三角形與四邊形

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的）

1.一個等腰三角形的底邊長是6,腰長是一元二次方程必—8x+15=0的一根，則此三角形的周長是（）

A.16B.12C.14D.12或16

【答案】A

【解析】

解方程X?-8x+15=0，得：％=3或x=5,

若腰長為3,則三角形的三邊為3、3、6,明顯不能構(gòu)成三角形；

若腰長為5,則三角形三邊長為5、5、6,此時三角形的周長為16,

故選：A.

2.如圖，在中，龍是//況■的平分線，喈是外角的平分線，龐與黨相交于點￡,若//=60°,

則/吠是（）

A.15°B.30°C.45°D.60

【答案】B

【解析】

：BE是NABC的平分線，

1

AZEBM=-ZABC,

2

VCE是外角NACM的平分線，

1

AZECM=-ZACM,

2

貝i]/BEC=NECM—/EBM=，x(ZACM-ZABC)=-ZA=30",

22

故選：B.

3.如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=12,AB的垂直平分線EF交AC于點D,連接BD,若cos/BDC=°,

7

則BC的長是（）

A.10B.8C.4班D.2瓜

【答案】D

【解析】

。5

,/ZC=90o,cosZBDC=-,

7

設(shè)CD=5x,BD=7x,

；.BC=2?x,

VAB的垂直平分線EF交AC于點D,

；.AD=BD=7x,

AC=12x,

VAC=12,

.?.BC=2指；

故選D.

4.一個菱形的邊長為6,面積為28,則該菱形的兩條對角線的長度之和為（）

A.8B.12C.16D.32

【答案】C

【解析】

如圖所示：

?四邊形A3CD是菱形，

AO=CO=-AC,DC=BO=-BD,AC工BD,

22

面積為28，

工AC=2OD.AO=28①

2

一.?菱形的邊長為6,

..W+QA?=36②，

由①②兩式可得：(OD+AO)?=OD2+OA2+20。?AO=36+28=64,

OD+AO=3，

.-.2(OD+AO)^16,

即該菱形的兩條對角線的長度之和為16,

故選C.

5.如圖，點以F、C,￡在一條直線上，AB//ED,AC//FD,那么添加下列一個條件后，仍無法判定△力b日

△頌的是()

A.AB=DEB.A(=DFC.D.B2EC

【答案】C

【解析】

解：選項A、添加AB=DE可用AAS進(jìn)行判定，故本選項錯誤；

選項B、添加AC=DF可用AAS進(jìn)行判定，故本選項錯誤；

選項C、添加NA=/D不能判定AABC絲ZWEF,故本選項正確；

選項D、添加BF=EC可得出BC=EF,然后可用ASA進(jìn)行判定，故本選項錯誤.

故選C.

6.如圖，「ABCD中，對角線AC、BD相交于點。，OEL5D交AD于點￡,連接郎，若(ABCD的

A.28B.24C.21D.14

【答案】D

【解析】

?..四邊形ABCD是平行四邊形，

/.OB=OD,AB=CD,AD=BC,

?.?平行四邊形的周長為28,

???AB+AD=14

?：OELBD,

：.0石是線段的中垂線，

?*.BE=ED,

；?A4BE的周長=AB+5石+AE=AB+AD=14，

故選:D.

7.如圖，在「ABC。中，將AAZJC沿/C折疊后，點，恰好落在2c的延長線上的點￡處.若N5=60°，A3=3,

則AADE的周長為（）

A.12B.15C.18D.21

【答案】C

【解析】

由折疊可得，ZACD=ZACE=90°>

:.ZBAC=9C).

又：28=60°，

ZACB=30°，

:.BC=2AB=6,

AD=6，

由折疊可得，NE=ND=NB=60°，

:.ZDAE=6Q），

是等邊三角形,

.?.△ADE的周長為6x3=18,

故選：C.

8.如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且NEAF=45°,AE、AF分別交BD于M、N,連

BE

按EN、EF、有以下結(jié)論：①AN=EN,②當(dāng)AE=AF時，——=2-后，③BE+DF=EF,④存在點E、F,使得

【答案】B

【解析】

①如圖1,

圖1

?.,四邊形ABCD是正方形，

AZEBM=ZADM=ZFDN=ZABD=45°,

VZMAN=ZEBM=45°,ZAMN=ZBME,

AAMN^ABME,

.AMMN

"BM~EM'

ZAMB=ZEMN,

，AAMB^ANME,

ZAEN=ZABD=45°

AZNAE=ZAEN=45°,

AAEN是等腰直角三角形，

/.AN=EN,

故①正確；

②在4ABE和4ADF中，

AB=AD

V<ZABE=ZADF=90°,

AE=AF

ARtAABE^RtAADF(HL),

；.BE=DF,

VBC=CD,

.\CE=CF,

假設(shè)正方形邊長為1,設(shè)CE=x,則BE=l-x,

如圖2,連接AC,交EF于H,

VAE=AF,CE=CF,

；.AC是EF的垂直平分線,

/.AC±EF,0E=0F,

1J2

RtZXCEF中，0C=-EF=X-x,

22

△EAF中，ZEA0=ZFA0=22.5°=ZBAE=22.5°,

.\0E=BE,

；AE=AE,

ARtAABE^RtAAOE(HL),

???AO=AB=1,

/.AC=y/2—AO+OC,

x=2-0，

.BE=1—(2-衣=(Gl)(2+衣=立

"EC2-V22T

故②不正確;

