.

由于〃，6,c互不相等，有三種情況：①指數(shù)函數(shù)〉=〃，對(duì)數(shù)函數(shù)y=log屬在（0,+8）上單調(diào)遞增，而事函

數(shù)不滿足，有2X1X2=4種；

②指數(shù)函數(shù)幕函數(shù)y=x。在（0,+°°）上單調(diào)遞增，而對(duì)數(shù)函數(shù)y=log融不滿足，有2X2X2=8種；

③對(duì)數(shù)函數(shù)>=log“基函數(shù)在（0,+8）單調(diào)遞增，而指數(shù)函數(shù)不滿足，有2X2X2=8種（與②

相同）；

④三個(gè)函數(shù)都在（0,+8）單調(diào)遞增，有2X2=4種；

由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有4+8+8+4=24種選法，也即滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（a,b,c）有24個(gè).

故選：B.

第8頁(yè)（共16頁(yè)）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得

6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

(多選)9.(6分)已知向量。=(1,V3),b=(cosa,sina),則下列結(jié)論正確的是()

A.若?！╞,貝！Jtana=遮B.若@_15,則tana=—F~C.若a與b的夾角為二，貝力a—切=3

D.若熱與力方向相反，則力在會(huì)上的投影向量的坐標(biāo)是(-±,-日)

解：向量Q=(1,V3),b=(cosa,sina),a//b,則s譏a=J^cosa,解得tana=V5,故Z正確；

T_>TT7f

a±Z),貝!Jcosa+gs譏a=0,解得tana=—斗，故5正確；|a|=2,網(wǎng)=1,若a與b的夾角為4，

$3

則a?b=|a|網(wǎng)cos@=2x1x2=1,故|a—b|=個(gè)斜―2a?b+b?=，4—2+1=W,若a與b方向相反，

貝!Jb在；上的投影向量的坐標(biāo)是：網(wǎng)cos兀?￡=1X(-1)(-/,—號(hào))，故。正確.故選：ABD.

(多選)10.(6分)已知偶函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,f(4x+l)為奇函數(shù)，且/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，則下列

結(jié)論正確的是()

3

A./(-|)<0B./(14)>0

C./(3)<0

解：因?yàn)?G)為偶函數(shù)，所以/(-X)=/(x)；因?yàn)閒(稱x+l)是R上的奇函數(shù)，所以/(I)=0,

且f(竽)的圖象是由/(*)的圖象向左平移2個(gè)單位得到的，所以/(*)的圖象關(guān)于(2,0)點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)一步得了

(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，即/(1+x)

所以f(x+2)—f(1+(1+x))—-f(.1-(1+x))—-fQ-x)--f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)—f(x).所

以函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，且周期為4；又/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，所以在［0,1］上，有/(x)<0.

所以函數(shù)的草圖如下：

由圖可知：2故4錯(cuò)；/(4J)>0,故8對(duì)；〃3)=0,故。錯(cuò)；

=/(674+f)=/(4x168+2+()=/(2+>0,故。對(duì).故選：BD.

(多選)11.(6分)已知正方體/BCD-/151cl。的各個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為3n的球面上，點(diǎn)尸為該球面上的任意

一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P,使得AP〃平面3D。B.有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P,使得/尸，平面5DC1

V2+1

C.若點(diǎn)尸6平面8CC181,則四棱錐尸-的體積的最大值為

第9頁(yè)(共16頁(yè))

D.若點(diǎn)PC平面8CC181，則/P+PC1的最大值為逐

解：正方體/BCD-的各個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為3n的球面上，點(diǎn)尸為該球面上的任意一點(diǎn),

令正方體48CD-A\B\C\D\的外接球半徑為r,則W=3ir,解得r=學(xué)

連接481，AD\,B\D\,由四邊形48cbDi是該正方體的對(duì)角面，得四邊形A8C15是矩形，

即有4Di〃3Ci，「BCiu平面ADG，4Di仁平面ADQ,，4Di〃平面BZ）Ci，

同理481〃平面8OC1，"：ABiDADi=A,AB\,4Diu平面48］。］,平面48boi〃平面BDQ,

令平面/皿1截球面所得截面小圓為圓M,對(duì)圓M上任意一點(diǎn)（除點(diǎn)/外）均有/尸〃平面ADCi,故/正確;

