2024年1中考初中數(shù)學(xué)壓軸題（有答案）

解答題（共30小題）

1.（2024?攀枝花）如圖，以點P（-1,0）為圓心的圓，交x軸于B、C兩點（B在C的左側(cè)），交y軸于A、D

兩點（A在D的下方），AD=2%，將△ABC繞點P旋轉(zhuǎn)180。，得到△MCB.

（1）求B、C兩點的坐標(biāo)；

（2）請在圖中畫出線段MB、MC,并推斷四邊形ACMB的形態(tài)（不必證明），求出點M的坐標(biāo)；

（3）動直線1從與BM重合的位置起先繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時停止，設(shè)直線1與CM交點為E,點Q

為BE的中點，過點E作EGLBC于G,連接MQ、QG.請問在旋轉(zhuǎn)過程中NMQG的大小是否改變？若不變，求

出NMQG的度數(shù)；若改變，請說明理由.

2.（2024?蘇州）如圖，已知h_L12,20與2,12都相切,20的半徑為2cm,矩形ABCD的邊AD、AB分別與

11,12重合，AB=4、/5cm,AD=4cm,若。O與矩形ABCD沿li同時向右移動，。。的移動速度為3cm/s,矩形ABCD

的移動速度為4cm7s,設(shè)移動時間為t（s）

（1）如圖①，連接OA、AC,則NOAC的度數(shù)為°；

（2）如圖②，兩個圖形移動一段時間后，OO到達。O1的位置，矩形ABCD到達AiBiCiDi的位置，此時點O1,

Ai,Ci恰好在同始終線上，求圓心O移動的距離（即OO1的長）；

（3）在移動過程中，圓心O到矩形對角線AC所在直線的距離在不斷改變，設(shè)該距離為d（cm）,當(dāng)d<2時，求t

的取值范圍（解答時可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖）.

3.（2024?泰州）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-1x+b（b為常數(shù)，b>0）的圖象與x軸、y軸分別

相交于點A、B,半徑為4的。。與x軸正半軸相交于點C,與y軸相交于點D、E,點D在點E上方.

(1)若直線AB與而有兩個交點F、G.

①求NCFE的度數(shù)；

②用含b的代數(shù)式表示FG2,并干脆寫出b的取值范圍；

(2)設(shè)b25,在線段AB上是否存在點P,使NCPE=45。？若存在，懇求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

4.(2024?上海)如圖1,已知在平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=8,cosB=W,點P是邊BC上的動點，以CP

5

為半徑的圓C與邊AD交于點E、F(點F在點E的右側(cè))，射線CE與射線BA交于點G.

(1)當(dāng)圓C經(jīng)過點A時，求CP的長；

(2)連接AP,當(dāng)APIICG時，求弦EF的長；

(3)當(dāng)△AGE是等腰三角形時，求圓C的半徑長.

5.(2024?常州)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M(、歷，&),以點M為圓心，OM長為半徑作。M.使。M與

直線OM的另一交點為點B,與x軸，y軸的另一交點分別為點D,A(如圖)，連接AM.點P是定上的動點.

(1)寫出NAMB的度數(shù)；

(2)點Q在射線OP上，且OP?OQ=20,過點Q作QC垂直于直線OM,垂足為C,直線QC交x軸于點E.

①當(dāng)動點P與點B重合時，求點E的坐標(biāo)；

②連接QD,設(shè)點Q的縱坐標(biāo)為t,AQOD的面積為S.求S與t的函數(shù)關(guān)系式及S的取值范圍.

6.(2024?漳州)閱讀材料：如圖1,在AAOB中，Z0=90°,OA=OB,點P在AB邊上，PE_LOA于點E,PF±OB

于點F,則PE+PF=OA.(此結(jié)論不必證明，可干脆應(yīng)用)

(1)【理解與應(yīng)用】

如圖2,正方形ABCD的邊長為2,對角線AC,BD相交于點O,點P在AB邊上，PE_LOA于點E,PF_LOB于

點F,貝UPE+PF的值為.

(2)【類比與推理】

如圖3,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,AB=4,AD=3,點P在AB邊上，PEIIOB交AC于點E,PFIIOA

交BD于點F,求PE+PF的值；

(3)【拓展與延長】

如圖4,。。的半徑為4,A,B,C,D是。。上的四點，過點C,D的切線CH,DG相交于點M,點P在弦AB

上，PEIIBC交AC于點E,PFIIAD于點F,當(dāng)NADG=NBCH=30。時，PE+PF是否為定值？若是，懇求出這個定

值；若不是，請說明理由.

