3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識(shí)點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 4題型一：一次函數(shù)模型 4題型二：二次函數(shù)模型 6題型三：分段函數(shù)模型 9題型四：冪函數(shù)模型 12題型五：耐克函數(shù)模型 17

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：一次函數(shù)模型的應(yīng)用1、一次函數(shù)的一般形式：，其定義域是R，值域是R．知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)模型的應(yīng)用1、二次函數(shù)的一般形式是其定義域?yàn)镽．2、若，則二次函數(shù)在時(shí)有最小值；若，則二次函數(shù)在時(shí)有最大值．3、建立二次函數(shù)模型解應(yīng)用題的步驟和建立一次函數(shù)模型解應(yīng)用題的步驟一樣：讀題，解題，建模，解答．知識(shí)點(diǎn)三：解決實(shí)際應(yīng)用問題1、解決實(shí)際應(yīng)用問題的過程2、解決實(shí)際應(yīng)用問題的步驟：第一步：閱讀理解，認(rèn)真審題讀懂題中的文字?jǐn)⑹觯斫鈹⑹鏊从车膶?shí)際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進(jìn)而把握住新信息．第二步：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型．第三步：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問題（即數(shù)學(xué)模型）予以解答，求得結(jié)果．第四步：再轉(zhuǎn)譯為具體問題作出解答．3、函數(shù)模型的綜合應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用題是利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題．在數(shù)學(xué)建模的過程中有若干個(gè)有著明顯區(qū)別的處理階段：第一階段，對(duì)于面臨的實(shí)際問題，我們首先需要認(rèn)真審題，熟悉實(shí)際問題的背景知識(shí)，明確研究的對(duì)象和研究的目的．第二階段，辯識(shí)并列出與問題有關(guān)的因素，明確模型中需要考慮的因素以及它們?cè)趩栴}中的作用，以變量和參數(shù)的形式表示這些因素．第三階段，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)上的技能技巧來描述問題中變量之間的關(guān)系，通常它可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述．第四階段，利用數(shù)學(xué)知識(shí)將得到的數(shù)學(xué)模型予以解答，求出結(jié)果．第五階段，解釋數(shù)學(xué)模型的結(jié)果．根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)解析式，然后利用求函數(shù)最值的方法解決最大、最省等問題．求函數(shù)最值的常用方法有：①配方法；②判別式法；③換元法；④數(shù)形結(jié)合法；⑤函數(shù)的單調(diào)性法等．【典型例題】題型一：一次函數(shù)模型【典例11】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）數(shù)學(xué)建模，就是根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問題．小明和他的數(shù)學(xué)建模小隊(duì)現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況，那么，怎樣才可以提高呢？我們理想化地建立這樣一個(gè)關(guān)系，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)．研究表明，當(dāng)[20,200]時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．問：當(dāng)車流密度多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）可以達(dá)到最大？（

