專題15等腰三角形綜合檢測過關(guān)卷

（考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分）

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）/XABC中，AB=BC^6,ZB=60°,則AC等于（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】由在△ABC中，AB=BC=6,ZB=60°,可判定△ABC是等邊三角形，繼而可求得答案.

【解答】解：：在△ABC中，AB=BC=6,ZB=60°,

.,.△ABC是等邊三角形，

：.AC=6.

故選：B.

2.（3分）等腰三角形的一邊長等于4,另一邊長等于10,則它的周長是（）

A.18B.24C.18或24D.14

【答案】B

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為4和10,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論,

還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)腰為4時，4+4<10,所以不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)腰為9時，10+10>4,10-10<4,所以能構(gòu)成三角形，周長是：10+10+4=24.

故選：B.

3.（3分）一個等腰三角形，其中兩個內(nèi)角的度數(shù)的比是2：5,它的三個內(nèi)角可能是（）

A.30°,30°,120°B.50°,50°,80°

C.75°,75°,30°D.80°,80°,20°

【答案】C

【分析】分兩種情況，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程，即可得到結(jié)論.

【解答】解：???兩個內(nèi)角的度數(shù)的比是2：5,

設(shè)一個內(nèi)角等于2無，另一個內(nèi)角等于5尤，

;三角形是等腰三角形，

.,.2x+2x+5x=180°或5x+5x+2x=180°,

解得：尤=20°或x=15°,

三個內(nèi)角是40°,40°,100°或75°,75°,30°,

故選：C.

4.（3分）已知等腰三角形周長為13c",其中一邊長為3c〃z,則該等腰三角形的腰為（）

A.7cmB.3cmC.5c,"或3。"D.5cm

【答案】。

【分析】分腰長為3c”或底為3c機(jī)兩種情況，再利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證即可得到答案.

【解答】解：當(dāng)腰長為3c機(jī)時，則三角形的另兩邊分別為3cm,1cm,此時3+3<7,不滿足三角形的三

邊關(guān)系；

當(dāng)?shù)诪?a”時，則可知腰長為5c%,5cm,滿足三角形三邊關(guān)系，此時腰長為5cvw,

故選：D.

5.（3分）等腰三角形的兩邊分別是5c7九和6cm,則它的周長是（）

A.16cmB.或17c:w

C.17cmD.以上都不對

【答案】B

【分析】分兩種情況：等腰三角形的腰長為552時，等腰三角形的腰長為6t7"時，求解即可.

【解答】解：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5cm時，它的周長=5+5+6=16（cm）,

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為6aw時，它的周長=5+6+6=17（cm）,

故選：B.

6.（3分）如圖，在△ABC中，/A=36°,NB=72°,C￡?平分NAC2,DE//AC,則圖中共有等腰三角

C.4個D.5個

【答案】D

1

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/ACB=180°-ZA-ZB=72°,求出/ACO=

=36°,求出NCD2=NA+NAC￡)=72°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/EDB=NA=36°,ZDEB=ZACB

=72°,ZCDE=ZACD=36°,推出/A=/ACO=/BC￡>=/COE=36°,NB=/ACD=/DEB

ZCDB=12°即可.

【解答】解：：NA=36°,ZB=72°,

；.NACB=180°-ZA-ZZ?=72°,

「C。平分/ACB,

1

AZACD=ZBCD=^ZACB=36°,

AZCDB=ZA+ZACD=72°,

*：DE//AC,

：.ZEDB=ZA=36°,ZDEB=ZACB=72°,ZCDE=ZACD=36°,

AZA=ZACD=ZBCD=ZCDE=36°,ZB=ZACD=ZDEB=ZCDB=72°,

AAACB.△AC。、△COB、△COE、△DEB都是等腰三角形，共5個，

故選：D.

7.（3分）如圖，等腰三角形45。中，45=4。,5。是4。邊上的高，若乙4=36°,則/。3。的大小是（

【答案】A

【分析】根據(jù)已知可求得兩底角的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理不難求得NOBC的度數(shù).

【解答】解：,??AB=AC,ZA=36°,

???ZABC=ZACB=72°

??,3。是AC邊上的高，

：.BD±AC,

:?/DBC=9U0-72°=18°.

故選：A.

D

B

8.（3分）一個等腰三角形的兩邊長分別為5和9,則這個三角形的周長是（）

A.19B.23C.19或23D.20

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況：①當(dāng)腰長為5時，②當(dāng)腰長為6時，解答出即可.