7.(2024?云南)已知如圖平面直角坐標(biāo)系中，點O是坐標(biāo)原點，矩形ABCO是頂點坐標(biāo)分別為A(3,0)、B(3,

4)、C(0.4).點D在y軸上，且點D的坐標(biāo)為(0,-5),點P是直線AC上的一動點.

(1)當(dāng)點P運動到線段AC的中點時，求直線DP的解析式(關(guān)系式)；

(2)當(dāng)點P沿直線AC移動時，過點D、P的直線與x軸交于點M.問在x軸的正半軸上是否存在使△D0M與小ABC

相像的點M?若存在，懇求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)當(dāng)點P沿直線AC移動時，以點P為圓心、R(R>0)為半徑長畫圓.得到的圓稱為動圓P.若設(shè)動圓P的半

徑長為空，過點D作動圓P的兩條切線與動圓P分別相切于點E、F.請?zhí)角笤趧訄AP中是否存在面積最小的四邊

2

形DEPF?若存在，懇求出最小面積S的值；若不存在，請說明理由.

8.(2024?湖州)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點，以P(1,1)為圓心的OP與x軸，y軸分別相切

于點M和點N,點F從點M動身，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，連接PF,過點PELPF交y軸

于點E,設(shè)點F運動的時間是t秒(t>0).

(1)若點E在y軸的負半軸上(如圖所示)，求證：PE=PF；

(2)在點F運動過程中，設(shè)OE=a,OF=b,試用含a的代數(shù)式表示b；

(3)作點F關(guān)于點M的對稱點F,經(jīng)過M、E和F三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q,連接QE.在點F運動

過程中，是否存在某一時刻，使得以點Q、0、E為頂點的三角形與以點P、M、F為頂點的三角形相像？若存在,

請干脆寫出t的值；若不存在，請說明理由.

9.(2024?陜西)問題探究

(1)如圖①，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,假如BC邊上存在點P,使△APD為等腰三角形，那么請畫出滿

意條件的一個等腰三角形△APD,并求出此時BP的長；

(2)如圖②，在△ABC中，NABC=60。，BC=12,AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點，當(dāng)AD=6

時，BC邊上存在一點Q,使NEQF=90。，求此時BQ的長；

問題解決

(3)有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE,山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點M安裝監(jiān)控裝置，

用來監(jiān)視邊AB,現(xiàn)只要使NAMB大約為60。，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達到最佳，己知NA=NE=ND=90。，

AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,問在線段CD上是否存在點M,使NAMB=60。？若存在，懇求出符

合條件的DM的長，若不存在，請說明理由.

圖①圖②圖③

10.(2024?成都)如圖，在。O的內(nèi)接△ABC中，ZACB=90°,AC=2BC,過C作AB的垂線1交。。于另一點D,

垂足為E.設(shè)P是眾上異于A,C的一個動點，射線AP交1于點F,連接PC與PD,PD交AB于點G.

(1)求證：△PAC”△PDF；

(2)若AB=5,AP=BP,求PD的長；

(3)在點P運動過程中，設(shè)竺=x,tanNAFD=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.(不要求寫出x的取值范圍)

BG

11.(2024?寧波)木匠黃師傅用長AB=3,寬BC=2的矩形木板做一個盡可能大的圓形桌面，他設(shè)計了四種方案:

方案一：干脆鋸一個半徑最大的圓；

方案二：圓心01、02分別在CD、AB上，半徑分別是OiC、O2A,鋸兩個外切的半圓拼成一個圓;

方案三：沿對角線AC將矩形鋸成兩個三角形，適當(dāng)平移三角形并鋸一個最大的圓；

方案四：鋸一塊小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板鋸一個盡可能大的圓.

(1)寫出方案一中圓的半徑；

(2)通過計算說明方案二和方案三中，哪個圓的半徑較大？

(3)在方案四中，設(shè)CE=x(0<x<l),圓的半徑為y.

①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

②當(dāng)x取何值時圓的半徑最大，最大半徑為多少？并說明四種方案中哪一個圓形桌面的半徑最大.

12.(2024?徐州)如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm,AD=4cm,點E從點A動身，沿射線AD移動，以CE為直徑

作圓O,點F為圓O與射線BD的公共點，連接EF、CF,過點E作EGLEF,EG與圓。相交于點G,連接CG.

(1)試說明四邊形EFCG是矩形；

(2)當(dāng)圓O與射線BD相切時，點E停止移動，在點E移動的過程中，

①矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個最大值或最小值；若不存在，說明理由；

②求點G移動路途的長.

13.(2024?東昌府區(qū)三模)已知：如圖，在△ABC中，AB=BC,D是AC中點，BE平分NABD交AC于點E,點

。是AB上一點，。。過B、E兩點，交BD于點G,交AB于點F.

