專題14全等三角形

目錄一覽

知識目標（新課程標準提煉）

中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）

重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一三角形的面積

A考向二三角形的內(nèi)角和

A考向三全等三角形的判定與性質(zhì)

A考向四全等三角形的應用

A考向五角平分線的性質(zhì)與判定

A考向六線段的垂直平分線的性質(zhì)

最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）

知識目標

1.理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應邊、對應角；

2.掌握基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等；

3.掌握基本事實：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；

4.掌握基本事實：三邊分別相等的兩個三角形全等；

5.證明定理：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等；

6.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理.

工^中考解密

該板塊內(nèi)容重在掌握基本知識的基礎(chǔ)上靈活運用，也是考查重點，年年都會考查，分值為10~15分，預

計2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查三角形中位線、內(nèi)外角性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系

等知識點，這部分知識需要學生扎實地掌握基礎(chǔ)，并且會靈活運用。在解答題中會出現(xiàn)三角形全等的判定

和性質(zhì)，這部分知識主要考查基礎(chǔ)。

重點考向

A考向一三角形的面積

1.（2022?桂林）如圖，在△/比'中，Z5=22.5°,/C=45°,若4C=2,則△/比1的面積是（）

3啦

A.2B.1+&C.2&D.2+V2

【思路點撥】如圖，過點/作于A,交BC千D,過點A作力于E,先證明是等腰直

角三角形，得/〃=/C=2,N4?C=45°,CD=?AC=2?,再證明4?=加，計算/￡和8C的長，根

據(jù)三角形的面積公式可解答.

【規(guī)范解答】解：如圖，過點/作于4交BC于D,過點力作/于反

.?.△/OC是等腰直角三角形，

：.AD=AC=2,ZADC=45°,CD=MAC=2近,

'：AADC=AB+ABAD,N8=22.5°,

:./DAB=22.3°,

：.ZB=ADAB,

：.AD=BD=2,

"：AD=AC,AELCD,

：.DE=CE,

:.AE=2CD=近,

...△力比1的面積=2X&X（2+2&）=2+&.

故選：D.

【真題點撥】本題考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟知掌握等腰三角形

的

性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

2.（2022?遂寧）如圖，D、E、尸分別是△/回三邊上的點，其中比'=8,笈邊上的高為6,支DE〃BC,

則△瓦戶面積的最大值為（)

A

【思路點撥】過點力作/此理于肌交應于點M則血U施，設(shè)AV=a,根據(jù)龐〃宛，證出

匹

XADEs叢ABC,根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比得到龍=3a,列出△瓦尸面積S的函數(shù)表達

式，根據(jù)配方法求最值即可.

【規(guī)范解答】解：如圖，過點/作閡吐8c于弘交龐于點兒^ljANLDE,

設(shè)AN—a,

'：DE//BC,

:.NADE=/B,NAED=/C,

:.△ADEsXABC,

DEAN

.-.BC=AM,

DEa_

8=6,

j4

DE=3a,

2

，△瓦尸面積S=2XDEXMN

=2X3a?(6-a)

2_

=-3a+4a

2_

=-3(a-3)2+6,

.,.當a=3時，S有最大值，最大值為6.

故選：A.

【真題點撥】本題考查了三角形的面積，平行線的性質(zhì)，列出△版面積S的函數(shù)表達式，根據(jù)配方

法求最值是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?臺州)如圖，點C,。在線段46上(點。在點4。之間)，分別以/A8c為邊向同側(cè)作等邊

三角形/龍與等邊三角形儂邊長分別為a,b,6F與應交于點〃，延長力區(qū)斯交于點G,陽長為

(1)若四邊形的G的周長與△。狙的周長相等，則a,b,c之間的等量關(guān)系為5a+56=7c；

(2)若四邊形旗用的面積與△。狙的面積相等，則a,b,。之間的等量關(guān)系為才+上=02.

【思路點撥】(1)由△/?！旰汀骱羰堑冗吶切危傻梅藕汀髁?G是等邊三角形，DE//BG,

CF//AG,即知比=/G-4￡=c-a,GF=BG-BF=c-b,根據(jù)四邊形旗FG的周長與△QW的周長相等，

有2[(c-a)+(c-6)]=3(ayb-c),故5a+56=7c；

(2)由S四邊彩4^=三械-必際-四邊形跳戶G的面積與△CZW的面積相等，可得S△放=

V3V3V3

SABC"SAADE，即4/=4a+4t),從而可得@2+6，=(?.