對(duì)于￡過(guò)/與平面3。。垂直的直線NP僅有一條，這樣的尸點(diǎn)至多一個(gè)，故8錯(cuò)誤；

V2

對(duì)于C,平面BCC/i截球面為圓尺，圓R的半徑為彳，

則圓R上的點(diǎn)到底面ABCD上的點(diǎn)到底面ABCD的距離的最大值為苦口，

1V2+1V2+1

.??四棱錐P-/BCD的體積的最大值為gx1x——=^―,故C正確；

3z6

對(duì)于。，由題意平面5。。1歷，在平面5CC151內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

令(sin0+cosO)=x,AP+PC\=V2+%+y/1—x=J(V2+x+V1—%)2<^2[(V2+x)2+(V1—%)2]=V6,

當(dāng)且僅當(dāng)x=—J取等號(hào)，此時(shí)避(sin0+cos0)=—i,即sin(0+?)=—i,

z2Z4z

??,/P+PC1的最大值為迎，故。正確.故選：ACD.

第10頁(yè)（共16頁(yè)）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）隨機(jī)變量X?N（|1,。2）,若尸（X>70）=P（XW90）且P（72WXW80）=0.3,則隨機(jī)變量X的第

80百分位數(shù)是88.

解：隨機(jī)變量X?NR,。2）,又尸（X270）=P（XW90）,貝以=80,

因此尸（80WXW88）=P（72WXW80）=0.3,則P（XW88）=0.5+尸（80WXW88）=0.8,

所以隨機(jī)變量X的第80百分位數(shù)是88.故答案為：88.

13.（5分）已知函數(shù)/（x）=sin（3x+（p）（3>0）在區(qū)間（。居）上單調(diào)，且滿足//）=一1,/■（竽）=0,貝心

_6

~~7~'

解:依題意,f（x）min=f（^）=-l,而函數(shù)/G）在弓,碧）上單調(diào),

則函數(shù)/（X）的最小正周期722（招—看）=萼，又八苧）=0,

,一'=葛<7，因此彳=窘，解得了=竽，所以3=爺=.故答案為：

1U乙T*.乙/

X2V2

14.（5分）已知直線/與橢圓C：百+，=1在第一象限交于尸，。兩點(diǎn)，/與x軸，y軸分別交于M,N兩點(diǎn)，且

\PM\\QM\|PN||QN|V6

倆足兩+兩=兩+兩'貝」的斜率為一一w一.

解：如圖所示，不妨設(shè)尸在。的左側(cè)，取P。的中點(diǎn)尺，

設(shè)尸Gi,yi）,Q（X2,"），則R（血/，珥及），可得直線/的斜率k=手臺(tái)，直線07?的斜率k°R=3知,

乙乙Xi—Xo十

左

/光

■+1

I32-2222

貝.

H<,兩式相減得曰2+=o,

均

因?yàn)槭╔I，yi）,Q（X2,J2）在橢圓C：停+今=1上,JI禿

■+--1

\32

y?-y529IPMI|QN|i

整理得與一孑二—個(gè)即岫〃/=一名可知焉，品E（L+8）,因?yàn)?（%）=%+白在（1,+8）內(nèi)單調(diào)遞

%］一%2§?||\rN|工

由儂+也=股1+咧可得儂=咧，即段3=3電，整理得|叫=|呼，

\QM\\PM\|QN|\PN\\QM\|PN|\QM\\PN\111

可知火為MV的中點(diǎn)，則。寓=1如，可知左OR=-左，結(jié)合MR/=—|可得后=多且左<0,則卜=-第，

檢驗(yàn)k=-孚符合題意，所以直線的斜率為-卓.故答案為：卷.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

fjpX—CL

15.（13分）已知函數(shù)/（x）=竺二（x￥0）.

（1）求/（x）的單調(diào)區(qū)間.（2）討論方程/（x）=a的根的個(gè)數(shù).

第11頁(yè)（共16頁(yè)）

XaXaXa

々刀/1\rmNr、CL6-,八、匕匚[、i/〃、dC~'X-CLC~0/一1)

解：(1)因?yàn)?(%)==所z以，/(%)=-----衣-----=——3~~二

由，(x)>0=>%>1,又函數(shù)定義域?yàn)?-8,o)U(0,+8),

所以函數(shù)在(-8,0)和(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+°°)上單調(diào)遞增.