(1)求證：AC與。O相切；

14.(2024?安徽模擬)閱讀材料：如圖，△ABC中，AB=AC,P為底邊BC上隨意一點，點P到兩腰的距離分別

為ri,r2,腰上的高為h,連接AP,則SAABP+SAACP=SAABC,即：—AB?n+—AC*r2=AAB?h,ri+r2=h

222

(1)理解與應(yīng)用

假如把"等腰三角形"改成"等邊三角形"，那么P的位置可以由"在底邊上任一點"放寬為"在三角形內(nèi)任一點"，

即：已知邊長為2的等邊△ABC內(nèi)隨意一點P到各邊的距離分別為n,⑵巧，試證明：「］+「2+r3=近.

(2)類比與推理

邊長為2的正方形內(nèi)隨意一點到各邊的距離的和等于；

(3)拓展與延長

若邊長為2的正n邊形AiA2...An內(nèi)部隨意一點P到各邊的距離為n,r2,...m,請問ri+r2+...rn是否為定值(用含n

的式子表示)，假如是，請合理揣測出這個定值.

15.(2024?安徽名校一模)如圖AABC中NA=90。，以AB為直徑的。O交BC于D,E為AC邊中點，求證：DE

是。O的切線.

16.(2024?灌南縣模擬)如圖，AB是。。的直徑，AC是弦，ZACD=lzAOC,ADLCD于點D.

2

(1)求證：CD是。O的切線；

(2)若AB=10,AD=2,求AC的長.

17.(2024?普陀區(qū)二模)如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6,點D為BC邊上一動點(不與點B重合),

過D作射線DE交AB邊于E,使NBDE=NA,以D為圓心、DC的長為半徑作0D.

(1)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域.

(2)當(dāng)。D與AB邊相切時，求BD的長.

(3)假如。E是以E為圓心，AE的長為半徑的圓，那么當(dāng)BD的長為多少時，OD與。E相切？

18.(2024?江西模擬)如圖，矩形ABCD的邊AB=4,BC=3.一簡易量角器放置在矩形ABCD內(nèi)，其零度線即半

圓。的直徑與邊AB重合，點A處是0刻度，點B處是180刻度.P點是量角器的半圓弧上一動點，過P點的切

線與邊BC、CD(或其延長線)分別交于點E、F.設(shè)點P的刻度數(shù)為n,ZPAB=a.

(1)當(dāng)n=136時，a=,求出a與n的關(guān)系式；

(2)在P點的運動過程中，線段EB與EP有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請予證明；

(3)在P點的運動過程中，F(xiàn)點在直線CD上的位置隨著a的改變而改變，當(dāng)F點在線段CD上時、在CD的延長

線上時、在DC的延長線上時，對應(yīng)的a值分別是多少？(參考數(shù)據(jù)：tan56.3%1.5)

(4)連接BP,在P點的運動過程中，是否存在△ABP與ACEF相像的狀況？若存在，求出此時n的值以及相應(yīng)的

EF的長；若不存在，請說明理由.

19.(2024?廣東一模)如圖，正方形ABCD的邊長是8cm,以正方形的中心O為圓心，EF為直徑的半圓切AB于

M、切BC于N,已知C為BG的中點，AG交CD于H.P,Q同時從A動身，P以lcm/s的速度沿折線ADCG運

動,Q以近cm/s的速速沿線段AG方向運動，P,Q中有一點到達終點時，整個運動停止.P,Q運動的時間記為t.

2

(1)當(dāng)t=4時，求證：APEFVAMEF；

(2)當(dāng)0148時，試推斷PQ與CD的位置關(guān)系；

(3)當(dāng)t>8時，是否存在t使得一=立？若存在懇求出全部t的值，若不存在，請說明理由.

EF2+16V216

20.(2024?營口)如圖，點C是以AB為直徑的上的一點，AD與過點C的切線相互垂直，垂足為點D.

(1)求證：AC平分NBAD；

(2)若CD=1,AC=V1Q,求。。的半徑長.

D

21.(2024?襄陽)如圖，AABC內(nèi)接于。O,且AB為。。的直徑.NACB的平分線交。。于點D,過點D作。O

的切線PD交CA的延長線于點P,過點A作AE_LCD于點E,過點B作BFLCD于點F.

(1)求證：DPIIAB；

(2)若AC=6,BC=8,求線段PD的長.

22.(2024?曲靖)如圖，的直徑AB=10,C、D是圓上的兩點，且藍二而=加.設(shè)過點D的切線ED交AC的

延長線于點F.連接OC交AD于點G.

(1)求證：DF_LAF.

(2)求OG的長.