【規(guī)范解答】解：(1)龍和△儂'是等邊三角形，

:.NA=/ADE=NB=NBCF=6Q°,

.?.△(W和△/加1是等邊三角形，DE//BG,CF//AG,

：.四邊形圖%t是平行四邊形，AB=AG=BG=c,CH=DH=CD=ADvBC-AB=a+b-c,

/.EG=AG-AE=c-a,GF=BG-BF=c-b,

:四邊形斯7的周長與△儀羽的周長相等，

.,.2[(c-a)+Qc-b)]=3(a+6-c),

整理得：5a+56=7c,

故答案為：5a+5b=7c；

，

(2),:S四邊羽1slm；=S△幽-S4ml-S4AB鏟SASH四邊形融%1的面積與△COZ/的面積相等，

SxABG~St\BCF_S&AB計SbCCH一必OW，

,,邑0朋一SABC#S4ABp

,：/\ABG,和△儂1是等邊三角形,

V3V3V3

—+從

故答案為：

【真題點撥】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及應用，解題的關(guān)鍵是用含a,b,c的代數(shù)式表示相關(guān)線段

的長度.

A考向二三角形的內(nèi)角和

4.（2023?聊城）如圖，分別過△加C的頂點4B忤AD〃BE.若/0〃=25。，NEBC=80°,則//%

【思路點撥】由平行線的性質(zhì)可求//加得度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解.

【規(guī)范解答】解：'：AD//BE,

:"ADC=NEBC=BQ°,

'：ZCAD^ZADaZACB^180°,ZCAD=25°,

：.ZACB=180°-25°-80°=75°,

故選：B.

【真題點撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和

定理是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?徐州）如圖，在中，若DE〃BC,FG//AC,NBDE=12Q°,/"'6=115°,則NC=

55°.

【思路點撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理進行計算即可.

【規(guī)范解答】W：'：DE//BC,/BDE=120°,

.,.Z5=180°-120°=60°,

'：FG//AC,NDFG=115°,

：.ZA=180°-115°=65°,

.?.ZC=180°-AB-ZA=55°,

故答案為：55.

【真題點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是

正確解答的前提.

A考向三全等三角形的判定與性質(zhì)

易笛易通

1.從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形分別有三個元素

i（其中至少有一個元素是邊）對應相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準確地確定要補充的邊

I（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個三角形全等的思路.

!2.若題中沒有全等的三角形，則可根據(jù)題中條件合理地添加輔助線，如運用作高法、倍長中線法、截長

I補短法、分解圖形法等來解決運動、拼接、旋轉(zhuǎn)等探究性題目.

￡—一（而近；涼山麗5一面酉：一瓦一瓦一葭萬春一詼工廠施二加「2岸一?Z「添笳竺不蔡祥；一示福癥麗

【思路點撥】根據(jù)龍=〃求出母、=笫再根據(jù)全等三角形的判定定理進行分析即可.

【規(guī)范解答】解：?：BE=CF,

：.BE+EF=CF^EF,

即BF=CE,

二當乙時，利用幽S可得△AS隹△小￡；故/不符合題意；

當//歸=/龐。時，利用可得△48金△灰君，故6不符合題意；

當46=26'時，利用弘S可得△A6/匡故C不符合題意；

當力尸=龐時，無法證明△/!"絲△次況故，符合題意；

故選：D.

【真題點撥】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全

等三角形的判定定理有SIS,ASA,AAS,SSS,兩直角三角形全等還有也等.

7.（2023?呼和浩特）如圖，在RtZXZB。中，ZABC=90°,AB=BQAC=4料，點尸為邊上的中點，

力/交48的延長線于點憶交比的延長線于點兒且冏〃_凡若8"=1,則△加的面積為（）

M

鼻

V

13

A.13B.713C.8D.2

【思路點撥】依據(jù)題意，連接第，然后先證明△即必△CW,仄而CN=BP=\,又由等腰RtZVl回可

得6C=4,從而在Rt△例郵中可以求得W,又MP=NP,從而可得仞V的值，進而可以得解.

【規(guī)范解答】解：如圖連接6R

M

11

C.BPLAC,/CBP=/ABP=2/ABC=45。,ZBCA=45°,BP=CP^2AC=242.

：.ZMBP=ZNCP=180a-45°=135°.

'：BPVAC,PMVPN,

:"BPg/MPC=QQ°,/CPN^NMPC=90°.

:"BPM=/CPN.

又BP=CP,4MBP=4NCP,

：./\BMP^/\CNP(ASA).