）A．60 B．100 C．200 D．600【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，解得于是設(shè)車流量為q，則當(dāng)時(shí)，,此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，恒有；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)，因此恒有，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)；綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即車流量最大，最大值約為3333輛．故選：B．【典例12】（2024·高二·福建·學(xué)業(yè)考試）某公司市場(chǎng)營(yíng)銷部員工的個(gè)人月收入與月銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示.由圖示信息可知，月銷售量為3百件時(shí)員工的月收入是（）A．2100元 B．2400元 C．2700元 D．3000元【答案】C【解析】設(shè)一次函數(shù)為：，將和代入得：，解得，故公司市場(chǎng)營(yíng)銷部員工的個(gè)人月收入與月銷售量之間的函數(shù)關(guān)系為，令，可得元，故選：C【方法技巧與總結(jié)】關(guān)鍵是準(zhǔn)確讀取題中所給圖象，從中提煉出一次函數(shù)模型以及一些關(guān)鍵點(diǎn)，并用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式．【變式11】（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）某公司市場(chǎng)營(yíng)銷人員的個(gè)人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如下圖所示，由圖中給出的信息可知，營(yíng)銷人員沒有銷售量時(shí)的收入是（

）A．310元 B．300元 C．290元 D．280元【答案】B【解析】根據(jù)圖象關(guān)系求出函數(shù)解析式，計(jì)算當(dāng)x＝0時(shí)，y＝300即可得解.設(shè)函數(shù)解析式為，函數(shù)圖象過點(diǎn)(1，800)，(2，1300)，則解得所以，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝300.所以營(yíng)銷人員沒有銷售量時(shí)的收入是300元．答案：B【變式12】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）麻城市某社區(qū)為鼓勵(lì)大家節(jié)約用電，與供電公司約定兩種電費(fèi)收取方案供用戶選擇：方案一：每戶每月收取管理費(fèi)元，月用電量不超過度時(shí)，每度元；超過度時(shí)，超過部分按每度元收?。悍桨付翰皇杖」芾碣M(fèi)，每度元．(1)彭湃家上月比較節(jié)約，只用了90度電，分別按照這兩種方案，計(jì)算應(yīng)繳多少電費(fèi)？并比較那種方案更合適．(2)求方案一的收費(fèi)元與用電量度間的函數(shù)關(guān)系．若徐格拉底家九月份按方案一繳費(fèi)60元，問徐格拉底家該月用電多少度？(3)該月用電量在什么范圍內(nèi)，選擇方案一比選擇方案二好？【解析】（1）第一種方案：元，第二種方案：元，由，故應(yīng)選擇第一種方案．（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，.當(dāng)時(shí)，令，解得舍去．當(dāng)時(shí)，令，解得．答：徐格拉底家該月用電度．（3）令，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，．當(dāng)時(shí)，令，即，解得，．綜上可得：．即該月用電量在度到度不含度與度范圍內(nèi)，選擇方案一比選擇方案二好．題型二：二次函數(shù)模型【典例21】（2024·高一·云南昆明·階段練習(xí)）近幾年來，“盲盒文化”廣為流行，這種文化已經(jīng)在中國(guó)落地生根，并發(fā)展處具有中國(guó)特色的盲盒經(jīng)濟(jì)，某盲盒生產(chǎn)及銷售公司今年初用98萬購(gòu)進(jìn)一批盲盒生產(chǎn)線，每年可有50萬的總收入，已知生產(chǎn)此盲盒年（為正整數(shù)）所用的各種費(fèi)用總計(jì)為萬元.(1)該公司第幾年首次盈利（總收入超過總支出，今年為第一年）？(2)該公司第幾年年平均利潤(rùn)最大，最大是多少？【解析】（1）設(shè)利潤(rùn)為，則，由整理得，解得，由于，所以，所以第3年首次盈利.（2）首先，由（1）得平均利潤(rùn)萬元，當(dāng)且僅當(dāng)，萬元時(shí)等號(hào)成立，綜上，第7年，平均利潤(rùn)最大，為12萬元.【典例22】（2024·高一·福建福州·階段練習(xí)）“金山銀山不如綠水青山．”實(shí)行垃圾分類、保護(hù)生態(tài)環(huán)境人人有責(zé)．某企業(yè)新建了一座垃圾回收利用工廠，于今年年初用萬元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)垃圾回收分類生產(chǎn)設(shè)備，并立即投入生產(chǎn)使用．該設(shè)備使用后，每年的總收入為50萬元．