【解答】解：根據(jù)題意，

①當(dāng)腰長為5時，周長=5+5+9=19；

②當(dāng)腰長為9時，周長=9+9+5=23.

故其周長為19或23,

故選：C.

9.（3分）等腰三角形的頂角是100度，那么它的底角是（）

A.100°B.80°C.40°D.20°

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：..?等腰三角形的頂角是100度，

1

.?.它的底角=今（180°-100°）=40°,

故選：C.

10.（3分）如圖，在△ABC中，AB^AC,AD=DE,若NBAO=18°,NEDC=12°,則（）

A.56°B.58°C.60°D.62°

【答案】A

【分析】設(shè)NAQE=x°,則N8+18°=x°+12°,可用x表示出/B和NC,再利用外角的性質(zhì)可表示

出ND4E1和NDEA,在△AOE中利用三角形內(nèi)角和可求得x.

【解答】解：設(shè)NAOE^x。，且N3A￡>=18°,ZEDC=12°,

AZB+I80=x°+12°,

：.ZB=x°-6°,

9：AB=AC,

：.ZC=ZB=x°-6°,

/.ZDEA=ZC+ZEDC=x°-6°+12°=x°+6°,

U

：AD=DE9

：.ZDEA=ZDAE=x°+6°,

在AAOE中，由三角形內(nèi)角和定理可得

x+x+6+x+6=180,

解得x=56,即NAOE=56°,

故選：A.

二.填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

11.（3分）如圖，點(diǎn)。在△ABC的邊3C上，AC=AB=BDfAD=CD,則NR4C為108度.

【分析】設(shè)N8=a.構(gòu)建方程求出a,可得結(jié)論.

【解答】解：設(shè)N3=a.

'：AB=AC,

；?NC=a,

'：BD=BA,

ABAD—a,

丁NAOC為△ABC外角，

/.ZADC=2a,

U：AC=DC,

：.ZCAD=2af

：.ZBAC=3a,

.?.在△ABC中NB+NC+NBAC=5a=180°,

：.a=36°,

；.NC4B=108°.

故答案為：108.

12.（3分）已知一個等腰三角形的一個內(nèi)角為40°,則它的頂角等于40?；?00°.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】分兩種情況：當(dāng)40。的內(nèi)角為頂角時；當(dāng)40。的角為底角時，利用三角形的內(nèi)角和結(jié)合等腰三

角形的性質(zhì)可計算求解.

【解答】解：當(dāng)40°的內(nèi)角為頂角時，這個等腰三角形的頂角為40°；

當(dāng)40°的角為底角時，則該等腰三角形的另一底角為40°,

.?.頂角為：180°-40°-40°=100°,

故答案為40°或100。.

13.（3分）在如圖所示的△ABC中，若A8邊上的點(diǎn)。使得則N（C8=9如.

【分析】根據(jù)等邊對等角得出NA=/AC￡）,NDCB=/B,即可得出NACO+/OCB=NA+/8,即/

ACB=ZA+ZB,由三角形內(nèi)角和定理可知NACB=90°.

【解答】ft?：'：AD^CD^BD,

：.ZA=ZACD,NDCB=NB,

：.ZACD+ZDCB=ZA+ZB,

：.ZACB=ZA+ZB,

VZACB+ZA+ZB=180°,

/.ZACB=90",

故答案為：90°.

14.（3分）如圖，在等邊△ABC中，AB=6,點(diǎn)P為AC邊上一動點(diǎn)，M為8尸的中點(diǎn)，連接CM.

⑴當(dāng)點(diǎn)尸為AC的中點(diǎn)、，CM的長為—三一

(2)若點(diǎn)尸移動到使/PMC=60°時，CM的長為_3&_

【答案】(1)-----：(2)3V2.

2

【分析】(1)利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求解;

(2)證明利用對應(yīng)邊成比例即可求解.

1

【解答】解：(1)當(dāng)P是中點(diǎn)時，pc=*ac,

,/△ABC是等邊三角形，

1

：.BP±AC,2C=AB=AC=6,Z.PBC=^Z.ABC=30°,

；.PC=3,

由勾股定理得：PB=yjBC2-PC2=3V3；

為BP的中點(diǎn)，

.PM==竽

在Rt/XMPC中，由勾股定理得：CM=7PM2+PC2=號;

3V7

故答案為：——;

2

(2)'：ZPMC=ZPCB=60°,ZBPC=ZCPM.

?MCMPs^BCP,

.CMCPCPPM

*'BC-BP'BP-CP'

1

CPPMi

I.由一=—得：CP?=/爐,

BPCP2

即CP=^PB,

_￡M_CP_V2

*BC~BP~2’

：.CM=^BC=3A/2.