:.BM=CN=\,MP=NP.

在RtZ\6PC中，8C=-BP2Kp2=生

...在RtZXJW中，W=VBM2+BN2=Vl2+52=V26.

又在Rt△仞卯中，MP=NP,

：.MP+NP=Mff.

:.MP=NP=4^i.

213

麗=2Mp'NP=2.

故選：D.

【真題點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題時要熟練掌握

并靈活運用是關(guān)鍵.

8.(2022?泰安)如圖，平行四邊形4比7?的對角線4C,初相交于點。，點6為%的中點，連接加并延

長交力。于點凡/ABC=60°,BC=2AB.下列結(jié)論：①/員L/C；②AD=4OE；③四邊形/灰廣是菱形；

1

A.4B.3C.2D.1

【思路點撥】通過判定為等邊三角形求得/幽￡=60°,利用等腰三角形的性質(zhì)求得N&C=

30。，從而判斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)和含30°

直角三角形的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)判斷④.

【規(guī)范解答】解：?.?點￡為笈的中點，

:.BC=2BE=2CE,

又<BC=2AB,

:.AB=BE,

\'ZABC=e>0a,

應是等邊三角形，

：./BAE=NBEA=6Q°,

.?./&「=/￡(%=30°,

AZBAC=ZBAE+ZBAC=90°,

即力反L47,故①正確；

在平行四邊形A5a?中，AD//BC,AD=BC,AO=CO,

:./CAD=/ACB,

在/和△口組中，

,ZCAD=ZACB

<0A=0C

ZA0F=ZC0E,

：./\AOF^/\COE(ASA),

：.AF=CE,

四邊形力反獷是平行四邊形，

又〃8，陽點￡為8c的中點，

：.AE=CE,

平行四邊形力觸是菱形，故③正確；

C.ACLEF,

在Rt△儂中，//。=30。，

211

/.OE=2CE=&BC=4M故②正確；

在平行四邊形/"/中，OA=OC,

又：點￡為8c的中點，

2S4m：=4SAABC,故④正確；

正確的結(jié)論由4個，

故選：A.

【真題點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含30°的

直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵.

7.(2022?大慶)如圖，正方形切中，點￡,尸分別是邊6c上的兩個動點，且正方形的周長

是△頌周長的2倍.連接龐，加分別與對角線/。交于點〃，N,給出如下幾個結(jié)論：①若/￡=2,CF

MN

=3,則斯=4；②/EFNv/EMN=\80°；③若/〃=2,CN=3,貝!］仞V=4；④若AM=2,BE=3,則所

=4.其中正確結(jié)論的序號為②.

【思路點撥】根據(jù)已知條件可得廝=力分笈，即可判斷①，進而推出N友戶=45°,判斷②正確，作

2G_L廝于點G,連接掰GN,證明△6W是直角三角形，結(jié)合勾股定理驗證③，證明/出

30°,即可判斷④.

【規(guī)范解答】解：?.?正方形四"的周長是△頌周長的2倍，

：.BE+BF+EF=AB^BC,

：.EF=AE+FC,

若力￡=2,CF=3,則仔'=2+3=5,故①錯誤;