若該設(shè)備使用年，則其所需維修保養(yǎng)費(fèi)用年來的總和為萬元，設(shè)該設(shè)備產(chǎn)生的盈利總額（純利潤(rùn)）為萬元．(1)寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；并求該設(shè)備使用幾年后，其盈利總額開始達(dá)到萬元以上；(2)該設(shè)備使用幾年后，其年平均盈利額達(dá)到最大?最大值是多少?（）【解析】（1）依題意，，由，得，即，解得，所以使用年后，盈利總額開始達(dá)到萬元以上.（2）平均盈利額，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以使用年后，其年平均盈利額達(dá)到最大，最大值為萬元.【方法技巧與總結(jié)】建立目標(biāo)函數(shù)及求最值的方法，配方法是求二次函數(shù)最值的常用方法．【變式21】（2024·高一·河南鄭州·階段練習(xí)）夏秋交替時(shí)節(jié)，某商家為了盡快清倉(cāng)銷貨，決定對(duì)短袖襯衫A進(jìn)行打折處理．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每個(gè)月A的銷量（單位:件）與折扣（單位:折）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)．已知的成本價(jià)為50元/件，原售價(jià)為100元/件，設(shè)A每月的總利潤(rùn)為（單位:元）．(1)求的最大值;(2)該商家將與A相同成本價(jià)的短袖恤按60元/件銷售，若每銷售1件可銷售1件，要求A與的總利潤(rùn)不低于3000元，求A售價(jià)的最小值．【解析】（1）由題意得，每件短袖補(bǔ)衫A的利潤(rùn)為（元），所以，當(dāng)時(shí)，取到最大值，最大值為2450元．（2）設(shè)A與的總利潤(rùn)為（單位：元），則，得，得．故打七折時(shí)，A售價(jià)最小，A售價(jià)的最小值為元/件．【變式22】（2024·高一·廣西玉林·開學(xué)考試）一家圖文廣告公司制作的宣傳畫板頗受商家歡迎，這種畫板的厚度忽略不計(jì)，形狀均為正方形，邊長(zhǎng)在之間.每張畫板的成本價(jià)（單位：元）與它的面積（單位：）成正比例，每張畫板的出售價(jià)（單位：元）是畫板的邊長(zhǎng)的一次函數(shù).在營(yíng)銷過程中得到了表格中的數(shù)據(jù).畫板的邊長(zhǎng)810出售價(jià)（元/張）148160(1)求一張畫板的出售價(jià)與邊長(zhǎng)之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知出售一張邊長(zhǎng)為畫板，獲得的利潤(rùn)為130元（利潤(rùn)出售價(jià)成本價(jià)），①求一張畫板的利潤(rùn)與邊長(zhǎng)之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)邊長(zhǎng)為多少時(shí)，出售一張畫板所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【解析】（1）設(shè)正方形畫板的邊長(zhǎng)為，出售價(jià)為每張y元，且由表格中的數(shù)據(jù)可得，，解得從而一張畫板的出售價(jià)y與邊長(zhǎng)x之間滿足函數(shù)關(guān)系式；（2）①設(shè)每張畫板的成本價(jià)為，利潤(rùn)為w元，則當(dāng)時(shí)，，∴，解得，∴一張畫板的利潤(rùn)w與邊長(zhǎng)x之間滿足函數(shù)關(guān)系式；②由，知當(dāng)時(shí)，w有最大值，w最大值為154，因此當(dāng)正方形畫板的邊長(zhǎng)為時(shí)，可獲最大利潤(rùn)154元．題型三：分段函數(shù)模型【典例31】（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）某飲料公司推出了一種時(shí)尚運(yùn)動(dòng)功能飲料，一上市就受到年輕人的喜愛，該公司統(tǒng)計(jì)了該飲料一年中每個(gè)月份的盈利情況，得到月利潤(rùn)萬元與銷售月份之間的關(guān)系為.(1)求一年中最高月利潤(rùn)及對(duì)應(yīng)的月份；(2)求該飲料月利潤(rùn)超過3萬元的月份.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，令，則，且，則，因，故時(shí)，即時(shí)，取得最大值3；