故答案為：3位.

15.（3分）若等腰三角形有兩條邊長分別為1和3,則其周長為7.

【答案】7.

【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分1是腰長與底邊兩種情況討論求解.

【解答】解：①1是腰長時，三角形的三邊分別為1、1、3,

Vl+1=2<3,

不能組成三角形；

②1是底邊時，三角形的三邊分別為1、3、3,

能組成三角形，

周長=1+3+3=7,

綜上所述，三角形的周長為7.

故答案為：7.

三.解答題（共8小題，滿分55分）

16.（6分）如圖，ZACB=90°,AC=AD,DE.LAB.求證：CE=DE.

【分析】根據(jù)垂直定義求出根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出根據(jù)角的和

差求出NECD=ZEDC,根據(jù)等腰三角形的判定即可得解.

【解答】證明：

AZAD￡=90°,

VZACB=90°,

ZADE=ZACB,

'：AC=AD,

：.ZACD=ZADC,

：.ZECD=ZEDC,

:.CE=DE.

17.（6分）如圖，在正△ABC中，AD_LBC于點(diǎn)。，以AD為一邊向右作正△ADE.請判斷AC,■的位

置關(guān)系，并給出證明.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得/C=NAZ）E=60°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和于是得到NCPO=30°,

從而判斷NC尸D=90°即可.

【解答】解：AC、OE的位置關(guān)系：AC±DE.

AA5C和△ADE是等邊三角形，

.*.ZC=60°,ZADE=60°,

\'AD±BC,

ZADC=90°,

在△CD尸中，'：ZCDE=9Q°-ZADE=3Q°,

AZCFD=180°-ZC-ZCDE=180°-60°-30°=90°.

：.AC±DE.

18.（6分）如圖，在△ABC中，8。是中線，MBD=|AC,求證：ZABC=90°.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由已知條件得到A0=BO=C。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NA=NABD,NC=/DBC,由三

角形的內(nèi)角和得到/4+NABD+NDBC+/C=180°,即可得到結(jié)論.

【解答】證明：:加是中線，且2￡>=%C,

:?AD=BD=CD,

：.ZA=ZABD,/C=/DBC,

VZA+ZABD+Zr>BC+ZC=180°,

；?/ABD+NDBC=90°,

AZABC=90°.

19.（6分）如圖，已知AC和5。相交于點(diǎn)O,且A8〃DC,OA=OB.

求證：OC=OD.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用平行線的性質(zhì)可求得NA=NC,NB=ND,利用。4=05,可求得NA=N5,則可求得

ZC=Z￡>,則可證得0。=。。.

【解答】證明：

YAB//DC,

：.ZA=ZC,/B=/D,

?：OA=OB,

/.NA=N3,

???NC=ND

JOC=OD.

20.（8分）如圖，AB=AC,ZBAC=120°,A3的垂直平分線交BC于點(diǎn)D

（1）求NAOC的度數(shù)；

（2）求證：DC=2DB.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出N8,再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可

得AD=BD,根據(jù)等邊對等角可得然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角

的和列式計算即可得解；

1

⑵根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到/ZMC=90°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到ZBAD=30°,

求得NB=NBA。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)'JAB^AC,/ft4c=120°,

：.WB=W(180°-ZBAC)(180°-120°)=30°,

"：AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D.

：.AD=BD,

；.NBAD=NB=30°,

AZADC^ZB+ZBAD^30°+30°=60°；

(2)VZADC=60°,ZC=30°,

ZDAC=90°,

i

：.AD=^CD,ZBAD=30°,

：.ZB=ZBAD,

：.BD=AD,

:.DC=2DB.

21.（7分）已知，如圖，在△AO8中，點(diǎn)C在。4上，點(diǎn)E、。在08上，AAB=AD,CD//AB,CE//AD,

問：△CDE是否為等腰三角形？為什么？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】欲證△CDE是否是等腰三角形，利用已知CO〃A2,CE//AD,證明三角形中兩內(nèi)角是否相等

來證是否等腰.

【解答】解：是等腰三角形.

,.'CD//AB,

：.ZCDE=ZB,

又；CE〃A。，

：.ZCED=ZADB,

5L'：AB=AD,

；./B=NADB,

：.ZCDE=ZCED,

.?.△CDE是等腰三角形.

22.（8分）如圖，在△ABC中，AB^AC,ZBAC=36°,2。是NABC的平分線，交AC于點(diǎn)。，￡是AB

的中點(diǎn)，連接EO并延長，交