第四章因式分解專題一本章知識梳理思維導(dǎo)圖考綱要求

會用提取公因式法、公式法（直接用公式不超過兩次）進(jìn)行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）.知識梳理1.因式分解把一個________化成幾個______的____的形式，這種變形叫做因式分解.2.公因式的定義多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的__________，叫做這個多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.多項(xiàng)式整式積相同因式知識梳理3.確定公因式的方法確定公因式的一般步驟：（1）確定公因式的系數(shù)，即多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的__________.（2）確定公因式的字母及其指數(shù)：字母取各項(xiàng)都含有的相同字母，相同字母的指數(shù)取次數(shù)_______的.（3）當(dāng)?shù)谝豁?xiàng)系數(shù)為負(fù)時，應(yīng)將公因式的符號取為______.最大公約數(shù)最低負(fù)號知識梳理4.提公因式法（1）定義：如果一個多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有________，那么就可以把這個________提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個__________的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.（2）用提公因式法因式分解的一般步驟：①確定多項(xiàng)式的公因式，公因式等于各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)與相同字母的最低次冪的積.公因式公因式因式乘積知識梳理②將多項(xiàng)式除以它的公因式，從而得到多項(xiàng)式的另一個因式.5.平方差公式兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的________，公式為（a＋b）（a－b）＝_________.6.完全平方公式兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的________,加上（或減去）它們積的2倍，公式為（a±b）2=__________.平方差a2－b2平方和a2±2ab+b2知識梳理7.因式分解的一般步驟（1）如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有________，應(yīng)先提取_______.（2）如果各項(xiàng)沒有_________（或已提取完），可以（再）嘗試使用公式法，當(dāng)多項(xiàng)式為兩項(xiàng)時，考慮用_________；當(dāng)多項(xiàng)式為三項(xiàng)式時，考慮用_____________.（3）檢查因式分解是否__________，要求必須分解到每一個因式都不能再分解為止.公因式平方差公式完全平方公式徹底公因式公因式專題二本章易錯點(diǎn)歸總易錯點(diǎn)1錯誤運(yùn)用平方差公式在運(yùn)用平方差公式進(jìn)行有關(guān)整式乘法計算時，容易出現(xiàn)以下錯誤：（1）不能準(zhǔn)確判斷是否能利用平方差公式；（2）運(yùn)用平方差公式時，弄不清等于誰和誰的平方差；（3）寫平方差時，容易只把字母平方，而遺漏系數(shù)平方.易錯點(diǎn)【例1】計算：(m＋5n)(－m＋5n).