如圖，在掰的延長線上取點〃，使得A//=CF,

在正方形48繆中，AD=CD,ZHAD=AFCD=^°,

在△4?和△&叨中，

'AD=CD

,ZHAD=ZFCD

LAH=CF,

:.△AHD^^CFD(SAS),

:"CDF=NADH,HD^DF,NH=NDFC,

又'：EF=AE+CF,

:.EF=AE+AH=EH,

在△ZW和△龐廣中,

'DH=DF

，DE=DE

LEH=EF,

:.△DEgXDEF(SSS),

：.ZHDE=ZFDE,/H=4EFD,/HED=/FED,

'：ACDFrAADF=4ADfh/ADF=/HDF=9Q°

:.NEDF=NHDE=43°,

,：2H=4DFC=2DFE,NEMN=N成功NEAM=45°+ZDEF,

:"EFN^/EMN=/DFC—+NDEF=/DFE+/EDF+/DEF=\8Q°,

則/跖VbN￡W=180°,故②正確；

如圖，作DGLEF于點、G,連接GM,GN,

A...................................................D

在△/即和△頌中，

，ZDAE=ZDGE

?ZAED=ZGED

LDE=DE,

:.叢AED^4GED(AAS),

同理，△GDF^XCDF(/AS),

：.AG=DG=CF,/ADE=/GDE,AGDF=ACDF,

...點4G關(guān)于應對稱軸，C,G關(guān)于如對稱，

AGM=AM,GN=CN,NEGM=NEAM=45°,4NGF=4NCF=蜴

:./MGN=9Q°,即△6W是直角三角形，

若AI/=2,CN=3,

:.GM=2,GN=3,

在RtafiW中，W=VGM2-+<}N2=5/13,故③錯誤；

MN

,:MG=AM,且AM=2,BEK

MGAMJ_

在RtZS6W中，sln/MNG=MN=MN=2,

：.ZMNG=30°,

Y/EFNy/EMN=\80°,/EMNy/AME=\80°,

宣/CFN=/EFN,

:./AME=/CFN,

：.2ZAME=2ZCFN,

即NWN6FG,

：.ZGMN=ZBFEf

：.ZBEF=ZMNG=30°,

BEa

/.COSZ^F=ZCOSZTW7=EF=2,

.?.跖=2%,故④錯誤，

綜上，正確結(jié)論的序號為②，

故答案為：②.

【真題點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，

題目有一定綜合性，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

A考向四全等三角形的應用

：廨窺拉訪易錯嵬直

|一般方法是把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化

|為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵.

羨—，麗亞?揚麗丁如畫「不麗蒙面舌蒙其西二英三函舷茯的破翥豕丁「需萋重薪前二英「丁明逋過電至若

玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為△/次7,提供下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來

的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,/BC.AB,AC,/BD.Z&BC

【思路點撥】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案.

【規(guī)范解答】解：A.利用三角形三邊對應相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項不合題

忌；

B.利用三角形兩邊、且夾角對應相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項不合題意；

C.AB,AC,ZB,無法確定三角形的形狀，故此選項符合題意；

D.根據(jù)/B,BC,三角形形狀確定，故此選項不合題意；

故選：C.

【真題點撥】此題主要考查了全等三角形的應用，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.

9.(2023?雄縣一模)為測量一池塘兩端46之間的距離，兩位同學分別設(shè)計了以下兩種不同的方案.

方案I：如圖，先在平地

上取一個可以直接到達點46的點。，連接力。并延長到點G連接6。并延長到點。，并使8=4。，00=

BO,連接。C,最后測出火的長即可；

方案H：如圖，先確定直線/反過點8作直線龍，/昆在直線龍上找可以直接到達點/的一點〃連接

DA,炸DC=DA,交直線居于點C,最后測量笈的長即可.

下列說法正確的是()

A.I,II都不可行B.I,II都可行

C.I可行，II不可行D.I不可行，II可行

【思路點撥】根據(jù)全等三角形的判定方法和等腰三角形三線合一性質(zhì)求解即可.

【規(guī)范解答】解：方案I：：例=/0,DO=BO,AAOB=ACOD,

:AAO給XCOD(SAS),

:.AB=CD,

/.I可行；

方案H：'：DC-DA,

...△力必是等腰三角形，

:BELAB,

：.AB=BC,

，H可行，

綜上所述，I,n都可行.

故選：B.

【真題點撥】此題考查了全等三角形的判定方法和等腰三角形三線合一性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是

解題的關(guān)鍵.

10.(2022?百色)校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動小組實地測量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫

如圖的四邊形/犯9,其中/8=紗=2米，49=%=3米，Z5=30°.

(1)求證：XABC^XCDA；

(2)求草坪造型的面積.

I)

B

【思路點撥】（1）利用全等三角形的判定方法，結(jié)合三邊關(guān)系得出答案;

（2）直接利用全等三角形的性質(zhì)以及直角三角形中30度所對邊與斜邊的關(guān)系的得出對應邊長，進而

得出答案.

【規(guī)范解答】（1）證明：在△/8C和△物中,

AB=DC

AC=AC

BC=DA,

△力8修△物（SSS）；

（2）解：過點/作/于點笈

；力8=2米，N8=30°,

：.AE=1米，

SAABC=2X3X1=2（平方米）,

3_

則s△加=2（平方米）,

3_

草坪造型的面積為：2x5=3（平方米）.

【真題點撥】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的應用，正確掌握全等三角形

的判定方法是解題關(guān)鍵.

A考向五角平分線的性質(zhì)與判定

11.（2022?鄂爾多斯）如圖，ZAOE=15°,必平分//勿，DE〃OB交.OA千點、D,ECLOB,垂足為C.若

EC=2,則①的長為（）

A.2B.26C.4D.4+273

【思路點撥】過點￡作刖勿于點〃，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得"=%，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

//龐的度數(shù)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得應的長度，再證明勿=應，即可求出辦的

長.

