角

知識梳理

1.角的定義

⑴由兩條有公共端點的射線所組成的圖形.這個公共端點叫作角的頂點.

⑵由一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形.起始位置的射線叫作角的始邊，終止位置的射線叫作角的終邊.

2.角的表示方法

(1)分別用兩邊上的各一個字母和頂點字母共三個字母表示，頂點字母在中間；

(2)以某一點為頂點的角只有一個時，可以直接用頂點字母表示；

⑶用特定的字母或數(shù)字表示角.

3.角的度量及角度計算

⑴角度以度、分、秒為單位，它們之間是六十進制；

⑵角度運算時滿足“滿六十進一，借一作六十”.1。=60；1，=得)°；1，=60〃,1〃=雋)

4.角的大小比較方法

(1)疊合法;

(2)度量法;

(3)觀察法.

5.角的和、差

一般地，如果一個角的度數(shù)是另兩個角的度數(shù)之和，那么這個角就叫作另兩個角的和.如果是/a與NP的

和,記作.Ny=Na+

如果一個角的度數(shù)是另兩個角的度數(shù)之差，那么這個角就叫作另兩個角的差.如果是/丫與/a的差.記作/

p=Zy-Za.

6.角的平分線

如圖13-1所示，從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫作這個角的平分線.

符號語言：OC就是/AOB的平分線

符號表達：

AAOC=^BOC=-^AOB

2

ZAOB=ZAOC+ZBOC=2ZAOC=2ZBOC

7.余角和補角

如果兩個銳角的和是一個直角，即兩個角的和等于90。，我們就說這兩個角互為余角，簡稱互余.其中一個角

是另一個角的余角.

如果兩個角的和是一個平角，即兩個角的和等于180°,我們就說這兩個角互為補角，簡稱互補.其中一個角是

另一個角的補角.

注：互為余角、互為補角的兩個角反映的是角的數(shù)量關系，只和兩個角的大小有關，而與它們的位置無關，

所以互余與互補的角不一定相鄰（見表13-1）.

表13-1

典型例題

例1

①把105.38?；啥?、分、秒的形式；

②把72。2042”化成度的形式；

③89°36'-20°30'.

分析①把度轉化為度、分、秒的換算中，要用乘法，先把不足1度的化為分，再把不足1分的化為秒；②把

度、分、秒化成度時，要用除法，它的基本順序是先把秒化為分，并與原有的分合并，再化成度.

解①因為0.38°=60'x0.38=228,08=60"x0.8=48”,月所以105.38°=105°22'48".

②因為42°=(/)'X42=0.7；207=Q)X20.7=0.345。，所以72°20'42"=72.345°.

③因為89°36'=89.6°,20°30'=20.5°.

原式=89.6。-20.5。=69.1。.

例2

已知a,b都是鈍角，甲、乙、丙、丁四人計算其a+6)的結果依次為55。,75。,120。,150。,你認為()的結果可

能是正確的.

A.甲B.乙C.丙D.丁

分析a,b都是鈍角，根據(jù)a,b的范圍求出a+b的范圍，進而得到+b)的范圍，再判斷誰的結果可能正

確.

解因為a,b都是鈍角，所以90。。<180。,90。4<180。,得180?！?1?<360。,.所以60°<|(cz+fa)<120。，甲、

乙、丙、丁四人的計算結果，只有乙的計算結果落在這個范圍內(nèi)，所以乙的結果可能正確.答案為B.

如圖13-2所示,AB,CD相交于點O,OB平分/DOE,若/DOE=70。,求NAOC的度數(shù)？

圖13-2

分析已知OB平分/DOE,由NDOE=70?？梢郧蟪?BOE=NBOD=35。和/COE,題目要求的是/AOC的度

數(shù)，根據(jù)所給條件不能直接得出，可以將求/AOC轉化為先求/COB再得出/AOC.