當(dāng)時(shí)，因，故時(shí)，取得最大值7.綜上，第8個(gè)月的月利潤(rùn)最大，為7萬元.（2）由（1）可知前5個(gè)月中，最大月利潤(rùn)為第3個(gè)月的3萬元，故超過3萬元的月份只可能在后面的7個(gè)月里，即，由可得，，解得.又，所以，故月利潤(rùn)超過3萬元的月份有第6，7，8，9，10月.【典例32】（2024·高一·吉林松原·階段練習(xí)）某公司為了推廣某款新產(chǎn)品，計(jì)劃投資15萬元用于這款新產(chǎn)品的宣傳.每生產(chǎn)萬件該產(chǎn)品，需另投入成本萬元，且.已知該公司這款新產(chǎn)品每件的售價(jià)為14元，且生產(chǎn)的所有產(chǎn)品都能銷售完.(1)求該公司這款產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬元）關(guān)于產(chǎn)量（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式.(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，該公司這款產(chǎn)品的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以.（2）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)產(chǎn)量為9萬件時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大值12萬元；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)產(chǎn)量為16萬件時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大值13萬元，而，所以當(dāng)產(chǎn)量為16萬件時(shí)，該公司這款產(chǎn)品的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是13萬元.【方法技巧與總結(jié)】分段函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)分段研究，分段函數(shù)的最大值是各段函數(shù)值的最大者．分段函數(shù)應(yīng)用題是高考命題的熱點(diǎn)．【變式31】（2024·高一·陜西·期中）某廠每年生產(chǎn)某種產(chǎn)品萬件，其成本包含固定成本和浮動(dòng)成本兩部分.已知每年固定成本為10萬元，浮動(dòng)成本若每萬件該產(chǎn)品銷售價(jià)格為40萬元，且每年該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡.(1)設(shè)年利潤(rùn)為（萬元），試求與的關(guān)系式;(2)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，該廠所獲利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).【解析】（1）（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值90.當(dāng)年產(chǎn)量為10萬件時(shí)，該廠所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為90萬元.【變式32】（2024·高一·安徽蕪湖·開學(xué)考試）某大學(xué)畢業(yè)生團(tuán)隊(duì)主動(dòng)創(chuàng)業(yè)，計(jì)劃銷售輕食，每個(gè)月的店租和水電等成本為2萬元，且每銷售1份輕食，成本為5元.已知該團(tuán)隊(duì)輕食的月銷售量為萬份，該團(tuán)隊(duì)每個(gè)月保底能夠銷售5000份輕食，且當(dāng)時(shí)，月銷售收入為萬元；當(dāng)時(shí)，月銷售收入為萬元.(1)求該團(tuán)隊(duì)的月銷售利潤(rùn)（萬元）與月銷售量為x（萬份）之間的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)月銷售量為何值時(shí)，該團(tuán)隊(duì)的月銷售利潤(rùn)最??？最小利潤(rùn)為多少萬元？【解析】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.∴；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)月銷售量為萬份時(shí)，該團(tuán)隊(duì)的月銷售利潤(rùn)最小，為萬元.【變式33】（2024·高一·全國(guó)·課堂例題）某企業(yè)承接了某玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為200萬元．每生產(chǎn)x萬盒，需投入成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時(shí)，，若每盒玩具手辦售價(jià)200元，通過市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完．（利潤(rùn)＝銷售總價(jià)成本總價(jià)，銷售總價(jià)＝銷售單價(jià)×銷售量，成本總價(jià)＝固定成本＋生產(chǎn)中投入成本）求玩具手辦的銷售利潤(rùn)y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式．