23.(2024?德陽)如圖，已知AB是。O直徑，BC是。O的弦，弦EDLAB于點F,交BC于點G,過點C作。O

的切線與ED的延長線交于點P.

(1)求證：PC=PG；

(2)點C在劣弧AD上運動時，其他條件不變，若點G是BC的中點，摸索究CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系,

并寫出證明過程；_

(3)在滿意(2)的條件下，已知。。的半徑為5,若點。到BC的距離為正時，求弦ED的長.

A—?/A

R

24.(2024?賀州)己知：。。的直徑為3,線段AC=4,直線AC和PM分別與。。相切于點A,M.

(1)求證：點P是線段AC的中點；

(2)求sinNPMC的值.

25.(2024?蘭州)己知，如圖，直線MN交。。于A,B兩點，AC是直徑，AD平分NCAM交。。于D,過D作

DE_LMN于E.

(1)求證：DE是。O的切線；

(2)若DE=6cm,AE=3cm,求。。的半徑.

26.(2024?南寧)如圖，在△ABC中，NBAC=90。，AB=AC,AB是。O的直徑，。。交BC于點D,DE_LAC于

點E,BE交。O于點F,連接AF,AF的延長線交DE于點P.

(1)求證：DE是。O的切線；

(2)求tanNABE的值；

(3)若OA=2,求線段AP的長.

27.(2024?長沙)如圖，△ABC中，以AB為直徑的。。交AC于點D,ZDBC=ZBAC.

(1)求證：BC是。O的切線；

(2)若。。的半徑為2,NBAC=30。，求圖中陰影部分的面積.

28.(2024?廣安)如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑作半圓。0,交BC于點D,連接AD,過點D作

DE±AC,垂足為點E,交AB的延長線于點F.

(1)求證：EF是。0的切線.

(2)假如。0的半徑為5,sinZADE=W,求BF的長.

5

29.(2024?沈陽)如圖，OC平分NMON,點A在射線OC上，以點A為圓心，半徑為2的。A與OM相切于點B,

連接BA并延長交。A于點D,交ON于點E.

(1)求證：ON是。A的切線；

(2)若NMON=60。，求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留n)

30.(2024?宜賓)如圖，AB是。0的直徑，ZB=ZCAD.

(1)求證：AC是。O的切線；

(2)若點E是面的中點，連接AE交BC于點F,當(dāng)BD=5,CD=4時，求AF的值.

參考答案與試題解析

解答題(共30小題)

1.(2024?攀枝花)如圖，以點P(-1,0)為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(B在C的左側(cè))，交y軸于A、D

兩點(A在D的下方)，AD=2加，將△ABC繞點P旋轉(zhuǎn)180。，得到△MCB.

(1)求B、C兩點的坐標(biāo)；

(2)請在圖中畫出線段MB、MC,并推斷四邊形ACMB的形態(tài)(不必證明)，求出點M的坐標(biāo)；

(3)動直線1從與BM重合的位置起先繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時停止，設(shè)直線1與CM交點為E,點Q

為BE的中點，過點E作EGLBC于G,連接MQ、QG.請問在旋轉(zhuǎn)過程中NMQG的大小是否改變？若不變，求

出NMQG的度數(shù)；若改變，請說明理由.

考點：圓的綜合題.

專題：壓軸題.

分析：(1)連接PA,運用垂徑定理及勾股定理即可求出圓的半徑，從而可以求出B、C兩點的坐標(biāo).

(2)由于圓P是中心對稱圖形，明顯射線AP與圓P的交點就是所需畫的點M,連接MB、MC即可；易

證四邊形ACMB是矩形；過點M作MH_LBC,垂足為H,易證△MHP2△AOP,從而求出MH、OH的

長，進而得到點M的坐標(biāo).

(3)易證點E、M、B、G在以點Q為圓心，QB為半徑的圓上，從而得到NMQG=2NMBG.易得

ZOCA=60°,從而得到NMBG=60。，進而得到NMQG=120。，所以NMQG是定值.

解答：解：(1)連接PA,如圖1所示.

PO±AD,

AO=DO.

AD=2?,

OA=A/3-

?.?點P坐標(biāo)為(7,0),

OP=1.

PA=VOP2+OA2=2-

BP=CP=2.

B(-3,0),C(1,0).

(2)連接AP,延長AP交0P于點M,連接MB、MC.

如圖2所示，線段MB、MC即為所求作.

四邊形ACMB是矩形.

理由如下：

???AMCB由小ABC繞點P旋轉(zhuǎn)180。所得，

?四邊形ACMB是平行四邊形.

???BC是。P的直徑，

ZCAB=90°.

平行四邊形ACMB是矩形.