解因為OB平分/DOE,/DOE=70。，

所以NBOE=/0E=[x70°=35°,

ZCOE=ZCOD-ZDOE=180°-70°=110°,

所以/BOC=NCOE+/BOE=110°+35°=145°,

所以/AOC=/AOB—/BOC=35。.

例4

已知一個角的余角比它的補角的|還少13。，求這個角.

分析將題目中的數(shù)學語言轉化為代數(shù)式，建立方程后求解.

解設這個角為x度，則這個角的余角是(90-x)度，補角是(180%渡.

由題意得，90-%=|(180-%)-13,

解方程彳導x=81.

所以這個角的度數(shù)為81。.

例5

下列有關時鐘的時針與分針所成角的說法中正確的是().

A.九點一刻時，所成的角是平角B.十點五分時，所成的角是銳角

C.十一點十分時，所成的角是鈍角D.十二點一刻時，所成的角是直角

分析時鐘的時針1小時轉30°,1分轉0.5。;分針1小時轉360°,1分轉6。.另外，還可畫圖以形助思（如圖13-3所

示）.

解B.

雙基訓練

1.如圖13-4所示,/AOB+/BOC=/;ZAOC-ZBOC=Z;ZAOB=ZAOC-Z

2.若N1+N2=90°,Z3+/2=90°,/3=40。,則Z1=，依據(jù)是_.

3.已知Na=58。23'/。的余角是__,Na的補角是—.

4.如圖13-5所示,N40B=MOD=90。,44。。=146。,則乙BOC=?.

圖13-5圖13-6圖13-7

5.如圖13-6所示,/ABC是直角.NABE=30tBF平分/ABC.則NEBF的度數(shù)是.

6如圖13-7所示,OC平分NAOB,下列說法錯誤的是（）.

A.Za=ZpB,ZAOB=2Za

1

C.Zp=2ZAOBD.^.a=-Z-AOB

7.如圖13-8所示，下列表示角的方法，錯誤的是（）.

A.Z1與/AOB表示同一個角

B.ZAOC也可用/O來表示

C.圖中共有三個角:/AOB,/AOC,/BOC

D.20表示的是/BOC

8.如圖13-9所示,/AOB=NBOC=/COD=NDOE=30。.圖中互補的角有().

A.10對B.4對C.3對D.5對

互為補角，且則/2的余角是().

1-1-11

X.1(zl+z2)C.^(zl-Z2)D.1z2

10.把下列角度轉化成度、分、秒的形式.

(1)30.6°(2)65.52°(3)32.26°

11.把下列角度化成度的形式.

(1)70°42,(2)42°30'36〃(3)75°19'12''.

12.計算:

⑴14。28'+78。35'（結果用度、分、秒表示）

（2）120°12,-78。36,（結果用度表示）

(3)180°-120°18,

13.如圖13-10所示，請比較圖中三角形三個角的大小，并說明理由.

14.如圖13-11所示，點O在直線AB上，乙40c=30°,,用量角器作出N80C的角平分線OD,并計算NAOD的

度數(shù)

/------------------------------------B

圖13-11

15.一個角的補角減去40。后，等于這個角的余角的2倍，求這個角的度數(shù).

16如圖13-12所示，直線AB,CD相交于點O,已知NAOC=80o,OE把/BOD分成兩個角，且NBOE:/EOD=3:5,

求NDOE的度數(shù)

圖13-12

17.如圖13-13所示，直線AB,CD相交于點0,0B平分NEOD/COE=100。,求NAOD和/AOC的度數(shù).

18.如圖13-14所示直線AB,CD相交于點O,/BOE=90。,若NCOE=55。,,求/BOD的度數(shù).

圖13-14

19.如圖13-15所示，三條直線AB,CD,EF相交于點0,ZX0F=3乙FOB/AOC=90。,求/EOC的度數(shù).

圖13-15

20.如圖13-16所示，乙40C/8。。者B是直角，目乙40B與的度數(shù)比是2:11,求乙40B和NBOC的度數(shù).