【解析】當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時(shí)，，當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時(shí)，，故銷售利潤(rùn)y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式為,【變式34】（2024·高一·江蘇常州·階段練習(xí)）常州市某企業(yè)為緊抓新能源發(fā)展帶來的歷史機(jī)遇，決定開發(fā)一款鋰電池生產(chǎn)設(shè)備.生產(chǎn)此設(shè)備的年固定成本為280萬元，且每生產(chǎn)臺(tái)需要另投入成本（萬元），當(dāng)年產(chǎn)量不足40臺(tái)時(shí)，（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不少于40臺(tái)時(shí)（萬元）.經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查和分析，若每臺(tái)設(shè)備的售價(jià)定為60萬元時(shí)，則該企業(yè)生產(chǎn)的鋰電池設(shè)備能全部售完.(1)分別求年產(chǎn)量不足40臺(tái)和年產(chǎn)量不少于40臺(tái)時(shí)，年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；(2)年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，企業(yè)在這款鋰電池生產(chǎn)設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤(rùn)是多少萬元？【解析】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所得，年利潤(rùn)關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，上式取等號(hào)，即，綜上，即當(dāng)年生產(chǎn)58（臺(tái)）時(shí)，該企業(yè)年利潤(rùn)的最大值為892萬元.題型四：冪函數(shù)模型【典例41】（2024·高一·上?！ふn堂例題）在固定壓力差（壓力差為常數(shù)）的前提下，當(dāng)氣體通過圓形管道時(shí)，其速率（單位：）與管道半徑（單位：cm）的四次方成正比．若在半徑為的管道中，某氣體的速率為，求該氣體通過半徑為的管道時(shí)的速率．（結(jié)果精確到）【解析】由題意可知，，，則，即，當(dāng)時(shí)，.所以氣體通過半徑為的管道時(shí)的速率為.【典例42】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）“垃圾分一分，環(huán)境美十分”．某校為積極響應(yīng)有關(guān)垃圾分類的號(hào)召，從百貨商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)了A，B兩種品牌的垃圾桶作為可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每個(gè)貴50元，用4000元購(gòu)買A品牌垃圾桶的數(shù)量是用3000元購(gòu)買B品牌垃圾桶數(shù)量的2倍．(1)求購(gòu)買一個(gè)A品牌、一個(gè)B品牌的垃圾桶各需多少元？(2)若該中學(xué)決定再次準(zhǔn)備用不超過6000元購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌垃圾桶共50個(gè)，恰逢百貨商場(chǎng)對(duì)兩種品牌垃圾桶的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整：A品牌按第一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)的九折出售，B品牌比第一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)提高了20%，那么該學(xué)校此次最多可購(gòu)買多少個(gè)B品牌垃圾桶？【解析】（1）設(shè)購(gòu)買一個(gè)A品牌垃圾桶需x元，則購(gòu)買一個(gè)B品牌垃圾桶需(x+50)元，依題意，得：，解得：x＝100，經(jīng)檢驗(yàn)x＝100是原方程的解，且符合題意，∴x+50＝150．答：購(gòu)買一個(gè)A品牌垃圾桶需100元，購(gòu)買一個(gè)B品牌垃圾桶需150元．（2）設(shè)該學(xué)校此次購(gòu)買m個(gè)B品牌垃圾桶，則購(gòu)買(50m)個(gè)A品牌垃圾桶，依題意，得：100×0.9(50m)+150×(1+20%)m6000，解得：m．因?yàn)閙是正整數(shù)，所以m最大值是16．答：該學(xué)校此次最多可購(gòu)買16個(gè)B品牌垃圾桶．