【規(guī)范解答】解：過點￡作傲1刃于點〃，如圖所示:

?：0E平分/AOB,ECJLOB,

：.EH=EC,

9：ZA0E=15°,0E①分4AOB,

：.ZAOC=2ZAOE=^0°,

■:DE//OB,

：.ZADE=3t0°,

:?DE=2HE=2EC,

?：EC=2,

:.DE=4,

???//龐=30°,ZAOE=15°,

：.ZDEO=15°,

:./AOE=/DEO,

：.OD=DE=4,

故選：C.

【真題點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，熟練掌

握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?北京）如圖，在△46C中，AD平分/BAC,DEVAB.若/C=2,DE=\,則S“=1.

【思路點撥】過2點作如L/C于〃點，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到班'=%/=1,然后根據(jù)三角形

面積公式計算.

【規(guī)范解答】解：過2點作加于〃點，如圖，

?.?"平分/物GDELAB,DHLAC,

:*DE=DH=\,

工

S?AC產(chǎn)2X2X1=1.

故答案為：1.

A

【真題點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

13.(2023?綿陽)如圖，在。。中，點4B,C,2為圓周的四等分點，/￡為切線，連接并延長交

。。于點戶，連接囪'交〃于點G.

(1)求證：平分

(2)求證：4AD厘LABG；

(3)若49=3,AG=3GC,求cos/CBF的值.

【思路點撥】(1)利用圓周四等分點得到/胡C=/加。=/力0=45°,再根據(jù)切線的性質(zhì)得到/

=90°,所以N%￡=45°,從而可判斷4?平分/Q￡；

(2)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明//龍=//即，則可利用“&1S”判斷隹△48G；

(3)過G點、GHLBC于H點,如圖，先利用△4!四得至I」4G=HE=3,所以CG=1,4C=4,再根

近3點

據(jù)圓周角定理得到/應彳=90。，則可計算出6c=2點,接著5=曲=工，所以胡=2,然后利

用勾股定理計算出BG=45,于是根據(jù)余弦的定義可計算出cos/煙'的值.

【規(guī)范解答】(1)證明：???點4B,C,〃為圓周的四等分點，

CD=CB,然為直徑，

:./BAC=/DAC=/ACB=45°,

:3￡為切線，

：.ACLAE,

；./Q￡=90°,

：.ZDAE=45°,

(2)證明：；//8a/4。尸=180°,ZADE+ZADF=180°,

NADE=NABF,

在△/龐和△4?G中，

，ZADE=ZABG

<AD=AB

1ZDAE=ZBAG,

二△AD-XABG(SAS)；

(3)解：過G點GHLBC于H點、,如圖，

■：△ADE^XABG,

；"G=/￡=3,

：.AG=^CG,

：.CG=1,AC=4,

為直徑，

：.ZABC^90°,

'：ZACB=45°,

近

:.BC=2AC=2版,

近V2

在RtZXC掰中，CH=GH=2CG=2,

M3a

：.BH=BC-CH=2?-2=2,

在RtZ\6陽中，即具GH?+BR2J(^~)+吟)=返

啦_

BH23技

cosAHBG=BG=V5=10,

即cosN煙1的值為10.

【真題點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.也考查了全等

三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)和解直角三角形.

A考向六線段的垂直平分線的性質(zhì)

14.（2022?湖北）如圖，在矩形/題中，AB<BC,連接4G分別以點4。為圓心，大于2/C的長為半

徑畫弧，兩弧交于點弘N,直線就分別交/ABC于■點、E,F.下列結(jié)論：

①四邊形/瓦尸是菱形；

②/AFB=2/ACB；

③AOEF=CF，CD；

④若"■平分/胡C,則CF=286.

A.4B.3C.2D.1

【思路點撥】根據(jù)題意分別證明各個結(jié)論來判斷即可.

【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意知，斯垂直平分4G

在△/?！旰?口戶中，

，ZEAO=ZFCO

,AO=CO

o

lZA0E=ZC0F=90,

：./\AOE^/\COF(ASA),

0E=OF,

:.AE=AF=CF=CE,

即四邊形力反尸是菱形，

故①結(jié)論正確；

■:/AFB=/FA8/ACB,AF=FC,

：.AFAO=AACB,

:.NAFB=2NACB,

故②結(jié)論正確；

SB?AECF=CF-CD=2AC-0EX2=2AC'EF,

故③結(jié)論不正確；

2X

若"'平分/胡G則/胡尸=/用。=/。。=390=30°,

:.AF=2BF,

■:CF=AF,

：.CF=2BF,

故④結(jié)論正確；

故選：B.