③如圖3,

.?.將AADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到aABH,則AF=AH,/DAF=NBAH,

ZEAF=45°=ZDAF+ZBAE=ZHAE,

VZABE=ZABH=90°,

；.H、B、E三點共線,

在AAEF和AAEH中，

AE=AE

<ZFAE=ZHAE,

AF=AH

AAAEF^AAEH(SAS),

EF=EH=BE+BH=BE+DF,

故③正確；

④Z\ADN中，ZFND=ZADN+ZNAD>450,

ZFDN=45°,

.".DF>FN,

故存在點E、F,使得NF>DF,

故④不正確；

故選B.

二、填空題(本大題共4個小題，每小題6分，共24分)

9.如圖，在中，以點6為圓心，以歷1長為半徑畫弧交邊正與點〃連結(jié)/〃，若/斤40°,/信36°,

則ADAC的度數(shù)是.

4

B'

【答案】34。

【解析】

由作圖過程可知BD=BA,

VZB=40°,

.\ZBDA=ZBAD=-(180°-ZB)=70°，

2

：.ZDAC=ZBDA-ZC=70°-36°=34°.

故答案為34°.

3

10.如圖，在矩形ABCD中，AB=1,=點E在邊BC上，且連接AE,將AABE沿AE

折疊，若點B的對應(yīng)點8’落在矩形ABCD的邊上，則a的值為.

【答案】之或或

33

【解析】

分兩種狀況:

B'D

①當(dāng)點B’落在AD邊上時，如圖1.

?四邊形ABCD是矩形,

ZBAD=ZB=90°.

將AA6E沿AE折疊，點B的對應(yīng)點）落在AD邊上,

NBAE=ZB'AE=-ABAD=45°,

2

AB=BE，

②當(dāng)點8'落在CD邊上時，如圖2.

?..四邊形ABCD是矩形,

；.NBAD=NB=NC=ND=90°，AD=BC=a.

■:將AABE沿AE折疊，點B的對應(yīng)點5'落在CD邊上，

3

;.NB=NAB'E=90°，AB=AB'=1，EB=EB=-a,

_____________32

DB=^B^-AD2=71-a2-EC=BC-BE=a--a=-.

在AADB'與Afi'CE中，

ZB'AD=ZEB'C=90"-NAB'D

ZD=ZC=90°

/.AADBuABCE，

DBAB'Ji-。-=J_

----=-；一，即23

CEBEg〃§〃

解得a2=Q（舍去）.

綜上，所求a的值為2或好

33

故答案為*或好.

33

11.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點￡是CD的中點，AF平分NH4后交于點/，將△ADE

繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得AABG,則CF的長為.

【答案】6-275

【解析】

作9J_A吁M,FN工AG于N，如圖，易得四邊形。初為矩形，則.正方形ABCD的邊

長為4,點￡是8的中點，

DE=2,

AE="+22=2后

繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△制7,

:.AG=AE=2RBG=DE=2,Z3=Z4,ZGAE=90°,ZABG=ZD=90°

而NABC=90。，

...點G在CB的延長線上，

:AF氣■分■ZBAE交加?于點F,

.-.Z2+Z4=Z1+Z3,即稱平分/③〃

:.FN=FM=4,

?：-AB*GF=-FN'AG,

“￥=26

???CF=CG-GF=4+2-275=6-275.

故答案為6-2百.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA=1,以0A為一邊，在第一象限作菱形OAAB并使/A0B=60°,再

以對角線OAi為一邊，在如圖所示的一側(cè)作相同形態(tài)的菱形OAABi,再依次作菱形OA2A3B2,OA3A4B3,……，

則過點B2024,B2024,A2024的圓的圓心坐標(biāo)為.

【答案】（-（73）2%（名）2024

【解析】

過Ai作AiC±x軸于C,

???四邊形0AAB是菱形,

.?.OA=AAi=l,ZAiAC=ZA0B=60°,

3

??,OC=OA+AC=一,

2

在RtaOAE中，GA尸JOC、AC?=5

???N0A2C=NBIA20=30°,NA3A20=120°,

/.ZA3A2BI=90°,

AZA2B1A3=60°,

B1A3—25y3，A2A3=3,

0A3=0BI+BIA3=3^3=（y/3）3

???菱形OA2A3B2的邊長=3=（）

設(shè)B1A3的中點為01,連接0人，0出2,

于是求得，0島=0此=0出1=百=（百）I

???過點Bl,B2,A2的圓的圓心坐標(biāo)為01（0,2?。?