過點M作MHLBC,垂足為H,如圖2所示.

在小AOP中，

???ZMHP=ZAOP,ZHPM=ZOPA,MP=AP,

AMHP2AAOP.

MH=OA=V3，PH=PO=1.

OH=2.

二點M的坐標(biāo)為(-2,、門).

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中NMQG的大小不變.

???四邊形ACMB是矩形，

ZBMC=90°.

EG-LBO,

ZBGE=90°.

/.ZBMC=ZBGE=90°.

1,點Q是BE的中點，

QM=QE=QB=QG.

.?.點E、M、B、G在以點Q為圓心，QB為半徑的圓上，如圖3所示.

ZMQG=2ZMBG.

???ZCOA=90°,OC=1,OA=y,

/.tanZOCA=里巡.

OC

/.ZOCA=60°.

/.ZMBC=ZBCA=60°.

:ZMQG=120°.

「?在旋轉(zhuǎn)過程中NMQG的大小不變，始終等于120°.

點評：本題考查了垂徑定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、特別角的

三角函數(shù)、圖形的旋轉(zhuǎn)等學(xué)問，綜合性比較強.證明點E、M、B、G在以點Q為圓心，QB為半徑的圓上

是解決第三小題的關(guān)鍵.

2.(2024?蘇州)如圖，已知11,12,。。與h,12都相切，。。的半徑為2cm,矩形ABCD的邊AD、AB分別與

11,12重合，AB=4?cm,AD=4cm,若。O與矩形ABCD沿11同時向右移動，的移動速度為3cm/s,矩形ABCD

的移動速度為4cm/s,設(shè)移動時間為t(s)

(1)如圖①，連接OA、AC,則NOAC的度數(shù)為105。；

(2)如圖②，兩個圖形移動一段時間后，OO到達。O1的位置，矩形ABCD到達A1B1C1D1的位置，此時點01,

Ai,Ci恰好在同始終線上，求圓心O移動的距離(即OO1的長)；

(3)在移動過程中，圓心O到矩形對角線AC所在直線的距離在不斷改變，設(shè)該距離為d(cm),當(dāng)d<2時，求t

的取值范圍(解答時可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖).

考點：圓的綜合題.

專題：幾何綜合題；壓軸題.

分析：(1)利用切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系分別求出NOAD=45。，NDAC=60。，進而得出答案；

(2)首先得出，ZCiAiDi=60°,再利用AiE=AAi-OOi-2=t-2,求出t的值，進而得出OOi=3t得出答

案即可；

(3)①當(dāng)直線AC與。。第一次相切時，設(shè)移動時間為ti,②當(dāng)直線AC與。。其次次相切時，設(shè)移動時

間為t2,分別求出即可.

解答：解：(1)J2,。0與11,12都相切，

ZOAD=45°,

AB=44^cm,AD=4cm,

/.CD=4^/3cm,

/.tanZDAC=-^5=

AD

/.ZDAC=60°,

NOAC的度數(shù)為：ZOAD+ZDAC=105°,

故答案為：105；

IB①位置一位置二'位置三

(2)如圖位置二，當(dāng)01,Ai,Ci恰好在同始終線上時，設(shè)。01與11的切點為E,

連接OE,可得0正=2,0iE±h,

在RSA1D1C1中，I，AiDi=4,CiDi=4/3-

tanZCiAiDi=<\/3，ZCiAiDi=60°,

在RtAA1O1E中，ZOiAiE=ZCiAiDi=60°,

AiE=——

tan60°3

:AiE=AAi-OOi-2=t-2,

?t-?-2Vs

_3

t=?V^+2,

3_

OOi=3t=2J^+6；

(3)①當(dāng)直線AC與。。第一次相切時，設(shè)移動時間為ti,

如圖，此時。。移動到。02的位置，矩形ABCD移動到A2B2c2D2的位置，

設(shè)。02與直線h,A2c2分別相切于點F,G,連接02F,02G,02A2,

02F±ll,C)2G_LA2c2,

由(2)得，ZC2A2D2=60°,二ZGA2F=120°,

/.Z02A2F=60°,

在RSA2O2F中，O2F=2,=A2F=2M,

3

???OO2=3ti,AF=AA2+A2F=4ti+?E,

_3

4ti+2y-3ti=2,

3_

ti=2-

3

②當(dāng)直線AC與。。其次次相切時，設(shè)移動時間為t2,

記第一次相切時為位置一，點01,Ai,C1共線時位置二，其次次相切時為位置三，

由題意知，從位置一到位置二所用時間與位置二到位置三所用時間相等，

-(2-=T2,(2VS+2),

333

解得：t2=2+2?,

綜上所述，當(dāng)d<2時，t的取值范圍是：2-延<1<2+2?.