易錯提示：運(yùn)用平方差公式時容易出現(xiàn)以下錯誤：（1）弄不清誰與誰的差；（2）寫平方差時忘記系數(shù)也要平方.正解：易錯點(diǎn)(m＋5n)(－m＋5n)＝(5n)2－m2=25n2－m2.1.（－x－2y）（2y－x）＝_________.學(xué)以致用x2-4y2易錯點(diǎn)2錯誤運(yùn)用完全平方公式在運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行有關(guān)整式乘法計算時，容易出現(xiàn)以下錯誤：（1）漏掉“2倍之積項(xiàng)”；（2）漏掉乘積中的因數(shù)“2”；（3）弄錯“2倍之積項(xiàng)”的符號，尤其當(dāng)兩數(shù)都是負(fù)數(shù)時，易出現(xiàn)符號錯誤；（4）與平方差公式相混淆.易錯點(diǎn)【例2】計算：(x+y)(x2－y2)(x－y).易錯提示：運(yùn)用完全平方公式時容易出現(xiàn)以下錯誤:（1）混淆完全平方公式與平方差公式;（2）容易寫錯中間項(xiàng)符號.易錯點(diǎn)正解：原式=（x+y）（x－y）（x2－y2）=（x2－y2）（x2－y2）=（x2－y2）2=x4－2x2y2+y4.2.計算:（－3x＋y）2.學(xué)以致用解：原式=9x2－6xy＋y2.易錯點(diǎn)3運(yùn)用提公因式法因式分解時出現(xiàn)疏漏或分解因式不徹底運(yùn)用提公因式法分解因式時，提公因式后，括號里的多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)應(yīng)一致.當(dāng)系數(shù)有公因式時，注意系數(shù)不能丟掉；當(dāng)提出的公因式的系數(shù)為負(fù)時，括號里的各項(xiàng)都要改變符號.同時注意，分解因式必須進(jìn)行到每一個因式都不能再分解為止.易錯點(diǎn)【例3】分解因式-2a3b-4a2b2-2ab3.易錯提示：確定公因式時：一看系數(shù)，二看字母，三看指數(shù)，提公因式時，容易漏掉系數(shù)和弄錯因式中各項(xiàng)的符號.易錯點(diǎn)正解：原式=-2ab(a2+2ab+b2)=-2ab(a+b)2.3.分解因式：（1）-x3y3+2x2y2-xy;（2）6x4-4x3+2x2;（3）a2(a-1)2-a(1-a)2.學(xué)以致用解：（1）原式=-xy(x2y2-2xy+1)=-xy(xy-1)2.（2）原式=2x2(3x2-2x+1).（3）原式=a(a-1)2(a-1)=a(a-1)3.專題三本章重要考點(diǎn)專練——提公因式法一、選擇題1.把a(bǔ)2-2a分解因式，正確的是（）A.a（a-2）B.a（a+2）C.a（a2-2）D.a（2-a）2.若代數(shù)式x2+ax可以分解因式，則常數(shù)a不可以取（）A.-1B.0C.1D.2AB3.(3x+2)(-x6+3x5)+(3x+2)(-2x6+x5)+(x+1)(3x6-4x5)與下列哪一個式子相同？（）A.（3x6-4x5）（2x+1）B.（3x6-4x5）（2x+3）C.-（3x6-4x5）（2x+1）D.-（3x6-4x5）（2x+3）C4.下列各式從左邊到右邊的變形是因式分解的是（）A．（a+1）（a-1）=a2-1B．a(chǎn)2-6a+9=（a-3）2C．x2+2x+1=x（x+2x）+1D．-18x4y3=-6x2y2·3x2yB二、填空題5.因式分解：x2-2x+(x-2)=__________.6.如圖Z4-1中的四邊形均為矩形，根據(jù)圖形，寫出一個正確的等式_________________________________.(x+1)(x-2)am+bm+cm=m（a+b+c）7.若ab=2，a-b=-1，則代數(shù)式a2b-ab2的值等于__________.三、解答題8.把下列各式分解因式：（1）2m(m-n)2-8m2(n-m);（2）-8a2b+12ab2-4a3b3;（3）(x-1)(x+4)+4;（4）10a(x-y)2+5ax(y-x).-2解：（1）原式=2m（m-n）［（m-n）+4m］=2m（m-n）（5m-n）.（2）原式=-4ab（2a-3b+a2b2）.（3）原式=x2+3x-4+4=x2+3x=x（x+3）.（4）原式=10a（x-y）2-5ax（x-y）=5a（x-y）［2（x-y）-x］=5a（x-y）（x-2y）.

9.化簡：(a-b)(a+b)2-(a+b)(a-b)2+2b(a2+b2).解：原式=(a-b)(a+b)(a+b-a+b)+2b(a2+b2)=2b(a2-b2）+2b(a2+b2)=2b(a2-b2+a2+b2)=4a2b.

10.已知：a-b=-2015，ab=求a2b-ab2的值.

11.若a2+a=0，求2a2+2a+2015的值.解：∵2a2+2a+2015=2(a2+a)+2015,又∵a2+a=0,∴原式=2015.

12.閱讀題：因式分解：1+x+x（x+1）+x（x+1）2.解：原式=（1+x）+x（x+1）+x（x+1）2

=（1+x）［1+x+x（x+1）］=（1+x）［（1+x）+x（1+x）］=（1+x）2（1+x）=（1+x）3.（1）本題提取公因式幾次？（2）若將題目改為1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n，需提公因式多少次？結(jié)果是什么？

解：（1）共提取了兩次公因式.（2）將題目改為1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n，需提公因式n次，結(jié)果是（x+1）n+1.專題四本章重要考點(diǎn)專練——公式法一、選擇題1.下列多項(xiàng)式因式分解正確的是（）A.4-4a+a2=（a-2）2B.1+4a-4a2=（1-2a）2C.1+x2=（1+x）2D.x2+xy+y2=（x+y）2