,*,菱形OA3A4B3的邊長為3y/3=（y/3）3,

.，?0A4=9=（石）4,

設(shè)B2A4的中點為。2，

連接02A3,O2B3,

同理可得，02A3=02B3=02B2=3=（G）°,

B2,O26），024A22024

二過點B3,As的圓的圓心坐標(biāo)為（-3,3…以此類推,菱形OA2。加網(wǎng)的邊長為（若）

0A2024=（V3）-

設(shè)B2024A2024的中點為O2o24，連接O2024A20249O2O24B2O24,

求得,O2O24A2O24=O2O24B2O24=O2O24B2O24=（百）2024

***點。2024是過點B2024，B2024，A2024的圓的圓心,

720244-12=168-2,

224

???點。。在射線0B2±,

則點⑼的坐標(biāo)為（-（石）2024,（石）2024）,

2024

即過點員劃，B2024,A2小的圓的圓心坐標(biāo)為：（-（g）,（73）加）,

故答案為：（-（石）2024,（73）2024）.

三、解答題（本大題共3個小題，每小題12分，共36分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

13.如圖，矩形EFGH的頂點E，G分別在菱形ABCD的邊A。，上，頂點/、H在菱形A5CD的

對角線上.

（1）求證：BG=DE；

（2）若E為AD中點，F(xiàn)H=2,求菱形ABC。的周長。

【答案】（1）證明見解析；（2）8.

【解析】

（1）:四邊形EFGH是矩形，

AEH=FG,EH〃FG,

JZGFH-ZEHF,

VZBFG=180°-ZGFH,ZDHE=180°-ZEHF,

???NBFG=NDHE,

???四邊形ABCD是菱形，

???AD〃BC,

，ZGBF=ZEDH,

/.ABGF^ADEH(AAS),

.*.BG=DE；

(2)連接EG,

：四邊形ABCD是菱形，

.\AD=BC,AD//BC,

為AD中點，

；.AE=ED,

VBG=DE,

；.AE=BG,AE〃BG,

...四邊形ABGE是平行四邊形，

.\AB=EG,

,.-EG=FH=2,

；.AB=2,

.,.菱形ABCD的周長=8.

如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0,A0=0C,B0=0D,且NA0B=2/0AD.

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；

(2)若/A0B:Z0DC=4:3,求NAD0的度數(shù).

【答案】⑴證明見解析；(2)/AD0==36。.

【解析】

(1)VAO=OC,BO=OD,

.,?四邊形ABCD是平行四邊形，

又,/ZA0B=2ZOAD,NAOB是AAOD的外角，

NAOB=/OAD+ZADO.

/.ZOAD=ZADO.

.\AO=OD.

又：AC=A0+0C=2A0,BD=B0+0D=20D,

.\AC=BD.

四邊形ABCD是矩形.

(2)設(shè)NA0B=4x,Z0DC=3x,則N0DC=/0CD=3x,

在△(?(：中，ZDOC+ZOCD+ZCDO=1800

.,.4x+3x+3x=180°,解得x=18。，

AZ0DC=3X18°=54°,

???四邊形ABCD是矩形，

AZADC=90",

AZAD0=ZADC-Z0DC=90°-54°=36°.

14.矩形ABCD中，AB=8,BC=6,過對角線5。中點。的直線分別交AB，CD邊于點E,F.

(1)求證：四邊形3石。尸是平行四邊形；

⑵當(dāng)四邊形BED尸是菱形時，求用的長.

【答案】(1)詳見解析；(2)—

2

【解析】

(1)證明：在矩形ABCD中，AB〃DC

:.ZOBE=ZODF

又0是BD的中點

.*.OB=OD

在ABOE與ADOF中

ZOBE=ZODF

<OB=OD

ZBOE=ZDOF

：.ABOE^ADOF

.\EO=FO

又BO=DO

...四邊形BEDF為平行四邊形

(2)四邊形BEDF為菱形

BE=DEDB±EF

又~AB=8,BC=6,設(shè)BE=DE=x，則AE=8-x

在Rt△/龐中，62+(8-x)2=x2

25

,?x=—

4

；?BD=A/62+82=10

BO=-BD=-xlO=5

22

OE=>JDE2-DO2=J(y)2-52=^-

；.EF=20E=—.

2

15.如圖，AABC中，AB=AC,比'垂直平分力8交線段歐于點￡（點￡與點。不重合），點尸為/C

上一點，點G為上一點（點G與點/不重合），且NGEF+N￡!AC=180°.

（1）如圖1,當(dāng)"=45°時，線段/G和。'的數(shù)量關(guān)系是.

（2）如圖2,當(dāng)NB=30。時，猜想線段/G和少的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

3

(3)若AB=6,DG=1,cosB=-,請干脆寫出切的長.

4

【答案】(1)AG=CF；(2)AG=-CF,理由見解析；(3)2.5或5

2

【解析】

(1)相等，理由：如圖1,連接力反

?.?龐垂直平分46,

AE=BE，

：.ZBAE=ZB=45°,

:.AE±BC,

AB=AC,

:.BE=EC=AE，ZBAE=ZEAC=ZC=45°,

ZGEF+ZBAC=1SQ°，

AAGE+ZAFE=360°—180。=180°