【真題點撥】本題主要考查長方形的綜合題，熟練掌握長方形的性質(zhì)，基本作圖，菱形的判定和性

質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵.

15.（2022?青海）如圖，在RtzXAgC中，NABC=90°,砂是4C的垂直平分線，交〃1于點。，交笈于

點反/BAE=10°,則NC的度數(shù)是40。.

【思路點撥】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得/￡=￡G從而可得NE4C=NC,然后利用三角形內(nèi)角和

定理可得/應1。/。=80°,進行計算即可解答.

【規(guī)范解答】解：..?初是力。的垂直平分線，

：.AE=EC,

：.ZEAC=AC,

'：ZABC=90°,ZBAE=10°,

：.ZEAC+ZC=180°-ZBAE-ZABC=80°,

：.ZEAC=ZC=40°,

故答案為：40。.

【真題點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

最新真題言萃

1.（2023?北京）如圖，點4B,C在同一條直線上，點6在點4。之間，點?！暝谥本€4C同側(cè)，AB

<BC,N/=/C=90。，叢EA時叢BCD,連接龐.設(shè)/6=a,BC=b,DE=c,給出下面三個結(jié)論:

@a+b<c；

②a+6>"a2+b2；

③(a+b)>c.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【思路點撥】①根據(jù)直角三角形的斜邊大于任一直角邊即可；

②在三角形中，兩邊之和大于第三邊，據(jù)此可解答；

③將c用a和6表示出來，再進行比較.

【規(guī)范解答】解：①過點。作DF//AC,交/￡于點F；過點8作BG1FD,交口于點G.

'：DF//AC,ACLAE,

：.DFLAE.

又,：BGLFD,

：.BG//AE,

，四邊形力灰下為矩形.

同理可得，四邊形靦G也為矩形.

：.FD^FG+GD^a+b.

...在Rt△跖9中，斜邊c>直角邊a+6.

故①正確.

②?：叢EAg￡\BCD,

:.AE=BC=b,

.?.在中，施=“52+AE2=Va2+b2.

*：AB+AE>BE,

22

.?.a+Z；>Va+b.

故②正確.

③Y△EABeXBCD,

:?/AEB=/CBD,

又*：/AEB+/ABE=90°,

：./CB?/ABE=9G0,

:?/EBD=9U。.

■:BE=BD,

:./BED=/BDE=45°,

I92---

:.BE=7軟+b=c*sin45°=2c.

22

...c=V27a+b.

[V2(a+b)]2=2(3+2*+療)=2(a+62)+4ab>2(a+Z?2),

.-.V2(a+b)>V2(a2+b2),

:.圾(a+b)>c.

故③正確.

故選：D.

【真題點撥】本題考查全等三角形的性質(zhì).雖然是選擇題，但計算量不小，比較繁瑣，需要細心、耐

心.

2.（2022?西寧）如圖，NMON=60：以點。為圓心，適當長為半徑畫弧，交加于點4交.ON干點、B；

分別以點46為圓心，大于2/6的長為半徑畫弧，兩弧在/匐V的內(nèi)部相交于點尸，畫射線8；連接

AB,AP,BP,過點尸作跳工加于點￡,PF1ON于點、F.則以下結(jié)論錯誤的是（）

A.△/如是等邊三角形B.PE=PF

C.△PAE^XPBFD.四邊形物必是菱形

【思路點撥】利用等邊三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，和菱形的判定定

理對每個選項進行逐一判斷即可得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：?.?以點。為圓心，適當長為半徑畫弧，交。/于點4交融于點8,

：.OA=OB,

■:/MON=60°,

勿是等邊三角形，

的結(jié)論正確，不符合題意；

2

:分別以點46為圓心，大于2/8的長為半徑畫弧，兩弧在/施加的內(nèi)部相交于點尸，

：.PA=PB,

在和△口叼中，

'0A=0B

-0P=0P

PA=PB,

:.△OPA9AOPB?SSS）,

:.NPOA=/POB.

"：PEVOM,PFVON,

:.PE=PF.

的結(jié)論正確，不符合題意；

■:PELOM,PFVON,

:.NPEA=NPFB=9Q°.

在Rt△川￡和RtZXW中，

fPA=PB

IPE=PF,

，RtAR4&Rt△曲（HL）.