(2)因?yàn)樗裕?dāng)x<0時(shí)，/(x)=R]V0,方程/(x)=a無(wú)解；當(dāng)x>0,函數(shù)在(0,1)上遞

減，在(1,+8)遞增，所以/(X)僅譏=/(I)=aeJa>ae°=a,所以方程/(x)=a無(wú)解.

綜上可知，方程/(x)=。的根的個(gè)數(shù)為0.

16.(15分)如圖，已知圓柱。01的軸截面4BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)尸是圓。1上異于點(diǎn)C,。的任意一點(diǎn).

(1)證明：如圖，連接。尸，過(guò)點(diǎn)。作D〃_L4P,垂足為〃，由CD是圓。1的直徑，MCPLDP,

由4D是圓柱側(cè)面的母線，得4D_L平面CDP,而CPu平面CDP,則4D_LCP,又AD,DPu平面4DP,ADH

DP=D,因止匕CP_L平面/。尸，而?！╱平面ADP,貝!]D〃_LCP,又DH上AP,AP,尸Cu平面NCP,APC\PC=P,

所以D8_L平面ACP,則點(diǎn)D到平面ACP的距離為DH,即。"=竽，設(shè)DP=a(a>0),則有AP=Va2+4,

由AD*DP=AP,DH,得2-a=Va2+4?苧,解得a=JL又CD=2,則DP=PC=&,而Oi是CD的中點(diǎn)，

所以O(shè)iPLCD；

(2)解：在平面尸CD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)。1作OiELOC交圓。1于點(diǎn)E,連接。Q,

由。O1，平面PCD,得直線OiE,OiC,Oi。兩兩垂直，以。1為原點(diǎn)，直線。加，OiC,OiO分別為x,修z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,2),C(0,1,0),A(0,-1,2),

設(shè)點(diǎn)尸(〃[，n,0),而點(diǎn)尸在圓Oi上，有加2+后=1,且“6(-1,1),

->—?-?—>_,

于是。C=(o，1，一2),4C=(0,2,-2),CP=0n,n-1,0),設(shè)平面/C尸的法向量為e=(久，y,z),

.e-AC=2y—2z=0,1,曰一,、

則nL-,取x=〃-l,得e=(n—4L—m,—m),

eCP=mx+(n—l)y=0

―)\m\

設(shè)0c與平面ACP所成角為0,則sin0=\cos{OC,

9黑V5-J2m2+(n-l)2

]日膿(nT)2_(律-1)0-1)n—12-2

KL(n-l)2,業(yè)1一層(l-n)(l+n)幣由任「1，1)，則有一1+中e(。，+8),

V5-——3

第12頁(yè)(共16頁(yè))

于是J2+（；卑=12+（-1+系）e（VL+00）,故sbi°=-1e（0,部），

共+記

所以。C與平面/CP所成角的正弦值的取值范圍是（0,需）.

17.（15分）如圖，已知拋物線C：x2=4y,其上有定點(diǎn)/（-2,1）,B（6,9）,動(dòng)點(diǎn)尸在拋物線上，且點(diǎn)P位于

點(diǎn)/,8之間的曲線段上（不與點(diǎn)43重合），過(guò)點(diǎn)3作直線/尸的垂線，垂足為。.

（1）若點(diǎn)尸是/。的中點(diǎn)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

（2）求出。是否有最大值，若有，求出其最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：⑴由點(diǎn)尸在拋物線上，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（如蛾），則-2<xo<6,

由點(diǎn)P是/。的中點(diǎn)，且點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2,1）,得點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2K0+2,亭T），

故4P=（%o+2,-1）,BQ=（2%o+2-6,-1—9）=（2%0—4,-10）,

—?—?久2久2

因?yàn)閆PJLB。,所以ZP,BQ=0,即（%0+2）（2%0-4）+（*-1）（號(hào)-10）=0,

]

整理得指。0+2）2（久0—2）2=0,解得XO=2或XO=-2（含），所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,1）；

（2）當(dāng)直線4P的斜率為0時(shí)，直線2。的斜率不存在，此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,1）,點(diǎn)0的坐標(biāo)為（6,1）,得