A2.把多項(xiàng)式x2-6x+9分解因式，結(jié)果正確的是（）A.（x-3）2B.（x-9）2C.（x+3）（x-3）D.（x+9）（x-9）A3.已知x＋y＝10，xy＝24，則x2＋y2的值是（）A.52B.148C.58D.764.若多項(xiàng)式x2+2ax+4能用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則a的值為（）A.2B.-2C.±2D.±4AC二、填空題5.分解因式：4a2-4a+1=__________.6.分解因式：（x-8）（x+2)+6x=_______________.（2a-1）2（x+4）（x-4）7.已知m2－n2＝4，那么（m－n）2（m＋n）2的結(jié)果是________.8.已知a＝2016x＋2015，b＝2016x＋2016，c＝2016x＋2017，則多項(xiàng)式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝______.163三、解答題9.分解因式：（1）8（x2-2y2）-x（7x+y）+xy；（2）（a2+1）2-4a2；（3）（a2+b2）2-4a2b2.解：（1）原式=8x2-16y2-7x2-xy+xy=x2-16y2=（x+4y）（x-4y）.（2）原式=（a2+1+2a）（a2+1-2a）

=（a+1）2（a-1）2.（3）原式=（a2+b2+2ab）（a2+b2-2ab）=（a+b）2（a-b）2.10.如圖Z4-2，在一塊邊長為acm的正方形紙板四角，各剪去一個邊長為bcm(b＜)的正方形，利用因式分解計算當(dāng)a=13.2，b=3.4時，剩余部分的面積.解：剩余部分的面積為a2-4b2=（a+2b）（a-2b）=20×6.4=128（cm2）.11.已知4m+n=40，2m-3n=5.求（m+2n）2-（3m-n）2的值.解：（m+2n）2-（3m-n）2=（m+2n+3m-n）（m+2n-3m+n）=（4m+n）（3n-2m）=-（4m+n）（2m-3n）.當(dāng)4m+n=40，2m-3n=5時，原式=-40×5=-200.12.已知a，b，c是△ABC的三邊，試說明：（a2+b2-c2）2-4a2b2的值一定是負(fù)數(shù).解：（a2+b2-c2）2-4a2b2=（a2+b2-c2+2ab）（a2+b2-c2-2ab）=［（a+b）2-c2］［（a-b）2-c2］=（a+b+c）（a+b-c）（a-b-c）（a-b+c）.∵a，b，c是△ABC的三邊，∴a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b-c＜0，a-b+c＞0.∴（a+b+c）（a+b-c）（a-b-c）（a-b+c）＜0，即值為負(fù)數(shù).專題五本章重要考點(diǎn)專練——綜合運(yùn)用提公因式法和公式法因式分解一、選擇題1.分解因式：2x2-2=（）A.2（x2-1）B.2（x2+1）C.2（x-1）2D.2（x+1）（x-1）2.把8a3-8a2+2a進(jìn)行因式分解，結(jié)果正確的是（）A.2a（4a2-4a+1）B.8a2（a-1）C.2a（2a-1）2D.2a（2a+1）2DC3.把代數(shù)式3x3-12x2+12x分解因式，結(jié)果正確的是（）A.3x（x2-4x+4）B.3x（x-4）2C.3x（x+2）（x-2）D.3x（x-2）24.已知x+y=6，xy=2，則x3y+2x2y2+xy3的值等于（）A.12B.24C.72D.36DC5.若三角形的三邊長分別為a，b，c，滿足a2b-a2c+b2c-b3=0，則這個三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.三角形的形狀不確定A6.小強(qiáng)是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：x-y，a-b，2，x2-y2，a，x+y，分別對應(yīng)下列六個字：南、愛、我、美、游、濟(jì)，現(xiàn)將2a（x2-y2）-2b（x2-y2）因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）A.我愛美B.濟(jì)南游C.我愛濟(jì)南D.美我濟(jì)南c二、填空題7.分解因式：2m3-8m=______________________.8.分解因式：x2y-2xy2+y3=______________.2m（m+2）（m-2）y（x-y）29.若x+y-1=0，則x2+xy+yy2-2=_______