.?.C的結(jié)論正確，不符合題意；

由作圖過程可知：如與陽不一定相等，

...四邊形/陽是菱形不成立，

的結(jié)論錯誤，符合題意，

故選：D.

【真題點撥】本題主要考查了等邊三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，基本

作圖和菱形的判定定理，利用基本作圖的過程得出線段相等的條件是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?陜西）如圖，AB、BC、CD、班'是四根長度均為5aB的火柴棒，點/、C、￡共線.若AC=6cm,

CDLBC,則線段"的長度是（）

【思路點撥】過8作9M于〃，過2作加U位于從由等腰三角形的性質(zhì)得到加仁。7=3,CN=

EN,根據(jù)全等三角形判定證得△頗絲△加,得到超=GV,在Rt△加渺中，根據(jù)勾股定理求出

4,進而求出.

【規(guī)范解答】解：由題意知，AB=BC=CD=DE=5cm,AC=6cm,

過6作做L/C于〃，過。作如￡位于從

12

則/酬C=/CW=90°,AM=CM=2AC=2X6=3,CN=EN,

'：CDLBC,

:.NBCD=9Q°,

:/BCg/CBM=NBCmNDCN=9Q°,

:"CBM=NDCN,

在和中，

，ZCBM=ZDCN

<ZBMC=ZCND

LBC=DC,

:.△BCM^ACDN(AAS),

：.BM=CN,

在中，

*.*BC=5cm,CM=3cm,

2222(cm),

.-.W=VBC-CM=V5-3=4

CN=4cm,

:.CE=2CN=2X4=8(cm),

故選：D.

【真題點撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔

助線，證得△比儂△CW是解決問題的關(guān)鍵.

4.（2023?青龍縣三模）要得知某一池塘兩端48的距離，發(fā)現(xiàn)其無法直接測量，兩同學提供了如下間

接測量方案.

方案I：如圖1,先過點8作物工48再在班'上取G。兩點，度BC=CD,接著過點。作劭的垂線

DE,交/C的延長線于點￡,則測量座的長即可；

方案H：如圖2,過點6作物，四，再由點〃觀測，用測角儀在的延長線上取一點G使NBDC=

Z

BDA,則測量笈的長即可.

C.方案I和H都可行D.方案I和II都不可行

【思路點撥】在兩個圖中分別根據(jù)全等三角形的判定方法證明三角形全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

即可得證.

【規(guī)范解答】W：'：ABVBF,

：.ZABC=90°,

,：DEVBF,

:.NEDC=9Q°,

在△45C和△&e中,

，ZABC=ZEDC

<BC=CD

ZACB=ZECD,

:.△ABgAEDC(ASA),

：.AB=ED,

故方案I可行；

"JBDLAB,

：.ZABD=ACBD,

在△力劭和△a切中，

，ZABD=ZCBD

<BD=BD

ZBDA=ZBDC,

:.△ABD^XCBD(ASA),

：.AB=BC,

故方案n可行；

綜上可知，方案i和n都可行，

故選：c.

【真題點撥】本題考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

工

5.(2022?宜昌)如圖，在△/8C中，分別以點6和點。為圓心，大于26c長為半徑畫弧，兩弧相交于點

M,期作直線筋，交〃于點2,交比■于點￡,連接敬若AB=7,AC=12,BC=6,則△/劭的周長

【思路點撥】根據(jù)題意可知可垂直平分BC,即可得到DB=DC,然后即可得到A孫BIKAD=AB+DC+AD=

A8+AC,從而可以求得△45?的周長.

【規(guī)范解答】解：由題意可得，

仞V垂直平分BC,

：.DB=DC,

"：叢ABD的周長是A&rBD^AD,

：.AB+B*AD=A&rDC+AD=AB+AC,

?：AB=7,AC=12,

：.AB+AC=19,

...△力劭的周長是19,

故選：C.

【真題點撥】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的周長，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)

形結(jié)合的思想解答.

6.(2023?遼寧)如圖，線段48=8,點C是線段46上的動點，將線段8c繞點8順時針旋轉(zhuǎn)120°得到

線段初，連接切，在熊的上方作使/旌=90°,NE=30°,點尸為龍的中點，連接

AF,當〃■最小時，△比?的面積為

【思路點撥】連接5證明aF為直角三角形，根據(jù)勾股定理列出游=^+/慮沒BC=x,貝!JM=8

-x,建立關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，求出x=2時，4c'最小，再求出頂角是120°的三角形8G9的面

積即

可.