00|=8,顯然直線AP的斜率存在，當(dāng)直線AP的斜率不為0時(shí)，

設(shè)直線/尸的斜率為人"W0）,則直線時(shí)的斜率為一%,則直線乙?：y-\=k（x+2）,lBQ：y-9=—長(zhǎng)比—6）,

聯(lián)立方程,二:二二6y解得交點(diǎn)°的橫坐標(biāo)為和=一含—6,

所以田Q|=5+如Q-%BI=]]+備—署+6—61=J1+備廠吃普I

=貂（上豐°）'因?yàn)槠?8平差=小-奇=8卜55

1

由基本不等式得k+五E（—8,—2]U[2/+8）,

所以田Q|=監(jiān)"^8/，當(dāng)且僅當(dāng)k+*=—2,即左=-1時(shí)等號(hào)成立，

V/CZ+1K

而當(dāng)左=-1時(shí)，點(diǎn)/與點(diǎn)尸重合，與點(diǎn)P位于點(diǎn)A,2之間的曲線段上（不與點(diǎn)4,3重合）矛盾，

故等號(hào)不成立，即出。|<8近，

綜上，內(nèi)。不存在最大值.

18.（17分）某單位進(jìn)行招聘面試，已知參加面試的N名學(xué)生全都來(lái)自/,B,C三所學(xué)校，其中來(lái)自N校的學(xué)生人

第13頁(yè)（共16頁(yè)）

數(shù)為該單位要求所有面試人員面試前到場(chǎng)，并隨機(jī)給每人安排一個(gè)面試號(hào)碼左1=1,2,3,…，N),

按面試號(hào)碼左由小到大依次進(jìn)行面試，每人面試時(shí)長(zhǎng)5分鐘，面試完成后自行離場(chǎng).

(1)求面試號(hào)碼為2的學(xué)生來(lái)自/校的概率.

(2)若N=40,〃=10,且8,C兩所學(xué)校參加面試的學(xué)生人數(shù)比為1：2,求N校參加面試的學(xué)生先于其他兩校

學(xué)生完成面試(/校所有參加面試的學(xué)生完成面試后，B,C兩校都還有學(xué)生未完成面試)的概率.

(3)記隨機(jī)變量X表示最后一名N校學(xué)生完成面試所用的時(shí)長(zhǎng)(從第1名學(xué)生開始面試到最后一名/校學(xué)生完

成面試所用的時(shí)間)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明：E(X)=5嗯,).

解：(1)記“面試號(hào)碼為2的學(xué)生來(lái)自/?！睘槭录?

將/校〃名學(xué)生面試號(hào)碼的安排情況作為樣本空間，則樣本點(diǎn)總數(shù)為C%

事件/表示/校有1名學(xué)生的面試號(hào)碼為2,

其他?-1名學(xué)生的面試號(hào)碼在剩余N-1個(gè)面試號(hào)碼中隨機(jī)安排，

則事件/包含的樣本點(diǎn)數(shù)為喘二；加，

故P(A)=鋁必=亙警迎=與

Nn!(/V-n)!

X1

(2)設(shè)2校參加面試的學(xué)生有x名，由題意得，八口=:;，解得x=10,

所以8校參加面試的學(xué)生有10名，C校參加面試的學(xué)生有20名，

記“最后面試的學(xué)生來(lái)自2?！睘槭录?,“最后面試的學(xué)生來(lái)自。?！睘槭录﨏,顯然事件￡C互斥，

記“/校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試”為事件D,則。=3D+CD,

當(dāng)事件2發(fā)生時(shí)，只需考慮N,C兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位來(lái)自C校，

1n201

則P(BO)=P(B)P(D|B)=含x患=*

當(dāng)事件。發(fā)生時(shí)，只需考慮43兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位來(lái)自3校，

201o1

則P(CD)=P(0P(DIC)=瑞X瑞.

11q

所以P(D)=P(BD)+P(CD)=1+1=^;

證明：(3)由題知隨機(jī)變量X的取值為5(?+1),…，5N,

。八一1

則隨機(jī)變量X的分布列為P(X=5k)=號(hào)，k=n,n+1,N,

LN

rn-1(-

所以隨機(jī)變量X的期望E(X)=工葭5k匍二高￡夕小"建

_5'/V(々-1)!—5」「n

-C飛乙k=n(n—l)!(k—71)!-C為乙上九k

=獸?+=+i+=+