圖13-16

能力提升

21.如圖13-17所示,0B平分/AOC.且/2:/3:/4=3:5:4,貝!]/2=。，/3=。，/4=

22.如圖13-18所示，已知/人08=64。,04平分/人08,0人"平分/人€^,0人"平分/40人",則/人”0人”的大小為（

).

A.8°B.40C.2°D.l0

23若N|3=n,且既有余角，又有補角那n的取值范圍是（）.

A.n=90°B.n=180°C,90°<n<180°D.0°<n<90°

24.在飛機飛行時，飛行方向是用飛行路線與實際南或北方向線之間的夾角大小來表示的.如圖13-19所示，用

ON（南北線）與飛行線之間順時針方向的夾角作為飛行方向角，從。到A的飛行方向角為30°，從。到B的飛行方

向角為75。,從O到C的飛行方向角為155。,則OA與OB之間的夾角是—.OB與OC之間的夾角是

25.小岡悔晚19:00都要看央視的“新聞聯(lián)播”節(jié)目，這時鐘面上時針與分針夾角的度數(shù)為

26.計算:

（1）118o12'-37o37'x2

(2)132°26'42"-41.325°x3

圖13-19

（3）360。+7（精確到分）.

27如圖13-20所示，已知.za,4,々畫乙4OB,使U0B=2/a+邛-|zy.

ay

圖13-20

28.一個角的補角與20。角的和的一半等于這個角的余角的3倍，求這個角.

29.如圖13-21所示,OD平分.N力。BQE分乙AOB為2:3兩部分,NDOE=12。,。,求N40B的度數(shù).

30.如圖13-22所示,OC,OD是.乙408的任意兩條射線,OM平分乙40C,,ON平分4BOD若乙MON=a,/.COD

=0,求Z.AOB.

拓展資源

3L如圖13-23所示，利用圖中所提供的一副三角板，你能畫出哪些度數(shù)的角，這些角有什么規(guī)律？（角的范圍

圖13-23

32.已知在三角形中，三個內(nèi)角的度數(shù)的和等于180。,,如圖13-24所示，在三角形ABC中,BO,CO分別平分.

/.ABC./-ACB.

(1)若乙4=80。廁乙BOC==.

(2)若/A=a，貝U.NBOC=.

33.如圖13-25所示,有一個3x3的正方形，求.N1+42+N3+-+Z7+Z8+49的和.

圖13-25

34.已知乙40B是直角，若以O為頂點，在乙4。8的內(nèi)部畫出100條射線，則以OA,OB及這些射線為邊的銳

角共有多少個?若以O為頂點，在乙40B的內(nèi)部畫出n條射線（n>1的自然數(shù)），則以OA,OB以及這些射線為邊

的銳角共有多少個？

35.如圖13-26所示，是一個經(jīng)過改造的臺球桌面的示意圖，圖中4個角上的陰影部分分別表示4個入球袋.如

果一個球按圖中所示的方向被擊出（假設用足夠的力氣擊出，使球可以經(jīng)過多次反射）,那么該球最后落入哪個球

袋?在圖上畫出被擊的球所走的路程.

1號球袋2號球袋

3號球袋4號球袋

圖13-26

l.ZAOC,ZAOB,ZBOC2.40°,等角的余角相等

3.31°37',121°37'4.34。5.15°6.C7,B8.B9.C

10.(1)30°36',(2)65°31'12",(3)32°15'36"

11.(1)70.7°,(2)42.51°,⑶75.32°

12.(1)93°3,,(2)41.6°,(3)59。42,或59.7°

13.量得NA=80。,NB=40。,/C=60。所以NB</C<NA.

14./AOD=105°,圖略15.40°16,ZDOE=50°17.ZAOD=140°,ZAOC=40°

18.35°19.45°20.ZAOB=20°,ZBOC=70°21.72,120,9622.A23.D