【規(guī)范解答】解:連接CF,則CF=DF=EF,

</EDC=9Q°-N￡=60°,

：.ZFCD=60°.

,?ZDCB=2(180°-120°)=30°,

:/FCB=/FC9NDCB=6Q°+30°=90°,

是直角三角形.

設(shè)BC=x,則/C=8-x,BC—BD—x,CD—CF—'^3x,由勾股定理得：

VAC2+FC2=V(8-X)2+(V3X)2=2V(X-2)2+12.

當x=2時，/尸有最小值.

:.BC=Bg2,NCBD=12Q°,

-?S^CD=2X2X2X2=V3.

【真題點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)背景下的二次函數(shù)最值問題，頂角為120。的等腰三角形面積的計算,

建立二次函數(shù)關(guān)系式是本題的突破口.

7.（2022?宜賓）《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊

a、6、c求面積的公式，其求法是：“以小斜幕并大斜幕減中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜嘉乘大

斜幕減上，余四約之，為實.一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即為S=

2a2-（￡2+，=2）2；

V42J.現(xiàn)有周長為18的三角形的三邊長滿足a：b；c=4；3：2,則用以

上給出的公式求得這個三角形的面積為

【思路點撥】根據(jù)題意先求出a、6、c,再代入公式進行計算即可.

【規(guī)范解答】解：根據(jù)a：b：。=4：3：2,設(shè)a=4kfb=3k,c=2k,

貝！J44+3A+2A=18,

解得：k=2,

.?.a=4左=4X2=8,5=34=3X2=6,c=2A=2X2=4,

片又82一（弓心1）2、出x[16X64-484]=3后

故答案為：3（7元.

【真題點撥】本題考查了二次根式的運算，要注意運算順序，解答的關(guān)鍵是對相應的運算法則的熟練

掌握.

8.（2023?成都）如圖，已知修△瓦尸，點6,E,C,6依次在同一條直線上.若BC=8,CE=5,則

CF的長為3.

【思路點撥】根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到斯=打。=8,計算即可.

【規(guī)范解答】解：?：/XAB&4DEF,

：.BC=EF,

又BC=8,

：.EF=8,

'：EC=5,

：.CF=EF-EC=8-5=3.

故答案為：3.

【真題點撥】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應邊相等、全等三角形的對應角

相等是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?重慶）如圖，在RtZ\/回中，/的C=90°,AB=AC,點,D為BC上一點.,連接過點8作

BELAD于點、E,過點。作阻4?交加的延長線于點F.若BE=4,CF=\,則項的長度為3.

E

D

B

F

【思路點撥】先證明az應必△。尸（ZZS）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得2尸=龍=4,AE=CF=1,進

一步可得第的長.

【規(guī)范解答】解：:皿"，CFLAD,

：.ZBEA=ZAFC=90°,

：.ZBAE+ZABE=90°,

9：ZBAC=90°,

：.ZBAE+ZFAC=^O°,

：.ZFAC=ZABE,

在△/龐和△。/中，

<ZBEA=ZAFC

<ZABE=ZFAC

AB=AC,

：.AABE^/\CAF（AAS）,

:.AF=BE,AE=CF,

?:BEKCF=3

:.AF=BE=4,AE=CF=3

:,EF=AF-AF=4-1=3,

故答案為：3.

【真題點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的

判定方法是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?深圳）已知△/a1是直角三角形，ZABC=90°,AB=3,BC=5,AE=2而,連接廢，以"

為底作直角三角形儂，豆CD=DE.F是四邊上的一點，連接協(xié)和陽，且/物=45°,則/尸長為

375

4.

【思路點撥】將線段初繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段如，連接掰，利用S4S證明

△劭儂△以力，得EH=CB=5,ZBGH=ZBDH=9Q°,從而得出血'〃47〃48,則△力物功△功尸，即可

解決問題.

【規(guī)范解答】解：將線段即繞點2順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段如，連接BH,延長龐交比1于G,

/.48加是等腰直角三角形,

班》=45°,

?:/FBD=45°,

...點8、F、〃共線，

又：△瓦心是等腰直角三角形，

C.HD^BD,NEDH=4CDB,EgCD,

白△C05(%S),

:.EH=CB=3,NDHE=/CBD,

:"BGH=/BDH=9Q°,

：.HE//AB,

:.△ABFsXEHF,

AB_AF二AF

.?.EH"EF=AE-AF,

<AE=2近,

3二AF

5~2V5-AF,

3遙

：.AF=4,

故答案為：T^.

【真題點撥】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定

與性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

11.（2023