3

點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等學(xué)問，利用分類探討以及數(shù)形結(jié)合t的值是解題關(guān)

鍵.

3.(2024?泰州)如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-3x+b(b為常數(shù)，b>0)的圖象與x軸、y軸分別

相交于點A、B,半徑為4的。。與x軸正半軸相交于點C,與y軸相交于點D、E,點D在點E上方.

(1)若直線AB與而有兩個交點F、G.

①求NCFE的度數(shù)；

②用含b的代數(shù)式表示FG?,并干脆寫出b的取值范圍；

(2)設(shè)bN5,在線段AB上是否存在點P,使NCPE=45。？若存在，懇求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

考點：圓的綜合題.

專題：幾何綜合題；壓軸題.

分析：(1)連接CD,EA,利用同一條弦所對的圓周角相等求行NCFE=45。，

(2)作OMLAB點M,連接OF,利用兩條直線垂直相交求出交點M的坐標(biāo)，利用勾股定理求出FM?,

再求出FG2,再依據(jù)式子寫出b的范圍，

(3)當(dāng)b=5時，直線與圓相切，存在點P,使NCPE=45。，再利用△APO-△AOB和^AMP-△AOB相

像得出點P的坐標(biāo)，再求出OP所在的直線解析式.

?ZCFE=lzCOE=45",(圓周角定理)

2

②方法一：

如圖，作OMLAB點M,連接OF,

，OM所在的直線函數(shù)式為：y=Wx,

3

交點M（皂b,西）

2525

OM2=（烏）2+（3）2,

2525

OF=4,

FM2=OF2-OM2=42-（烏）2-（嶼）2,

2525

FM=1FG,

2

FG2=4FM2=4X[42-（皂b）2-（嶼）2]=64--^b2=64x（1-Ab2）,

25252525

???直線AB與面有兩個交點F、G.

4<b<5,

FG2=64X（1-工2）（4<b<5）

25

方法二：

①如圖，作OM1.AB點M,連接OF,

二B的坐標(biāo)為(0,b),A的坐標(biāo)為(Wb,0),

AB=V0B2+0A2=1b,

sinzBAO=^=4=M,

AB25

3

OM=-b,

5

在RTAOMF中,

=2

FM7OF-0M2=^42-(-jb)2

FG=2FM,

FG2=4FM2=4(42-32)=64--^b2=64x(1-J_b2),

???直線AB與而有兩個交點F、G.

4<b<5,

FG2=64X(1-Ab2)(4<b<5)

(2)如圖,

E

(備用圖)

當(dāng)b=5時，直線與圓相切，

???在直角坐標(biāo)系中，ZCOE=90°,

ZCPE=ZODC=45°,

???存在點P,使NCPE=45。,

連接OP,

P是切點，

/.OP±AB,

△APO△AOB,

?.?—0P—_—AP,

OBAO

OP=r=4,OB=5,AO=^,

■，上整即AP=g,

5203

AB=V0B2+0A2=

作PM_LAO交AO于點M,設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y),

---AAMP-AAOB,

PM=AP

BOAB

136

y-

-_

5235

」

?.?vy-----6-,

5

X=OM=7OP2-PM2=產(chǎn)一學(xué)話

二點p的坐標(biāo)為(L,—).

55

點評：本題主要考查了圓與一次函數(shù)的學(xué)問，解題的關(guān)鍵是作出協(xié)助線，利用三角形相像求出點P的坐標(biāo).

4.(2024?上海)如圖1,已知在平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=8,cosB="l點P是邊BC上的動點，以CP

5

為半徑的圓C與邊AD交于點E、F(點F在點E的右側(cè))，射線CE與射線BA交于點G.

(1)當(dāng)圓C經(jīng)過點A時，求CP的長；

(2)連接AP,當(dāng)APIICG時，求弦EF的長；

(3)當(dāng)AAGE是等腰三角形時，求圓C的半徑長.

考點：圓的綜合題.

專題：壓軸題.

分析：(1)當(dāng)點A在。C上時，點E和點A重合，過點A作AHLBC于H,干脆利用勾股定理求出AC進而得

出答案；

(2)首先得出四邊形APCE是菱形，進而得出CM的長，進而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出CP以及EF的

長；

(3)NGAEHNBGC,只能NAGE二NAEG,禾U用ADIIBC,得出△GAE?△GBC,進而求出即可.