【方法技巧與總結(jié)】?jī)绾瘮?shù)模型為(，為常數(shù)，)，在計(jì)算冪函數(shù)解析式、求冪函數(shù)最值的時(shí)候，通常利用冪函數(shù)圖像、單調(diào)性、奇偶性解題.【變式41】（2024·高一·河南平頂山·期末）某企業(yè)為努力實(shí)現(xiàn)“碳中和”目標(biāo)，計(jì)劃從明年開始，通過替換清潔能源減少碳排放量，每年減少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均為，并預(yù)計(jì)年后碳排放量恰好減少為今年碳排放量的一半.（1）求的值；（2）若某一年的碳排放量為今年碳排放量的，按照計(jì)劃至少再過多少年，碳排放量不超過今年碳排放量的？【解析】設(shè)今年碳排放量為.（1）由題意得，所以，得.（2）設(shè)再過年碳排放量不超過今年碳排放量的，則，將代入得，即，得.故至少再過年，碳排放量不超過今年碳排放量的.【變式42】（2024·高一·上海普陀·階段練習(xí)）根據(jù)相關(guān)資料得出甲、乙兩種產(chǎn)品利潤(rùn)與投入資金x（萬元）的數(shù)據(jù)分別如下表和圖所示，其中已知甲的利潤(rùn)為，乙的利潤(rùn)為，其中a，b，c，d，.x20406080P33363942（1）分別求出甲、乙兩種產(chǎn)品所得的利潤(rùn)與投入資金x（萬元）的函數(shù)解析式；（2）將300萬資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，并要求對(duì)甲、乙兩種產(chǎn)品的投入資金都不低于75萬元，設(shè)對(duì)乙種產(chǎn)品投入資金m（萬元），并設(shè)總利潤(rùn)為y（萬元），如何分配投入資金，才能使總利潤(rùn)最大？并求出最大總利潤(rùn).【解析】（1）將和代入到，得，解得，所以；將，，代入到，得，解得，所以，.（2）依題意可得萬元，由得，因?yàn)?，，所以?dāng)，即萬元時(shí)，取得最大值，最大值為萬元.所以當(dāng)甲產(chǎn)品投入200萬元，乙產(chǎn)品投入100萬元時(shí)，總利潤(rùn)最大為130萬元.【變式43】（2024·高一·福建廈門·階段練習(xí)）使太陽(yáng)光射到硅材料上產(chǎn)生電流直接發(fā)電，以硅材料的應(yīng)用開發(fā)形成的光電轉(zhuǎn)換產(chǎn)業(yè)鏈條稱之為“光伏產(chǎn)業(yè)”.某農(nóng)產(chǎn)品加工合作社每年消耗電費(fèi)萬元.為了節(jié)約成本，決定修建一個(gè)可使用年的光伏電站，并入該合作社的電網(wǎng).修建光伏電站的費(fèi)用（單位：萬元）與光伏電站的太陽(yáng)能面板的面積（單位：）成正比，比例系數(shù)為.為了保證正常用電，修建后采用光伏電能和常規(guī)電能互補(bǔ)的供電模式用電，設(shè)在此模式下.當(dāng)光伏電站的太陽(yáng)能面板的面積為（單位：）時(shí)，該合作社每年消耗的電費(fèi)為（單位：萬元，為常數(shù)）.記該合作社修建光伏電站的費(fèi)用與年所消耗的電費(fèi)之和為（單位：萬元）.(1)求常數(shù)的值，并用表示；(2)該合作社應(yīng)修建多大面積的太陽(yáng)能面板，可使最小？并求出最小值.(3)要使不超過萬元，求的取值范圍.【解析】（1）由題意，，當(dāng)時(shí)，電費(fèi)，解得：，∴，.（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴該合作社應(yīng)修建的太陽(yáng)能面板，可使最小，的最小值為萬元.（3）為使不超過萬元，只需，即有，則，解得：，∴的取值范圍為.【變式44】（2024·高一·上海浦東新·期末）某條貨運(yùn)線路總長(zhǎng)2000千米，交通法規(guī)定，在該線路上貨車最低限速50千米/時(shí)（含），最高限速100千米/時(shí)（含）.汽油的價(jià)格是每升8元，汽車在該路段行駛時(shí)，速度為千米/時(shí)，每小時(shí)油耗為升.（假設(shè)汽車保持勻速行駛）(1)求該線路行車油費(fèi)（元）關(guān)于行車速度（千米/時(shí)）的函數(shù)關(guān)系；(2)車速為何值時(shí)，行車油費(fèi)達(dá)到最低？并求出最低的行車油費(fèi)；(3)運(yùn)營(yíng)該條線路的劉師傅接到某公司的貨運(yùn)派單，要求在24小時(shí)內(nèi)送達(dá)，否則將少支付50元費(fèi)用作為超時(shí)補(bǔ)償.請(qǐng)寫出此時(shí)劉師傅駕駛的最優(yōu)車速.【解析】（1）行車所用時(shí)間為，根據(jù)汽油的價(jià)格是每升8元，而汽車每小時(shí)油耗升，則行車總費(fèi)用為，.（2）由（1）知，令，設(shè)，則因?yàn)?，故，所以所以?dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格增，則當(dāng)時(shí)，行車油費(fèi)最低，最低為元.