解答：解：(1)如圖1,設(shè)。O的半徑為r,

當(dāng)點A在。C上時，點E和點A重合，過點A作AH_LBC于H,

BH=AB?cosB=4,

/.AH=3,CH=4,

AC=VAH2+CH2=5,

止匕時CP=r=5；

(2)如圖2,若APIICE,APCE為平行四邊形，

CE=CP,

四邊形APCE是菱形，

連接AC、EP,貝l]AC_LEP,

AM=CM=2

2

由(1)知，AB=AC,則NACB=NB,

CP=CE==上

cos/ACB8

°4

(3)如圖3：過點C作CN_LAD于點N,設(shè)AQ_LBC,

1,里cosB,AB=5,

AB

BQ=4,AN=QC=BC-BQ=4.

cosB=—,

ZB<45°,

???ZBCG<90",

ZBGC>45°,

ZBGOZB=ZGAE,即NBGCZGAE,

又NAEG=ZBCG>ZACB=ZB=ZGAE,

.,.當(dāng)NAEG=NGAE時，A、E、G重合，則AAGE不存在.

即NAEGxNGAE

只能NAGE=ZAEG,

---ADIIBC,

△GAE~△GBC,

?AE_AGBnAE_AE

CBBG8AE+5

解得：AE=3,EN=AN-AE=1,

CE=VEN2+CN2=V32+1

B0P

圖3

AEF

圖1

點評：此題主要考查了相像三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等學(xué)問，利用分類探討得出

AAGE是等腰三角形時只能NAGE=ZAEG進而求出是解題關(guān)鍵.

5.（2024?常州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M（亞，&）,以點M為圓心，OM長為半徑作。M.使。M與

直線OM的另一交點為點B,與x軸，y軸的另一交點分別為點D,A（如圖），連接AM.點P是第上的動點.

（1）寫出NAMB的度數(shù)；

（2）點Q在射線0P上，且OP?OQ=20,過點Q作QC垂直于直線0M,垂足為C,直線QC交x軸于點E.

①當(dāng)動點P與點B重合時，求點E的坐標(biāo)；

考點：圓的綜合題.

專題：幾何綜合題；壓軸題.___

分析：（1）首先過點M作MHLOD于點H,由點M（V2＞、歷），可得NMOH=45。，OH=MH=?,繼而求得

zAOM=45°,又由OM=AM,可得△AOM是等腰直角三角形，繼而可求得NAMB的度數(shù)；

（2）①由OH=MH=，日，MH±OD,即可求得OD與OM的值，繼而可得OB的長，又由動點P與點B

重合時，OP?OQ=20,可求得OQ的長，繼而求得答案；

②由OD=2?,Q的縱坐標(biāo)為t,即可得然后分別從當(dāng)動點P與B點重合時，過點

Q作QFLx軸，垂足為F點，與當(dāng)動點P與A點重合時，Q點在y軸上，去分析求解即可求得答案.

解答：解：（1）過點M作MH_LOD于點H,

■:點、M（^2，五），

OH=MH=A/2，

ZMOD=45°,

???ZAOD=90°,

ZAOM=45",

OM=AM,

ZOAM=ZAOM=45°,

ZAMO=90°,

ZAMB=90°；

（2）①?.,OH=MH=?,MH±OD,

OM=yl_1_Q2=2,OD=2OH=2-\/2，

OB=4,

???動點P與點B重合時，OP?OQ=20,

OQ=5,

???ZOQE=90°,ZPOE=45°,

OE=5?,

，E點坐標(biāo)為（5?,0）

②，：OD=2?Q的縱坐標(biāo)為t,

s=^X2V2t=V2t-

如圖2,當(dāng)動點P與B點重合時，過點Q作QF^x軸，垂足為F點,

OP=4,OP?OQ=20,

OQ=5,

???ZOFC=90°,ZQOD=45°,

t=QF=.-^,

2_

此時$=正義竿=5；

如圖3,當(dāng)動點P與A點重合時，Q點在y軸上，

OP=2A/2>

???OP?OQ=20,

,t=OQ=5?,

止匕時S=&X5>/^=10；

S的取值范圍為54S410.

圖2

點評：此題考查了垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等學(xué)問.此題難度較大，留意駕馭協(xié)助線的作

法，留意駕馭數(shù)形結(jié)合思想、分類探討思想與方程思想的應(yīng)用.

6.(2024?漳州)閱讀材料：如圖1,在AAOB中，Z0=90°,OA=OB,點P在AB邊上，PE_LOA于點E,PF±OB

于點F,貝|PE+PF=OA.(此結(jié)論不必證明，可干脆應(yīng)用)

圖1圖2圖3圖4

(1)【理解與應(yīng)用】

如圖2,正方形ABCD的邊長為2,對角線AC,BD相交于點O,點P在AB邊上，PE_LOA于點E,PF_LOB于

點F,貝UPE+PF的值為—巧

(2)【類比與推理】

如圖3,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,AB=4,AD=3,點P在AB邊上，PEIIOB交AC于點E,PFIIOA

交BD于點F,求PE+PF的值；

(3)【拓展與延長】

如圖4,。。的半徑為4,A,B,C,D是。O上的四點，過點C,D的切線CH,DG相交于點M,點P在弦AB

上，PEUBC交AC于點E,PFIIAD于點F,當(dāng)NADG=NBCH=30。時，PE+PF是否為定值？若是，懇求出這個定

值；若不是，請說明理由.

考點：圓的綜合題；等邊三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；弦切角定理；相像三角形的判定與

性質(zhì).

專題：壓軸題；探究型.

分析：(1)易證：OA=OB,NAOB=90。，干脆運用閱讀材料中的結(jié)論即可解決問題.

(2)易證：OA=OB=OC=OD=0然后由條件PEIIOB,PFIIAO可證△AEP-△AOB,ABFP-△BOA,

2

從而可得堡區(qū)=理里=1,進而求出EP+FP=g

0B力AB^B2

(3)易證：AD=BC=4.仿照(2)中的解法即可求出PE+PF=4,因而PE+PF是定值.

解答：解：(1)如圖2,

四邊形ABCD是正方形，

OA=OB=OC=OD,ZABC=ZAOB=90".

AB=BC=2,

AC=2&.

0A=V2.

OA=OB,ZAOB=90°,PE±OA,PF±OB,

PE+PF=OA=V2-

(2)如圖3,

???四邊形ABCD是矩形，

OA=OB=OC=OD,ZDAB=90°.

；AB=4,AD=3,

BD=5.

OA=OB=OC=OD”.

2

?/PEIIOB,PFIIAO,

△AEP-AAOB,ABFP-△BOA.

.EP_APiFP_BP

"OB^AB'OA^AB-

.EP,FP_AP,BP-,

OB^AAB^B

55

~2~2

：.EP+FP=&

2

PE+PF的值為王.

2

(3)當(dāng)NADG=NBCH=30。時，PE+PF是定值.

理由：連接OA、OB、OC、OD,如圖4

VDG與。O相切，

ZGDA=ZABD.

???ZADG=30°,

ZABD=30°.

ZAOD=2ZABD=60°.

OA=OD,

△AOD是等邊三角形.

AD=OA=4.

同理可得：BC=4.

PEIIBC,PFIIAD,

△AEP-△ACB,△BFP-ABDA.

.PE_AP；PF_PB

"BC^AB,AD^AB-

.PEPF_APPB_1

BC^DAB^B

二罵國.

4又

PE+PF=4.

當(dāng)NADG=ZBCH=30°時，PE+PF=4.

圖3

圖2

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、弦切角定理、相像三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性

質(zhì)等學(xué)問，考查了類比聯(lián)想的實力，由肯定的綜合性.要求PE+PF的值，想到將相像所得的比式相加是解

決本題的關(guān)鍵.

7.(2024?云南)已知如圖平面直角坐標(biāo)系中，點O是坐標(biāo)原點，矩形ABCO是頂點坐標(biāo)分別為A(3,0)、B(3,

4)、C(0,4).點D在y軸上，且點D的坐標(biāo)為(0,-5),點P是直線AC上的一動點.

(1)當(dāng)點P運動到線段AC的中點時，求直線DP的解析式(關(guān)系式)；

(2)當(dāng)點P沿直線AC移動時，過點D、P的直線與x軸交于點M.問在x軸的正半軸上是否存在使△DOM與AABC

相像的點M?若存在，懇求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)當(dāng)點P沿直線AC移動時，以點P為圓心、R(R>0)為半徑長畫圓.得到的圓稱為動圓P.若設(shè)動圓P的半

徑長為空,過點D作動圓P的兩條切線與動圓P分別相切于點E、F.請?zhí)角笤趧訄AP中是否存在面積最小的四邊

2

形DEPF?若存在，懇求出最小面積S的值；若不存在，請說明理由.

考點：圓的綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；垂線段最短；勾股定理；切線長定理；相像三角形的判定與

性質(zhì).

專題：綜合題；壓軸題；存在型；分類探討.

分析：(1)只需先求出AC中點P的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線DP的解析式.

(2)由于ADOM與△ABC相像，對應(yīng)關(guān)系不確定，可分兩種狀況進行探討，利用三角形相像求出0M的

長，即可求出點M的坐標(biāo).

2222

(3)易證SAPED=SAPFD.從而有S四邊形DEPF=2SAPED=QDE.由NDEP=90°得DE=DP-PE=DP-絲.依