（3）在24小時(shí)內(nèi)送達(dá)行駛速度為，由題意知行車總費(fèi)用，當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格增，的最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格增，，所以綜上所述，最優(yōu)車速為50千米/時(shí).題型五：耐克函數(shù)模型【典例51】（2024·高一·陜西西安·期中）某公司一年需要一種計(jì)算機(jī)元件8000個(gè)，每個(gè)電子元件單價(jià)為a元，每天需同樣多的元件用于組裝整機(jī)，該元件每年分n次進(jìn)貨，每次購(gòu)買元件的數(shù)量均為x，每次單價(jià)不變，購(gòu)一次貨需手續(xù)費(fèi)500元．已購(gòu)進(jìn)而未使用的元件要付庫(kù)存費(fèi)，可以認(rèn)為平均庫(kù)存量為件，每個(gè)元件的庫(kù)存費(fèi)是一年2元．（1）將公司每年總費(fèi)用F表示成x的函數(shù)；（2）請(qǐng)你幫公司核算一下，每年進(jìn)貨幾次花費(fèi)最小．【解析】（1）由題意可知，n＝，F(xiàn)＝8000a+500n+2?x＝x+500?+8000a，即：F＝x++8000a；（2）由（1）可知，F(xiàn)＝x++8000a＝+500n+8000a＝4000+8000a．當(dāng)且僅當(dāng)，即n＝4時(shí)，總費(fèi)用最少，故每年進(jìn)貨4次花費(fèi)最?。镜淅?2】（2024·高一·江蘇鹽城·階段練習(xí)）在園林博覽會(huì)上，某公司帶來了一種智能設(shè)備供采購(gòu)商洽談采購(gòu)，并決定大量投放市場(chǎng)，已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬元，每生產(chǎn)一臺(tái)需另投入90元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備（）萬臺(tái)且全部售完，每萬臺(tái)的銷售收入（萬元）與年產(chǎn)量（萬臺(tái)）滿足如下關(guān)系式：(1)寫出年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（）（萬臺(tái)）的函數(shù)解析式；（利潤(rùn)=銷售收入成本）(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺(tái)時(shí)，該公司獲得的年利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn).【解析】（1）由題意知，年利潤(rùn)關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)解析式為：（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，由基本不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，當(dāng)年生產(chǎn)萬臺(tái)時(shí)，年利潤(rùn)取得最大值，最大利潤(rùn)為萬元.【方法技巧與總結(jié)】耐克函數(shù)模型為，利用基本不等式或者圖像法解決.【變式51】（2024·高一·山西大同·階段練習(xí)）某公司由于業(yè)務(wù)的快速發(fā)展，計(jì)劃在其倉(cāng)庫(kù)外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一間高為4米，底面積為108平方米，且背面靠墻的長(zhǎng)方體形狀的貴重物品存儲(chǔ)室.由于此貴重物品存儲(chǔ)室的后背靠墻，無需建造費(fèi)用，某工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)如下：存儲(chǔ)室前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米1500元，左、右兩面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米1000元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)36000元，設(shè)存儲(chǔ)室的左、右兩面墻的長(zhǎng)度均為米，該工程隊(duì)的總報(bào)價(jià)為元(1)請(qǐng)用表示；(2)求該工程隊(duì)的總報(bào)價(jià)的最小值，并求出此時(shí)的值.【解析】（1）前面墻的長(zhǎng)度為米，總報(bào)價(jià)，其中.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以總報(bào)價(jià)的最小值為180000元，并求出此時(shí)的值為9米.【變式52】（2024·高一·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）哈爾濱市第三中學(xué)校計(jì)劃在符保盧田徑場(chǎng)建造一間地面為矩形、背